장음표시 사용
191쪽
Coniti Altis entlia talia moliti qu.i in deliribente in statione iit hic se cum perip .irum intersectionem descriptum est nun
192쪽
At vero si obliquus suerit uterque angulorum Assii, Evi, uti in caeteris figuris, secabunt sese efficiens directrix productae ad eas partes ubi angulus mobilis, isque qui ad directricem est, acutierunt sit itaque ipsarum intersectio in L puncto. Quoniani igi- 2 8 tu tam anguli L BO a DB, ex constructiones, quam LI H, per c)rj LMI, propter parallelas D B, HI aequales sunt'; erunt quo Π que tam lineae L D, DB, quam LM, LI s ac proinderi com-s ii Vis positae vel residuae k H , I aequales. Cum autem , an nestibus. tulis D BI, HI G iisdem, sive aequalibus existentibus, addito in casib ves ablato communi angulo HII, angulus Di H angulo
V. si h Ina, id est B GA bat aequali atque angulus BD H ex
nailibu1. constructione angulo D BI, id est LAEA G, sit aequalis erunt in*ra triangula BD H, G DB aequiangula, eritque proinde , ut BD a d 1, ad DH sive BI, laoc est ad G Κ, ita eadem GK ad KB. Ill re quare uisupra quadratum applicatae G rectangulo D ΒΚ milibu erit. Quod est propositum.
Constat itaque, curvam intersectione, uti praedictum est , descriptam, eam ipsam esse, quae Veteribus Parabola Polumi idem punctum quod vertex , lineam autem describentem inflatione prima eandem irae diameter, aut si anguli mobiles recti fuerint, quae axis , inter-mallum vero idem quod latus relaum sive recentioribus Paramcter ad eandem diametrum eundemve axem pertinens , atque escimti parallelas, eas, qua ordinatim ad diametrum Vel axem applicatae dicebantur; quarevi eadem nothina retinento. Coro arium LCum describentis escientisque intersectio quibuscunque stationibus in uno tantum puncto fiat, manifestum est,describentem in quacunque
193쪽
est , rectas nancSiliantetro aequi distantes , in uno tantum puncto Parabolae occurrere.
Cumque continuo describentis a Polo re
cessu major majorque semper fiat angulus quem crus esciens constituit ad lineam escientem insta
BL manifestum est , quamlibet reditati a Polo ad quodlibet curvae punctum ductam , ut eX. gr. a BG, totam intra Parabolam, pi oductam autem, uti ad R extra Parabolam cadere.
Coro arium Constat praeterea angulum G ta in- detini te quidem diminui, omnique proposito angulo rectilineo minorem reddi posse sed crus tamen 6 Pi κ nam: nqtram cum describentem Κ coincidere multo miniis ipsam transire ad laoc enim necessum foret, ut crus patiem
194쪽
'erzθpri' Bhq directricia foret paralleluin aut certe ut caderet infra eam, quae a Polo directrici equidistans ducta esset , quod plane lin- possibile est, cum directricem semper secet. Creoliarium . Ideoque apparet, rectas omnes, quae Parabolae axem vel diametrum secant, productas tandem Parabola occurrere. Secet enim recta ΚX diametrum B ΚM, accius e sciens BG, in ea statione constitutum , ut i G angulus minor sit dato angulo'juxta Cor. 1ΚG at vero Parabolam in puncto G Qusniam igitur re ita princedens. ne G occurrit, aut eidem occurret inter Bin G, quo ca-3 per Cρrol. 2su ipsa producta etiam curvae BG occursura est aut eidem in
β'r' ipso G puncto occurret, quo casuvi simul Parabolae ibidem occurret, aut denique ipsi BG occurret ad partea G productae, quo per Cor et utique casu prius Parabolae occurret Coro arium S. Manifestum quoque est, applicatas omnes, utrinque Parabola terminatas, ab axe aut diametro bifariam dividi. Ut si ducta sit per i u applicatam M , quoniam tam quadratum NM quam qua- dratum M O aequale est rectangulo D B M erunt quoque eadem quadrata inter se aequalia, ac proinde& recta NM, M O aequales. Corosiarium 6. Patet quoque praecedentis conversum, nempe non posse alias rectas praeter eas, quae sciem aequi distant, in Parabola ab axe sive diametro bifariam secari. Si enim ora, quae non sit atquidi-
stans ipsi A C, ab axe sive diametro B P bifariam divideretur in P, ductam, scienti A C parallel , quaeque proinde ab eodem νη Coro axe sive diametro bifariam quoque secabitur in reto P ad ut Mad MN ideoque ' ducta recta per &Q esset diametro parallela, ac Parabolae occurreret in duobus punctis N Q. quod fieri non potest
Itaque non sellii applicatae omnes a diametro bifarim dividuntur, sed 'uae a diametro bisecantur ad
195쪽
Ex temonsti .uis quove facile colligitur , applicata ruinquadrata ad se invi cem clites, sicut ad se invicem sunt diametti portiones inter verticem. applicatas interceptae. Ut, si applicatae sint Κ, M , crit qua hiι dratum rectae G Κ ad quadratum ipsius M , ut rectangulum D BAE ad c-ctangulum DBM, id est ut B ad perifexti. B M. Corollarium 8. Ex ipsa porro descriptione manifestum est, scientem iuJlatione prima , id est,
rectam , quae per Polam live verticem applicatis aequi distans
ducitur, ibidem Parabolam nec in alio praeterea puncto contingere , multis minus eandem icca-
196쪽
re Sumpto enini in curva praeter Polum B puncto utcunque, velati G, si crin esciens eidem applicetur, uti in positione B G, constituetur ab ipso Mesciente angulus, ut G DC atque adeo punctum G, utcunque sumptum, id est, tota Parabola, praeter Polum B, infra icientem ASG cadet. Coroilarium Constat quoque ex antedictis, non posse aliam rectam praeterescientem Parabolam in Polo seu vertice contingere. Quoniam enim alia quaevis recta per B ducta CX. gr. PM , angulum constituit cum sciente AC, ut I BC, si a Polo ad directricem ducatur
recta B H, ita ut eidem angulo KR aequalis sit angulus D B H, ac per punctuna Hagatur recta diametro parallela, ut HG erit ea ipsa describens, d HBR angulus mobilis, utpote aequalis angula mobili Di vero crus esciens ac proinde piarum H G, B R intersectio G in Parabola. Quare cum recta P non in puncto B solummodo, sed Miniuncto G Parabolae occurrat, ac tota BG recha y intra curvam cadat, non continget recta PRParabolam, sed eandem secabit.
Itaque omnes rectae in Parabola ducta quae contin-gcnti in vertice aequi disi ant, ordinatim ad diametrum applicantur sive a cadem diametro bifariam dividuntur; S contra, quae cuilibet rectae, a diametro bifariam divisae, per verticem equidistans ducitur, Parabolam
in vertice contingit. Corosiarium 1 α EY dictis quoque obvium est, quo pacto data positione Paratabolae diametro ejusque Vertice, latere recto, nec non angulo,
quem ordinatim applicata faciunt ad eandem diametrum, ipsa Parabola in plano describatur. Si enim describendae Parabolae diameter sit ΒΚ, vertexi, latus rectum ad eandem diametrum pertinens BD, quod quidem ipsi diametro in directum sit possitum, atque angulus quem faciunt ad dictam diametrum ordinatatim applicatae Aim vel CII oportet, ducta per D lateris recti
198쪽
Si per si impium utcunque in Parabola punctum
recta ducatur axi diametrove paralleli, crit quoque assumpitim punctum Parabolae vertex, ductaque farallela itidem diameter.
Si Parabola quaelibet in M, cujus axis diameterve Ai , latus rectu in ad eandem peltinens sitque per punetviai , in curva utcunque astri Di tum ducta rceta axi sive diametro AB parallelaci dic aisui raptuna quoque pune tum M veiticem , dicta ilici te diametrum esse, imo si, ducta sci ciccta SV, ita ut ab axe sive diametro AB extra Para Olam abscindat portionem A I aequaletia A B, quae inter verticem applicatam Mi intercipitur , productaque O M ad M. ita ut sit Κipsis Am et M QIM tertia proportionalis, siciente S V intervali vero viri Para Oola describatur dico hanc cuin exposita Parabola H AN eandem fore, ita ut altera alteri per omnia congruat , ac proinde non solum D diametrum , atque M verticem fore, sed & latus rectum esse ad dictam diametrum Mopertinens, ri V Parabolam in verticem contingere, omnesque ipsi parallelas in Pa abola ductas ab M O bifariam dividi, atque ad hanc ipsam G ordinatim applicari. Sit enua m exposita Parabolam A M assumptum praeterea aliud quodpiam punctum, ex. gr. H; sitque ab eodem ducta, Gad axem sive diametrum Assi ordinatim applicati, nec non Dipsi S V equidistans, quarum prior, si Opiis fuerit producta, rectae Κ occurrat in E posterior ver , itidem producta, ubi opus fuerit, praedictum axem sive diametrum Ai secet in D. Et apta .aei hujus paret . si quadratum rectae H inaequale sit rectangulo Κ MD, Parabolam cluae est iente SV, im errasso velo K describetur, per punctum quoquem transituram. Esse autem quadratum recta H O aec tale rectangulo M O multifariam id quidem. ni eo saltem iudicio , breviter simpliciterque satis in eum qui se-
ρὸν thua quitur modum demonstratur.
Quoniam est ' ut CA ad 11 B, ita MB ad Ba erit, duplia
200쪽
catis consequentibus, ut GA ad duplam I seu ad G Elis, ita preet; pri Mi adia, hoc est ita H G ad GD ac proinde ' contentum
ac siimilibus. quippepersupra emonstrata rectangulum H G tabis aequeste es remutuis ba G D. e in casi enim fig. I, si ab una parte ad bina quadrata rectarum H G GE addatur rectangulum H Grilis, compositum sit E H quadratum, per secundi ac si ab altera parte ad rectangulum sub Caic G addatur rectangulum sub ad GD, fit, per I secundi, rect-gulum sub C A aD seu G. Eodem modo, si in casibus fig. II MIII ab una parte a biniscuadrati reetarum H Gi Gri auferatur rectangulum H a bis , residuum erit, pero secundi, E H quadratum ac si ab altera parte a rectangulo sub C A JG auferatur rectangulum sub x G D residuum erit, per i secundi, rectangulum sub QA: ID seu M O
Ideoque cum sit ut B M quadratum ad MLquadratum , sive iret,ἡ AB rectangulum adrectangulum sub KMMAn hoc est': hi A in , assumpta communi altitudinem , ut prae, dictum rectangulum sub C A ad ΚM O rectangulum, ita M H quadratum ad H quadratum; sitque rectangulum
M , ut jam ostensum est , aequale quadrato EM:
erit quoque rectangulum NM O quadrato Ho aequale. per O Unde cum punctum H, ubicunque id in exposita Parabola H assumptum fuerit, semper quoque sit in Parabola, quae es-
qui ciente S V, intervallo vero ri describitur sequitur alteram alteri per omnia congruere, ideoque hanc cum illa eandem esis cita ut constet veritas eorum, quae proponebantur.
Coromum Ex antedictis manifestum est, quod ductis in Parabola binis quibuslibet rectis sibi invicem aequidistantibus , quae utramque bifariam dividit recta linea illius diameter existat Ouippe quae per medium aequid istantium unius diameter ducetur 1 ve haec sit ipsa diameter ex generatione , sive eidem parallela per medium