장음표시 사용
211쪽
ae cli ite, Alcia ita C lixta ea, quae ρ demonstrata sunt, prin thun C in si in Hyperbola. Et Lauic in resce ipsi Naequalis, hoc est data distantia, O latinor. Quared perpendicula lis puncto ad Asyn-ptoton F K ducta, id ei, distantiam1 pei bolae a praedicta Asymptoto, ibidein data distantiam O multis minor erit. Coro arium 2. Atque ita sin aut apparet rectas omnes, ouae ducta ex quoliber punctio intra angulum, qui ad verticem cit ei, qui Hypcrbolam
continet, per c trum transeunt, vel Asymptoto tu in alterutra nisecant, Hyperbolae tandem Occarcere, productasque candent,
212쪽
in uno tantum puncto, secareri quandoquidem hae pioducta ab utraque Asyniptoto magis magisque semper abscedunt. Corolgarium . Constat praeterea, sicientem in quacunque statione, id est, res' a omnes Asymptoto parallelas similiter Hyperbolae S quidem in uno tantum puncto, occurrere, productasque illam ibidem secare Impossibile enim est, ut describens atque efficiens ulla statione sese in pluribus punctis intersecent. THEO REM IV.
Propositio . Recta linea, sive per bina quaelibet in Hyperbola
puncta transiens, sive eidem ita occurrens, ut producta utrinque extra Hyperbolam cadat, utrique Asymptoto, intra angulum, qui curvam continet, occurrit. Sint in Hyperbola BCD, cujus Asymptoti AE , H AF, ductae G
transiens per bina curvae puncta in
dem occurrens in C, ita ut producta versus L utrinque extra Hyperbolam
nim si non accideret,eadem FB CG
213쪽
Asyniptotorum alterutri parallela es)t, aut si vel huic vel illi Asynaptoto extra angululat EA Occurreret, ex puncto intra ansulum M H ad verticem ei qui Hyperbolam continet ducta hane vel illam Asymptoton secaret id co lues curva in uno tan- V1ctatum puncto non vero in duobus occurreret, ac producta candem Cer 3 vi secaret, non autem utrinque extra Hyperbolam caderet, contra
id quod ponitur. Ac proinde constat propositum. Tityo REM A V.
Assumptis , vel in una eademque , vel in oppositis Hyperbolis, duobus utcunque punctis, ductisque per eadem sive una rccta sive duabus, sibi mutuo parallelis: crunt rectangula sub ductae vel ductarum partibus, Hyperbola S Asymptoto utrinque interceptis, sibi invicem aequalia. Sint vel in eadem, vel in oppositis Hyperbolis B pCD cujus AsIm
ptoti AI, AT actumpta utcunque bina pun-Otam S C, ac per cadem ductae bina rectae BD , CP sibi inviceni parallelae Asymptotisque Occurrentes in punctis E, F, G H dico qui utique rectangulum EB F re occursus in
ctis, utrique Asymptoto ti. paraliciis alteraque symptoto terminatis, BI, BI, CK, C in erit propter rectan i 1αρ iacula I BL TC M aequalia, ut II ad KC, hoc est , ut EB
214쪽
Eodem modo ostendetur, si per bina puncta, ut BacD, una recta ducatur BD, quae utrique Asymptoto occurrat in punctis Ei F , rectangula Eli, FDE sibi
CoroLarium . In oppositis Hyperbolis, si parallelaruna altera per centrum transeat, ut GP in tertia figura, eadem demonstratione comprobatum erit, rectangula sub partibus quarumlibet rectarum , quae per Asymptotos ad utramque curvam ducuntur, singula a qualia est quadrato quidistantis a centro ad Hyperbolam ductae. Quare cum ex dictis appareat, si ducta per centrum recta utcunque veluti P in eadem figura, eidem ubivis alia recta quidistans ducatur BD, quae secet Asymptotos in Evii , rectangulum DB F vel iri quadrato G C itemque & GP quadrato aequale esse sequitur, ipsas quoque C mPesse sibi invicem aequales, hoc est, quamlibet rectam ad oppositas Hyperbolas
per centrum ductam, in eodem centro bifariam secari. Coronrium Constat quoque cujuslibet rectae, sive per unam eandemque, sive per oppositas Hyperbolas ductae, partes Hyperbola Ἀ- symptotis interceptas sibi invicem ess aequales. Ducta enim utcunque BD, quae Asymptotis occurrat in Eyperassu F, cum cx antedictis ii sit ad Di, ut DT ad B E erit quoque
;ωοῦ Φ si dividendo vel in oppositi Hyperbolis, componendo D. . , F, ut eadem se adii, id Qquem Lita ac proinde&zsmti B F. DE sibi invicem aequales erunt.
ρὸ 9 Coroyarium . Unde pariter constat, rectam , quae vel unius ejusdemque, vel
oppositarum Hyperbolarum , bina puncta conjungit, nullo alio sui
215쪽
sui puncto in Hyperbola esse. Si enim praeter D m aliud quoddam ipsius Di punctuin , ex gr. X, in Hyperbola solet, este por Coro . XI ipsi B E ac proinde S ipsi DI aequalis, pars toti, quod est
Coro arium . Facile autem apparet, conversum quoque propositionis verum esse nempe, si iisdem postis S rectangulis EB F, G CH aequalibus punctorum B M unum in Hyperbola sit, Malterum uoque fore in eadem vel opposita Hyperbola, cujus Asymptotiunt A E in F. Ex eo enim quod aequalia sint rectangula EB F G GH demonsitabitur aequalia quo que esse rectangula A IB Am C eaden mella odo , qua conversum supra ostensum iiiit. ideoque si punctum B sit in Hyperbola erit quoque ' punctunt Ea C in eadem aut in oppost Hym:rbola, cujus Asyniptoti sunt AI, - - F,in vice versa. De binis autem punctis in eadem linea, uti D, idem dictum esto imb4 dein erit in eadem linea, si dicta a r puncta
216쪽
puncta, ut B&D, aeqtialiter ab Asymptotis distent quandoquidem, iii, iis qtiales sunt, addita utrinque BD, vel in Oppositis Hyperbolis ipsa EF, ct Bi ipsi DI, ideoquevi rectangulum EBF rectangulo FD aequale erit Coromum .
. Apparet quoque, eam, quae ex centro quamlibet rectam, vel in una eademque, vel in oppositis Hyperbolis ductam, bifariam dividit, omnes quoque ipsi aequidistantes bifariam dividere. Ut, si ex centro A ducta A N O dividat bifariam rectam GP , cui ce-quidistans siti in cum, aequalibus Ni . Gadditis demptisve C: Cur aequalibus PH, G, aequales quoque sint NH, G, ideo-
Σ, .. . ex . . OE, erunt similiter, demptis rursum additis, eicis δεω aequalibu RE, Di, ipsa Ol quoque aequales. 'l Cρr Rus' odi autem rectria centro per Hyperbolam si ductα , interceptae diametri, seu diametri simplici
tu i centro inter oppositas Hyperbolasciuia
hi Aosi cuntur . secundae diametri parallelae vero per eas-
dem bifariam sectae G ordinatim ad diametros appli
cui PQD catae vocantur si applicatae ad angulos rcctos a diam xxδ V metris siccentur, eaedem diametri Hyperbolae axes appellantur. Quando autem secunda diameter ordin tim ad interceptam diametrum applicatis parallela est, altera alteri Cosugata dicitur.
Corollirium C. Ex praemissis colligitur, non posse alias rectas, qu in dictas parallelas seu ordinatim applicatas, a diametro bifariam secari. Si enim fieri possit, secetur a diametro A O bifariam praeter applicatas alia recta Asymptotis occurrens in S T; pero ordinatim applicata BOD, Asymptotis oc- per cys currens ua AEquales ergo erunt tam EO, M ouam
O , o . Aoniam vero ducta E V ipsi S pis
217쪽
aequi angula sunt triangula EO VAE FOM: erit ut L ad V , ita PO ad O S. Quare cum Eo ipsi FG sit aequalis, erit ipsi ori , hoc est , recta O T aequalis , pars toti, quod est absurdum. Non ergo bisariam secatur rectari diametro A O.
Coredarium . Atque hinc manifestum sit, libri, si vel in una eadem que clad oppositas Hyperbolas binae quaelibet rectae sibi invicem aequi-
distantes ductae sint quae utra inque bifariam dividit recta linea per centrum transeat scia diameter sit Quippe quae per medium unius a cluidistantium diameter ducetur, per medium quoque alterius aequidistantium transibit Unde apparet, quo pacto datae C Hyperbolae vel oppostarum Hyperbolarum diametros quotli roLI UM bet, simulque ordinatim applicatas ad easdem , nec non S centrum , utpote quod binarum pluriumve dia: ne trorum communis inrctfectio est, reperire liceat. Aa 3 THEO-
218쪽
is ELEM. CuRVARUM THEOREM VI Propositiois. Recta per quodlibet Hyperbolae punistum ad utramque Asymptoton ducta , quae in eodem puncto bifariam dividitur, curvam ibidem contingit; contra, contingens ad utramque Asymptoton producta inpuncto contactus bifariam divisa est.
Sit per punctum C in Hyperbola B CD, cujus Asymptoti AE, F, ducta recta utrinque Asymptotis terminata, quae in eodem puncto, bifariam dividatur. Dico rectam GH curvam contingere in Q Secet enim, si fieri potest, recta GH Hy- et 2Cor perbolam in C I eritque ' Hrectae C G, ideoque Mipsi γ' GH aequalis quod est absurdum. Non secat ergo GH Hyperbolam, sed eandem contingit. Dico porro conversim, si GH in puncto C Hyperbolam contingat, eandem quoque in C bifariam dividi. Hoc enim si non sit, sumatur in C H majori parte ipsa HI aequalis GC. Hinc cum punctum C sit in Hyperbola erit quo- Cor que ' punctum I in Hyperbola, totaque C I i intra curvam ca-
e. Vt, i coque ipsa G H Hyperbolam non continget, sed eandem, his iis, in punctis C es secabit, contra id quod ponebatur. Non ergo GC ipsi minaequalis est. Ideoc e casu utroque constat pro
Coroliarium . Manifestum itaque est ex antedictis, singula rectangula, quae comprehenduntur sub partibus cujuslibet rectae contingenti paralleloe, inter Hyperbolam in symptotos interceptis , esse aetaqualia dimidiae tangentis quadrato. Ut si tangenti G GH aequi distans utcunque ductis BD, Asymptotis occuriens in Evi Fi
219쪽
Coreltarium 2. Patet porro , rectam , quae per diametri terminum ducitur quidulans ei, quae in VI perbola ab eadem diametro bifariam secatur, id est, ordinatim applicatis parallela I lyperbolam in dicto termino contingere. Ut, ii ad diametrum A N ordinatim applicata sit B D, quae producti Asymptotis occurrat in Ed F, ac per diametri terminum
C ducta sit recta, GH, ipsi mi aequi distans,
Hinc liquet, non solum omnes rectas in Hyperbola, contingenti parallelas , a diametro per tactum ducta bifariam secari, ideoque ad eam Oidinatim applicatas etles, sed ion posse plures rectas in uno eodemque puncto Hyperbolam contingere. Ut, si contingenti parallela si BD , Asymptotis occurrens in E F, ducia per tactum C diametro A C , quae ductarii occurrat in quoniam ' aequales sunt, nec ion E N . p. 6 hu-N erunt i loque demptis aequalibus in B, DI, i , NDI Maequales ideoque Mad dictam diametrum A ordinatim applicatae. At ero non posse aliam rectam praeter Gm Hyperbo i xti.
lam in puncto C contingere, patet quandoquidem S omnes ipsi V V ae iii liliantes in Hyperbola ductae , quaeque aliae essent quam Q a praedictae applicatae , bifariam quoque per eandem diametrun emolir dividerentur . quod scri non posse superius ' ostensum est, ' Leis ι
220쪽
1 9 ELEM. Cur VARUMCaeterum monendum la1c, ut diametrorum quoquς magnitudo determinetur, eam, quae a quocunquQ
terminatur, ideoque interceptae inter centrum, Curvam dupla est ut C AP, vel Hyperbolae, vel oppositarum Hyperbolarum transversam diametrum eamque, quae in ipsius termi
gens utrinque symptotis termin
tur, aut quae ipsi per centrum aequalisi parallela ducitur, ut G GH, secundam diametrum transversae conjugatam at vero illam, quae ipsis PG, GH, transveris nempe secundaeque diametro tertia est proportionalis, ut CD, rectilinlatus sive Parametrum dici. THEO REM A VILPropositio . Quae per terminiim transversae cujuslibet diametri recta ducitur, contingenti in Vertice parallela, oppositam Hyperbolam contingit, 'uae ad secundam diametrum, assumptae Cuicunque diametro con)ugatana, ordinatim applicatur, eidem assumptae diametro aequi distat usit