장음표시 사용
221쪽
Sit Hyperbolae, vel oppositatum Hrpei bolarum C, HE, ouarum Asymptoti BG, D F, diameter transversa utcunque as- sun pta C L, perque ejus terininum Educta recta FT G parallela ipsi BD, quae curva ira in Vertice C contingit, ita ut haec at
que illa Asymptotis occurrant in punctis B, uici, G dico praedictam quo lucra L oppositam Hrperbolam contingere in E; si per centrum A ducatur secunda diam cier A diametro C E conjugata , ordinatim ad eandem applicatas ipsi GL diametro aequi distare. Quoniam enim est tam AE p. 'pri-
Cin aequales, erit quoque tam EG ipsi CB quam EF ipsi
CD, ac proinde S EG ipsi EF eri aequalis Unde recta FG op Πτό sis positam Hyperbolam H E continget in puncto L. Quod primo sus. loco propositum fuit. Porro si per Ge D ducatur recta GD, secans secundam diametrum AK in M, oppositisque Hyperbolis occurrens in H I, cum aequales S parallela sint LG, D, erunt S qua ipsas conjungunt C E parallelae Z aequales. per 33 r. Ideoque cum secunda diameter contingentibus B D, b G, id est' ordinatim ad diametrum C E applicatis a quidistans sit, ut 10. pote ex Hypothesi ipsi CE conjugataci erunt quociues rectae per Dpm-
GK EA . ut de KD, AC, ideoque Z GK, Da quale . ' ic, Quibus si addantur, cluales H. Da erunt similiter rectae 'Κ H, I sibi invicem aequales. Quocirca cum D ad secundam 'per 2Cer diametrum AK applicata sit recta a, etiam caetera omnes ad J eandem applicatae P eidem H I ac proinde diametro C E ae s sinu . quidistabunt. Quod secundo loco propositu ui erat. perso si
222쪽
Proposito . Datis quibuscunque diametris conjugatis, Hyper
bolae axes con)ugatos invenire. Sint datae diametri conjugatae DC, G H, oporteatque invenire conjugatos axes ejus Hyperbolae, cujus eaedem FG, GH conjugata diametri existunt. Ductis ab A centro per G M Asymptotis A G. H ductaque a C ad eorum alterutram recta C B alteri aequidistante, sumatur inter AB AEC inedia proportionalis D. Dein ducta DE ipsi AD aequali atque Asymptoto AO parallela erit E A D, transiens per Eari ac ipsiqsEAdupla, transversus axis qui quaeritur, atque Iam ad eandem perpendicularis, ac utrinque Asymptotis termia nata , axis secundus priori conjugatus. Quoniam enim punctum ' in Hyperbola est, rectangulumque
ADt ipsi ABC aequat erit quoque punctum Eo in Hyperbola. Porro cum propter rectas in D E aequales' aequalis quoque sit D AE angulus ipsi DEA, id est GAE A angulo, sintque tanguli AII, AE ex constructione aequales erunt i triangula A EI, AT quiangula, atque ob latus Assi commune 7 etiam aequalia latusque I E lateri Eri aequale. Unde cum punctum E ' in Hyperbola existat, dividatque bifariam rectam Ix, utrinque Asymptoti terminatam, continget ipsa I ' curvam in E ideoque, propter angulos DEI, FI rectos, conjugati axes erunt PE, IK.
223쪽
L I P. II. THEO REM A VIII. Propositiois. Quaelibet contingentes ab angulo Hyperbolae Asymptotis comῖrehenso aequalia abscindunt triangula,
de rectangula sub eorundem triangulorum lateribus comprehetua inVicem quoque aequalia sunt, a praeterea maiora eorundem latera a contingentibus, ipsaeque bases seu contingentes Asymptotis terminatae, in
mutuo occursu , nec non ipsarum parte curvam contingentes inter occursum es Asymptotos inter)ectae, in punctis contactus, in eadem ratione secantur. Hyperbolam Ε, cujus Asymptoti AG, Ac rectae G H.
I utrinque Asymptotis terminatae , ac sibi mutuo iam occurrentes, contingant in punctis C ME: dico tam rectangula ovaiii
triangula G A H, IKΚ aequalia esse ac praeterea esse Ga ad Ira, sicut Κ H ad F itemque G R ad R H, sicut DR ad Ra necnon G C ad CR, sicut, ad ER. Ductis enim a punctis contactus CS: Erectis C B, ED Asymptotorum alterutri ut A H, parallelis , cum sit ut G ad GH, ita GB ad GA, de BC ad ΛΗ sitque GH ipsius GC dupla': per stir
ipsius quam Amipsius B C dupla , ideoque rectangulum 3 per o G AH rectanguli GBCItati. sive ABC quadruplum. Eodem modo rectangulum rectanguli in cluadrupluin ostendetur. Hinc cum aequalia sint rectangula AS erunt quoque eorum quadrupla nimirum re- ρὸν ἔκ-ctangula G AM HA K aequalia. Quod est prini uni. unde cuni sit ut G ad ΛΚ, ita lxad AII, triangula quin per icv i quem it.
224쪽
etue G AM, IAM aequalia erunt , utpote habentia latera circa communem angulum, reciproca. Aod est secundum. Ac cum permutando
quoque sit GA ad Iri,ut Acad AH r erit, dividendo G I ad IA ut ΚHadHA. Quod est
Porro cum ab aequalibus triangulis G A H, I A ablato communi quadrilatero II H A, residua, nempe triangula GRI&KRH quoque aequalia remaneant, erunt ' eorun
dem latera circa aequalem angulum ada reciproca, id est, erita adum , ut DR ad RI. Quod est quartum. Unde cum componendo quoque sit GH ad I H, ut ΚΙ ad RI, aut sumptis antecedentium dimidiis, GH ad HI , ut ΕΙ ad IR crit per conversionem rationis H sive G C ad GR ut E ive I ad E R. Quod est quintum. Atque ita demonstrata sunt ea, quae proponebantur.
THEO REM A X. Propositio O. Ducta quacunque in Hyperbola diametro , erit ut quadratum secundae ad quadratum transverta diametri, sive ut parameter ad transversam diametrum , ita quadratum cujuslibet ordinatim applicata ad rectan gulum sub fusdem diametri partibus, utroque trans . versa termino applicata interceptis, comprehensum.
Si in Hyperbola B CD, cujus Asymptoti AE AF, ducta
diameter utcunque P N, cujus secunda diameter transversae DC conjugata sit . H, parameter vero CI, ipsis nempe P C, GH tertia proportionalis, fit ordinatim ad dictam diametrum
225쪽
applicata quaelibet D dico esse ut G H quadratum ad Cl quadratum, alit, quod idem est ut recta P ad rectam Cicita quadratum D N a P reet angulum. Produci enim applicatam N utrinque per Hyperbolam ad Asymptotos, ut Ei Di, cum sit quadratum ad bd quaeritum, id est odii rectangulum, ut a quadratum ad in quadratum
erit dividendo DN quadratum ad Gquadratiani, ut PNC rectangulum ad A quadratum , permutando D quadratum ad PNC rectangulum, ut HC quadratum ad C A quadratum, sive ut GH quadratum ad CP quadratum, aut, quod idem est, ut IC
Coro tirium I. Hinc colligitur, quo pacto data cuiuslibet Hyperbolae, ut B GD, Asymptoti inveniantur. Quippe inventis centro A, diametro quacunque A , Der quae curvam secet in C, I ordinat ilia ad eande in applicata B, si producta in ad P, ut AP ipsi Ac iit aequalis,duciaque per Ciecta C Ca applicata B, parallela, in eadem notentur puncta HI G, ita ut siti rectangulum ad B, cluadratum,sicut A C quadratum ad quadratum abs CG seu CH erunt, quae ex A centro
per in P ducuntur recta AGIE AH F, Asimptoti qu
Ex demonstratis Patet, si perici I transversae diametri para- metrique terminos ducatur recta P IK, occurrens cuilibet appli- Bbo catae,
226쪽
catae, ut D, productae, si opus suerit, in Κ rectangulum NKquadrato applicatae P. D N aequale esse. Quoniam enim est ut PC ad C I, sive
communi altitudine ut m C re-etangulum ad C NΚrectangulum , ita idem P, C rectangulum ad D N quadratum , erit ' rectangulum C AEquadrato applicatae D N aequale, id est,
si veterum Geometrarum more id proponi placeat:
Quae ab Hyperbola ad diametrum ordinatim applicatur, potest spatium adjacens lateri recto, latitudinem habens lineam, quae a diametro abscinditur inter ipsam applicatam, diametri verticem interjectam, excedensque figura simili similiterque posita ei, quae
lateribus transverse rectoque Continetur. Corollirium . Manifestum quoque est ex demonstratis, in Hyperbola applicatarum quadrata ad se invicem esse, veluti rectangula sub interia ceptis diametri portionibus, ab utroque transversae termino suili-ptis ut, si applicatae sint L M, DN, erit ut quadratum LM ad
rectangulum P M C, ita quadratum D N ad rectangulum P C , h, ibsis *ms --xi0, quae est parametri ad trans Veisum b. diametrum .exitquζpropterea permutatim LM quadratum ad ιν, i quadi tum, ut ZM C rectangulum ad Z C rectandulum.
227쪽
Propositio II Si quaelibet contingens cuicunque Hyperbolae dia
metro occurrat , atque a puncto contactus recta ad eandem diametrum ordinatim applicetur, crit rectangulum sub diametri portionibus a centro per Contingentem applicatamque abscissis aequale semidiametri
trans ersae quadrato. Quamcunque Hyperbolam Κ C, cujus As)mptoti AD AT, contingat in puncto Quicunque sumpto recta DC F, Asymptotis occurrens in E diametro autem Am utcunque ductae
in P, a periunditam contactus C ad eandem diametrum orditiatim applicata sit GH, quae producta Asymptoto occurrat in M. Dico rectangulum H A aequale fore quadrato semidiametriti A sive, quod idem est continues peror proportionales esse H AKA,&IA.
Ductis nimirum applicatae GH , . Lcontingentia parallelis notatoque intersectionis puncto R, cum iit in ad CF, ut RK ad KD, hoc est ad Mi x boco . ut Licidio erit quoque ad Gi, ut L E ad ED. Quata si ii 'ore cum portis si FG ad GH, ut Di erit ' ex aequo is, MG ad A. id est Lm X ad ΚΑ, ut L E ad Ela, hoc est' ut ei comρος ad I componendo H A ad c , ut K A ad I A.D 'Quod demonstrandum erat. M'
228쪽
boles diametro occurrat, atque a puncto contactus recta ad eandem diametrum ordinatim applicetur , rit rectangulum sub secundae diametri portionibus, a Centro per contingentem applicatamque abscissis, aequale semi-secundae diametri quadrato.Quaincula lue Hypcrbolam Κ C, cujus Asyniptoti F,
contingat in puncto C, utcunque su napto, recta FCQ, Occurrens secundae diametro AB, utcunque ductae in Q dico, si ex Cad eandem diame-δ trum i ordinatim applicetur recta C B in exin eidem aequidistans ducatur AKH, secans contingentem ina, Hyperbolaeque
Occurrens in Κ, atque per Κ recta agatur m G ipsi
ΑΒ parallela, ita ut AK H diameter sit secundae diametro AB conjuga ta, ac semi- secundae
diametri magnitudine sint G, KD, ore rectangulum B AQsequale ipsius, G vel M semi- secundae diametri quadrato. Ducta enim per C recta TV secundae diametro A B parallela ideoque ad interceptam diametrum ΝΚ H ordinatim appli, e. cata, hi, Hyperbol occurrat in diametroque A H in H Ἀ-diosaeti symptoto vero A in Quoniam est ' H A quadratum ad
229쪽
seu ad TM rectangulum, ut Hi seu Ct ad IA, id est ut 'eri Cor. Bra ad A Q erit dividendo quadratum leui A quadra si 'I tum ad K quadratum, ut B A ad Q. Ac propterea A, , ' ΚG S AQ proportionales erunt, rectangulum quem A a qua Graiii. dratori aequale Quod demonstrandum erat. corollarium ad duas propositiones praecedentes. exit. Ex dictis facilliine colligitur, quo pacto a dato quolibet puncto ducenda sit recta, quae datam Hyperbolam contingat. Si enim datum punctum in ipsa curva sit, veluti Κ, inventis Α- synal
dia ipsi KD aequali, cst per exti. Lodem modo, sit datum punctum sit in Asymptotorum alterutra, veluti G, divisa AG bifariam in P, ductaque P Κ alteri Ashmptoto parallela, quae curvae occurrat ' in continget uncta per 2Cιr.
Hyperbolam in puncto occursus K. l.
Sit deinde datum punctum intra angulum Asymptotis compxe sit , ct cliensium, veluti I ducta a centro per I diametro, ut APH, quae curvae occurrat in K, sumptaque A H ipsis AI AN tertia propor tionali, si per H agatur ordinatim applicata nimirum , quae contingenti incaequid iste '' , occurrcns curva in C, contii Sc 'It
juncta IC ' Hyperbolam in eodem C puncto. E,
Sit denique datum punctum in alterutro angulorum, qui dein hubui. ceps sunt, angulo Hyperbolam continenti, veluti in ducta per Q centrum A secunda diametro B, transvers clue ipsi conjugata ANH nimirum, quae producta quamlibet rectam in Hesperbola ductam ipsi AB aequid litantem bifariam dividat , nec non tangente K vel QD, Asymptoto terminata; si ita quadrato ΚG vel Daquale rectangulum QAB, ac per B ad secundam diametrum H applicetur recta BC. nenape ipsi AK aequidi- stan quae curvae occurrat in C: juncta Q in eodem Pun-i prer his.cto C Hyperbolam continSet. Manifestum porris est, si datum punctum vel intra Hyperbo- Iani foret, vel intra angulum ad verticem ei, qui Hyperbolam continet seri non possc ut ab eodem puncto ducatur Iccta, Iuxta icuae producta eandent non sccc t. r.
230쪽
I quodlibet trianguli rectanguli latus, sive id rectum
in angulum subtendat, sive acutorum alterutri oppositum sit, in eodem angulo moveatur , ita ut uterque moti lateris terminus semper existat, maneatque in latere, cui ab initio junctus fuit, producto tamen sive ab altera sive ab utraque parte, prout opus fuerit idemque ille motus tam per angulo s. qui praefato deinceps
sunt, quam per eum, qui ipsi ad verticem est , ordine continuetur , donec ad positionem situmque pristinum latus motum redierit, atque ita quolibet puncto quod in eodem, utcunque etiam producto, notare placuerit, curva describatur linea , praedictum mobile latus Describentis Lineae nomine designabitur.
Punctum autem quod in eodem ad descriptionem notare placuerit, Punctum sciem, aut Punctum simpliciter vocabitur. III.
Distantia vero ejusdem puncti tam ab uno quam ab
altero describentis termino MIervasium dicetur.
Cum de angulo simpliciter sermo erit, cum intelli gemus, quem subtendit . in quo movetur describens.
Anguli vertex, quzm scribens continuato motu quasi circumambulat, contrum appellabitur.