장음표시 사용
241쪽
Y F rectangulum ut ' idem G Q l rectan gulum ad I qua ' in dratum, e Malia erunt rectangulum QR in quadra- ', tum id eli ii veterum Geometrarum more id proponi placeat qui, ti.
Quae ab Ellipsi diametrii in applicatur potest spa
tium adiacens lateri recto latitudinem liabens lineam quae a diametro intercipiam applicatam S diametri verticem abscinditur , deficiensque figura simili limiliterque polita ci quae latcribus transveri rectoque
Coro arium T. Patet quoque cx antedictis, quo pacto, datis quibuslibet diametris conjugatis, Ellipsis in plano describatur. Ut si coniugatis axibus D AEa 4 AG Ellipsis sit destri a x obenda describente B C, quae scini axium AD, A s disterentia sit, id sis intervallu vero H C, Hl, ipsis A F. D utroque utrique aequalibus, in angulo D A G, curva describatur, crit lite haec ipsa Ellipsis
At si aliis quibuslibet conjugatis diametris , oblique ei intersecantibus, ut Di, Ellipsis sit describenda dem: ssa a ter bini cassi mino unius ad alacram perpendiculari, ut G sumptaque in eadem seu in ipsa producta, si opus fuerit, recta tam ipsi in vel AT aequali. per Ba in ducta recta BQ I , si describe item C, it terractu vero H C, Hi, in an illa: A C Elliptis describatur, c thaec ea ipsa quae quaeritur. Itaque cum datis diametro parat Eietroque , nec non angulo uena faciunt cum cadem iamctro ord malim ad ipsam applicatae, conjugatae quoque diametri datae surici simul quoque innotescit, quo pacto S 4 is datis Elliptis describatur.
THEO REM A XIII Propositio M. In Ellipsi circa quoscunque axes descripta, ducta liae libet diameter transversa est, habet lue secundam sibi con)ugax in D
242쪽
Sit in Ellipsi Saciet, cujus centrum A axes vero S X TZ, ducta quaelibet diameter DAE sic describens os in ca statione, uti fuit clim descriptum est punctum D vel E ita ut intervalla sint D v, DO. Deinde applicata eadem describente in statione reciproca, hoc est, in alterutro angulorum qui ipsi WA Odeinceps sunt, veluti P R, ita ut rectae KR, AP ipsiis AM, A reciproce sint aequales , nimirum KR ipsi AD, in P ipsi AM, Irr leti ac proinde triangulum similes aequale triangulo P AI, ab Ellipseos puncto H, quod describenti P R in directum est, ducta sit diameter altera H A G. Dico diametrum D Etransversam csse, H G autem secundam ipsi D conjugatam id est, si dueta HV ad Di perpendiculari, in eadem H C, producta, si opus fuerit, sumatur H B ipsi A aequalis ductaque per B in rectamini, in angulo Bin C, intervallis vero H C, Hi Ellipsis describatur, cujus utique conjugatae diametri sunt in Di '
cbrii j--ltcra alteri per Omnia congruat.
Assumpto enim in exposta Ellipsi alio quepiam puncto Lquod quidem descriptum sit describente in statione T V diame'
utrum eum puncto A coincidit, ut est casus in Q. VI. 3 per eonversum a imiti
244쪽
a. I ELEM. CuRVA Ru MO A si e recta AR, basiis B, angillusque D O A , id est P IRA, *7 pN angulo Hii ae quali. ac propterea' recta Pi ipsi R A paralles. Hinc cum triangulorum R AI4 BI A latera Ra, AI lateribus I, P A circa aequales angulos, nempe rectos, utrumque ρέη prse utrique sint aequalia erit basiis Ambas P R, seu describenti a V angulusque Acis angulo Pio aequalis. Socirca circulus diametro AB descriptus qui quidem , ob angulos 'Pi rectos acini P. R P aequales , per puncta C, transit circulo TKV aequalis erit. Undecuman-gusi' B C, B P R ipsis Tri , Κ T V, uterque utrique, aequa les sint, nempe BC ipsi K M i, quoniam uterque cum angulo P AC seu TAM binos rectos constituit BP ipsit
pro casu fig. II adde i eoque traiinti ipsis deinceps sint. s per 22 terti e in casting. I uterque angulo P A C cu a b aequalis est per zo tertii. In casti fi III utemue Cum angulo PAC binos rectos constituit, nempe hic per 3ppimi in ille . b, casi fig. I aequales sinat anguli PQ quoniam prior eum in Ar posterior vero cuia angulo qui quidem Pa C, T in aequales sint per 31 tertii binos rectos constituit per 22 ei tu In casti fig. V. sive Tam aequalis est anetulo PB Votitinerque cum angulo A duos rectos onstituit 1ὸ i,
st x ς ζ V per 32 tertii, quorum quidem prior cum annulo PB Coo-
245쪽
pe latera P B lictis aequalibus angulis adjacentia inter se ualia' apparet icut rectae R productae concurrunt, In cassi in id, ita tuo Que recta K producias, S clii idem , cum athi pii M a qualis sit Tm, in ipso puncto L concursura, quippe 'ex antedictis ' similia atque in totum aequalia sunt trianstula 'um PM , UTI, adeoque de latus ML later BD aequale Di auo K V, 'tem subtensim M subicias a B C aequalis G ob aequales an p
tum T RV, aequales iunt iubieniae P, T ob angulos PAB TM K aequales per Dis er 26 p imi octa9 tertii. In casu g. III K l ipsi BC est otialis . litando quidem angulus qui consister intcgmento K N aequi seu B Ac di st32 torti in casu fia. l K M ipsi B C est aequalis. -lus QT M aeuualis est angulo K AC eu B A 3 tmii. In casu g. NI et aequalis, quanclo quidem angulus in segmento BC aequilis foret angulo utpote cum tam laesi, iam ille eum angulo C A B duos rectos constituere p. ia prirna cra retra.
pilos in M, A C. Quocirca LM ipsi H C aequalis erit. Unde cum describens sit QM , utpote ipsi B C aequalis, ac constituta in angulo K A qui cum ipso B Ac vel idem , et ei ad iis in easu verticem vel denique ipsi deinceps est aut certe cum al-iig VI terutro Turum coincidens at tu ex denion stratis aec ualia , hquoque sint inter aliam B, H intervallis L Κ, LM: se caui M.tur punctum L, in exposita Ellipsi utcunque sumptum, id est ' totam Ellipsin a XV, esse in Ellipsi, quae in angulo B A G, in u in eatervallisti m C describitur , ideoque alterani alteri peri
246쪽
13hu' omnia congruere. Sunt alitem hujus conjugata diametri E, V V ' H G Quare Millius, quae cum ipsa eadem est, conjugat di 'nietri erunt, nimirum D E transversa, m G secunda. Quod
Coro arium . Hinc colligitur non solum Ellipses omnes suos habere axes sed riuo pacto datis quibuslibet diametris conjugatis, ejus Ellipseos cujus diametri sunt axes inveniantur. Ut si cujuscunque Ellipseos conjugatae diametri sint Dii H A G, ducta H B , semidiametro D A vel Assi aequali atque ad D E perpendiculari, unctaque Bin ac ipsa bifariam iam divisa, si centro intervallo in vel B circulus describatur, secans rectam per H MN ductam in P erunt rectae H P, H RGemi- axes magnitudine, quae idcirco utrinque a centro A versiis aut per puncta R aequali longitudine in directum positae, sicut totae S in V, exhibebunt magnitudine ac positione quaesitos axes ejusdem Ellipseos, cujus D AT M AG conjugatae diametri existunt.
Ducta enim Pl , sumptaque A O ipsi A R, ideoque ductae Pi aequali agaturi occurrens ipsi S X in W. Cum itaque ob angulum ACB rectum descriptus circulus etiam per transeat L erunt anguli PB Het O AD aequales, quoniam uter
247쪽
ura, utruntque utrique, . quidem circa ae uales diri rii l. . 'PACm
OM P R eius Ellipseos, cujus axes sunt LX, V, 5 quidetu
in statione reciproca constitutae, puncta uecticientia D&
nifestum est ex superiori deinonstratione Ellipsin, quae axibus
Atque ita, quae de Ellipsi, circa quoscunque axes de- ripta , superiori Theoremate proposita ac demonstrata sunt, etiam cuilibet Ellipsi. circa qu.lscunque diametros con ugatas descriptae, convelair: manife
248쪽
Coronrium 2. Sequitur porro ex demonstratione ejusden Theorematis , in Ellipsi diametros omnes a centro bifariam secari demonstratum enim est, in diametro DI, utcunque ducta partem A E partis A equalem esse, cum utraque intervallo Ha aequalis sit.
Patet insuper in Ellipsi, quarumcunque diametrorum conjugatarum transversam etiam secundam esse, contra. Ut, si conjugatarum diametrorum D E, Hatransversa sit DT, S: Hase per i ha cuiada cum in Ellipsi ducta quaelibet diameter transversa sit, j Τ6 habeatque secundam sibi conjugatam, erit quoque H G trans s versa. At vero M E secundam esse ipsi H G conjugatam, facta collatione figurae I cum II transpositi tantum liberis, ac mutatatis mutandis demonstratum simul apparebit. Groliarium . Quare riuae per terminum transversa diametri sircundae quidigans seu ordinatim applicatis parallela ducitur Ellipsin in eodem termino in nullo praeterea puncto contingit, totaque per 2Cρr extra Ellipsin cadit L
249쪽
Caro Arium S. Adeoque quaelibet recta, a quovis cui Vae puncto ad quairacunque Ellipseos diani et rumordinat in applicata, tota intra Ellipsit cadit utpote cum ea nec in totum extra Ellipsin cadere , nec ἡ eidem in pluribus quam duobus punctis occurrere ' possit praeceden .
THEO REM P XIV. y - Propositio II. Quae bina quaelibe Ellipseos puncta coim ungens re ista linea bifariam a diametro dividitur, crit aut per centrum ducta , aut ad candem diametrum ordinatim applicata, hoc cli, con)ugatae diametro aequi distans. Si enim in Ellipsi A B GD , cujus
centrum M a diametro A K Clii a riam divideretur recta E quae que per centrum transeat neclue conjugata diametro B D a quid istans sit applicata ordinatim L, II, ductaque per centrum recta KL: Quoniam csset, ut G H ad H E , ita tam Iad IF , quam GK ad KL', C-3 per Cor. di peri a nec non per Ed a dii cia ore una inca rcet a diametroque : .i is , A parallela ideoque ad alteram ρ jexii ipsi si iugatam, nempe ad BD, ordi natim applicata ' atque Ellipsi intri-ώρ ν 3 γ
punctis occurreret; quod sieri non Coro posse supra ostensum si
Ideoque si diameter rectam cluamlibet in Ellipsi non per centrum ductam bifariam dividat, omnes quo luc ipsi cistae luidi fiantes bitaliam secabit . ct
250쪽
ir ta Corollariam 2. Quocirca si in Ellipsi binae quaelibet rectae sibi invicem aequi- distantes ducta sint, quae utramque bifariam dividet recta linea per illius centrum transibit, seu ejusdem diameter existet. Quippe quae per medium unius aequid istantium diameter ducetur per per i Cor medium quoque alterius quidistantium transibit Unde appa- f Τ quo pacto data Ellipseos diametros quotlibet, simulque ad
easdem ordinatim applicatas, nec non ejus centrum , utpote quod duarum pluriumve diametrorum communis intersectio est, per i Or ideoque diametros conjugatas, axesque ' invenire liceat.
v 'a', apparet, quamlibet rectam, quae bina quaecun- ρὸ=sC,8 que Ellipseo puncta conjungit, totam intra Ellipsin cadere I hujus utpote cum ipsa' vel diametersit, vel ordinatim applicata ad eam i, et diametrum, quae per ipsiu3 medium etentrum ducitur.
Propositio 16. In data quacunque Ellipsi ductae cuilibet diametro
alteram conjugatam invenire. In data Ellipsi LYX ductae utcunque diametro Assi altera conjugata V invenienda sit. Inventis axibus S A X YAZ, atque a termino D vel ad axium al
applicata re-- cta , ut D O, semi-axi alteri
S A aequali, quae producta, si opiis fuerit, secet eundem axem