장음표시 사용
251쪽
alterum, ut in N, applicetur in latione reciproca ipsi Meidem aequalis recta P nempe ut i Osingulae ingulis aequales fuit , ac producta P R Ellipsi ceu radim puncto quo ii per centrum A ducatur Ad I AC Elliptiterita mala constat, per ea, quae ad Propositionem 4 inin huius libri de monitiata sunt, eandem H AG cise diametrum ossi
Atque ita simul apparet, singulis diametris suas quoaque distinctas con)ugatas diametros sib, idcinque diametro uirum tantum conjugatam duci posse.
Unde porro perspicuum fit, quo pacto per datum quodlibet in
Ellipti punctum recta ducatur, quae curvam in eodem ac in nullo alio praeterea puncto contingat. Si enim ducta per datum punctum centrum diametro, inventaque altera ipsi conjugata perio Luper idem punctum recta ducatur inventa diantetro conjugatae aequidistanc erit eadem recita' contingens qua lita Gr.
T i i in XV. Propositio T. Ellipsin in uno eodemque puncto praeter rectam, quae parallela est diametro illi, quae per punctum
ecntrum ducitur, con)ugatae, alia recta non contingit. Contingat Ellipsi CH FG in puncto C recta D CT , parallela diametro G H , quae conjugata sit diametro C per punctum C centrum ductaeci dico aliam rectam in puncto C eandem Ellipsin non
Si enim fieri potest , contineat eandem quoque in puncto C recta diametroque L M , eidem . aequi distanti, altera conjuga ta ducatur NO, quae cum a priori
252쪽
per Cor. CF diversa sit punctum N cum puncto C non coincidet, y'-Μ' ac per Nipsi L M, ideoque&contingenti IC Κ, a quid istans du- perra Cor sit M. Cadet itaque punctum C, adeoque recta PQ in-Τ - lectam in Q nimirum versus Ellipseos centrum. At Vero per idem Meodem modo 3 punctum N, ideoque recta P Q, infra con- ingentem ICA: nempe versus idem centrum cadet quod re pugnat. Non contingit ergo ICA Ellipsin. Eadem de omnibus aliis est demonstratio, ac proinde constat propositum.
corosiarium. 'opib=οἶ Constat itaque ' in Ellipsi cuilibet tangenti parallelas, aequi princ Gli4 distantes quoque esse diametro conjugatae ei, quae per tactum centrum ducitur , ac proinde Mad diametrum per tactum ductam per Cor. ordinatim applicari, atque ab illa bifariam dividi S contra,
in βψμ quae .. cuiuscunque diametri terminum ducitur equi distans cuilibet rectat, per eandem diametrum bifariam sectae Ellipsin in
THEO REM A XVI. Propositio 8. Si quaelibet contingens prodii istae Ellipseos diametro
cuicunque Occurrat, atque a puncto contactus ad eandem diametrum recta ordinatim applicetur erit rectangulum sub diametri portionibus, a centro per contingentem applicatamque abscissis , semidiam ctri quadrato aequale S contra. Quamcunque Ellipsin D, cujus centrum A contingat inpunet D utcunque sumpto, recta D E, diametro I occurrens in E atque a puncto contactus D ad eandem diametrum ordinatim applicata sit DC dico rectangulum C A quadrato semidiametri AG aequale esse.
Sit enim primum axis diameteret , sitque os describens, in statione uti fuit, cum per eandem descriptum est punctum D ita ut i intervallisin semi-ax AG aequale sit, P R autem deseribens in statione, ipsi os reciproca ita ut a curva puncto quod nempe
253쪽
nempe describenti P R in directit in est, ducta dia ineter in conjugata iit ei, quae per D Z A duceretii ' ideoque id contingenti Di parallela . Sitque porro ad secundum axem AK applicata Hi ducantur lue O B, R Tipsis AG AK aequidistin tes, applicatis D C, H F, prouinis, si opiis derit, occurrant in BS T. Itaque cum similia sint triansula O A' SOR A P . erunt 3 est ustrita tuoque triangula mi R m , nec non in Da PFH ' similia. At vero tala 'ter 29 6-tera in Ri , nec riori H aequalia sunt. e,nstru- Quare de latera di R T ctione.
sive AI, nec non DI S MI perro pri- aequalia erunt. Sunt autem por-r ' triangula ED CH H A Faequi angulari unde ex antedictis erit ad C sive AF id est EC adH siveo , ut eadem Di ad B '.
Unde cum proportionales sint EC, DB, BO, erit ut EC
dratum ad Bo quadratum BOcomponendo ut Ea ad C A ita D O quadratum ad BD uia. quadratum hoc est. A quadratum ad C A quadratum ac pro es, inde de rectae E A. G A, C A proportionales erunt, ideoque per iarectangulum C AT quadrato semi- axis AG aequale. Cumque in i puncto D alia recta praeter ipsam DE Ellipsin contingere non ' is possit patet conversum quoque verum csth nimirum, si re per Cor. ctangulum C AE aequale sit quadrato semi- axis per ordinatim applicata Ellipsi occurrat in D, junctam E Dille con
Deinde non sit recta IC Ellipseos GD axis, sed alia diameter quaecunque, cujus parameter I B, atque ab allumpto in curva
254쪽
exta. 3per quin ii. 'per extis per i quinti.
utcunque puncto D ad eandem diametrum ordinatim applicetur DC, sitque quadrato semidiametri A G aequale rectanguluin Cossi dico junctam Eo productamque, totam extra Ellipsin cadere, ideoque eandem in puncto D contingere,& conversura. Sit enim in eadem ED, aut in ipsa producia, prout libuerit, uumptum utcunque punctiim , sitque per F ducta recta P ipsi GD aequidistans, quae dicta diametro DG occurrat in , Elii-psi vero GD in K. Etenim si Ellipsi non occurreret, manifestissime punctu nes, extra Elliptin foret. Deinde G ut axe, eademque parametro I , intelligatur descripta alia Ellipsis GL , ac per Cati ad eundem axem ordinatim applicentur i, quae
curvae Occurrant in L S: jungaturque Ea , quae utique Elii psua Gi in L continget eaque
producta, si opus fuerit, producta H M occurrat in . Itaque quoniam est quadratum D C ad rectangulum GH, ut quadratum L C ad idem G CI re-e tangulum, quippe utriusque ea- deni est ratio, qua parametrici Bad diametrum sive ax cm I erunt 3 quadrata G, L C, id coque recta D C, L C aequales. Eodem modo. rectas M, Mi aequales esse, demonstrabitur. At vero cum it GD ad Hi, ut G ad h. ii qui dona ' utrius que eadem est ratio, quae rectae EC ad rectam EM. erunt quoque H aequales. Est autem Um major applicata H cum contingens sit si ergo applicatam Κmajor erit , ideoque punctum , in recta EO F utcunque sumptum, ioc est, tota EO F, extra Ellipsin, G D cadet, sive, quod idem est . candem in puncto D continget. Curiique non possit praeter E DI alia recta eandem Ellipsina in puncto D contingere inanifestum quoque est conversum: si nempe EO Ellipsin Om
255쪽
in D contingat, diametroque Ga occurrat in E. . ad eandem diametrum ordinatim applicata iit C, rectangulum C AE cruadrato semidiametri , aequale esse. Coraltarium.
Eae dictis perspicuum est , quo pacto a dato quolibet puli toducenda sit recta, quae Ellipsin contingat. Si enim datum punctum in ipsa curva sit, velutim jam supra ius,/.is. ostensum est, quo pacto per dictum punctum contingeias ducatur. - Τ Quod tamenin hoc quoque modo per praecedens I hcorem a
Ducia ex D ad inventam ' diametrum GPrecta ordinatim Cor. Dc, fiat rectangulum C AT quadrato semidiametri A G aequa- 4 2 i te jungatur luerim. At si extra Ellipsin sit datum punctum , ut Ur ducta ad A centrum ' recta EA, quae Ellipsin secet in G, quadrato A C aequa ite fiat rectangulum AC; ac per C ducta ordinatim applicata ' nimirum quae ' equid iste contingenti qua pei Glauce ciuesta Cust. retur L occurratque Ellipsi in D, jungatur Ema eritque haec ipsa Fugur. tam prior quam posteriori casu ' contingens quaesita b, puncto autem intra Ellipsi dato non posse duci rectam, quae s Coro .ci .
eandem contingat, manifestissitarum est. ει tur.
Atque ita me compendiose via satis plana ac maxi- as me naturali , absque ulla solidi consideratione, lementa proprietatesque praecipuas Curvarum, quas Vcteres Conisectiones appellavcre , tradidisi confido. Equibus principiis caetera omnia , quae ad Parabolam,
Huperbolam , vel Ellipsin pertinent, absque u lacriori
manu ductione facillim de lucet, quicunque animum iis debite applicuerit, atque in Geometricis pc se adulteriora progredi valeat. Adeo ut adcin tractandi methodo hisce diutitis inhaerere supervacuum pulcia', praesertim cum insignis S siablimior quaedam scientia stipersit, cui Veteres enixissime incubuisse cae quor iliadam clatu ac nonnullis antiquoriim c cona cir .ut illa
fragmen tr inanii est in est quaeque tam ab iisdem Firi quam
256쪽
appellata fuit. Ad quam promovendam , ab Apolloni caeterisque Geome tris ea praecipue conscripta esse, quae in Conicorum tractatione praedictis Elementis superaddidere, omnino credibile est. Cumque penitiorem curvarum linearum notitiam perfectamque earum numerationem ac distinctionem, ut de distributionem in sua genera, species, Cum segregatione Carum , quae vere Geometricae non sunt, ab iis quae in Geometriam sunt recipiendae, X accurata Loci tractatione imprimis petendam existimem e re fore duxi, candcm tractationem hic subjungere, non quidem ea methodo, sicut a Veteribus inchoata videtur, cum vix integritia ingens volumen idem sussiceret , si vel tantum Locorum , quae Piana ac Sotida quamvis, meo judicii, minus recte, vocarunt, id est, quae vel rectilinea, vel Parabola, vel Hyperbola, vel Ellipsis, sive circuli circumferentia existunt, quorumque Locorum Ompositioni cos solummodo intentos fuisse invenimus, doctrinam exacte complecteretur, atque id porro O- lumen in immensum excresceret, si ad Loca, quae sunt lineae curvae secundi generis, uti nobis propositum est, extenderetur sed Arte Analytica per AEquationum examen praecepta generalia, quibus omnes omnino casus possibiles resolvantur ac determinentur. In quibus pertractandis eum ordinem stimus observaturi, ut
j am post explicationem Elementorum Parabolae, Hyperbolae S Ellipsis, supposita notitia corum, quae ad
linearum rectarum, angulorum, figurarum rectilinearum, nec non Circulorum naturam pertinent inventionem a determinationem tradamus eorum locorum , qua Vel recinae lineae sunt vel ex praedictis curvis constant; Illa autem & nobis, ne quid temere mute
257쪽
r n. q. P. III. mus, scorum tinorum , Solidorum . non line venient)at ille eo pi ostendam iis ui pruno curvaritin genere, praeter Circulum, non nisi Parabolam, Hyperbolam, Elliptinesse recipiendas Trachitioni autem ulteriorum
locorum, quae pertinent ad lineas curvas lectandi 'en ris, similiterin loque earundem curvarum Elementa praemittemus. Cum ver ad ipsarum generationem viam sternant non tantum descriptioncs incarum curvarum primi generis, hoc libro propositae atque explicatae, sed de multi alii illas in plano describendi modi: operae pretium duximus corundem modorum, qui certe infiniti sunt, ut quilibet huic speculationi intentus facile experietur, vel illos saltem hic adjungerc, quos aut ad descriptiones curvarum secundi generis auxi .lio nobis fore, aut Mechanicae curvarum primi Rencris in plano clineationi praecedentibus aptiores idi
detineandi Arethodus. SI triangulum quodcunque is sceles AB C, S tam aequalia crura A B, quam basis utrinque indesinite producantur, ut ad D , , Δ F, G nec non H I; sitque ab alterutro
an balin ducta quaevis recta terminata, opposito cru- lis, ut ΒΚ, Δ per terminum eiusdem altera recta, utrinque indeianite extensa, libere transeat, quae circa verticem anguli reliqui, nempe punctum A, ut Polum, circulariter mobilis sit, velut L AK M ac denique rectae I G insistens CNipsi D parallata transeat per ipsarum H intersectionem C. Dico, si angulus Ei H atque ipsi ad verticem Diu cum rectaram moveatur in utramque partem . ita tamen ut crus Alsemper applicatum maneat recta DE, mulctuc recta es uicatque illud promovcat cet in C , sibi ipsi semper clii id illa n- Pici cm,
258쪽
tem, ac recta Bri ad polum A circulariter moveri faciat praedictain L M, per pun-cthun, semper transse cuntem , intersectio
nem ipsarum C N, L M, quae fit ad O,
Parabolam describere, cujus diameterest AD parameter KB, ac F G eandem Ontingens in vertice A. In quacunque enim statione constitutus
fuerit angulus B Hseu D B I, si intersectio rectarum FG, HI designetur per C, atque ab intersectionis puncto O ad dia metrum applicatast GP ipsi FG aequidistans erit semper ΚΒ ad B A , laoc est , ad A C, uti eadem A. ad CD rac proinde ' rectangulum sub B, C O, id est L sub AE , A P quadrato rectae A C, hoc est ipsius OP aequale. Unde si BACangulus rectus fuerit, erit maxis , sin minus diameter , ad quam ordinatim applicatae faciunt an
angulo aequaleS. In transitu etiam hic notandum est , eodem illo motu per intersectionem
ipsarum I LM, puta a Uyperbolam sive oppositas
259쪽
ro itas Hyperbola describi ut quamvis triangulum B AC is sceles non foret, nec etiam rectam K ex angulari punc sed tibi vis in retia A D educia cilci, nihilominus tamen cur. am A
Parabolam ore a vero ic parametrum priori, nec verticem nec diametrum posteriori casu caldem remanere, tuas tamen illisq:icque calibus determ mare facillimum est.
Quoniam autem circa finem capiti prinu monuimus, cur Vam , iuxta defintaiones in principio eius leni capitis propositas, qualibet sciente , 5 quocunquereret alis descriptam, si anguli mobios inaequales sint ii, ad directracem sunt ab eadem parte, Hyperbolam esse, idque Mechanica ejusdem in plano delineationi non inutile udicantiis idcirgo id demonstiatione jam comprobandum duximus, simul ostenturi, quo pacto cadem Methodus ad praedictas Hyperbolarum cli-ncationes commode applicetur. Sit itaque esulem intervallo A L AE direcirrcetid O angulis autem in L M L A aequalibus descripta curvam A M: dico eandera curvam Hyperbolam esse ac si ducta a IU A ad due irvem recta Am, ita ut anguliis L A cingulo L A G oua lis sit, centroh intervallo Ari circulus describatur, secans ei scientem in ac directricem in perque puncta I ut ean - Κ, nec non per Ga inducantur recta I , M sibi nulli uboccurrentes in F, rectas es FG Asymptotos este bri ' hSumpto enim in curva puncto utcunque, veluti D, apsilice tu tam an ulu mobilu, ut in D , cluam describens, ut O . inc si statione uti lucr cilia per eas descriptu in cli punctum D. Quo etorii in niam igitur aequales sunt anguli AI K inter se ' nee non
simul sumpti angulo in G, quippe tam posterior quam prio ei P. Ire ' cum angulo in K binos tectos constituunt crunt quoque in anguli A cu A II A L. utpote qualium dimidia , in
ter se aequales, ac propterea oectae A L parallelae bis ideoque sicut lci rectae FG occurrit, ita idem FG occur '3
260쪽
rent describentes A L&OD, utpote ipsi IKF equidistantes. Sint itaque ipsarum occursus in B C, ac per B agatur recta B directrici co aequidistans, occurrensque describenti Dra ριν sex indi eritque ut G A ipsi AI, ita mi ipsi DF aequalis. Cum
autem in triangulis L A , O in aequales sint anguli ad L .f. propter ' A L, CD parallelas, sitque languiu, LAM primi sive G AI, id est, G F, aequalis angulo O QC, quippe tant hic quam ille cum angulo ΚQG, vel Q duos rectos constituit