장음표시 사용
271쪽
N omni quaestione , ubi indagandus proponitur Locus , sive is sit ad uadam 1ectam, sive ad curvam, suppositis duabus lineis rectis incognitis atque indeterminatis, datum vel assumptum angulum comprehendentibus, tanquam cognitis ac determinatis, devenitur ad AEquationem, assumptum quodli1, et quaesiti Loci punctum determinantem in qua quidem aequatione, postquam ad un-plicissimos terminos erit reducta, si neutra incognitatum ad duas pluresve dimensiones assurgat, hoc est, ineque in sic , neque in alteram incognitam ducta seu muliiplicata reperiatur , quaesitus Locus erit linea recta At si earundem incognitarum alier ad quadratum ascendat, alaera vero non item, sic neque in se, neque in alacram incognitam ducta sit, erit Locus quaesitus Parabola. Quod si vero utraque ad quadratum ascendat, sive alacra in alaeram ducta in aequatione c-l eriatur alitus enim aequatio non assii rget, si de loco 'lano Solidove quaestio sit Q erit Locus quaesitus clHuperbola, vel Ellipsis, vel Circuli circvinserentia.
272쪽
1ή ELEM. CuRVARUMQu'rum quidem omnium particularis determinatio, descriptio , demonstratio variis modis fieri potest; at vero ex simplicissimis, generalissimisque aliquem
annotasse suffecerit. Ac primo quidem casu , cum neutra quantitatum incognitarum ad duas pluresve dimensiones ascendit,sicarum una eXprimatur per , atque altera per γ', potest aequatio ad aliquam sequentium sormularum reduci. I. -- , sive posito a b I x. II. 12DΡΗ-e, sive, posito, ut supra, Ox c. III 3M c, sive MLIV. 15o- sive=M--Α - . Fiat autem carundem quantitaturi incognitarum secundiim regulam talis assumptio, ut initium unius, verbi gratia, ipsius certum sitri immutabile, utque eadem illa quantitas ex certo immutabili illo initio in linea recta positione data intelligatur indefinite extendi, altera vero indeterminatae quoque longitudinis linea priori in extremitate incerta in dato vel asium
pto angulo conjungi inibus quidem suppositis, ea,
quae praedicta sunt, sequentibus Theorematis non incongrue proponi determinari, ac demonstrari posse
Propositio . si aequatio sit, erit locus quaesitus linea recta.
Sit enim ipsius, initium immutabile punctum A, atque eadem illa a perrectam AB indefinite se extendere intelligatur. Dein, lumpto in eademini puncto utcunque, veluti B, agatur B C in
273쪽
ingulo A B C, ipsi dato vel allum sto aequali , ita ut eadem sit ratio interceptae Am adducta mi quae est a cognitae ad b cognitam. hoc est, ut sit illia adi, ita Ai ad L . Deni-
ucatur recta A C, indefinite extensa critque haec ipsa locus quaesitus. Etenim astum p. in A puncto utcunque,
veluti D, ductaque D E in angulo DEA, dato vel assumpto aequali, si eadem DT vocetur erit ' ut AB ad ριν et ρri B C, hoc est , ut a ad cita Ai ad ED, boc est, ita, ad . 'fit hoc est, dividendo utrinque pera, erit m b is Quare cum punctii in D utcunque sumptum sit in linea A C. erit eadem de omnibus aliis lineae Ac punctis demonstratio, ac proinde ipsa Ac locus est quaesitus. Atque ita non solum Theorematis propositi veritas demonstrata, sed S iocus quaesitus de
Prapositio 2. Si aequatio sit γα, - erit Locus quaesitus linea
Positis, tactiisque, ut supra, agatur insuper ex Arecta Aa ipsi BC parallela. atque ad easdem cum ea partes, quaesit aequalis c cognitae. Et ex F ducta FG parati tela A G, dico eandem Gesse Locum quae suum. Sumpto enini in FG puncto utcunque, vehit ita, du
274쪽
THEO REMA II I. Propositio 3. Si quatio sit zo- - erit Locus quaesitus linea
insuper ex A recta AF, ipsi BG parallel , atque ad oppositas cum ea partes, quae sit aequalisci cognitae. Et ex F ducta iterum FG ipsi Ac parallela secante rectam AB in H; dico esse Locum quaesitum. Sumpto enim in eadem puncto utcunque veluti G, ductaque E in angulo A EG, dato vel assumpto aequali, quae producta seceto in D, si cadena GEvocetur , erit EO MI c. Jam vero est ex constructione, ut A B ad BG, ita A E ad Eo, hoc est, ut a ad b, ita, ad M-c ac propterea ' I-Fac rub x, vel Umbx- ac, adeoque facta divisione per a I x - - . Quod est proposi
275쪽
Propositio . IV. Si aequatio sit. Me - , erit Locus quaesitus linea
recta. Positis, factisque, ut in Theorenaate
2ς , excepto qu)d punctum C ab opposita parte ipsius AB cadat, quodque angulus A B C aequalis sit dati vel aliumpti anguli ad binos
to, quemadmodum in adjuncta figura apparet , agatur e s re
etae A B inici dico F Hiise Locum quae
Sumpto enim in FH puncto utcunc e veluti , ductaque C E in angulo Assi a dato vel assumpto aequali, quae producta secet , in D, si eadem G tavocetur . eriti 'oc ' Cum-oue si ex constructione, ut A B ad B C, ita Assi adis, hoc est ut a ad b, ita Had erit propterea ' V X, Vc . , , vi ac bx, id est, dividendo utrinque per η, QSψ j.,
At vero fieri etiam potest , ut per operationem, priusquam ad aequationem deveniatur , quam ita tum incognitarum altera penitus evanescat , alteraque Olaalictu cognitae quantitati aequalis remancat atquς
276쪽
st ELEM. CuRVA Ru Mexindo binae insuper formulae nascuntur, quae huc referri debent nimirum,
THEOI EMA V. Propositio Si a quatio sit xxi, Locus quaesitus cst linea recta.
Sit quantitatis, quae per operationem vanuit, initium immutabile punctum A, atque eadem illa, per rectam Al indesinite se extendere intelligatur. Deinde ex A ducta AFic,
faciente cum AB angulum , ipsi dato vel assumpto aut ejusdem ad binos rectos supplemento aequalem, si ei agatur FG ipsi B parallela, dico eandem FG esse Locum quaesitum. Etenim assiimpto in P puncto utcunque, veluti G, ductaque B ipsi AI parallela apparet eandem Gi omnesque ipsi aequi- distantes rectae AI fore aequales, hoc est, estam c. Quod erat
Propositio,. Si aequatio sit x me, crit Locus quaesitus linea recta.
In linea A B, ouae , ut supra, C pro a concepta sit , sumatur a puncto A longitudo AB aequa-C lis, cognitae, atque ex B in dato vel assumpto angulo ducatur recta BC dico eandem BG, indesinite productam esse Lo
277쪽
cto utcunque, cluti C, erit ex hypollici Ci cum orioie AB comprehendens anguluin Am C dato vel assumpto aequalem poteritque proinde eadem Ci vocari, A vei d est ex constructione, S remanet semper A B, hoc est, x oc. Quod est propositum.
aequatione , ad simplicillimos termitio reducta, quantitatum cognitarum altera ad quadratum ascendit, altera ero non item, sed neque in b, neque in alteram quantitatem incognitam ducta reperitur poterit aequatio ad aliquam sequentium formularum rc duci
Si aequatio sit 3IMax, Vel conversim ast XI xx erit Locus quaesitus Parabola. Sit ipsius, initium immutabile punctum A, atque eadem illa, perrectam AB indefinite se extendere intelligatur, S sit datus vel asti mptus anguliis aequalis angulo Ah C; Asia sumatur primo eadem Alut Parabolae diameter, ad qua in ordinatim applicatae iaciatu cum ipsa angulos cluales dato vel asia suinpto angulo AI C, cu-ju que lacus lectuna A F
278쪽
sit aequale a cognitae. Dico Parabolam AM C, quae ' per prae' dicta diametri verticem A descripta sit, habeatque latus rectuia cidem diametro correspondens sua, csse Locum quae illum. Si enim in eadem curva A in assiimptum punctum utcunque, veluti D, ductique D E in angulo AIO dato vel assumpto aequali, si ipsa DE vocetur I, erit, ex natura Paraboles N quadra
tum ex ED I AI rectangulo, hoc est yym Quod erat
propositum. Ad demonitrationem autem te cunda hujus Theorematis partis
iisdem ut supra suppositis, ducenda est ex A puncto recta A H ipsi BC parallela, atque eadem AHasi i- menda pro diametro, ad quam Ordinatim applicatae faciant angulos, dato vel asthmpto angulo A DC seu AM C aequales, ac caetera, ut supra , critque Parabola DCLocus quaesitus.
Est enim 3 quadratum ex Gosive in quadratum aequale rectangulo sub FA AG seu Ad ED, id est, x x zo s. Uod erat
i a x, erit Locus quaesiitus linea Parabolica. Sit ipsius, initium immutabile A punctum, atque cadem illax per rectam AB indefinit se extendere intelligatur, sitque angulus datus vel assumptus aequalis angulo AB C. Deinde producatur At versus A usque ad G, ita ut sit AG m I assiimptaque Tiro diametro, ad quam ordinatim applicatae faciant angulos aequales dato vel assumpto angulo ABC, cujusque latus
279쪽
tri verticem G descripta sit , habeat-oue latus rectum ci-dem diametro correspondens, a, este Locum quaesitum. Sumpto enim in cadem curva puncto utcunque , veluti D, ducta que D E in angulo AED, dato vel zssumpto qitali, si ipsa DT vocetur quoniam a sive ATH G es m atque ex natura Paraboles ' quadratum ex seri stri EDM rectangulo sub FG E erit Imax bb. Quod
primo erat demonstrandum. Ad explicationem vero secunda hujus Tlaeorematis partis iiDdem ut supra positis , ducatur ex A recta A H ipsi DC parallela; eademque producta versus A usque ad G,ita ut Ac sitae , dico, si ad GH diametrum latere recto CT, a Parabola describatur ut G C, quae secet rectam Λ B in I, curvam II esse Locum
280쪽
contentum aequale quadrato ex H D seu AE ac proinde, qu niam GH, sive D E a G, 6 atque Fam . erit, facta debita multiplicatione, Quod est propositum.
THEO REM IX. Propositiois. Si aequatio sit a ymam byaut conversi ast b,
o xx, erit Locus qu esitus linea Parabolica. Suppositis iisdem, luce in praecedenti Theoremate, auferatur ab Assi recta A G, - , santque caetera, ut ibidem dictum est: dico curvam coisse Locum quaestum. DSumpto cnim in ea puncto utcunque, veluti D, demissaque Di ipsi a parallela, si eadem Di Vocetur', erit ex natura θε, 3pri Paraboles quadratum ex E stu II aequale rectangulo sub EGE, id est, producto ex a in nimirum,ax bb. Quod demonstrandum deterininandumque crat. Ad explicationem autem secundae hujus Theorematis partis,
iisdem ut supra positis, ducatur ex A recta AH ipsi B C parallela atque ab ea subducta A tam sumatur GH pro diametro, &c. ut supra, dico curvam G CD sore Locum quaesitum.