장음표시 사용
291쪽
explicari, determinari, ac deinonstrari queant observata solummodo diversa linearum positione, quae C signorum Η-& di Liarentia oriri debet, cuiauliae omnes similium locorum casus mox per generalem Regulam lina exhibiturus.
Exempti reductionis aequationum ad formutim Theorem tis VIII Si aequatio sit bxdd, assumpto juxta
Regulam erit m in quo substituto in locum ipsius I, 5 eiusdem quadrato locos, omissisque iis, quae se invicem tollunt, atque omnibus rite ordinatis, aequatio superior sequenti forma erit induta V ob x dd. Unde apparet, eandem esse reduciam ad formulam Theorematis VIII ac proinde Locum quaesitum esse Parabolam. Ad
cujus particularem descriptionem esto in adjuncta figura ipsus initivia immutabile punctuli Vatque eadem ma dicto punct0 Aper
292쪽
perrectam AE indefinite se extendere intelligatur, sitque datius vel assumptus angulus, quem comprehendunt, aequalis angulo AED. Deinde, quoniam si 'sit pra lineam AE exsurgere intelligatur, velut ED, ducenda quoque est supra lineam A E ex puncto A recta Assi, ita ut eadem sit ratio Assi ad EB, quae est ipsius 2 a cognitae adi cognitam, hoc est, ut sit ut ira ad ii, ita AP seux ad EB, eritque EB so idem intellige de omnibus aliis rectis ipsi EL parallelis, atque inter A E in Binterceptis, quae quidem singulae ipsi P erunt aequales Hinc
quemadmodum ex supra dictis patet, si terminus dilua aequatio ne deficeret, praedicta Ai Parabolae diameter foret, ejusque vertex punctum A, , posita ratione AE ad Assi, ut La ad e, latus rectum ipsi correspondens esset a Jam vero cum rectangulum, quod sub latere recto tortione diametri, inter verti cena atque ordinatim applicatas intercepta, continetur, aequale
293쪽
B Versus A producatur ad G, ita ut rectangulum sub praedicto latere recto S parte in contentum sit tradu rectam Gl quaesitam fore diametrum, ejus que verticem praedictum G punctum: ac proinde S ci die praedictam latus rectum, hoc est, per divisum aequar longitudini A , ideoque G Aiores . Quare si diametro Gl latere recto Gli in dato angulo Parabola describatur mi, secans Ad ipsi E D parallelam in I dico curvam I Ddiore hocum quaesitum. Verum obitcr hic quoque notandum venit, praedictum verticem G etiam inveniri hoc pacto si nempe Ea producatur ad C, ita ut AC sit xv, ac deinde per punctum C ipsim parallela ducatur OG occurrens productae A B in erit enim in eodem illo concursus puncto vertex quaesitu S. Demonstratio.
Sumatur in praedicta curva punictum utcunque velitii D, du-
Ciaque D E in angulo AID , fato vel assumpto aequali secante diametrum G B in B erit, ex constructione B E ideoque, si Erevocetur , erit DBm seud: G G AMABm- totaque GBm At cum ex proprietate Parabolae Di quadratum sit aequale rectangulo F i , erit, secta multiplicatione ipsus se ipsam atque da ab id a b x. Unde substituto oco 'obtinebitur
dd. Quod erat demonstrandum. Quomodo autem pro casu hujus exempli converso Parabola descrisenda sit c comparatione ejusdem cum antedictis facile
294쪽
quo substituto in locum ipsius, , eiusdemque quadrato loco xx, ablatisque iis, quae se invicem destruunt, atque omnibus rite ordinatis, aequatio superior sequenti forma erit indutab) cum ν P. Unde apparet eandem esse reductam ad formulam praedicti Theorematis VIII conversim, ac proinde Locum quaesitum esse Parabolam. Cujus specifica determinatim suppositis, ut in adjuncta figura indefinite assiimptam esse quantitatem incogni
tam x, atque cum altera' conitituere angulum aequalem angulo
E Ac vel ejusdem ad binos rect os supplemento quoniam ex )am ante explicatis quasi sponte profluit, idcirco eain adjuncta figura breviter indicasse suffecerit. Determinatio Loci. Eindefinite xx. ED omnesque ipsi parallela oo'. AKm: coo CH, quia ΚΙ parallela AC.
GUta adi ita ΚΗ seu ad HB unde HB fit m , 5 DBχω Uca ad e, itari H seu ad DB unde DB in qua diameter fit D divisum per , reddit unde latus rectum FG fit m . i , nempe terminutaequationis in totum cognitus, di isus per
295쪽
Quocirca deletis delendis , actaque decenti transpositione, fiet in b, m x x et x. Quod erat
propositum. Exemplum reductionis aequationum ad sermutim Theorematis IX. Si aequatio II cymax - cc. Allumatur ae λαjuxta Regulam c, eritque c. Quo substituto in locum ipsius I. ejus quadiato locoII, fient aequationis termini, ut sequitur oax-- - cc. Facilitatis ergo pro a -- scribatura, supponcndo esse majorem quam eritque aequati ad. Et apparet candem reductam ecte ad formulam Pheorematis IX, ac propterea Locum qua situm esse Parabolam, quam ex iis , qua jamjxplicata sunt, dcterminare ac describere facillimum erit ut exicquenti sigura iisque quae super eadem breviter annotata sunt, colligere licebit. Determinatio Loci. Sit initium immutabile ipsus x punctum A. AE indefinit crux.
296쪽
ΚΙ parallela ipsi AE. Utra ad b, ita ΚΗ se xad HB unde HBerit m Ut La ad e, ita ΚΓ seu, ad B unde ΚΒ in qua diameter m .
Hinc si G B diametro & latere recto FG per verticem G descripta sit Parabola secans Κ H in L erit ID Locus quaesitus. Demonstratio. Esto punctum D utcunque sumptum in ID, MI ducta parallela ipsi Ari, quae si vocetur' erit H D my- 4, ac Di m- hoc est,et Cujus quadratum cum aequetur rectangulo FG B erit Looda: - .cc, Oces , I - acc-
a - - - ἰ Ac proinde, si ii trinque demantur aequales terminique rite transponantur, habebitur II m ' - S Quod erat propositum. Atque hujus quidem exempli conversum, ut 3 caeteros casus huc spectantes, cx iis, quae jam dicta sunt, simili modo reducere atque resolvere non dissicile erit.
297쪽
Theorematis X. Si aequatio sit a b, lives, quod ideia est, selix o, allum pio juxta Regula in M'-la erit - - a. Quo subiti tuto in locu incipi ius ejusdem quadrato loco, ν.rcnaanebit a x bi. Unde apparet, eandem ess reducta in ad casum Theorematis X , ideoque per ea, quae ibidem sunt demonstrata, Locum quaesitum esse Parabolam. Ad cujus specificam determinationem est in apposita spura ipsius, initium immutabile punctum A, eadem ille, se indeirtute ab A versus E extendere intelligatur sit autem datus es allum-rtas zgulus, quem 44 comprehendunt, aequalis angulo Ea aut ipsius ad binos rectos complemento. Deinde, quoniam assumpta est a. si supra rectamini exurgere intelligatur, ducenda quoque si supra ipsam recta G ipsi Assi parallela cita utram omnesque ipsi quid istantes inter AT interceptae sint . a. Quo facto, si juxta Regulam si atri iri, eademque sumatur pro Parabolae diametro, ad quam ordinatim applicatae sint ipsi x parallelae . cujusque latus rectum G si ciit ipsus portio descriptam DP, quae inter verticem G S produ'ctaniam intercipitur, Locus quaestus. L , tenura
298쪽
Etenim assumpto in chirva Gm I puncto utcunque, veluti D, ductaque D E ipsi AE parallela quae secet diametrum D in B, si cademissi vocetur, erit Di laseu , aesta sive GK - ΚΒ bos , Hinc cum ex natura Paraboles quadra tum ex BD sit aequale rectangulo RG B erit Zai bx,
Regulam via: - erit xxv Quo substituto in locum ipsius x, ejusdemque quadrato loco xx siet, omnibus rite ordinatis, c. dympy. Unde apparet casum csse Theorematis X conversim ac proinde Locum quaesitum esse Parabolam. Quae quidem ut specifice describatur, esto ipsius x miti iam immutabile punctum, intelligaturque eadem, se extendere ab A versus Eindeterminate, sitque angulus datus vel assumptus, quem απ
comprehendunt, aequalis angulo E AH aut ipsus ad duos rectos complemento Deipde sumatur in A H reo a Ac so ducaturque ex C recta CF ipsi AE parallela atque in eadem sumpta C , quae se habeat ad C A, ut cognitas ad a cognitam, hoc est, ut sit ut 4 ad b, it AG ad CV, agatura G, eaque pro diametro Parabolae sumatur, quae perseiticem Gicis usa erit describenda. Porro cum in ii angulo AC G ob rationem cognitam laterum AC a
299쪽
x , CG , cognituit angulum C Q inprehendentium, utpote dato vel asiunipto aut ejusdem ad duos rectos scri plenient aequalem , cognita item sit ratio, quam habet A C ad Aa, quae sit ut a ad e; erit, A C existente, Per quam si terminus aequationis, in totum cogiritus, nimiium a dividatur,
orietur pro latere rei ho Ac proinde si sat GT erit Gilatus re tum quaesitae Parabo es, diametro in correspondens atque iccirco ii ad dictam diametrum . dictumque latus rectum Parabola describatur, ut G D I, secans Assi in I dico ID G curvam esse Locum quaesitum.
Sumpto enim in ea puncto utcunque veluti D, ductisque D Eipsi AH ac DBHipsi AE parallelis, si eadem Di exprimatur pcro, erit quoque A H Io . Cum que sit ut AG ad OG. id est, ut acidi ita AD ad Hici erit Hli , ideoque cum D H seu A E sit x, erit Di, seu ν. Similiter cum sit ut A C ad AG hoc est, uta ad e, ita AH seu ad AB crit AB a I de GA AB seu Bα Hinc cum ex natura Paraboles rectangulum FG B sit aequale quadrato ex BD, erit, facta nulli i-
olicatione ipsusI G seu 3 in Gi seu V, Dipsus B D seu
in se ipsam cc - mur. Hoc est, restituto, --- loco, erit: να b byx cc-d x xx vel P - - - xx. Quod detenninandum, demonstrandumque erat. Obiter autem lic notandum, ut ex antedictis quoque facile est colligere aliter etiam diametrum GA atque latus rectum G indagari potuisse, hoc modo: Cum A H in determinate sit, , juxta primum Theorema hujus ita ducaturin G, ut recta HS quem adna ,dum& quaelibet alia
ipsi AT parallela, quae inter AH in Gnatercipitur DPM Iponaturque ratio, quae est inter A H4 AI milesque, ad e: ideoque cum Al indeterminate si terminus aequationis i scr
300쪽
a ELEM. CuRVA Ru M per eandem divisus ostendet latus rectum sectionis FG, P. Similiter terminus aequationis c per praedietum latus rectum seu divisus dabit quotientem pro quaesita AG.
Plura hic exempla subjunge ic supervacuum foret, cum mox omnes omnino casus possibiles generali regula annotare ac demonstrare animus sit.
Porro quamvis Regulas capite primo explicatas par ticularibus ibidem exemplis seu casibus in hypothesi non illustraverimus, neque etiam id aut hic aut in se quentibus ullo modo necessarium ducamus, quippe cum unusquisque , qui Regulas ipsas recte perceperit, easdem quibuslibet propositis exemplis seu casibus in hypothesi facile applicare valeat quandoquidem tamen libro primo insignes quasdam proprietates Parabolae, Hyperbolae, atque Ellipsis consulto praetermisimus, ea mente, ut in hoc libro suis locis per modum Problematum non incongrue proponi ac demonst rari, simulque tanquam propositarum Regularum particularia exempla haberi possent, earundem explicationem hic S sib finem sequentis capitis siti iciem M.
PROBLEMA I. Propositio II. Datis puncto linea recta , in plano per utrumque ducto aliud punctum invenire, a quo binae rectae, alte ra ad datum punctum, altera ad datam lineam perpendiculariter ductae sibi invicem sint aequales quoniam infinita sunt Musi nodi puncta , qua quaestioni satisfaciunt, Locum determinare ac describere, in quo cuncta S,singula reperiantur. Sit datum punctum A. data positione recta linea BG, oporteatque in plano quod per utrumque ducitur,aliud punctum invenire,