2: Renati Des-Cartes Geometriae pars secunda. Cuius contenta sequens pagina exibebit

281쪽

Est enim ' ex natura Paraboles rectangulum sub PG M H pere Mn- contentum aequale quadrato ex Hi seu AT , ideoque, quoniam GH sive D E AG aequatur 3 - - , atque F erit, facta debita multiplications , I-bbao xx. Quod erat propositum. THEO REM A X. Propos iii IO. Si aequatio sit)3Mbb ax aut conversimi b- a Ioo xx cri Locus quaesitus linea Parabolica. Sit enim , ut supra ipsius Cinitium immutabile A punctum, intelligaturq; Ceadem x recita es ii it finite se ab extendere versus B angulus verbdatus vel a flumptus esto qualis angulo

dic: Deinde ab A versus B asi impia A sumatur inii , ' pro

282쪽

pro diametro sectionis, ad quam ordinatim applicatae faciant an gulos aequales dato vel assumpto ABC, aut ejusdem ad duos rectos supplemento. Uo facto, si per praedicta diametri verticem aversus A Parabola describatur, cujus latus rectum G Deidem diametro correspondens sit ma quaeque Parabola rectam A Lipsi di parallelam secet in I dico ejusdem Parabolae portionei , inter verticem G iunctum intersectionis I interceptam, nempe curvam G CI, esse Locum quaesitum. Sumpto enim in ea puncto utcunque, veluti D, demissaque' pri Di ipsi CS parallela sit eadem DT voceturI, cum ex natu-ὸ j i Paraboles quadratum ipsitus Di sit aequale rectangulo sub PG&GE, GEUive AG AEstoo I x, ac FGma, facta debita multiplicatione, erit 'Imby- ax. Quod demonstrandum determinandumque erat. Ad explicationem au tem secundae hujus Theorematis partis, iisdem ut supra positis , ex A ducatur AG ipsi BC parallela atque mes, assumaturque

a pro diametro S c. per omnia, ut supra, eXcepto quis punctum inter- lectionis I sit in recta AE. Cum enim ductam Hipsi Am parallela ' ex natura Paraboles rectangulum sub G GH contentum sit aequale quadrato ex H D seu AE, sitque

catione, ut decet, erit bb--υMxx. Quod erat propositum.

283쪽

ae Latrones, quae X cotaVeiatenti operatione pro

ducuntur, cum Locus quaesitus si Parabola, ad aliquem quatuor casuum , praecedentibus toti Theorematibus jam explicatorum.

Si contingat ut hiantitas incognita , tim in aequatione ad duas dimentiones ascendit, in cadem quoque inveniatur unius dimensionis, cum alia , sive cognita, sive incognita quantitate , Vel etiam cum utraque planum aliquod faciens, loco ejusdem ait timenda est alia, vel ipsam excedens, vel ab ea deficiens dimidio quantitatis, quacum illa planum, ut dictum est, constituere reperitur, pro diversa dicti plani signo vel Galfectione. Quo opere ipsa aequatio ad aliquem quatuor praecedentium casuum reducetur, ita ut ei convenientem lineam Parabolicam determinare, perca quae saperius sani explicata, haud dissicile sit. Exempti reductionis ae uationum ad formulim Theorema

tu VH. Si aequatio sit ' --2aymbx assiimpto, juxta Regulana, Laoν--a, erit -am . Hinc si ubique in aequatione loco ipsius substituatur ζ-a ejusdemque quadratum loco D habebitur: a aa, et ι - 2 a ba: aa, hoc est, omissis iis quae sese mutuo tollunt, erit rub x. Unde statim apparet aequationem elle reductam ad formulam Theorematis VII, ac proinde Locum quaesitum esse Parabolam. Ad cujus specificam deteritu nationem est in apposita figura ipsius, initium immutabile iunctum, eaden clite, intellio atur se ab Aper rectam Assi in detinite extendere sit clue datus vel assumptus angulus, 'lem comprehendunt . aequalis angulo E A P. Deinde, quoniam est o ina, si supra lineam Ai cxsurcere

intelligatur, duc cnda est intra eam tecta ab ipsi KE parallela,

284쪽

ita ut pars rectae AF omniumque ipsi parallelarum, intercepta inter AE&GB, veluti A G, aequetur a cognitae. Porro praedicta a assumenda est ut Parabolae diameter, ad quam si per ejusdem verticem G, existente Ga latere recto , ipsi diametro G correspondente, sora Parabola describatur , secans rectam Assi in I dico curvam Ii indefinite versus D productam esse Locum quaesitum. Etenim assumpto in eadem curva puncto utcunque , veluti D, ductaque D E ipsi AI parallela, si eadem DT vocetur , producaturque donec praedicta diametro G B occurrat in B erit ex constructione intercepta Em m L, ac proinde tota Di, hoc est, Quare cum ex natura Paraboles quadratum ex DB aequetur rectangulo sub PG4 G2, vel FG in Ut erit quoque imbx, sive, restituto -- loco a I- iam sex , id

est, II Q mbx via. Quod demonstrandum determinandumque erat. Quod si aequatio fuisset y - 2ayzob x - aa, facta assumptione secundum Regulam, atque Operatione, ut supra deventum fuisset ad eandem aequationem, nimirum, R Dix. Sed quoniam Leo casu juxta Regulam assumenda fuisset idcirco quoque diameter Gm iisdem ut supra positis non infra, sed pra rectam A cecidisset, caeteraque omnia eodem quo supra

modo expedienda fuissent. Si vero aequatio sat0-aam xx 2ax, quae est conversasse perius expositae, assumpto Juxta Regulam xx - - a erit ν--am x. Quare si loco ipsus x in aequatione substituatur, a, atque hujus

285쪽

Unde statim apparet, reductam esse aequationem ad sormulam praedicti Theorematis septimi conversura , ac proinde Locum quaelitum esse Parabolam. Ad cujus specilla an determinationem est in apposita figura ipsius, initium immutabile pinacium A, intelligaturque eadem x a praedicto puncto A per rectam AT indesinite se extendere, sitque datus vel ast impius angulus, quem comprehendunt 'S x, aequalis angulo AGH vel FGH. Deinde, quoniam P aequatur x a producenda est recta AT versiis Ausque ad , ita ut A G sit m a de ex aducenda est GH, faciens angulum EG H vel P H dato vel assumpto angulo aequalem, ipsaque GH sumenda est pro Parabolae diametro, ad quam si per ejus verticem G atque latere recto FG Iob Parabola describatur, ut G D dico curvam G D esse Locum quaestum. Sumpto enim in ea puncto utcunque veluti D, ducta luem Eipsi H G parallela, si eadem Evoce tu , cum Esit x ascui, at ue ex natura Paraboles I GH rectangulum, quadrato ex H sive GE, crit bycio νν, sives, restituto x--a loco ν,

mxx ax--aa, seu by - aam xx rax Quod determinandum, demonstrandumque erat.

Quod si aequatio fuisset by-aado xx Lix, eadem per Omnia mutatis mutandis secundum Regulam instituenda fui siet opera

tio, cecidissetque eo casu punctum G inter Ad L. DE Eodem

286쪽

Eodem modosia quatio sit γε mina cymbx assumpto uata Regulam ζου -- - - . erit J DL Quo sibstituto in locum ipsusI, ejusdemque quadrato OcOII, expunctis clite iis , quae se invicem tollunt, atque omnibus rite ordinatis sequentem formam induta erit superior aequatic: Z - --bx, aut ita od x, si loco substituatur . Unde iterum apparet, aequationem esse reductam ad formulana Theorematis VII, ac propterea Locum quaesitum esse Parabolam. Ad cujus specificam determinationem esto in sequenti figura ipsius, initium immutabile punctum A, atque eadem,ab Apuncto per rectam Assi indefinite se extendere intelligatur , sitque datus vel assumptus angulus queia 44 comprehendunt, aequalis angulo EAF vel EAG. Deinde quoniam dest istinc in si I supra lineam

AE exsurgere intelligatur, veluti ED, ducenda primum est infra eandem recta Bipsi parallela, ita ut partes rectae G omniumque ipsi aequidistantium inter praedictas At mi interceptae, veluti AG EB, aequenturi cognitae. Quo peracto, cum quaevis recta, quae possit est ν, ad rectam Gi producta, ut exempli gratia, Di, --

oportet ipsi adhuc adjungere ut fiat aequalis Cassumptae. Quare, cum Gi seu At indefinite sumpta sit tole, si ex G juxta Theorema hujus libri infra eandem Gl recta ducatur, ut G C; ita ut omnium ipsi Gi parallelarum partes inter Gl G C in terceptae, veluti BG, ad partes ipsius ab inter Gri dictas parallelas

287쪽

rallelas interceptas, veluti B G, eandem rationem habeant, quae

est tueri S a. Quod ipsum ut fiat, ita tuatur ut cadi. ita Gi ad C eritque B C, . Eodem modo rectae omnes ipsi DC parallelae, quae a C B ad G C ducuntur, erunt . . Atque ita recta quaelibet supra Assi exsurgens , quae possit illa , postquam ad

rectam GC erit producta, ut, exempli gratia DC, crit γον c

cur Hujus igitur quadratum cum debeat esse, di, statim inde apparet, si Parabola descripta seret ad diametrum G C,

cujus latus rectum G ita esset assumptum , ut rectangula, sub eodem latere recto diametri portio tribus, inter verticem S ordinatim applicatas interceptis , contenta, forent i dx, candem illam Parabolam ore Locum quaesitum. At vero cum ratio c-ctae Gi ad rectam B C, aliarumque similium, cognita sit, nempe, uta adb; sitque itidem notus angulus G B C, sub iisdem comprehensus, utpote aequalis dato vel assumpto EA Fri erit propterea quoque ' nota ratio G Bad G C, aliarumque similium, perosae quae sit ut a cognitae ad e cognitam. Hinc cum Gl seu AT inde i finite sumpta exprimatur per x erit agitidem indesinite sumpta, hoc est, omnis diametri portio inter verticem S ordinatim applicatas intercepta o P. Quae cum in latus rectum ducta producere debeat aequationis terminum lix, idem quoque aequationis terminus d x per P divisus ut praedictum latus rectum restituat nectae est ac proinde per eandem divisionem cognoscitur

quaestum latus rectum aequar V. Sumpta ergo GJ prolatere recto, si ad diametrum G C, ut supra dictum est, describatur Parabolam ID, secans rectam Assi in I dico curvam ID sore Locum quaesitum.

Atque hic, ut in aliis similibus exemplis obiter notandum, si Parabola descripta praedictam Aa non secaret, id certo indicio sore, quaestionem propositam, per quam legitima Operatione ad ii pra ex prcsam quationem perVentum fuerit, jus este conditionis, ut Locus ad indagandum propositus sui quidem natura Kk 1 linea

288쪽

linea Parabolica existat sed quod nulla tamen quaestioni satisfaciens describi possit, cum propositae quantita

tes, eo ut petitur, modo, conjungi nequeant. Ad demonstrationem autem corum, quae supra dicta sunt, sumatur in curva Impunctum utcunque, veluti D, ductaque Eipsi FG parallela, quae protracta secet rectam Gi in B, Occurratque diametro G C in C, si DT vocetur , cum EB seu A sit ma , i aso erit totam C m hoc est, Cumque ex natura Parabola quadratum ex DCoo FG C rectangulo erit quoque ex antedictis coo di. Ac proinde substitutis aut restitutis, loc itemque in locum ipsius d et ablatis quae propter aequalitatem se invicem tollunt, ordinatisque omnibus, ut decet, erit 'H- - 2 cImbx . cc. Quod deterini nandum, demonstrandumquc erat. Sua autem aequat1otulit et I - ' - 2 P0bx-- -c

facta assumptione secundum Regulam atque operatione uti decet, ad eandem aequationem perventum fuisset sed quoniam juxta assumptionem eo casu faciendam fuisset aequalis=- idcirco quoque suppositis, ut ante, recta Gm non infra sed supra rectam AT, ut G non infra sed supra eandem G B ducenda fuisset, caeteraque omnia eodem quo supra modo fuissent expcdienda.

est conversa superius expositae , assumpto juxta Regulam mx- --c erit xxv - - c. Unde substituto hoc valore in locum ipsius, ejusdemque quadrato loco xx, expunctisque iis, quae se invicem tollunt , atque omnibus rite ordinatis, superior aequatio sequenti forma induta erit Fb ανν, aut si loco --b substituatur U IMyr. Id quod rursus arguit aequationem propositam reductam esse ad formulam praedicti Theorematis VII pia versim, ac proinde Locum quaesitum esse Parabolam. Ad.

289쪽

Ad cujus speciscani detenninationem est in sequenti figura ipsuis, initium immutabile punctum A , atque eadem, a puncto per rinam A E indelinite se extendere intelligatur, sitque datus vel assumptus angulus E AH vel FAH. Deinde, quoniam ex secunda parte Theorematis VII constat, praedictam Parabolam ita esse describendam, ut ordinatim applicata ad ejus diametrum sint ipsi AT parallelae debeant lue juxta aequationem propositam aequales es quantitati assumptae , hoc est, x in ducenda primum est recta Get ipsi AM parallela, ita ut pars re-E A, versiis A productae , ut Z omnium ipsi quidistantium, velut AG vel H Brito, cognitae. Quo facto, cum quaevis recta, quae possit se ipsi Ai aequi distans Maequalis, ac proinde exprimi per x, ut, verbi gratia D H, ad rectam et producta, uti Di,

aequctur x--c ita porro iuncto ducenda, Z , secundit in ea,

quae in praecedentibus explicata sunt, constituenda est Parabolae diameter ab adversa parte ipsius Gi , quam est punctum E in recta C, ut, si B indefinite vocetur . BC, aliarumque omniunt ipsi A E parallelarum inter eandem S rectam ninterceptae partes exprimantur per Atque ita quaelibet recti ipsi Ai parallela, quae possit esse, ad rectam G C producta, veluti si hoc est , . Cujus quidem quadratum cum aequale esse debeat alteri aequationis termino, nempe statian apparet, si Parabola descii pta foret ad diametrum G

290쪽

cujus latus rectum G F ita esset assumptum, ut rectangula conten ta sub eodem latere recto &diametri portionibus, inter verticem Gin ordinatim applicatas interceptis, forent m , eandem illam Parabolam fore Locum quaestum. At vero cum ratio recitae Gla rectam TC aliarumque similium cognita sit, nimirum , ut aadb; sitque itidem notus angulus sub iisdem comprehensus, ut υ η βη pote aequalis dato velashmpto EAH erit quoque ' ratio ipsius B ad G C aliarumque similium cognita, quae sit ut a cognitae ad ecognitam. Quocirca si G sive ED indefinite sumpta exprimatur e , erit G C itidem indefinite sumpta, hoc est, omnis diametri portio, inter verticem Mordinatim applicatas interceptato T. Quae cum in latus rectum duci a producere debeat quationis terminum T idem quoque aequationis terminus f per P divisus ut praedictum latus rectum restituat necesse est ac proinde facta eadem divisione indicabit quotiens latus rectum qua

situm sore Hinc, sumpta Gi pro latere recto diametrum G C inventam , ut supra dicitum est, describatur sectio Parabolica GID, secans rectam Ata in I dico curvam I fore

Locum quaesitum.

Sumpto enim in eadem puncto utcunque, veluti D, ductaque D E ipsi A H, ut OG ipsi KE parallela, quae quidem D C secet rectas AH in punctis H&B, occurratque diametro GC in puncto C erit AE mxmDH, EDaυχGB; AG&UBχc BC οἱ , ideoque tota DCma: c- , hoc est,.. Cumque ex natura Parabola rectangulum FG C sit aequale quadrato D C : erit, facta multiplicatione V in , atqueis in seipsam θανν. Et substitutis aut restitutis inc u loco V, itemque S i in locum ipsius , atque ablatis quae propter qualitatem se invicem tollunt ordinatisque omnibus, ut decet,

υ- ω cc mxx - - cx. Uod determinanduna demonstrandumque erat.

De caeteris amem casibus, ad praedictam sermulam spectantibus, supervacuum suerit plura exponere, cum ex praedictis facile expli-