2: Renati Des-Cartes Geometriae pars secunda. Cuius contenta sequens pagina exibebit

301쪽

nire que inadi nodum D cita ut ducta rectiae D A , DI quaru iubaee ad datam B C intelligitur perpendicularis, ibi invicem aequa

les sint. Ducta perpendiculari AE . quae vocetur a ac suppost: l. xta Re illam binis lineis Ei, D incognitis atque inde terminatis datum angulum rectum DF D comprehendetuibus tanquam Ocnitis ac deiciminatis, quarum prior EF vocetur x, ac pollet Cri D nominetur si ducta praeterea intelligatur aequi distans, crit in triangulo rectangulo AG Dialis A D ον, ut potes ductae T latus vero AG seu recta Ei ta, sive vi punctum G cadat inter D Z I Assi, aut ii punctum D inter F&G cadat At imi a. Unde, cum qua dratu in basis aequale sit binis laterum quadratis unu sumptis, ouatio erit iria, hoc est, ablatis iis quae se invicem destruunt, omnibus clue rite ordinatis, erit a'-aam xx Qui quidem casus est Theorematis non hujus ibi convcrsi , die proinde Locus quaestus crit linea Parabolica. Quare si ii ta

302쪽

ea, quae ibidem exposita sunt, ex Educatur recta EI indesilait c cxtensa atque ipsi F D equi distans; ab eadem auferatur recta Hi , id est erit describendae Parabolae dianacter in dicta EI, qua quidem diameter axis quoque est, propter angulum Et D rectum vertex autem in H, ac parameterio 2 a. Unde, per ea quae libri primi capite primo exposita sunt, Parabolani ipsam describere facillimum erit. Cumque porrb axis punctum A, utpote quod ab H vertice distat quarta ipsius parametri parte, id ipsum sit, quod vulso Parabola Focus scit Umbilicus nuncupatur, apparet ex praemis is recte inferri, quae sequuntur. Coronxium .

Quae ab Umbilico aci quodlibet Parabolae punctum recta ducitur aequalis est axis portioni per applicatam ab eodem puncto abscis, S quadrante parametri perverticem productae. Constat enim ex antedictis rectam AD, utcunque assumptum hi erit m curva punctum D per idem illud ad axem ordinatim applicata sit I aequalem esse perpcndiculari Di, hoc est, rectae IE, nempe axis portioni, per applicatam DI abscissis crverticem , longitudine H Em ' a , id est, quadrante parametri, productae. Coron; ium 2.

Maniscstum quoque est cx ante dies is, si positis quae supra. producta F D, uti ad M, per assumptum punctum D contingens ducit a sit, uti DN, angulum F DK sive M DI angulo ADT aequalem esse.

gulu A DI angulo Ario, hoc est, angulos D Κ sive M DI

qualis sit necesse est.

303쪽

III. TErtio autem casu supra e prestis, cum nempe quan titatum incognitarum utraque ad quadratum ascendit, live altera in alteram duci in aequatione reperitur, neque aequatio ad terminos magis simplices re duci potcit, ad aliquam sequentium formularum c-

Ventum crit;

XI. Propositio Q. Si a quati a ta)xxis , Locus quaesitus cst Hyperbola. Sit enim ut in praecedentibus, ipsus x Initium immutabile Apunctum , atque cadem illa perrectam A indefinite se X- tendere intestigatur sitque datus vel alsumptus angulus, quem I x comprehendunt,

aequalis angulo Ea B, aut eiusdem ad binos rectos supplemento. Deinde sumatur in AErcota AC m , du- Laturque CG idem

aequalis ac ipsi AD parallela, de scri Ilaquc ' crpui citui

304쪽

esse Locum quaesitum. Sumatur enim in eadem curva punctum utcunque, veluti D, 'ρ 3pri ductaque D E ipsi AB parallela, erit ex natura Huperboles e tangulum ATD rectangulo A C G, hoc est, quadrato ex A aequale. Hinc cum Assi sit assumpta pro incognita quantitates ED vocetur , erit . xij f. Quod determinanduin demonstrandum clue Crat. i R A XII.

Si aequatio sit Ψ xxx-V, erit Locus quaesitus i

nca Hyperbolica.

Aut enim ipsigaequalis est aut inaequalis, S si aequalis sit crit superior aequatio cadem ac si ellet I x x x - quod semel monuisse suffciat . Ac τ . facis apparet , ii ipsus a initi uini m- nautabile sit punctum A, atque eadem a se in linea E ab A versus E

lis angulo AG F, quod si tam quam Ac sanesto cognitae, sumatur centroque A. transversa diametro C G ipsi ab lateri

e 'i parametro aequali describatur ' Hyperbola, ut GD,

eandela curvam a fore Locum quaesitum. ostensa sunt uinpto enim maea puncto utcunque, veluti D, ductaque D Elphi G parallela, erit 3 ex natura Hyperboles, clim C Ga Gi

305쪽

At vero si fiat inaequales apparet esse,ut radita, ad , Ac proinde ii juxta ea , quae supra exposita sunt, non ampa tameter et diametro transve sar C G aequalis, sed ut i adita fiat transversa diameter C G ad GF parametrum, caeteraque omnia, ut supra, codem modo quaesto crit satisfactum. Est enim ex natura Hyperboles, ut FG ad C, ita ED ' quadratum ad C EG rectangulum, hoc est, ut ada, ita 'ad xx -- ff. unde revocando proportionem ad aequalitatem , critly mgxx-gff. Ac proinde si utraque hujus aequalitatis pars dividatur per g erit xxx-10. Quod determinandum, de-

inonstrandum clue erat.

Propolitio I . Si quatio sit33- erit Locus quaesitus Hy

perbola. Ad cujus determinationem specificali cu ill ipposta ligura ipsius Pilestium immutabile punctum Α, ipsa luelle ab A ver u

306쪽

E in linea A indefinite extendere intelligati ir, sitque angulus quem Iacis comprehendunt aequalis angulo E AG aut ejusdem ad duos rectos supplemento Deinde, cum sit ut ad g, ita γ- Iad xx, satim apparet, si tam A G quam Ac sumantur aequales cognitae, sat que, tu adg, ita CG ad GF quae quidem G sit ipsi Assi parallela , ac postea centro A, transversa diametro C G, parametro Gi Hyperbola describatur GD, eandem curvam

Diore Locum quaestum. Sumpto namque in ea puncto utcunque, veluti D, ductaque

D E ipsi A G, ac D B ipsi AT parallela, si eadem Di vocetur , erit C B, hoc est, D E C, ου --f, Λ BG, sive DE A G, ' i Dein cum ex natura Hyperbolae sit ut G ad G F, hoc est, ex hypothesi tu ad g, ita rectangulum C BG ad D B sive Ai quadratum, id est, ita D-ffad xx erit DP --gffα lxx hoc est, II-ffso Quod demonstrandum, deternunandumque crat.

307쪽

Proposito S. Si aequatio sit Io, crit Loclis quaesitus Lialipsis. At vero cum Ellipseos species, quae latcra rectum de transversum aequalia habet, angulumque quem Orclinatina applicatae iaciunt ad diametrum rectum, si Circuli circumferentiaci palam fit casu proposito Locum quaesitum etiam Circuli peripheriam csse posse.

Hinc ad praedicti Loci determinationem esto in apposita sigit raripilus x initium immutabiles punctum , atque eadem, se per linearia AE ab A versus E indeterminate extendere intelliga-

Dtur, sit clue angui. quc: n et, comprelaendunt, Oualis angulo AG F. Porro cum sit ut ad . . ita f- x x ad II facile apparet, si tam AG quam A C sumantur aequales s cognitae fiatque ubi ad g. ita CG ad G F, ac centro A, transversa diametro parametro Gi Ellipsis describatur m , is eandem curvam Giciore Locum quaestum.

308쪽

mi hujus.

ra Ellipseos ut FG ad G C , ita Em

quadratum ad CEGrectangulum. Hoc est, s Erevocetur 7, cum C E sit finx, ME Iof- , erit

Caeterum liquid bconstat, sim GC Faequales fuerint, hoc est,si zog, quod etiam GEc rectan- ulum quadrato PD aequale sit laturum. Ideoque si angulus CGF sit rectus, curvam G D Fore Circuli circumserentiam.

J gula iniversata , modi sique reducendi omnes

sunt, cum Locus et Hyperbola est, vel E ipsis,

vel Circuli circumferentia, ad aliquem quatuor cassium praecedentium, totidem Theorematibus jam explicatorum.

Si contingat, ut quantitatum incognitarum non modo una in alteram , Ut non tantum ait crutra vel utra que in se ducta, sed SE vel haec , vel illa, vel utraque unius praetcrca dimensionis in aequatione reperiatur, constituens planum cum alia, sive cognita sive incon ni

309쪽

ta, sive etiam cum partim cognita dc partiti incogitataci tantitate : oportet loco in Cognitarum , aut iliarum alterutrius, allum e re alias Vc aliam , quae ipsas caece clunt, vel ab iis deficiunt id tu intcgr. quantitate, quae cum illa incognita , in cu)us locum nova non est allum pia , planum constituere reperitur, si nempe in-Coglutarum neutra in se plana in aequatione ducta sit: sin lectis , dura idio talitum jus quantitatis, quae phinum constituit cum incognita, in cu us locum alliumptio facta est, alii utroque uxta disterentem affectionem per sigila in vel - , quae praefiguntur iisdem illis quantitatibus, ita ordinatis, ut cum incognitis ab eadem aequationis parte rei criantur. Qus iacto, dirci terato, ubi opti, si ad formulas Parabolarum , capite secundo expolitas perventum non fuerit, ad aliquem quatuor suprapositorum casuum reducta crit aequatio, ac proinde pii convenientem Locum determinare ac describere, per aquae superius explic. tatu lucti .iud difficile crit. Exemplum reductionis aeor Domini ad formulam Theorematis X I. Si aequatio fuerit , - cx hymee assumpto I - , de

Unde si secundi in Regulam tibique in aequatione loco iub

- lac, qui in totum cognitus est, scribatur H iff. Et apparet aequationem reductam si ad formulam Pheore:natis X l. ac proinde Locum quaelitu misi Hyperbolam. Ad cujus specificam determinationem ac descriptionem stoin apposita sigura initium ipsius, immutabile punctuin x, atque eadem, per rectamini indefinite se extendere intelligatur, sit que angulus, quem & comprehendunt, aeculatis angulo EA KNn aut

310쪽

tercepta, veluti AK aequetur cognitae. Porro, quoniam' est

x in b, producenda est ipsa Bri per cusque ad , ita ut C sitas h. Quo facto, erit acentrum ipsus curvae una Asymptot citra eritque altera ipsi A parallela, ut G H. Unde si juxta Regulam praedicti Theorematis XI in recta ansumatur Gqualis cognitae ducatur que C F eidem G C aequalis, ac parallela rectae A K vel G H, atque per punctum F, Asymptotis G B GH, sive Asymptoto G B atque ad axem G F, Hyperbola describatuti re dico curvamio fore Locum quaesitum. Sumpto enim in ca puncto utcunque, veluti D, ductaque D E ipsi Am parallela, quae secet rectam B in B, si eadem DE vocetur, erit m sive D E EI my - c, id est, Est autem

tumo.