장음표시 사용
421쪽
DEMONsT RATIONI Bus. 393 Quod ipsum docet, rationem quaesitam G A ad A E seu a adcile compositam ex ratione GD ad Da seu a ad b, ex ratiotic B dissi leuis adci, id est, rationem G A ad A E per D sexti ite eandem quam rectanguli sub GO , B L seu ac ad rectangulum sub BE, DL seu bd. Atque ita constat, quo pacto primum dictorum Theorematum inventum uerit sc inveniri possiit. Id autem ex Rin inoldi versione ita sonat.
In du.υ re Ias linea AB ct AG deduciae duae rectae lineae iii GD seceni se mutia in puncto Z. Dico quod ratio G A , ad AE con posta si ex ratione GD ad D Z, ratioti Z , ,
ad 5 E. Hi in postquam innotuit, quo pacto datis rationibus GD ad D ad Bi etiam dari intelligatur ratio ipsius G A ad
AT, utpote quae ex datis hisce rationibus est compositari haud inutile fierit, si ulterius hic ostendam , quibus datis lineis haec
quaesita ratio exprimatur, quandoquidem ratio dii dicitur cui candem exhibere valemus. In quem finem si inventa rati ad G ad colia nuri in artiril-dinem redigatur, quod quidem quadrupliciter feri potest, sumendo ad hoc aliquam ex datis lineis, obtinebitur qua lita ratio in
iura plici minus terminis. Etenim assumendo communem altitudinem c siliat ut cadis, ita ad quae vocetur e erit eoo b d ita ut quae sita ratio sit eadem, Maera ad ce hoc ell, rejecta communi altitudinec, ut
ad . Quod ipsum Ptolemaei si-guram prodit, in qua ex puncto Educta est EI parallela ipsi M. Si enim in ea nat ut Hadri id est, ut B ad Ε, ita DL seu bad
tam erit ea linea EI; ita ut CD
ad E seu a dis quaesitam rationem manifestet, eandem quippe clua est ipsius G A ad A E. Ut patet sexti propter similitudinem Anio D AG S IA E. Sic etiam assumendo communem altitudinem , si fiat ut a d b,
422쪽
Velii seu ad Nn , quae Vocetur erit eam LI. Et lata; isti, ita ut quaesita ratio liveadem, quae ac ad 4s, hoc est, rejecta a coiram uni altitudine, cadem qua Dad j seu B L ad LI. Hanc autem eandem esse, quam ipsius G A ad Assi, ita patet. Productis namque A B, GH donec coeant in K, erit propter similitudinem ivm B D Z,
D a, lineamque D H imili ter in utroque ductam , uti Lad ZI, ita ΚGad GH seu B E. Ut autem G ad BE, ita est, propter sua lilitudinem xvi K AG QUAE , quoque in ad AE. Quare etiam B L ad ZI erit ut G ad A E. Unde liquet, si a pro communi altitudine sumatur, ducendam esse ex Grectana GH ipsi B parallelam, donec occurrat rectae exi ductae ipsi AG parallelae inici eritque , junctam D, B L ad La ratio
Haud secus , si assum tu communis alii tudo fiatque ut sea, hoc est,
seu c ad Nin , quae voce tura erit ea oo I G. Et fit bgma , ita ut quaesita ratio G ad Assi eadem sit, quae bgad bd hoc est, reiecta communi alii tudinei, eadem P g adta seu IGad B E. ut patet ex similitudine taxum I G4 B A E. Quod ipsum arguit, sumendo b pro communi altitudine, ducendam esse ex G redi am Iipsi KE parallelam, donec occurrat productae Aa in I, ut habeatur ratio quaesita I ad B E. Nec
423쪽
DEMONSTRATIONI Bus. 39JNec aliter iit, si , assumpta conanauni altitudine , inuidad c laoc est , ut B E ad B L, ita Gm vel I seu a ad quae I vocetur erit ea Ol. Et hi
hi ac , ita ut quaesita ratio sit eadem, quae di ad bd. laoc st,...ῆς relecta communi altitudine d 1 eadem quati adi seu D F ad D Z. Hanc autem eandem esse,s quana GA ad AE, ita patet. Est enim propter suntlitudinem nam B DT B PC, lineamque Bri in utroque militer ductam , ut DT ad D Z ita C I seu D G ad II. Ut autem D Gad PE, ita est, propter similitudinem D AG MIA E. Aad AE. Quocirca&DF ad DLcrit, ut GA ad AE. Atque ita liquet, sumendo diro communi altitudine, ducendam cile ex Grectam G C ipsi B A parallelam, donec occurrat rectae per E iptio parallelae in C, rationem quaesitam csiem F ad D L.
Caeterum ut pateat, qua ratione demonstratio praecedentis Theorematis, qualis a Ptolemaeo acti tur, ex allatis deduci possit; ut quo pacto exinde plures alias de nonstrationes similes conficere liceat visum sui candem una cum aliis tribus, a me deducitis, laic sub ungere calculique vestigia, quibus innituntur, iunxit hic adllibere atque patefacere.
424쪽
DE CONCINNANDIS Demonstratio PTOLEMAEI., Ducatur enim per nctum E linea Esquidistans linea si oniam igitur lineae G Dis Ed seni quid iantes, ratio, lineae GA ad AE eadem es, ρθὰ est lineae GD ad lineam EI., Adsumatur autem deforis linea: D. Erit igitur composita ra- , , tio lineae G D ad lineam VI eiuratione lineae GD ad lineam, Da , ex ratione lineae D Z ad lineam E L Uare e ratio, lineae GA ad lineam a composita est ex ratio=ie lineae GD ad , lineam D Z, sex ratione tineae Diad lineam ELus autem , ct ratio tineae Diad E eadem rationi lineae ΖΓ ad meam, , BE, cum quid ante sint lineae EI ZD. Ratio igitur δε- , , neae GA ad lineam AE composita es ex ratione linea GD ad , lineam si es ex ratione in a B ad lineam B E. . Eod, erat demonstrandum. Aliter.
Ducta Κ parallela ipsi BE, donec occurrat producta AB in Κ, agatur B H atquidistans A G, occurrens ipsi K. in H, ungatu quem D, secans D in I. Quoniam itaque propter similitudinem Δxvii K AG DAT, G A est ad Assi, sicut D ad Bri vel H sed ut G ad GH, ita quoque est, propter similitudinem Δxum K D in B D Z , lineam quem H in utroque sitniliter ductam, B Z ad Z I. inare etiam
425쪽
DEMONsT RATIONI Bus. 397 etiam erit GA ad A E sicut B Z ad Z l. Hinc assuinpta sorinsecus linea B E, quoniam ratio Bet ad ZI composita est ex ratione B Zad B E, S ex ratione B E vel H G ad Z I, id est propter similitudinem Δx m H DG deID Z, ex GD ad D Z ei itiei inde ratio A ad AT composita ex ratione B Z ad B E. ex rationes Dad D Z. Quod erat ostendendum.
Adhuc aliter. Ut supra est D GD Z IG
Etenim ducta I parallela BI, usque dum occurrat productae AB in I: erit. propter innititudinem I AG i Assi, ut G A ad AI ita I G ad B E. Hinc cum, astum pia sorinsecus rectam Z, ratio ipsius I G ad Ba composita sit ex ratione I G ad Bet, id est, propter similitudinem tam ID G QB Det, ex G D ad V, ex ratione B Z ad B ta ei it pariter ratio G A ad x ex iisdem rationibus composita. Quod erat ostendendum.
Vel etiam hoc pacto: Ut supra est BE B GD DF
426쪽
398 DE CONCINNANDIS Ducta G C ipsi Ba parallela, donec occurrat rectae IE C ipsi DG parallela: in C, jungatur B, secans DG in F. Quoniam itaque , propter similitudinem xv G IAE, GA est ad AE, sicut GD vel IC ad IE at ut IC ad
IE, ita quoque est, propter similitudinem Δiun BIC i DF, lineamque B in iitroque similiter duciam DF ad DT: erit ctiam GA ad AE, sicuti F ad Da Assumatur jam forinsecus lineam G. Hinc cum ratio in ad Da it composita ex ratione in ad D vel PC, sive B Z ad BE, ex rationem G ad D erit similiter ratio G ad A composita ex rationem Z ad B E rationem G ad Da. Quod crat
Idem pariter derid P o Lam a Theoremate aliis citie similibus est intelligendum.
Vnde constat, praesupposita Alebrae cognitione, haudquaquam necessaria esse exist manda, quae de Rationum Logistica communiter traduntur, non magis quams ad Q vis generis ρ stiones per Astebram solvendas multifaria addi cantur Theorematae cum es inmenire istas demonserare ipsius Lgebr. si munm , quam Pidem excolendo non modo ingenium exercetur, sed res ima funditus eruitur, citra eam rosaepissi me ista ipsa Theoremata non satis feliciter adhibentur.
Latist in dii Ai a cognitis omnibus lateribus cangulis , ab eodena datam portionem resecares, i ncis EF, FG, GH, da H latifundi lateribus A B,
B C, D, Di parallelis. ab iisdem pari ubique
intervallo dissitis. Junctis AE, F, G,&DH, demittantur ex E, F C super AB, BC, CD, MI A perpendiculares EP a LFM, GN, GO,&ΕΚ at ex super D m E perpendiculares DP i in i Quoniam itaque in rectangulis trianguli AIE MAN E qua
427쪽
primi temeritorum sunt aequalia, erunt ipsa inter se aequalia. Est auteniquadratura ex E I x quale quadrato exim, quippe ob aequalitaten rectarum Eq, EAE , aequale intervallum indicantium: Quare etiain quadratum ex AI quadrato ex Kaequale erit , adeoque de I aequalis A K. Hinc cum tria latera trianguli PE aequalia sint tribus lateribus trianguli AKE, erit quoque angulus I AEangulo Κ x per 3 primi aequalis , ac proinde angulus B AD per rectam Ain bifariam divisus. Haud secus liquet, angulos ad B, C, perrectas BF, C ,, QDHbifaria in divisos cile.
428쪽
Additis jam AI, AN, L B, B M. C, CG, si ipsarum summa
summa rectarum I L M, O D, MK, id est, ipsarum EF, FG, Gl, ME. Quibus si addatur , summa ipsarum P H, H Q, erit a b c d R *- summa lite
rum internorum EF, FG, GH,4 HE. Porro quoniam portio abscindenda, quae vocetur IC pro trapezio accipi potest, cujus duo latera sunt parallela, fit ut si A B, C, D, S: D A in rectam lineam Am junctim collocentur, ut DF, FG, GH, in rectam lineam ET, trapegium ARTE ipsi portioni abscindendae futurum sit aequale Quocirca si juxta vulgarem regulam hujus area quaeratur, addendo scilicet latera parallela AR ET, semissem summae multiplicando per ipsius latitudinem E scuis , habebitur aequatio inter ac ψx-- x-- dx
id eli, aequatione rite ordinata,
429쪽
Ceometria indicatur, litatum quidem ni ajor dum lineam ex bibet quae lita EIma iniicstenaasorem, idcirco merit hic erit negligenda. oniam autem ex E. F, G S D intervallis Eliel DK. FLxe F , a vel CD, D P vel D inde scriptis circulis rectae A vel AK, LB vel BM, C vel CO S i Hiel M tan- entes iunt complementorum semissium datorum angulorum A, B, C , Si fiet ut, si e pro radio sumatur, ipsis h, deci dictas tangentes designent. Quod cum eodem modo de omnibus aliis figuris rectilineis intelligendum sit, a quibus hujusmodi portio resecari debet haud disticulter poterimus, si angulos A, B, C
suntlesque vocemus externos, at angulum D in te inum , ut
cos omnes , qui hujusce generis exiit int, atque praeter quationis constitutionem pediemus insuper, quaenam ad illam resolvendam sive ad quaesitam latitudinem ex ea obtinendam sint facienda , regulam inde generalem formare, quae sic se habet.
Additis figura lateribus, multiplicetur summa per
radium io oo oo, productumque dividatur per summam tangentium, angulorum qui semissium datorum sunt complementa, cum videlicet dati anguli omnes sunt eXterni, aut per carundem differentiam , quum caeterni ac interni existunt, dctit primum in Ventum.
Deinde multiplicata arca portionis abicindendae per radium ioco oo , dividatur productima per pr dictam summam vel increntiam tangentium fit secundum inventum. Qu' subducto a quadrato semissis primi inventi, si reliqui radix ab eodem se mille auferatur, relinquetur Lititudo quae sita.
Inventa igitur per Algebram via, qua Problema propositum solvendum sit, ipsius veritas ex sequentis calculi applicatione, quae ab a partim est aliena, manifesta siet; si modo ibidem consideraverimus, completo parallelogrammo Am ST productisque A R T donec coeant in X rectam S , duplum supra dicta summae vel differentiae tangentium referre, atque dem illis
perpendicularibus R VAE rectam S T ad R V, ob simili tu dinem triangulorum eam habere rationeni, quam Am habet ad a.
430쪽
98938-IO OO OO--rel.ti iang.ETX. 3 l3 ad T Z-13 8il eritque Z- TA. Hinc subducta X seu 7 7 G ex XX seu 2 9 Pi, relinque uir uera L P, pro Y Z latitudine quaesiit portionis abscindendae. Caeterum cum non absimili modo a data qualibet figura redii linea portio data magnitudinis abscindi possit, aut etiam cisae ipsius figurae certam partem sive partes contineat, lineis quibusdam duntaxat lateribus parallelis ab iisdem aequali intervallo distantibus plura hac de re afferre supervacaneum duximus, praesertim cum materiam hanc nec non determinationes ob spectantes jam saepius in Lectionibus nostris Publicis abunde pertracta