장음표시 사용
391쪽
DEMONsT RATIONIBUS. 363nicinia GD D DK aquales, qua cli attrini Birinus quadrato CD cim ale it rectangulo Cirici manifestu: n cst , si ρ si aequalibus hisce rectangulis A CD d CB addatur commune quadratum C D vel DK , etiam totum toti aequale esse, id est, ni per 3I re tangulum AD C seu AD EF ipsi Di quadrato seu D B G H. Quod erat faciendum.
Cuniis c structione et ut A I ad IIJ, ita BG ad GD erit quoque sumptis consequentium duplis, ad I C, ita: Cis CD ad LGII seu CK 5 dividendo ut A C ad a, ita luem ad K id st, sumptis consequentium semissibus p ut AG ad QB, ita est, i BN ad K D vel GD AEquale igitur est rectangulum sub extremis A.C. O rectangulo sub mediis C B, B K. Quibus si addatur commune quadratum C D vel D M, erit S totum toti aequa quisiti.
te, id est rectangulum Am C seu A DII ipsi quadrato D B 'scum BG o. Quod erat faciendum.
Data recta AB utcunque secta in C, rectaque exclus terminossi super ipsa perpendiculari indefinita BD:c alter Mus terminori rectam lineam ducere AD, huic occurrentem in in ita ut ipsa aequalis sit rectis DB unu sumpti S. Scries Anal sios.
Ponatur factum quod quaeritur, sitque Amici CBili BD mx: eritque ADmb Hinc cum angulus ad B sit rectus, erit quadra a est 'tum ex AD aequale binis pri/ni.
quadratis ex AB de BD. Z 1 Unde
392쪽
CONCINNANDI Unde talis resultat aequatio
Ad quam reducendam, tollatur utrinque x x, erit quesb. 2bxmaa. Deinde transferatur ad alteram partem, ut incognita quan 'titas ab una parte habeatur & reliquae ab altera parte,
Cujus utraque pars sit dividatur per J, obtinebitur xi. 'T . Hoc est, resoluta aequalitate in proportionem, erit ut a b ad ι - - , ita i ad x. Quod ipsum docet, ad Problema hoc solvendum , prout B Ein directum ipsius Ai sumpta est aequalis B C, opus tantiim esse, ad C E, A E. in C invenire D proportionalem B D. Ad inveniendam autem demonstrationem, fiat repetitio vestigiorum Analyseos, incipiendo ab ejus fine & per eadem vestigia progrediendo usque ad ipsius initium cita videlicet, ut quod in Analysi seu Resolutione addendum praecipitur, id in Synthesi seu Compositione subtrahatur,4 contra cum Analysis S Synthesis directe omnino sibi invicem opponantur.
393쪽
DE MONS Τ RATIONIBUS id cit, red:icta proportione ad aequalitate iii suinpta luellaequali BC,
L constructione es ut 1 ad uin i, ita a i ad x.
Invcrata igitur tum Constructione tu in Compolitione sive Demonii ratione, poterit Problema neglecto jam artiticio, tuo
utraque fuit investigata, in hunc modum construi atque componi. Coni ructio. Producta AS adi, ut Bri sit aequalis B C stat ut CT ad AI, ita A. ad B D, jungaturque A D. Dico hanc ipsis Di, B Cl mul sumptis aequalem esse. Demonstratio. Etenim productam B ad F ita ut B Fit aequalisi a quoniam per constructionem C E est ad AE, sicut AC ad iure erit f rectangulum sit extremis C E B D , id est , duplum re-Otanguliim FB D, aequale rectangulo sub mediis EA, A C. Quibus si addatur
FB vel B C, erit etiam quadratum m una cum duplo rectangulo BD aequale quadrato ex AB Quibus si rursus addatur commune iris os quadratum ex B in erunt quoque bina quadrata ex FI, B D simul cum duplo rectangulo FIO. id est', ouadratum totius F D, aequalia binis quadratis ex AB, BD, id est aequale quadratoc A D. Undes ipse rectae Dra in D aequales erunt. Hinc cum D aequalis sit ipsis D B, B C simul impiis erit etiam AD ipsis DB, BG simul sumptis aequalis. Quod erat faciendum. et 3 THEO-
394쪽
Si in ita irante circuli AB C sumatur arcus quilibet B D minor quam gr. cujus duplus sit B E, eorumque tangentes DF, BG crit ut quadratum radii A minus
quadrato DF ad duplum quadrati Assi, ita PF ad BG
Series Anal seos. Esto AB manam , eritque F tam J-x Quoniam itaque arcus B E ipsus BD duplus ponitur, ac proinde augulus B A lduplus anguli B AI erit angulus ad A in triangulo A narecta AI bifariam sectus. Unde erit ut FG ad F ita AG ad AB Ideoque ii F, AG aequale αἰ FG, A B
Hinc ducta utraque parte in se quadrate,
diu utrinque per add. utrinque a ax
Hoc est, erit ut ais-xa ad raa, taxady Ut proponebatur.
395쪽
DEMONSTRATIONI Bus. 367 Demonitiationis selies eodem ni odo se habet quo Analyseos, cum utrilisque vestigia consentiant, quibus ab lay pothesi ad quae- sui conclusionem perducimur. Uti hic videre est. Etenim cum c sit ut ad Ba, ita Ac ad A B:
erit quoque ut FG ad BF, ita TAG seu AB CB Gad TABD-2 I xx xx- id est .aa II de dividendo ut T FG- BF vel FH,
utta BGH ad BG, vel 4tHC ad m, ita tali ad T A B
Id est, invertendo ter conversionem rationis , ut T AB ad T AB T BF ita GBad B H
& duplatis antecedentibus' convertendoque ut T AB UBF ad 1 TAB, ita B Had 1GB seu BF ad BG
Quod erat ostendendum. Quod si autem Algebrae ignaris sive in inveniendi arte imperitis ipsa demonstratio sit exhibenda , poterit ea praetermissis jam hisce vestigiis sic adhiberi. Sumatur FO aequalisla Cum igitur in triangulo A BG angulus ad Arecta AF bifariam sectus sit, erit ut FG ad BF, ita in iis AG ad A B. Sed cum linearum proportionalium etiam propor tionalia sint ouadrata erit ut quadratum FG ad quadratum TF, ita quadratum AC id et L prum , summa quadrato- rum AB, BG. ad quadratum AB. Et dividendo ' ut quadratum
FG minus quadrato BF ct FH, id est ' rectangulum BGPl, ad quadratum B F, ita quadratum BG ad quadratum At per mutandoques ut rectangulum BG Had quadratum BG seu ut is HG ad Qt, ita ii ad ratum B F ad quadratum AB. Hoc est, '
396쪽
368 D E CONCINNANDIS . per ρηρ invertendo& per conversionem rationis ut clii ad rattina AT ad th cbhri 'uadratui in i minus quadrato B F, ita Gi ad B H dupla-
quinti tis antecedentibus t convertendoque, ut quadratum At minus
quadrato B F ad duplum quadrati Al , ita TH ad duplum ipsius justiti seu ad BG. Quod erat demonltrandum.
is Si Tangem cujuslibet arcus minoris quam gr. ducatur, , in duplum . adratum Radii; a 'adrato Radii auferatur, Tangentis quadratum udproducium diti latur per hoc re, siduum: uotus erit Tangens arcus dupli.
Theorema hoc a Clarissimo viro D Joanne Pellio excogitatum atque ingeniose adhibitum pluribus modis demonstratumrcperitur in tractatu ejus de controversiis, circa veram circuli mensuram , inter ipsum Clar virum D. Christianum Severini Longomontanum ortis, ac anno Isin lucem editis. THEO REM A.
Si fuerit triangulum ABC, imus angulus ad Trecta BD bifariam sit divisus, ex DC abscindatur B Eaequalis A B, jungaturque Assi, secans BD in F dico, si agatur E G parallela A C, occurrens ipsi BD in G, csihu BG ad BD, ita AD ad DC AB ad BC; nec non bi csse ad excessiim, quo D C superat AD, sicut BD ad DF.
397쪽
DEMONSTRATIONI nus. 369basis cie AF alia aequalis. Porro cuin propter parallelas C, ni anguli in I, FI in triangulis A FG, FG E aequa p imi lectuat, ut de cinguli ad verticem A Od GF E latusque , e relateri FT , ut ostensuin est erunt quoque reliqua latera AO, Di reliquis lateribus EG, Gia qualia Hine cum propter si 'militudinem dilangulorum BGT,BDC, BG sit ad Gi, id est, per Gr. AD , ii ut BO ad D nec non BG adii, id est Ai sicut B D ad B rit quoques permutando B G ad BD, sicut iii. ad D C, S A B ad B C. Quod est primum. Caeterum D lis esse ad excelsum, quo D C superata D, sicut BO ad D Fci ita patet. Est enim, ut B ad BD, ita AD ad DC
Ideoque za BG, DCrum Q BD, A D. Ire 6 add. utrinque 'T toti utrinque bis
diu utrinque per Ifit Hoc est, erit uti DC DC AD BD DF a ad ,- , ita b ad di Quod est secundum. Ibi etiam , hoc modo Etenim cum sit ut G ad BD, ita AD ad DC
398쪽
3 o DE CONCINNANDIS Ex his facile est, cognitis AD, DT, invenirem F. Si enim , exempli gratia , AD sit 39 DB 1,&DC3r :tia utram C 61 o ad D C AD 18 6 ita Di 1,ad Dicis .
Iisdem positis, dico rectangulum ADG una cum quadrato D B aequale esse rectangulu AB C.
GADC TDB ABC Et fit b a ax. Quod erat propositum. Quo autem pacto in adaequatione hac resolvenda argumentandumst, ut sequendo vestigia allatae reductionis, quae obsuperiorem multiplicationem per crucem proprie Algebraica est,
399쪽
DEMONsTRATIONI Bus. 37iquaesitum Theorematis Geometrice concludatur, sequens terminorum dispositio docebit. Ex praecedenti Theoremate est ut 1 DC ad DC AD, ita BD ad Di U Uae proinde C DI aequat Gi DC ita ADB ij Deinde est, ut BD ad DC, ita 1 BD F ad 1 GCDF.as cperi xti
reliq T A B-T AD ad rei G ADB,ut totum ad totum seu BD ad DC Facile hic esset quaesiitum Propositionis concludere, revocando hanc proportionem ad aequalitatem, deinde in locum a sub tituendo x. Sed quoniamsi adsolida ascenditur, de quibus in posterioribus Elementori Vibris agitur, qui ob dificu tatem suam magis praeteriri quam pro Elementis Geometriae addisci solent, poterimus iisdem sepositis in quaesit conclustionem sic ulterius argumentari. Sed ut BD est ad D ita quoque est ADBad ADC, assumpta
400쪽
3 1 DE CONCINNANDIS Erunt itaque C AB CAD. ADB, D AD tres magnitudincs
&DIO, G ADB, M ADC tres aliae ab alterabb bc parte, quae binae
que proportio est perturbata: quarc etiariis ex aequalitate proportionales erunt, id est, TAB GAD ad GAD, sicut T BD ad G AD C.
T AB ad AD, sicut T BD GADC ad G AD C
AD ad DC, id est,cad I. Sed ut AD ad D ita est quoque AB ad BC, seu p, TAB
adi, B C, id est,cia adax. Unde erit ulta AB ad CBD-μα ADC, ita a B ad G AB C.
bb-- ax moderat ostendendum. Idem quoque aliter a nobis demonstratum reperitur Propnς roma secundae partis prioris tractatus Exercitationum nostrarum Mathematicarum ac praeterea etiam adhuc aliter ab aliis.