장음표시 사용
621쪽
nibus resultantibus inveniatur proximus valor summae qqaesitae, & sic deinceps: vel assumi Possunt series, quae continent integrales quaesitas in terminis quantitatum Z & quorundam praecedentium terminorum, quibus in datis sequationibus pro suis Valoribus substitutis, & correa spondentibus terminis resultantium aequationum inter se aequatis ex inde deduci possunt series quaesitae. E. g. Sit series set' - az '' bet)' - &c.) t - z) e Σ' Α ΦΥΣ=-- - &c.) & exinde s -- - a - e b-ae - ρο- fis &e. , ' Σ Ea sassumatur quantitas Bz' pro summa quaesita, & consequenter duo successivi termini t & f erunt respective B Q - z-- I) B
& consequenter α --e in .ini & sic ex continuo repetita operatione, i. e. scribendo bz' -- kZ' - &c. pro summa quaesita facile deduci potest approximatio propior ad veram summam; & sic deincePS. Et sic de quacunque data relatione hujusmodi inter successivos te minos i, f, H, &c.
622쪽
z - &c. δr r r . si, & consequenter rα sa - re); & sic de inceps. Hinc etiam e principiis hic traditis deduci possunt propiores approximationes. Si vero indices datae sequationis sint respective θ, θ - r, θ - 2 ir,&c. vel data aequatio sit quaecunque algebraica vel etiam fluxionalis vel incrementialis functio successivorum seriei quaesitae terminorum,& quantitatis a distantiae a primo seriei termino; ex principiis hic traditis deduci potest eius summa. Convergentia seriei e principiis prius traditis diiudicari potest.
Prope; reducatur haec aequatio ad aequationem e - ' g
623쪽
Z i. & ex sequatis correspondentibus hujusce & datae sequationis terminis resultant tres aequationes r, se a Sc γ -b ;e quibus erui possunt α - --m dc n : deinde assumatur summa seriei S - α κ f prope, & exinde per metho dum prius traditam, i. e. inveniendo differentiam S - S - α κ EM m et in m I - . χ-- z-m -- Λ - . in hac aequatione scribendo Pro ejus valorem r -- --- &c. - r H- - - - &c. t & aequando correspondentes resultantis & datae sequationis terminos deduci possunt coem- cientes jῆ ἡ Sc n ; dc sic deinceps: Vel assiimatur summa S in is
S - ς - t SC aequatione exinde resultante i - az bE cet ' in dec. f, acquiri Posiant coefficientes α, tu, n, dcc., ras, dcc. s. Data sequatione relationem inter diversos terminos t, ...t' exprimente; invenire summam seriei, quae praedictam habeat relationem : assumatur G ri Sce., &
624쪽
scribantur hae quantitates pro suis valoribus in data sequatione; & exsequatis inter se vel nihilo comes pondentibus aequationum resultantium terminis erui possunt coefficientes a, b, c, &c.; & exinde summa
a 2 et in a. z - 3 et ' a. a I&c. scribantur hae quantitates pro suis valoribus in data aequatione,& ex aequatis corres Pondentibus resultantis aequationis terminis erui possunt coeflicientes a, b, c, &c.; unde summa quaesita erit a z - integ.
Si vero termini haud exprimi possint per praecedentes series, tum
625쪽
rum summae innotescunt; Vel infinitae series haud multum dissimiles
assumi possunt; reducantur bae quantitates ad series secundum dimensiones quantitatis Q progredientes, & ex aequatis correspondentibus resultantis & datae sequationis terminis erui possunt coenicientes quaesitae: vel magis generaliter assirmatur quaecunque series secundum reciprocas dimensiones quantitatis z pro summa S, & deinde inveniatur ejus successiva summa S , ερ exinde earum differentia S- S, cujus termini fiant aequales eorum correspondentibus terminis in data serie: & exinde erui possunt coefiicientes quaesitae. 6. Eodem modo pro termino quaesito assumi potest quaecunque series
secundum reciprocas dimensiones quantitatis Q Pi Ogiediens, &c.: vel
assumi potest pro summa S &c., ubi literae L Q &c. successivos terminos; & A, B, C, &c. functiones quantitatis
z respective denotant: vel quaecunque aliae functiones terminorum t,t P, &c., & quantitatis z: vel pro S in quibusdam casibus assuman
In datis sequationibus relationem inter summas S, M &c. & termi nos t, &c. exprimentibus rejiciantur omnes termini, qui ex data hypothesi evadant multo minores quam reliqui; & ex sequationibus resultantibus inveniantur approximationes sor, &c. ad summas vel terminos quaesitos, &c.; pro summis vel terminis praedictis substi tuantur re, &c. per incognitas quantitates auctae, ει ex aequationibus resultantibus per methodum hic traditam inveniantur propiores approximationes; & sic deinceps. Hae resolutiones saepe solummodo praebent Particularem valorem seriei quod quidem evenit, quoniam Pro Prima approximatione su mitur particularis valor; i. e. haud incipitur a primo seriei termino :invenire autem generalem Valorem perraro usui inserviunt; primo enim prae stat valores ad valorem quaessitum ma Xime appropinquantes assumere, quod restinguit resolutionem ad particularem, quae nulla disti
7. Si generalis valor per seriem infinitam quaeratur; tum in serie eX incrementiali deducta tot erunt invariabiles quantitates ad libitum assumendae,
626쪽
assumendae, quot continentur in generali. integrali datae incrementialis aequationis. Methodus has generales series inveniendi ex incrementialibus aequationibus vel aequationibus relationes inter successivas summas & terminos exprimentibua iisdem dissicultatibus urgetur ac methodus inveniendi series ex fluxionalibus aequationibus datis. Series incrementiales in fluxionales infinitas series triansformari Pomini. Ex. i. Sit sequatio t' assumatur e - a - - dic. unde a
Haec propositio haud nunquam magis facilem recipiet solutionem, si modo assumatur 1 -y t, Vel t -rt vel Pyt, &c. ubi P sit funiactio quantitatis et, & s si summa seriei quaesita, i vero & duo successivi termini, &c.; R deinde ita reducantur a quationes ut resutat' aequatio relationem inter 1 & z exprimens, e qua inveniatur I in te minis quantitatis Q, qui Progrediuntur secundum sormulas in praeceia denti libro traditas. P R O B. XXX. Transformare aequationem inter succe Dmmas et terminos des Θαμ- em is infinitam fi xiisvalem Gyr siti si Vcue relationem inter Iurimam S ves' D d d d termis m
627쪽
terminum t, ejus xiones, ta z di Gntiam a primo seriei termino V 2 m
In data aequatione cum solummodo contineantur successivi termini
628쪽
- δ M.; ubi erit coefficiens Primi termini in i m
iti et . 2.3 ... m; signum assiXum erit --, si m sit impar numerii, , sin aliter -: si m sit negativus numerus vel fractio, tum praedicta infinita series erit aequalis termino, cujus distantia a primo sit m in 1.
substituantur hae quantitates Pro siti. V loribui in data aequatione.& restillat aequatio quaesita. Ex. Sit i in az in hac aequ)tione pro i di e scribantur respective
629쪽
- az et szη - 3 Izy&c.), ex qua inveniri potest prima approximatio ad sum imam sic progredi liceat ad inveniendas reliquas opproXirnationes. Τ H E O R. XXIII.
i. Datis in summis quantitatis m n ' H
ubi a, b, c. &c, sunt datae coenicientes & m n in r) ad n diversos
valores abscissae x, α ordinatae 3; pro relatione inter abscissam ω &ejus correspondentes ordinatas γ assumatur aequatio A in B x . . CxaDx3 ... D ex hac aequatione inveniatur valor quantitatis F, in quantitate resultante Pro-κ & F scribantur Cariam n Correspondentes valores, ta resultabunt re simplices aequationes totidem incogianitas quantitates A, B, C, D, &c. habentes, e quibus constabunt co efiicientes A, B, C, D, &c. quaesitae. a. Sint duae vel tres vel denique n diverse quantitates s P) eiusdem
generis, i. e. sint datae. coessicientes a, b, c, d, &c. in diversis summis diversae; tum ex n datis vel ejusdem vel diversi praedicti generis quantitatibus ad n diversos datos valores abscissae x & ordinatae I, per methodum hic traditam erui potest aequatio AH- Bx - Cx . . . x' F, cui correspondent n datae summae. Cor. . Ex inventis sequationibus A - - Γx in C xy &c. erui possimi quaecunque. quantitates, quae ad Variabilea x&γ habent rela etionem facileqnvestigandam. Si vero assumatur sequatio a x bx ' in ex ' dx ε' in lac. γ, scribatur et ', & Lesultat sequatio praedictae formulae a in bE c Z -- dz3 in &c. - - - v, cujus resolutio prius datur. Omnia hας etiam ad sequationes curvas designantes, quN habent
630쪽
FIG. a. Sit basis AP et: & zm I, cujus ordinata PM- y; sit prima ordinata AF a, AB I & area AB EF A; sint A, B, D, E, &c. successivae areae per ordinat SI,' &c. respective gene