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stauans navolent rendu te moetnage deson merite extraordinaire , onauroit de la peine acroire toutestes choses quonen doli dire, pour ne rien retram cher de ses toti anges. It auolt toujours eniretenu Vne correspondance tres particuliere auec
Messeurs Descartes, Toricelli , Pascat, Frenicie, Robervat, Hugens, &c. dc auee la plus pari des grands Geometres d'Angleterre & d Italie. Mais ilauolt lie une amitte si etroite auec M. de Carcaui, pendant qu'iis estolent consteres dans te Pallement de Tolose, que comme ii a este te confident deses e studes , ii est encore aujourd'huy te depositaire de tous ses beaux eseriis. Mais parce que ce Iournal est principalement pour faire connoitre parteurs ouurages tes personnes qui se soni rendues celebres dans la republique des lettres; on se contentera de donner icy te catalogue des escriis de ce grandhomme; laitant aux autres le sola de IV satre vn eloge plus ample & plus
Il excelloit dansioutestes parties de la Mathematique; mais principat ment dans la stience des nombres & dans la belle Geometrie. On a de luy vne methode pour la quadrature des paraboles de tous les degro. Une auire de maximis Er minimis, qui seri non seulement ala determination des problemes plans & solides; mais encore a l'inuention des touchan tes & des lignes courbes, des centres de graui te des solides, & aux questions
Vne introduction aux lieux, plans & solides ; qui est vn traite analytique concernant lasolution des problemes plans & solides; qui auolt este veu deuant que M. Descartes eui rien publie sur ce sejet. Vn trai te de eontactibus sphaeracis, oti ita demonstrε dans les soIides ceque M. Viet Maistre des Requestes, n auolt demonstre que dans les plans. Un auire traiie dans tequelit restabiit & demonstre les dem liures S Apollonius Pergaeus, des item plans. Et une methode generale pour la dimens on des lignos courbes, &c. De plus, comme ii auolt v ne connoistance tres- parisite de l'antiquite, &qwil estoit consulte de toutes paris fur les dissici illea qui se presentotent; il aeclaircy vne infinite de lieux obscurs qui se rencontrent dans Ies anciens. OnDiuitigod by Cooste
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a imprime depuis peu quelques-vnes de ses obseruations sur Athenee; & cel qui a traduit te Benedetto Castelli de la messire des eaux courantes, en a insere dans son ouurage une tres-belle furvne Epistre de Synesus, qui estoit si difficile, que lepere Petau qui a commente cet autheur, a aduoue qu il ne l'auolt pu cntendre. Il a encore nil beaucoup d obseruarions fur te Theon de Sinime& fur d'autres Autheurs anciens. Mais la pluspari ne se trouueront γ' arses dans ses Epitres; parce quil n cscriuolt gueres fur ces sortes de sujcis, quepour satisfaire a Ia curiosite de ses amis. us ces ouurages de Mathematique, & toutes ces recherches curieuses det antiquite , n'empescholent pas que M. de Fermat ne fit sa charge auec beau coup d'assiduite, & auec tant de suis sance, qu it a passe potir via dcs plus grands Iurisconsultes de son tempS. Mais ce qui est de plus serprenant, c est quauec tolite la sorce d'esprit qui esto it neces ire pour Quienir les rares qualiteZ doni notis venons do parier, ilauolt encore une si grande delicatesse δ'esprit, qu'il falsoit des vers Latins, Fransols& Espagnois auec la metae elegance, que s'il eut vestu du temps
partem plus particulierement des ouurages de ce grand hom me, torsqu'on aura recouuence qui en aeste publie, & qu'on aura obten ude M. sonius la liberte de publier ce qui ne i 'a pas encore este.
ta belle obseruation que j ay appri se ces iours passe E, de Pincomparabie Monsi eurde Fermat, qui me fati l honne ut dein aimer, &deine seu r souuent dans laconiteria sation. C est furta quinEi Eme Letire de Synesius Euesque de Cyrene, qui traited viae mattere qui n'a es E entendue par aucun des interpretes , non pas me sines par les auaut Pere Petau , ain*qu ill aduolle luy- me sine dans Ies Notes qu ita falles sure Et Autheur; Et te donne dautant plus volontiers cet te obseruation, qu elle a beaucoupde rapportauec les traireZ qui sont cy-deuant. Cet Euesque esciit a la 8auante Hypatia, qui esto it la merbeille de son si ecle , &la quelle cnstignoti publique ment la Philosephie, auec radmiration de tous les Ra-uans, dans la celebre Uille d Alexandrie. 1'ay traduit cet te Letire du Grec en cet te maniere. Ieme trouues mal, que i ay beta in d'vn hydroscope. Ievous prie d en fallenire vn deculure, & de meraclieter. C'est uniuyau en forme de Cylindre, quI ala figure & lagrande urd une fleute; sur la longueur il porte v ne ligne dioite, qui est coupeeen trauers par de petites lignes, par tesque Iles nous iugeons du polds deseaux. L undes bovis est couuert d uncone. qui est post egalement delfus, entellesorte que te tuyau & le eone oni une mesime basie. L'on appelle cet instrument Baryllion. Sion temet dans reau par lapointe i lydemeutera debout, & ronpeut aise-
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ment compleri esse mons qui cola pent Ia ligne droite, & par la l'on conno it te polds
Comme nous auons perdula figure & l'vsage de cEt instrument, de me sine qu'une infinit E d 'aut res belles choses , que les Anci iis auolent in iaciat Ees, & doni iis sese r- uolent, tes s sauans de ce temps icy se sent donne 2 beauco up depelire pour compren' drequet esto it c Et 'nstrument doni parte Synesus. It y en a qui ont ciu que clasto itune Clepsydre , maiste Pere Petau a rejeti E auec lailon cet te opinion. Pour lily, ila duo ite , qu il ne te comprend pas I ii seupsonne polirtant que c'esto it vn instium enc qui seruo ita niueler les ea ux , & qui audit dia rapport auec celuy doni Vitruve saltria emion au liure 8. ch. s. de son Architecture , qu 'il appelle Chorobates, mais il esta ist de juger paria lecture de Vitruue, & de Synesus ; que ce soni de ux instrumens it differens, & en figure, & en v age ; & que sito us de ux ont des sections , commerem arque te Pere Petau , celles du Chorobates soni perpendicula ires ser i horizon,& celles de rhydroscope luy soni paralleles. Ie passe ious silence plus curs aut res differen ces , que te pourrois re inarquer, potarrapporter te sentiment de Monsieur de Fermat, qui est sans dolite te verit ab lesens de Synesius. CEt instrument seruo it potirexaminet te polds des differentes ea ux pour l vlage des mala des; car les Medec ins ni d accord que les plus legeres soni Ies me ille ures s le terme lium,i, doni se fert Synesius te monstre clatrement. Il ne signifie pas icy libramentum te niuelement, comine a crit te Pere Petau , mais en mattere de Machines , ii signifie te polds, que les Latins appellent momentum , & de la te traitte des equi ponderans d 'Archimede apour titre Itiravom A. Mais da utant que la balance, ny aucun aut re instrument artificiet, nepou uoit pas donner exacte ment la differen cedu polds des ea uY, a causequ'elle est petite entre elles , les Mathematiciens inuenterent fur les principes dutrait E d 'Archimede de his qua vehuntur in aqua, celuy doni parte Synesius, qui monstre par Ia nature des eaux metaes,la differen ce du polds qu 'elle Sont entre-elles,la figure en est telle; A Fest v n Cylindre de cui ure A B est te bout d 'en
haut, qui est toujoura ouueri, EF est te bould cmbas, qui est couueridu cone EI F, qui ala me sine baseque lebo ut d 'embas , A E, BF, sontdeux lignes droites coupe es par diuerses petites lignes, tant plus ily en aura , tant plus exact sera Pinstrument. Sion lena et paria potiate du cone dans t eau, & qu'on i a juste en telle sorte qu'il se tienne de-boiit, ii n y enson cera pas entie rement, car te viii de qu'il a au dedansi 'en e inpeschera , mais it y ensen cera ius ques a v ne certaine me iure, qui sera marque e par les petites lignes , & il y enfoncera diuerse ment, futuant que I eau sera plus ou moin spe ante , car plus t 'eau sera legere,
plus ity ensoncera r&moins, plus elle sera pes ante, comme il nous semit alse de te demonstrer ,s'il en esto it question icy. Volla la figure& l vage de e et instrument, &.laraison de cet v sage. Lalet ire de Synesius f rapporte si exacte ment dans to ut es ses circonstances, que seu Monsi cur de Monchat, Archeuesque de Tolose, ayant enuoyε cette explication au Pere Petau, iladuolia que Monsie ut de Fermat estoit te se ut qui auo ite omptis quei esto it l' instrument ,& ilauoi tecrit que dans une se conde impression il la meitroit dans ses notes.
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LET TRE DE MONSI EUR DES CARTEs Cr
pag. 347. t Om. 3. des Leti res de Monsi eur Dest artes.
AUT RE LETTRE DE MONSI EUR DES CARTES
pag. 3 8. LOm. 3. des Let tres de Monsi eur Dest artes.
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P. Herigone, tom. 6. Cursus Mathematici p. 68.
NVnquam sallit haec methodus , ut asserit eius inuentor, qui est doctissimus Fermat Consiliarius in Pallamento Tolosano excellens Geometra nec ulli secundus in arte Analytica: qui optimὰ etiam restituit omnia loca plana Apolloni, Pergaei, quae in hac urbe vidimus manu scripta in manibus plurimorum, quibus subnexa est ab eodem auctore ad locos planos & solidos Isagoge.
Exercitatione de Porismatibus.
Η Ane de porismatibus scriptiunculam data mihi occasione composuI , cium ante biennium vir illustrissimus ac amplissimus Dominus de Fermat in suprema Curia Tolosana Senator integerrimus & in judici js exercendis peritissimus, rerum Mathematicarum doctissimus , propositiones quasdam subtilissimas & porismata quae
tam theorematice quam problematice proponi possunt, ad amicos suos huc misisset. Ex Pappi unius monumentis & collectionibus Mathematicis potismatum naturam 8cvsum discere possumus, cum ex Veteribus qui hanc Geometriae partem attigerunt, praeter ipsum nullus supersit. Illius tamen sententia legenti statim obuia non est, textusque corruptione, & applicationis porismatum deserua obscurior proculdubio euadit. Interea dum tanto viro sua edere libuerit, nostra , qualiacumque tandem sint, publici iuris facere placuit , ut alios ad eorundem inuestigationem impelleremus, ipsumque Amplissimum Dominum de Fermat, ad sua edenda, utinam & ad alia sublimis intellectus sui o ἡματα cum omnibus communicanda , excitaremus. Is enim est, . quem omnes Europae Mathematici suspiciunt; quem a subtilissimis aetatis nostrae Geometris Bonaventura Caualterio Bononiae, Sc Euangelista Torticello Florentiae summis laudibus in coelum ferri, eiusque inuenta mirabilia praedicari auribus meis
audiui, quem etiam virum tam eximiis virtutibus clarum, multaque eruditione ornatum, ac in rebus Mathematicis oculatissimum toto pectore veneror ac colo.
R. P. MARINUS MERSENNVS ORDINIS MINIMORUM
Reil ectionum Physico mathematicarunt pag. 2II.
CVm autem vivos potius quam mortuos quaererem , unus abfuit Clarissimus Fer-matius, Geometrarum Coryphaeus; quem tamen Burdigalam redux, diictore integerrimo . doctissimoque Senatore, Dominod'Espagnet, velut avulsu in Begeraco, triduo amplexus sum. Doctrinae
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Collectum a Sy P. Iacobo e Bilb S.I. Sacerdote ex varijs Epistolis
quas adeum diuersis temporibus misit D. P. de Fermat Senator Tolosanus.
SAT IS est in limine huius operis fixisse nomen Fermatii , ut grande aliquid sus
piceris, ille enim tantus vir fuit nihil ut fingere potuerit paruum , inio ne mediocre quidem, mens eius tot splendoribus illustris erat ut nihil obscurum pat retur, solem diceres qui tenebras statim excutiat & in ipsis etiam abyssis lucem immodicam radiorum suorum multitudine procreet. Diophantum hactenus mirati sunt una uerside merito quidem, verum ille quantus quantus sit, pigmaeus est respectu nostri gigantis , qui longum totius orbis mathematici iter ementus, noua climata aliis inuisa peragrauits Vietam praedicauere quotquot Algebricis operationibus nostro seculo vacaverunt. sufficitque ad famam alicui conciliandam, si dicamus illum in opere analyseos, mentem huius aut horis assecutum , sed necdum ille pertigit ad eius scietitiae culmen, ut multis exemplis infra explicandis planum fiet, Claudium Gasparem Bache turn ut subtilissimum analystam & mihi alias intimum veneratus sum semper, atque istius in Diophantum elucubrationes praeclare demonstrant quam perspicax suerit innumeris, at visus illius hebetior est si cum oculis lyncei nostri omnia etiam abstrusissima pene
Uerum ne hoc opusculum sola illius authoritate sulciatur, lubet hic paucis aperite quid recens repererit Se quam late vagetur nouum ipsus inuentum, ac primo,hactenus Analystae in quibusdam subtilioribus aequationibus duplicatis unicam Glutione reperire potuerunt, asseritque ipse iachetus ne duas quidem posse inueniri, Fermatius infinitas mox dabit, nec ipsum remorabuntur numera ficti & nihilo minores qui saepius occurrunt in eiusmodi operationibus, sed ipsos ventilabit ocγus, de subtilissimo lcruti mo ad veros tandem reducet: deinde nemo quod sciam triplicatas aequationes soluit hactenus nisi eas ex arte prius composuerit & aptarit tali ratione ut obviae statim sint solutiones ipsis etiam tyronibuς, Ferinatius singularem inuenit methodum qua solui possunt datae ut libet si unum excipias casum quem sumus insta explicaturi:tertio quis unquam in numeris compolitis ex quinque speciebus quotlibet solutiones ex hibuit Quis ex primitivis radicibus elicuit derivativas tum primi gradus tum secundi, tum tertii, de sic deinceps in infinitum, nemo plane: uni Fermatio debetur hoe inuentum, unus ille haec omnia non ex alienis e uinulauit operibus, quod rhapsodi quidam
facere consueuerunt, sed proprio marte cudit & ex suis ipse sontibus hausit: hoc ille . a
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cum mihi amic issime eo immurucasset per lisaeis iuda uidi issimum quod typis maci . re coeata erus mςnte visatenus tec in exscribeo una mihi videtur in primisc8mpendialip φὶoddam totius methodi cestion is destit appendicis ad dilicrtati em
Claudi, Galpatis Bacheti de duplicatis apud Diophantum aequalitatibus. En ipsi ilima illius verba. .
Proposuit feliciter satis plerosque duplicatae aequalitatis de modos de casius subtilis dbistissi ivus aralysia Bachetus ad quaestionem viguimam quartam libri Iexti Diophanti, sed integram sane non demessuit segetem , quas enim quaestiones unica tantum, aut ad shiminum duphci saluti ειυς circ.nst Git,ad infinitas porrigere & promouere nihil vetat, imo procliui id exequi operatione est in promptu. Proponatur sextus modus quem ipse satis prolixe explic t pag. 4ν - o catus omnes ab iplo
enumerati ex nostra quam mox exhibituri sumus methodo infinitas admittunt se lutiones, quae a prima per iteratas analyses gradatim in infinitum derivantur. Mcthodus haec est: quaeratur solutio quaestionis propositae secundum methodum vulgarcm hoc est secundum methodum Bacheti aut Diophantaea in , prodibit statim valor numeri siue radicis ignotae,quo peracto iteretur analysis&pro valore nouae inuestigandae radicis , ponatur una radix plus numero unitatum prioris radicis, reducetur quaestio ad nouam aequalitatem duplicatam , in qua unitates utrinque reperientur quadratae propter priorem solutionem, ideoque differentia aequationum ex numeris tantum &quadratis,quae sunt proximae inter se species,constabit, quare resbluetur ex Diophanto de Bacheto noua haec duplicata aequali ras ex qua pari artificio tertia,& ex tertia quarta, de sic in infinitum deducentur i quod non aduertisse aut Diophantum aut Bachotum
imo 3e Vietam dispendium huc usque analyseos maximum suit, sed praecipuum incentionis nostrae artificium in iis se prodit quaestionibus , in quibus primigenia anal, sis
pro valore incognitae radicis exhibet numerum nota defectus insignitum, qui ideo minor esse nihilo intelligitur; methodus autem nostra in hoc casu, non um in problematis quae per duplicatas aequalitates soluuntur locum habet, sed generaliter in aliis quibuscumque ut experiςnti notum fiet , sic igitur procedit: quaeratur quaestio proposita secundum methodum vulgarem , si non succedat solutio post absolutam
operationem , quia nempe valo numeri habet notam desectus εc ideo minor nihilo deprehenditur,non tamen despondendum animum coufidenter pronuntiamus , quae oscitantia, ut verbis Uietae utar, suit & ipsius de veterum analystarum, sed iterum qu ω stionem tentemus, &pro valore radicis ponamus IN. - numero quem sub signo de sectus aequari radici incognitae in prima operatione inuenimus , prodibit noua haud dubie aequatio quae per veros numeros solutionem quaestionis repraesentabir Hactenus Fermatius.
Ecce tibi epitomen huius opusculi quod diuidemus in tres partes , prima spectabit
solutiones infinitas aequationum duplicatarum, siue illae occurrant per signum - , siue per signum -: secunda gradum faciet ad triplicatas aequationes, in quibus arcana quaedam Se huc usque inaudita aperiemus tertia consceodet ad numeros ex quinque vel
quatuor speciebus compositos, qui quadrato aequati dabunt radices infinitas, si primitivis adiungantur derivativae, exhibebitque artem istiusmodi radices eruendi.
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De solutionibus infinitis duplicatarum aequalitatum.
DElibanda est hic breuiter methodus vulgaris duplicatae aequalitatis quae sic rhabet. Duorum terminorum quadrato aequandorum cape differentiam elige duos numeros hanc differentiam producentes, tum vel quadratum semissis summe producentium aequetur maiori termino, vel quadratum semissis differentiae producen tium aequetur termino minori, sic enim habebitur valor radicis iuxta quem resoluti duo termini exhibebunt quadratos. Exempla dabimus hic in tribus tantum casibus ex quibus reliquos casus assequi facile est. Primus casus est dum solae radices & unitates aequantur quadrato , ut contingit a in duobus terminis sequentibus a N - ra & a N. -- s. horum disserentia T. producitur abi & 7. illorum lumina est R. quadratus dimidiae summae est i s. qui aequatus a N - radata. pro valore radicis in utroque termino, val eorumdem producentium differentia est 6. quadratus semissis illius ρ. aequetur minori termino a N-- s. dc habebitur idem valor a. duoque termini dati erunt I 6.&y. Secundus casus est dum quadrata, radices ,& unitates aequantur quadrato ,& est 3 numerus quadratorum quadratus, ut si aequentur quadrata Q -- 2o N - 8. & N - 8. horum differentia est 16. N --I6. quam producunt . & N-- . summae N -- 8 semissis quadratus est Q. - 16N- I s. qui aequatus priori termino ex supra 'dictis dat r. pro valore radicis. Hic nota ex infinitis producentibus differentiam superiorem, tales eligi debere ut numerus habens adiunctum characterem radicis,
duplus sit lateris quadrati qui idem est in utroque termino , propterea eligimus 4 N. vi quadratus semissis illius aequetur quadratis gitur duo terimini dati aequivalebunt ε . &I6. Tertius casus quem adnotas operae pretium erit& qui nobis saepissime suturus 4 est usui, est cum unitatum numerus in utroque termino quadratus est, siue sit idem, siue diuersius,ut si aequandi sint quadrato 1 16 - 8 N. & 3 Q - 64 - - 48 N. diuidequadratum maiorem 6 . per i 6. & quotiens A. multiplicet minorem terminum I-- i6. 8 N. ita enim productus Q. -- is . - 32 N habebit easdem unitates quadratas quas alius terminus 3 Q --s . - 48. N. hi duo aequandi sunt quadrato. Horum differcntiam i Q. -- is N producunt i N. &r N. - r6. nota iterum is esse duplum 8. lateris quadrati qui est communis utrique termino horum producentium sena ina est a N--i6. quadratus dimidiae summae t in 6 - I6. N. aequatur φ. '- s . - 31 N. &fie 16. pro valore, ergo duo termini iuxta hunc valorem resoluti sunt i & I6oo.
Praeceptum generale ad solutiones infinitas
Cape valorem radicis per methodum vulgarem, hunc connecte IN. cum suo , signo, siue si illud plus, siue minus & fiet fioua radix secundum quam resolui de bent duo termini in data aequatione duplicata aequati quadrato defient noui termini quadrato aequandi. in his inueniatur valor radic is per methodum vulgarem, Ae praeacipue per tertium casum quem postremo dedi, & quem adnotasse dixi operae pretium fore, ita extabit nouus valor pro posterioribus terminis, hunc connecte prati v
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lori , prout findicat eius signum plus vel minus, & fiet nouus valor pro prioribus te minis qui dati sint quadrato aequandi μς Sit in exemplum uterque terminus sequens aequandus quadrato 4 N. FI & I Q,
- ΣΝ - I. praeter a. qui est obulus valos, inuenictur etiam valol l per methodum vulgarem. Lubet uti utroque valore ad nouas solutiones, ac primo iuxta praeceptum pro noua radice capio IN - a. ergo A N. - I qui fuit primus terminus aequatus
unitatem in eodem primo termino existentem fietque N -- ρ simili ratione sumendo rursas i N. - a. pro i N. & iuxta illam resoluendo i Q - a N -- i qui est secundus terminus datae aequalitatis, fiet nouus terminus aequandus quadrato i Q N -- y. ab hoc tolle priorem N. - - 9. 8c absolue hanc duplicem aequalitatem modo communi fietque valor pro posterioribus terminis 2 cui adde a quia simpla fuit noua radix iN- a) de habebis valorem nouum radicis pro data aequalitate Rursus placet per alium valorem : inuenire nouum valorem I pono pro noua radicet N- iuxta quam resoluti dati termini N --i & I a N -- i dant nouos terminos N - & t Q - V, igitur quoniam unitatum numerus utrobique quadratus est, poterit haec aequalitas duplicata resolui, soluatur ut dictum est num. . in tertio casu& inuenietur pro posterioribus terminis valor M. cui adde : quia sumpta est noua radix iN - extabitque valor alius pro data aequalitate EI.s Habes ergo secundos valores derivativos ex primis, atque ex tuis secundis potestertios eruere eodem prorsus artificio, ut si libeat per rad icem V elicere tertiam, connectes illam cum i N. ut sit noua radix x N --V iuxta quam resoluti dati tetmini N. I. dei πι- a N -- I. eo modo quo resolui debere iam diximus, dabunt nouos terminos N - 36 dc t - . - . in quibus unitatum numerus est quadratus ergo valor radicis pro nouis illis terminis erit 3. I E cui si addas V. juxta positionem praecedentem habebis pro valore in datis terminis in & iuxta illum resoluti dati' termini exhibebunt quadratos.s Hinc vides posse inueniri valores infinitos retenim ex primis orientur secundi Se ex secundis tertii, &di in infinitum, in exemplo dato iam habes quinque valores, ex postremis iterum possunt erui nolui; ergo quaelibet data aequalitas duplicata habet solu- tiones infinitas, quod erat demonstrandum.
Non despondendus animus si occurrant pro solutione numeri ficti S minores nihilo.
o Vsuuenit interdum ut in problematum enodatione reperiantur numeri ficti, unde fit ut inexperti statim cadant animis, ut pote qui in casum ut ipsi existiinant impossibilem inciderint, verum audacter assirmamus cum nostro Fermatio etiam inde elici posse solutionem
ii Sit verbi gratia aequalitas duplicata data I - a N &I- N --a Qeu inuentus sit per methodum vulg reni valor radicis iuxta quam resoluti duo termini dant veros qua dratos V & illa radix est numerus fictus, sateor, haec tamen sic inseruiet ad 9eros numeros inueniendos ; pone pro noua radice I N- & juxta illam resolue duos terminos priores, fientque noui termini 9 - 2 N. N 2 Q - ao N. - 9 quia a N. aequiualebunt x N 8 quae si subtrahas ab unitate ut postulat signum desed iis habebis s - a N. pro priori termino nouo non aliter a Qdabunt a Q-- 3a - 16 N.&4N dabunt N - is quos si tollas ab a Q. - 3a-Iε N iunistis cum unitate ut primitivus numerus indicat fieta Q ao N. 4 9. quare cum in istis terminis unitatum numerus sit quadratus, inuenietur valor per methodum Diophantaeam, ex hoc valore inuento tolle quia radix
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est IN- fietque valor pro aequalitate data x. v. z. igitur per numerum fictum inus rus est verus numerus qui satisfacit quaestioni ut ipse per examen probare poteris. Rursus si detur ista duplicata aequalitas8Q. - -- r6 N&a se ψ - N. facile Dinuenientur radices - a de sed quia numeri isti fieti sunt, cape pro noua radicer N - a iuxta quam resoluti duo priores termini dant novos tetminos quadrato aequandos 8 Q - -r6. N & a Q N. igitur per methodum Bacheti pro istis
nouis terminis inuenietur valor radicis in V. unde si tollas z. quia noua radix fuit I N- 2 extabit noua radix pro data aequalitate duplicata -- p ergo ex numero ficto inuentus est verus satisfaciens duplicatae aequalitati. Idem fieri potest de alio numero ficto imo & &ex illis inueniri polyunt alij sine numero. Tertium exemplum sit in istis terminis quadrato aequandis I . a Nisa Q&I-- ΗN - 2 Q per methodum communem reperitur valor igitur redintegranda est operatio, & ponendum pro noua radice iN - & secundum illam resolitenda priores termini, ut iam dictum est, fientque termini noui et Q -- 23 -I N- ω a Q hy-ro N. ergo quoniam unitatum numerus utrobique quadratus est inuenietur ex methodo Diophantaea valor radicis pro posterioribus terminis , hinc tolle A. iuxta nouam radicem & relinquetur pro aequalitate data valo verus & realis non ergo cadendum animo si occurrant aliquando numeri ficti quia reduci possunt ad veros ut demonstratum est in exemplis prioribus.
In hoc genere solue di duplicatas aequalitates, debet
differentia terminorum aequandorum constare
Saepius contingit in solutione aequalitatum, ut differentia terminorum constet ra dicibus istis, ut si oporteat aequare quadrato 1 - I - i N & i Q se a 3N tollenao secundum a primo differentia est a N. aliquando etiam differentia terminorum eonstat radicibus & unitatibus, ut si termini sequentes aequentur quadrato 9 Q - I -aI N.& y Q - 2 . - N. supponendo enim primum maiorem vel minorem quod plerumque liberum est erit differentia a N - 9 vel 9 - 27 N. verum in Fermatiana methodo hoc curandum ut differentia termii rum constet radicibus & quadratis ali quin vel in impossibile caderes, vel labor tuus nullam nouam produceret solutionem, ut autem differentia constet quadratis & radicibus, debent unitates quadratae diuersae reduci ad eumdem quadratum ut pra docuimus num. . Sit exempli gratia aequalitas duplicata sequens i-N -- a dc I Q -- 3 N --, 3 Is valor radicis per methodum communem est a,ergo iuxta methodum Fermatianam simidebet pro noua radice IN - a. Sc iuxta illam oportet resoluere priores terminos, fientque noui termini aequandi quadrato I Q 3N. - &i Q i N -- I si horum caperes differentiam haberes a N -3 vel 3 - a N. prout primus terminus supponeretur maior
aut minor,cape quo seis numeros qui has differentias producant, nihil proficies, nec unquam adoptatum peruenies finem, nis reducas illos terminos ad eumdem quadra. tum quod fit diuidendo maiorem quadratum per minorem & per quotientem multiplicando terminum illum qui minorem quadratum continet, in eo igitur exemplo diuideq. peri. & quotiens . multiplicet terminum I dri N -- 1. ita enim habebuntur duo termini noui ad nostram methodum apti Q N - 4. & i Q 3 N - Rursus sint duo termini aequandi quadrato I in 16 -8 N.&3Q 6 - 48 N. Iε per methodum vulgarem valor est 16. ergo pro noua radice sumi debet I N. - .r 6 iuxta quam si res lirantur priores termini fient termini noui quadrato aequandi i Q, - a N.