장음표시 사용
41쪽
Complectens artem eliciendi radices infinitas ex numeris plures species habentibus, quam tres.
AGam hic potissimum de numeris continentibus quinque species quae vocantur
quadrato-quadrata, cubi, quadrata, radices, Sc unitates dc occasione illorum , dicam quoque de quatuor speciebus, siue habeant ubique signa positiva, siue etiam habeant intermixta negatiua: finis autem huius tractationis est aequare eiusmodi numeros vel quadratis vel cubis, idque infinities: illud vero in uniuersum dici potest esse necessarium , ut saltem vel quadratoquadratorum , vel unitatu in numerus sit quadratus pro radice uadrata,sicut etiam necesse est ut cuborum vel unitatum numerus sit cubus, pro radice cubica.
Quadrato aequare numerum compositum ex quinque speciebus in quo solus quadratoquadratorum numerus est quadratus.
Curandum in primis ut tam in numero aequando quam in aequante sit idem numerus quadrato quadratorum, cuborum, & quadratorum: quod ut fiat, capietur primo latus quadratum numeri quadrato-quadratorum , ut sit una particula lateris qua sitirdeinde per illius duplum diuidetur numerus cuborum qui est in numero aequando, "ies assectus charactere radicum, erit secunda particula lateris quaesiti: tertio capta differentia quadrati quod nascitur ex ista secunda particula, & quadratorum innu. mero aequando existentium, diuidetur per idem duplum lateris supradicti, ut habeatur tertia particula ex unitatibus constans. Huius lateris quadratum in numero dato aequatum dabit radicem quaesitam: Visi detur numerus I AC -- s Q - a N . aequandus quadrato, capies I Q - a N - I sic enim obseruantur omnia praecepta mox tradita & huius lateris quadratum i Q C -- 6 Q -- N - r aequatum numero dato exhibebit 3 pro valore radicjs, juxta quam resolutus numerus datus eff- ciet quadratum 236.
Quadrato aequare numerum quinque speciebus constantem, in quo solus unitatum numerus est quadratUS.
Aduerte hic contra fieri ac in praecedente, nam id curandum praecipuὸ, ut aequales sint inter se utrinque unitates, radices & quadrati , quare capies latus quadratum
42쪽
numeri unitatum, pro prima particula lateris, & per eius duplum iliuides num tum radicum quotiensque erit secunda particula lateris ; tum differentia quadratorum numeri aequandi, de eorum qui nascuntur ex radice mox inuenta, druidatur per idem duplum latus, vi fiat numerus quadratorum in aequante ponendus,sic conficietur latus quadrati, quod si aequetur numero dato, exhibebit valorem radicis. Vt si detur numerus io Q ὶ - C - I9 Q - 6 N - ρ aequandus quadrato finges latus 3 -rN-3 sic enim omnia praecepta mox tradita obseruantur Sc eius quadratum ρ-6 N. --as Q - 6 C - io inaequabis numero dato fietque valor 2. iuxta quem resolutus ille numerus exhibebit 28
Multipliciter aequare quadrato numerUm e X quinque speciebus compositum in quo tam quadratoquadrata quam unitates habent numerum quadratum.
Primo fingi potest latus tale ut virinque in numeris aequandis reperiantur unitates 4 radices & quadrato-quadrata aequalia: visi detur a quandus quadrato I Q Q - 4 CIO Q - 2O N. -- I. finge latus i-ION I Q huius quadratum est I - ao N Ioa Q - aoC- I Q QIrgo cum tres species se elidant restabit aequatio inter siet 8e i 6 C. diuides a per i 6. & fiet pro valore radicis V iuxta quem resolutus datus numerus dabit quadratum Secundo fingi potest latus tale, ut reperiantur utrinque aequales unitates radices & quadrati rut si detur idem numerus 1 C -io Q -- ao N - I aequandus quadrato , finges latus I - io N - 43 Q cuius quadratum arquatum numero datorelinquet cubos &quadrato-quadratos, ergo.cum sint species collaterales & proximae fiet valor radicis Bl iuxta quem datus numerus quadratus erit a latere Tertio fingi potest latus tale, ut quadrato quadrati, cubi , & unitates, aequales sutrinque reperiantur: Ut si detur idem numerus I C- Io Q - ao N-- I. aequandus quadrato , finges latus I Q-2N- i. & eius quadratum relinquet quadrata & radices ad aequationem, fietque - . pro valore radicis iuxta quem resolutus qui datus est numerus exhibebit quadratum 8 I.
Quatio fingi potest latus tale , ut quadratoquadrati, cubi & quadrati utrinque sine γaequales: visi detur idem numerus i QR C - io Q hao N in I aequanduS quadrato , finges latus i Q - a N - 3. & ex punctis aequalibus restabunt radices & viii, tales inter se aequandae, & fiet tandem post diuisionem I. primo valore radicis resolutusque iuxta eum numerus datus exhibebit quadratum 36. Quinto fingi potest aliud latus ab eo quod supta fictum est ita vi unitates radices & 8 quadrato- quadrati utrinque reperiantur aequales: Vt si detur idem numerus I QR- 4 C - io Q - ao N - r aequandus quadrato , finges t - io N - i Q& fiet valor radicis iuxta quem datus numerus erit quadratus a latere tr. I, Sexto fingi potest latus aliud ab eo quod supra fictum est ita ut quadrato-quadrati, scubi, Se unitates sint aequales r ut dato eodem numeror QA- C - Io Q - 2o N- t finges rQ- χN - r & continget valor radicis 3 iuxta quem resolutus superior
numerus exhibebit quadratum o.
Omitto reliqua latera quae fingi possunt, vir QT 3 &r a Ni Q& 3 - Io N - 1 inio de 43 Q-io N - t & - i - a N - 1 Q. quia licet dent aliquos valores, illi tamen non differunt ab iis,quos exhibuimus.
43쪽
18 Doctrinae Analyticae , Quid sint radices derivativae & quomodo
II Duplex est genus radicum: aliae enim sunt primitiuae aliae vero derivativae:primitiuae sunt illae quae immediate eruuntur ex numero dato,ut sunt illae quas mox elicuimus: derivativae autem sunt illae quae ex primitivis oriuntur: & quidem si ex primitivis immediate oriuntur,sunt derivativae primi gradus : si elicimur ex deriuatiuis primi gradus, erunt derivativae secundi gradus : si eliciuntur ex derivativis secundi gradus, dicentur derivativae tertii gradus,&sic in infinitum. Aduerte autem ex radicibus fictis posse elici veras, & ex veris fictas, uti ex sequentibus manifestum erit.
Eruere radices derivativas primi gradus ex quacumque primitiva.
ia Iunge t N. radici primitiuae cum suo signo, siue habeat plus, siue habeat minus il- Iud conflatum sumatur pro radice noua & iuxta illam resoluantur singulae particulae componentes numerum datum: omnium illorum summa aequetur quadrato fingendo illius latus, ut dictum est valorque repertus nectatur radici primitiuae, ita extabit radix quaesita, ut si eruenda sit radix deriuatiua primi gradus ex numero supradicto 1 C- ro Quin et O N-- I. cape - 3 unam ex primitivis radicibus, te necte cunis Ν. ut fiat i N -3. tum iuxta t N - 3 resolues I RQ&4 C. & Io in& ao N.quibus neetes
numerum unitatum ut hic vides.
1 Is Haec summa aequari debet quadrato : finge latus et Q N- a & fiet pro valore radicis in ista summa & quia posita est noua radix I N. - 3 ex . tolles 3. restabitque pro valore radicis in numero ὸato, quare iuxta istam resolutus numerus datus erit diquadratus a latere π.Eandem summam quadrato aequabis fingendo latus I Q - I N --2. eius enim qua-d atum aequatum praeaietae summae, dabit . pro valore radicis in summa, unde si tollas 3. restabitu pro valore radicis in numero dato,ergo numerus datus erit quadratus a latere 'P. Rursus finge latus 1 -io N - I fiet valor pro summa - η & tollendo a extabit valor radicis pro numero dato - igitur iuxta hunc valorem resolutus numerus datus
exhibebit et r. quadratus 1 latere Quarto finge latus 1 -io N - 18 Q. Se fiet valor is ' pro sumnia, unde si tollas 3. fit valor pro numero dato M.
44쪽
Posset etiam fingi latus id- Σ--Nvel N-a I Q. sed utrinque ex illa aequatione proueniret 3 pro summa praedicta di pro numero dato proueniret,o, quod est iri uolum, de ad institutum nostrum inutile. Dixi praeterea unam ex radicibus primitivis esse - . ex hac sic erues deriuatiuas re- , solues primo numerum datum 1 QUI C - Io 9 - χο N - I iuxta nouan radicem I N - ut faetiam est primitus in resolutione eiusdem numeri iuxta radicem IN - 3 &fier summa i Q R-ia C - 18 ri N - 8i aequanda quadrato finge latus i Q -' - 6 N& fiet valor pro numero dato ζ. Finge aliud latus i Q -- y-v dc fiet valor n. Finae tertium latus V --- 'ποῦ de fiet valor iterum finge latu. 9 - I α& fic t valor II. potuit rursus fingi latus 1 Q-- 9 - ε N. vel f N - ρ - I med inde fieret valor pro summa facta . de pro numero clato, o. quod est inutile ad rem nostram. Dictum est insuper unam ex radicibus primitivis numeri dati esse - 2 igitur noua ra- λ8 dixerit I N - V iuxta quam resolutus numerus datus , ut secimus supra dabit summam a m C - Pν - P. aequandam quadrato. Finge latus 1 - ζ' dc fiet valorwex alio latere 1 in prodibit valor ex ficto latere i Q -- S. prodit valor v. Iterum prodibit alius valor ex ficto latere V -': vir . 't. Atque hoc quidem de radicibus primitivis quae habent signum minus , eodem au- I9tem modo agendum de iis quae habent signum plus , ut quia diximus t esse unam radicem primitiuam, fingenda erit noua radix r N- . r. Sc iuxta illam resoluendus numerus datus, habebiturque summa aequanda quadrato I QO - 8C -- 18 χ' 36N.
' 36. finge latus 1 in ε - - .dc prodibit valor - V. tinge aliud latus I 6 Sc fiet valot - 4. tertio si fingas latus 5 -- - ': 'extabit valor et r. Rursus una ex primitivis radicibus est I. igitur si capias pro noua radice rN-μπι& eto juxta eam resoluas numerum datum ut dictum est n. ia. fiet summa t---
'Φ aequanda quadrato. Finge latus I Q R - - : de fiet valor finge aliud latus 'R - 1 RQ defiet valor finge aliud latus iQ-- ο -- defiet valor i. finge aliud latus -- IF - i dc fit valor ne ἰ:. Pari modo ex ultima radice primitiva habente signum plus , fiet noua radixi N - ri:: . secundum quam resolutae particulae numeri dati exhibebunt summam aequandam quadrato, de fingendo diuersa latera ut hactenus factum est habebuntur noui valores.
Eruere radices derivativas secundi gradus dc tertii
6c quarti, S sic in infinitum.
Sicut ex radicibus primitivis elicuimus derivativas ptimi gradus ita ex derivativis et, primi gradus elici possiunt derivativae secundi, ut quia una ex derivati uis primi gradus est l. capienda erit noua radix t N - ἱ de ii ixta eam res luendus numerus dariis i C ro Q - ao N -- i imma ex hac resolutione nata I - - s C -- Η 'Φ aequanda est quadrato , finge latus 1 Q - 3 N -Φ eritque radix derivativa secundi gradus quia nascitur ex radice derivativa primi gr dxi . Non aliter ex ista poteris eruere aliam ponendo pro noua radice IN -υ siquidem , iuxta eam resolutae singulae particulae numeri dati faciunt i 38C --- f Ρ haec summa aequanda erit quadrato. Finge latus 1 QDI9 N ''oc fiet valor pro summa unde si tollas x. relinquetur valor pro numero d/to estque radix derivativa tertii gradus quia prodit ex radice derivativa gradus secundi. Ita poteris elicere radicem derivativam gradus quarti , quinti, sexti, de sic in infinitum.
45쪽
Quadrato aequare numerum Compositum ex quatuor speciebus, dum numerus unitatum Vel quadrato quadratorum , quadratus est.
merus radicum & unitatum idem fiat ex utraque parte, di fiet i pro valoieradicis: hoc posito inuenies radicem derivativam, ponendo ut supra, pro noua radice i N -- I de iuxta illam resoluendo numerum primarium Io C --ΑON - 16. ut saepius factum est, summa enim ex hac resolutione nata aci C --63 - - IIo. N- . 8r aequari debet quadrato, fingendo latus 9 & fiet valor pro summa - .i. N pro numero primarao - . tertio ex hac derivativa primi gradus perges ad derivativam secundi gradus fingendo pro noua radice t N. - ἰοῦ. & juxta illam resoluenta singulas particulas numeri primarij , ita enim fiet noua summa aequanda quadrato, & finges latus quadrati R: -&proueniet radix derivativa secundi gradus --as Esto jam numerus quadrato- quadratorum quadratus, & sic aequandum quadrato r-- C - 3 Q - a N. finge latus et in a N. ut duo majores characteres elidanis tui & fiant 7 Q. aequales a N. ita fiet valor 3 propter unitatem quae est altera radix eiusdem numeri ergo potest poni noua radix i N - vela N - i pro radicibus de
dis Tettio licet omittatur aliqua species intermedia , potest numerus compositus ex quatuor speciebus quadrato aequari: ita aequabis i ε - 2 N - is C -- 3 Qfingendo latus - - 3 in& fiet valor 4. Vnde pro deriuatiua poterit poni IN - simili ratione si detur I Q Q Φ 6oo. 'Φ 8oo N 'Io ooo. finges latus quadrati I. 3oo extabitque valor 3. dc poni poterit pro radice derivatiua ΙΝ -- s.
Potest aequari cubo numerus composituS ex qUatuor speciebus modo numerus unitatum vel cuborum sit cubus.
l Enii ero si unitatum numerus cubus est sumpto eius latere cubico pro numero ab soluto radicis setae, diuides radices quae sunt in termino aequando per triplum quadratum praedicti lateris cubi si & ita componetur radix ficta ex latere & quotiente prindicto eum signis debitis: visi detur aequandus quadrato a C. - I Q - 3N -- ι, finges pro latere 1 - 1 N est enim et latus cubicum unitatis, i N. autem est quotiens natus
ex diuisione 3 N. per 3. triplum quadratum unitatis ) ergo cubus illius i C -- 3 Q -
N-- i aequatus numero dato , exhibet a pro Valore radicis unde per radicem derivativam poteris assumere i N. - a. pro noua radice.
18 Quod si numerus cuborum est sumpto eius latere diuides numerum quadratorumpet triplum quadratum illius lateris & fiet altera pars eligenda: ut si detur aequandus cubo 8 a Q - xN -φ 8.finges latus a N - - 2 est enim a N latus cubicum 8 C. x vero est quotiens ortus ex diuisione a per Ia triplum quadratum numeri a. eius cu bus 8 C -- a Q. a N. 8. aequatus dato numero exhibet E pio valore radicis, unde facile est εolligere radices derivativas.
46쪽
Inuentum nouum. 3ΙSi uterque numerus tam unitatum quam cuborum
cubus est, potest triplici modo aequari
Detur enim verbi gratia i C- .a Q-- N. I aequandus cubo&capiatur I N-- r pro ast latere , hoc est latus cubicum utriusque cubi ; ergo eius cubus 1 C-3 in 3 N - Iaequatur numero dato, & fit I pro valore,rursus potest sumi pro latere I N - ἰ ut elidantur duae species maiores restentque tantum minores inter se aequandae, &sic habebitur valor -- ζ. denique sumi potest i-- P. ut restet tantum aequalitas facienda inter maiores species atque ita extabit valor - A ex his porro tribus radicibus primitivis eliciant ut deriuatiuae, ut saepius iactitatum est.
Aliquando contingit ut numerus compositus ex quatuor speciebus. quarum una est 3ocubun, vel duae sunt cubi, non possit cubo aequari, cum post reductionem relinquuntur tres species aequandae inter se vel dum restat unica species aequandalnihilo: ut si detur I 3 N -- 3 in C non potest in eo casu aliter procedi quam si fingat ut latus 1 - x N. at in isto casu relinquuntur 3 C aequales nihilo: igitur tune non potest numerus datus aequari cubo. Item si detur 1 - - et Q --3N C. inueniri tantum potest una radix immediate & primitus , ponendo pro latere ficto tΝ - nam si poneretur i N. - i restareti Raequale nihilo. Propter aliquam ex his rationibus non possunt aequari cubo numeri sequentes I - 3 3 N - a Ci - 3 3 N in I C. unica enim species restaret nihilo aequalis.
Quaestiones duodecim circa ea quae dicta sunt in
Quae hactenus dicta sunt uberem praebent materiam ex qua tanquam ex auri scidina ateruere polsis Thesaurum infinitum problematum : visi quis postulet numerum, cuius vige cupium additum decem ipsus quadratis & quatuor ipsius cubis, & uni ipsius quadrato-quadrato ariue insuper unitati faciat quadratum, velit autem numerum postulatum majore messse octonario & denario minorem, oportebit necessario elicere primum radicem primitivam - 3. & ex illa derivativam primi gradus -- ἰ inde derivatitiam secundi gradus - v. atque ex hac deriuatiuam tertij gradus V quae satiSfacit omnibus postulatis in problemate, ut iam sepra est ostensum num. 23. sed lubet alias quaestiones soluere.
Inuenire in numeris rationalibus integris triangulum rectangulum, cuius hypotenus a S summa laterum circa rectum sic numerus quadratus.
Iam solutum est illud problama im prima parte num. - . per duplicatas aequalitates,
47쪽
sed quia solui pote st per numerum ex quinque speciebus compositum lubet etiam illud
Inuenire triangulum rectangulum ita ut summa hypotenus e & alterius lateris circa rectum relinquens aream faciat datum numerUm.
33 Esto datus ac primum inveniatur triangulum rectangulum ita ut quadratus si missis seminae ex hypotenuia & νno latere relinquens quadruplum areae faciat quadratum. Formetur triangulum istud rectangulum ab IN ' i &I N. ergo latera erunt et Q I - a N. I - - 2 N. a d F 2 N. summa hypotenuis & lateris sequentis est a Q - a - N. huius semissis I Q in t - a N. cuius quadratum I QR- C - 6 Q - N - . r. relinquens quadruplam aream 8 C ' Ia Q. - N. facit I Q C - 6 Q-xaequandum quadrato. Finge latus I Q --r - a N & fit quadratus 1 QR- C - - ε- Ν - i qui aequatus I QR- C - 6 Q. F I dat valorem i. ergo uixta positiones, numeri duo a quibus formabitur triangulum, erunt : & di sumendo solos numeratores & I. inde formabis triangulum i . IS. 8. his necte characterem radicum ut fiant
latera trianguli quaesiti 17 N. is N. 8 N. ergo 32 N - fo aequatur 4 & fiet a NI. & trianguli quaesiti laterat tria I P f & latisfaciunt quaestiom. Hanc quaestionem omisit Diophantus post io & Ii. libri 6.
Inuenire triangulum rectangulum cuius unum latus, Circa rectum sit numerus quadratus qui iunctus dato multiplici alterius lateris circa re etiam facit quadrat Um.
Iubeatur numerum quadratum triplo alterius lateris iunctum facere quadratum & formetur triangulum abr- IN&I latera erunt a in I Q -- a N. I - - 2 N. a -- 1
N. triplum postremi istius lateris est 6 -- 6 N. cui si addas medium latus fiet fiamma I Q - 8 N - ε. aequanda quadrato , sicut etiam medium latus quadrato aequandum est, duc summam illam i Q - 8 N. - 6 in medium latus t a N & fiet productus I Q in ro C - 22Q-- ra N. aequandus quadrato, finge latus a s Ν-τ ergo eius quadratum I Io C -- 22 Q rs N - : illi aequatum dabit pro valore radieis, de iuxta positiones fiet triangulum quaesitum in integris 3Ir. 23. 3I1. potuit inueniri solutio per duplam aequalitatem inter et in 8N-63cI Q. - . a N. Inuenire
48쪽
Inuenire triangulum rectangulum cuius unum latus Circa rectum sit numerus quadratus qui multatus dato multiplici alterius circa rectum relinquat quadratUm.
Iam dedimus solutionem istius problematis I p. n. 47. sed per aliam metho- 3 dum. Ergo iubeatur numerum quadratum multatum triplo alterius relinquere quadratum & capiatur pro triangulo ptiinitivo, illud quod mox inuentum est in quaestione praecedenti nempe 3II. as. 3ia. quod formatur ab 13, & ra. ωrmeturque triangulum quaesitum ab i N - 13 & ta erunt latera i Q - 26 N . 333. I Q - 26 N - 23. 24 N - 3ra. ergo huius postremi triplum sebtractum ex . medio re inquit I Q - 96I - 98 N aequandum quadrato, sed medium latus rQ - is N. - 2s est aequandum quadrato. Igitur horum duorum productus i Q ὶ Ia C - - 333 Q 27 36 N - 2 oas. aequandus erit quadrato, finge latus i Q --- tues huius quadratum priori numero est aequandum S fit valor ergo i N ia &Ia relicto denominatore erunt 233 qai & 38ro o ex hiS formatum triangulum erit
illud quod postulatur 16886 87ioo38 r. 3396733674- i. 17988863 2IOq8o. & satisfacit quaestioni.
Inuenire triangulum rectangulum cuius hypote nusse sit numerus quadratus & datus multiplex unius lateris circa rectum detractus alteri lateri
faciat etiam quadratum. Multiplex sit duplus.
Pone 1 -. IN & r pro numeris unde sermatur triangulum: Ita enim latera erunt a 3ε-- I Q se a N. I Q - 2 N. 1 - 2 N. ergo I Q3 - 2 N. erit quadratum de residuum dupli lateris postremi ex medio subtracti nempe I Q - a N. erit iterum quadratum & fit ex is diiplicata aequalitate valor - ergo 1N - & i erunt- τι & acceptis nunteratoribus. lis habebis -s & 11. unde formatur triangulum pri initiuum I 69. Ii'. rao. quare iteranda erit operatio & ponendi numeri ex quibus formatur triangulum N- 3 & ra. ergo latera erunt I Q I693- ao N. a QIro N -It9. 2 N -iro ac proin de si duplum postremi lateris 48 N - 2 o tollatur a medio , erit residuma 1 Q - ω - 18 N aequandum quadrato , sicut& hypotenuia I Q i59- Io N. horum duci. rum productus i Qq- 68 C - 87o Q Ilo Ia N -- 2O4 9 est aequandus quadrato, finge latus 1 3 - -- r Q.& fit valor Verum lubet etiam aha via.rem aggredi, reducantur illi duo termini ad eundem unitatum quadratum & fient , L -- I69
8e 1 Q - 16 Q io aequandi quadratis. Differentia illorum cst: ζ:- V . duo produ centes eligantur m & per ea quae dicta sunt in prima parte num. ai. &kquentibus &fiet valor & iuxta positiones, triangulum quaesitum erit in inteagris i 93 3o 61 332'. I 87ῖ qi8687yai. 48aI817 OO oo.
49쪽
Inuenire duos numeros quorum summa ducta in summam quadratorum ab ipsis Ortorum ,
1 Sint duo numeri quaesitii N & a - a N. ergo summa a ducta in se inmam quacrato. rum et in N facit 8 - N. aequandum cubo: Finge latus cubi 2 H eius
cubus aequatus Q-- 8 -8 N dabit - . quare pono rursus pro noua radice i N - iuxta quam re tuo singulas particulas numeri superioris -- 8 - 8N & fit nouus terminus 4 Q - - 323 - N aequandus cubo. Finge latus cubi 3 - ergo eius cubus as N -- β. H aequandus est Q ia - 4 N. & valor extat Tur unde si tollas i ob nouam radicem I N - : habebis valorem pro primis positionibus V. hunc tolle a a iuxta positiones & fiet secundus numerus quaesitus ἰE I. Aduerte primo solos s numeratores soluere quaestionem nempe 26793. ec 137qq. Aduerte secundo hinc solui problema sequens. Diuidere numerum in duos taliter ut summa quadratorum duplicata sit cubus. Aduerte tertio indidem solui aliam quaestionem, nempe inuenire duos numeros, ut summa quadratorum per quemcumque numerum multiplicata fiat cubus, ut si cuperes summam quadratorum quintuplicatam facere cubum poneres rN.&1- IN & procederes ut supra: Aduerte denique hinc solui pulcherrimum problema nempe. Inuenire duos numeros quorum differentiae fit aequalis differentia quadrato quadratorum: nam si capias duos numeros silpra inuentos 267ρ3 & is ρ9. Sciis supponas pro denominatore communi, latus cubi facti ex summa eorum in summam
quadratorum quod quidem latus est 3 1go fient duo numeri quaesiti, Ilia
Inuenire duo triangula rectangula quae habeant eandem differentiam minorum laterum dc talia ut
in uno eorum maius latus Circa re tum aequetur
38 Formetur primum triangulum ab IN & i latera sunt I I. I Q - i. a N. ergo secundi trianguli maius latus circa rectum erit I Q I inde si tollas differentiam duo rum minorum laterum primi, quae est i - Ι - 2 N. fiet minus latus c irca recthi secundi a N - 1, restat igitur ut duo quadrata quae nascuntur ab I Q - - 1 & a N -- asiisul iuncta faciant quadratum. Horum ergo summa i r 6 in 8N 'Φ 3.aequanda est quadrato. Finge latus I Q 3. igitur quadratum illius lateris i Q in εχ ε aequatur 1 8N - 35 iit IN. aequalisl & iuxta positiones numeri a quibus sermatur triangulum, in integris, abjecto videlicet denominatore, sunt i & a. at primus numerus minor est secundo. Proinde in sermatione trianguli occurrerent numeri ficti, quod est absurdum,quare ut huic incommodo remedium adseramus redintegranda est operatio de formandum triangulum ab I NM' x & a, igitur latera erunt
et Q - 3-a N. I Q Φ a N-3. AN ' q. pro primo triangulo : & pro secundo latere minore erunt i Q 2N 'Φ 3&ψN ' Ia. liorum duorum quadrata simul juncta 'faciunt summam i 4 C ' 3O Qr II6 N ' 169. aequandam quadrato , huius quadrati latus fingi potest multipliciter, finge illud Io 'Φ V - 1 intius quadratum
priori suminae aequatum dat pro valore radicis ergo numeri a quibus formatum
est triangulum, juxta positiones, in inde gris abjecto denominatore erunt - νυ de
50쪽
Io92. utere iis numeris per inde ac si nullus esset fictus & sorma triangulum ab roya &979, fiendque duo triangula quaesita aIβο9o . ai38135. 234.23. dc aik Q17. a I O o la 6792. & satisfaciunt quaestioni. i
Inuenire duo triangula rectangula in quorum Vir O-que summa laterum circa rectum sit aequalis Stalia ut hypotenus a unius sit aequalis maiori late
Formetur primum triangulum ab t N --r & I latera erunt i 2 - a N. I QI a 3 N. χN -- 2. ergo hypotenuia i Q --a- a N. erit maius latus secundi trianguli quo sublato ex summa laterum circa rectum primi restabit a N pro altero latere circa rectum secundi. Igitur horum duorum laterum quadrata simul sumpta 1 Q C-Ia -- 8N - aequantur quadrato. Finge latus I -- a N - - dc eius quadratum rmo 4 C-- ia in i 6 N - 16 aequetur priori fietque valor radici S- . de cape ergo pro noua radice I N - de iuxta illam re lue singulas particulas numeri praediciti Q C ' ar R- 8 N - . fietque nouus terminus I Q U- 2C- 3 - . E aequandus quadrato,finge latus I - - i Q& fiet valor pro isto nouo termino, unde si tollas fiet valor pro primis positionibus d. igitur 1 N -- I & I in integris, abjecto denominatore erunt et g de as. a quibus formabis triangulum primum quaesitum a1I7. I 63. IJo8. Sc inde nascetur secunduin Isas. I3I7. I 6. Aliter ex - : supra inuentis potuit inueniri solutio applicando illam radicem i N - I de i. ita enim in integris fienti de et quare ponendi sunt numeri formantes triangulum a N - I & a & redintegranda
operatio, ita enim latera primi trianguli erunt i Q - - a N. I Q 3 - a N. N - . de latera circa rectum secundi i Q ' 3 - 1 N& N. - Ιχ. horum quadrata simul addita 1 Q C -- 3o infi6 N - 16' aequantur quadrato, singe latus 13 - π -- I Q Ze fiet valor g. ergo I N 'I & a in integris erunt 29 de ab ut supra, unde formabuntur
Inuenire triangulum rectangulum cuius hypote nu-sa sit numerus quadratus dc datus multiplex unius latetis circa rectum additus alteri lateri faciat quadrat Um.
Detur multiplex duplus Scsormetur triangulum quaestum ab I N Sc i latera fiunt i d . Q - I I Q -ia N. duplum posterioris lateris N addatur priori lateri circa rectum de de fieti R- r- Naeqtiandus quadrato sicut 6c hypotenuia i Q - i horumdisserenistia est 2 - N Sc fit valor radicis debet autem a N esse maior viaitate , ergo iteranda est operatio 3 formandum triangulum ab rN - 1 & ia. latera sunt i Q -- r69 -- Io N. I Q IIρ -- ro N. a N- Iro. duplum illius postremi lateris q8 N - et o additum medio facit i Q Iai- 18 N.aequandum quadrato & eii etiam livpotenusa 1 Q - 16 io N. aequanda quadrato horum duorum productust Q Q 68 C- 87o in rioa N -- ro ρ aequandus quadrato. Finge latus I 43 - VP - 'Id & fit valor radicis I. Ii'. 'ergo numeri formantes triangulu in integris erunt et i so823 rotar96S 368o 33 7 483eto. unde triangulum ipsum nyn latebit. e si ij