장음표시 사용
21쪽
- 2 6. & 3 λ -I A N -- I6oo. caue capias horum differentiam a Q. - no Ny I3 .impossibile enim foret hoc pacto ad solutionem perirenire,quid igitur facies λ Illud quod hactenus factitatum est saepius : diuides reo o. per et 36 & per quotientem V multiplicabis i - a N -- 236 dc productus inde natus U- -- iso N. -- 16oo cum 3 Q- r N ' imo. repraesentabit duos terminos aequandos quadrato, eorumque terminorum differentia constabit quadratis & radicibus: ergo ad nouam solutionem peruenire fas erit.
Hoc genus operandi non tantum valet ad solutiones duplicatarum aequalitatum, sed citam ad alias quascunque.
i. Ferax est admodum ager iste quem colete coepimus, etenim methodus Fermatia- na, non tantum valet ad soluendas aequalitates duplicatas in infinitum, sed etiam ad alias s sit verbi gratia inueniendus numerus cuius duodecuplum sublatum ab odiu-plo eius quadrato iuncto cum 8. faciat cubum. ponatur numerus i lle I N. ergo 8 Q. F8 -Ia N. aequatur cubo,finge latus 2 -I N. eubus erit 3 -Iχ N -- 6 Q. - IC. aequandus 8 Q - . 8 -IχN.&fit pro valore radicis - a quae radix licet ficta satisfacit propositae quaestioni. Verum ut inde habeatur numerus verus, pone pro noua radice I N a&iuxta eam resolue praedictumnuinerum 88 - ia N. fietque nouus terminus
8 N - ε . aequandus cubo, finge latus huius cubi est latus cubi ε . in nouo termino existentis, ' vero est quotiens qui fit diuidendo N. in nouo termino existentem per triplum quadratum lateris cubici 4. nempe 48 ) eius cubus 64 - N. aequatuS nouo termino 8 in N -- 6 dat pro radice et unde si tollas a. ob nouam radicem positam IN a restabit valor pro priori positione V: talis est numerus quaesitus,eius enim duodecuplum si tollas ab octuplo eius quadrato iuncto eum 8. dat cubum a latere 18 Rursus, si quaeras triangulum rectangulum, cuius area iuncta hypotenusae faciat
quadratum, formabis illud ab I N -- & i N.latera sunt a. a N. I -- a N.2 Qt 2. N. junge aream a C - 3 Q -- IN.hypotenutar I a N & fit 1 -- 3 N -- 3 Q aCarquaodus quadrato; finge latus i-- , & nabebis r pro valore, pone igitur nouam radicem in N. - . & juxta illam resolue singulas particulas numeri superioris S: summam inde ortam aequa quadrato fietque numerus P:lἰ pro valore radicis ad primas positione S. i, Simili ratione si sit inueniendum triangulum rectangulum, cuius area juncta vixi lateri circa rectum faciat quadratum, formabis illud ut mox dictum est in numero praecedenti & area et C - 3 Q. - t N. iungetur lateri r -- a N. & fiet valor I cape igitur pro noua radice I N. -l & iuxta illam resolue singulas particulas numeri quadrato aequati & fiet noua summa 1C-- V-- N -- aequanda quadrator finge latus 5 - & fiet valor pro numeris primo positis Vis ac proinde triangulum quae situm erit
Noua methodus ad solutionem duplicatarum
22쪽
aequare quadrato utrumque numerum proposivum: methodus communis est reuocare numeros quadratorum diuersos ad eundem ut dictum est num. q. verum hoc non est necesse, sed potest sumi immediatd differentia numerorum quae est 16 Io N. Luminueniendi sunt tales producentes, vi summa radicum faciat io. N leu duplum radicis 23 tales sunt 8 N. NaN - et horum enim producentium summae lanussis quadratum .equacum priora termino 23 in N - o. quem suppositimus maiorem dabit valo-
Rursum si darentur duo sequentes termini'-- i 2I-' &I Q - - 1ia -- 26 N. a quandi quadratis, cum numerus unitatum utrobique sit idem quadratus ex methodo vulgari capienda esset differentia - - tum sumendi forent producentes e r- aa & inde inueniendus valor radicis. Fermatius sumit producentes 'r Se 'ἴ- : ., ergo summa producentium VH - 'i' huius simu lemissis quadratus aequatus 'in iaI- H - dat valorem radicis
Iterum sit soluenda aequalitas duplicata IS99-- 37 6 N. - Ιερ. de I Q in io N. - I69. tripliciter ista aequalitas solui potest: primo accipiendo differentiam terminorum illorum quae est 168 Q - - 1 ιε N Se eligendo duos producentes in quotum uno sit 26, duplum videlicet lateras quadrati I 69. atque haec est methodus communis: secundo solui potest reuocando diuersos quadratorum numeros ad eundem, quod fieret di cendo singulas particulas numeri posterioris in I sq. ut explicatum est num. q. tertio soluetur eadem aequalitas eligendo producentes 1 N Scia NM. Vψ: ita enim summa radicum erit ab N. duplum lateris quadrati I 699. atque haec est methodus Fetinatiana quae dat pro valore radicis m. . Dicet aliquis istam methodum esse quidem ingeniosam, sed inutilem, ut pote quar 3 prodeat tantum ex numeris alte conquisitis, de tali ratione dispositis ut & illi producant differentiam terminorum quadrato aequandorum, & in summa reperiatur.dupluin lateris majoris quadrati. At qiti ui S hoc opponit ignorat ea ratione solui pulcherrimum Sc difficilliinu problema quod alias torsit omnes Algebristas, & quod inse lutun . . mansisset, ni Fermatius hac methodo fultus soluisset nodum Gordianum. Denique qui inutilitatem huius methodi accusat videat solutionem multorum problematum infranum. S. 7. 8. so. Quomodo autem inueniantur iisti producentes iacile est judicare nam sumendum duplum lateris quadrati majoris & illud diuidendum in duas partes quae producant differentiam quadratorum, ut ita primo exemplo fumitur 1 o. diuidendus in duos qui faciant as. de inuenientur producentes 8 dc a. ita de caeteris.
Post inuentos per analysin primitivos numeros
iterata operatio exhibet solutionem.
Contingit non raro, ut in enodatione alicuius problematis incidatur in numeros fictos: iam supra ostensum est quomodo huic malo medeatur ars analytica Fermat ij, sed accipe insuper radicem singularem ex qua fructus innumeri prodibunt: radix illa est iterata operatio, sed ne in cassiam redintegres operationem analysis exhibebit numeros primitivos in secunda operatione ponendos. Quaeratur verbi gratia triangulum rectangulum cuius tam hypotenuia quam summa laterum circa rectum sit numerus quadratus, sormetur triangulum ab obuiis NumerisI N- I&IN. ergo tria latera erunt 2 Q - Ι--a N. I - . a N. a N - a in igitur hypotentisa a Q. - I - χN. de summa laterum circa rectum a Q. -- Ι - - N. aequa tur quadrato & fit per methodum comunem valor radicis v unde duo numeri a quibus formatum est triangulum erunt -l & - seu in integris accipiendo istos numeratores- -ra triangulum autem inde sormatum est Iby. ity. rao. unde iniero ad solu-
23쪽
tionem problematis inueniendum esse aliquod triangulum rectangulum cuius hypote ausa sit quadratus & differentia laterum circa rectum sit quadratus atque haec conclusio elicitur vi analyseos praecedentis,istud autem triangulum est I69. iis I 2Ο. quod formatur vel ab - 3 & -ia .vel a - - &--I2. quare itero operationem & formo triangulum quaesitum abi N - s. & ra. dc peruenio tandem ad aequalitatem duplicatam quae non dabit amplius numeros fictos , sed veros beneficio trianguli illius primitivi vedistinctius videbitur infra num. Q. Rursus si proponatur quaerendum triangulum rectangulum quo productus sub hypotenuia in summam unius laterum circa rectum& dimidii alterius multatus area, faciat quadratum formabitur triangulum ab obuiis Numeris i&1N-r. ergo latera erunt I Q -IN- a. I -- a N. 2N-a. duo itaque I Q-- a N -- a in i Q -- 3 Ni& productus i QR--s C - ρ Q. -- 8 N. -- 2. multatus area i C. - - 3 Q-- 2N dat residuum i Q - C -- 6 Q- 6 N -- a aequandum quadrato. Finge latus I - a N- r. eius quadratum est I QR-- C -6 Q-- N - I aequandum numero superiori&fit valor i proindeque si hic sisteremus secundum latus quod suit i inis a N foret
minus nihilo M ad solutionem postulatam ineptum,quare iteranda est operatio de tor- mandum triangulum ab rN -- i & a. ita enim latera erunt i Q -- a N - - 1 I -- aN-3. N - . productus ex hypotenuia in summam uni iis laterum circa rectum de dimidii alterius mulctatus area eriti Q Ω - C --6 Q-- aci N. - I aequandus quadrato, finge latus I -- Io Ν -i Q& fit pro valore verus numerus V erso ruxta positio- .nes Armandum erit triangulum a V & a siue in integris accipiendo solos numeratoresa 1ς & ia & fient latera quaesiti trianguli 983. σρ7. 695. Idem omnino contingeret ii poneres pro noua radice i N. - ἰ & Iuxta illam resoluere SI - - C -- 6 N -- a m de enim orietur nouus terminus aequandus quadrato I --- a C - γ - e. finge latus ἰ - 1 N. -i R& fit valor Z. hinc tolle e ob nouam radicem & fit V. pro primis positionibus, quare juxta positiones lamabitur itiangulum in integrύs ab , A. M
Iterum quaeratur triangulum rectangulum ita ut hypotenuia sit quadratus sicut &Z differentia laterum ponatur iN -- I de i pro duobus numeris a quibus formetur triangulum, ergo latera erunt i Q -- a -- a N. I Q. -- IN. 2N -- a. tolle postremum a N a. a medio i -- a N. igitur disserentia I & hypotenuia I -- 2 -- N. aequantur quadrato & fit per duplicatam aequalitatem ii pro valore radicis, ergo iuxta positiones numeri formantes triangulum erunt - I seu in integris abiecto denominatore. - Sc ra. pons iterare operationem, & inuenire triangulum quaesitum , sed aduertevltro illud offerri ex sormatione 3 &ra. fit enim triangulum rectangulum I 69. Ity. Ieto. ubi hypotenusa & differentia laterum est quadratus numeruS.
Bachetus impossibilitatem agnoscit ubi Fer mattus
,g patendum est ingenue plurimas quaestiones per methodos ordinarias solui infinities
ut cum uterque numerus quadrato aequandus constat radicibus diuersis & eodem quadrato,facile enim est eo in casu reperire quotlibet solutiones, propterea Bachetus ad quaestion. 24 lib. s. cum in secundo modo soluendi duplicatas aequalitates dixisset unicam selutionem afferri, in quarto modo solutiones adhibet infinitas. Verum aliae sunt aequalitates duplicatae delicatiores in quibus per methodos communes unica solutio , vel ad summum duplex inuenitur , unde ille idem illustris Diophanti commentator loco citato ait unicam solutionem afferri posse, dum numeroruin ex tribus speciebus compositorum differentia constat unica specie, vel enim in uno numerorum quadrato
24쪽
qnadrato aequandorum sunt tres speetes ex una parte & duae tantum ex alia, estque unicus utrinque quadratus , vel dum sunt tantum duae species interminis aequandis,& unus tonstat quadratis de unitatibus, alter autem vilitaribus & radicibus, addit autem contingere duas silutiones cum tam quadratorum quam unitatum numerus est quadratus ego vero, pace tanti viri dixerim , aio ex methodo Fermatiana etiam in his omnibus casibus contingere solutiones infinitas ut exemplis sequentibus pla
Primum exemplum sit in duplicata aequalitate I Q -3N - 7. dc i Q - s N -- 7. 9
differentia eorum terminorum constat unica specie estque 8 N dest valor 3. frustra Ba-clietus per suam methodum alium quaereret, sed ponatur pro noua radice IN - 3.' ergo noui termini erunt I 23 -- s N. & i a --i N. igitur quoniam numerus unitatum quadratus est utrobique poterir solui illa aequatio nec te terreant numeri
ficti qui occurrent iam enim supra dedimus modum ex illis eliciendi veros. Secundum erit in 4 χ-IN - & Q--is N. ubi sunt tantum duae species ex una parte, de quam Bachetus soluit inueniendo unicum valorem l . pone pro noua radice i'I N -- l. ergo iuxta illam reseluti priores termini dabunt nouos aequandos quadrato 4 in i - 9 N. N as N. ac proinde cum habeatur numerus unitatum quadraintus inueniri potest valor raὸicis eritque Eli. Tettium exemplum sit in duobus terminis I Q - ρ &ρ - N aequandus quadrato, duos inuenius valores ad solutionem istius aequalitatis, nempe 3 & inde inuenies infinitos, ponendo pro noua radice i N -- 3 veli N - : veruin hoc indicasse
Deinde Bachetus ait reperiri duas solutiones in iis duplicatis aequalitatibus nquarum termini habent tam numerum quadratum quam unitatum quadratum ut sidentur aequandi quadrato I Q. - Ia N-I de I I nam per methodos vulgares reperientur valore si vel : at si quis petat alios, haeret Bachetus, noster tamen Dr tius inde se alacriter expedit & subministri infinitos. Adde quod ne in hoc quidem casu semper dabit duos valores Bachetus ut si dentur duo termini aequandi quadrato i Q - 3 N - i de ii N unicum enim eius methodus valorem exhibet, imo continget saepe ut ne unum quidem sit exhibiturus ut si dentur aequandi quadrato 1 6 N - dc I Q - a N -- : hoc autem continget quia valor exhibetur cum defectu; jam autem supra diximus per methodum Fermatianam innumeros valores exhiberi etiam dum numeri ficti occurrunt. Praeterea cum Diophantus l. . q. 29 eo deuenisset ut 9 Q- C - 69 -I2 N. 33- , i aequandus seret quadrato , Bachetus ait quatuor tantum modis id fieri posse, sublatis enim quadrato quadratis Sc unitatibus vel tollet radices, ut maneat aequatio inter cubos & quadratos , vel tollit cubos ut maneat aequatio inter radices & quadrata, unde inuenit tantum duos valores dc d. Ferinatius vero reperit infinitos , primo enim expungit etiam quadrata, ut remaneat aequalitas inter cubos & quadratoqu drata vel inter radices de unitates. Secundo asserit Bachetus si fingatur latus istius quadrati a 6N- i. sere ut incidatur in incommodum &ala -- o C aequentur nihilo, Verum hoc incommodum non pertimescit Armatius. Tettio ex quolibet valore inuento , alios reperit in infinitum ut iam explicatum est.
Deinde Bachetus lib. q. q. 28. ait esse impossibile aequari cubo 3 C - 8 N - I Q. - i & affert rationem quia non potest fingi cubus iste nisi a latere a N - i vel tollantur Heubi & unitates : verum,pace tanti viri dixerim, falsum hoc est, primo enim potest fingi latus istius cubi ν-t ex fit valor ta deinde fingendo latus a N- r fiet radix - de
resoluendo numerum superiorem iuxta hanc nouam radicem. Haec fusius explicabunis infra in tertia Parte.
25쪽
Non satis caute negauit Uieta numerum cola positum ex duobus cubis posse diuidi in alios duos cubos : Fermatius enim docet id posse fieri ex iis quae habri Bachetus ad i. q. Q. a. Diophanti quod tamen rpse Bachetus non aduertit sit igitur 9. compositus ex cuobus cubis idc 8 diuidendus in alios duos cubos,quaerantur primum duo cubiquorum differentia sit 9. beneficio huius canonis: virumque datorum cuborum t &8 ducito ter in latus alterius , productos diuide per interuallum cubotum & minori quotienti adde maius latus, a maiore autem quotiente aufer minus latus , summa re reliduum exhibebunt quaesitorum latera cuborum:proinde latera illa sunt 7 V cubi vero I P. f. Secundo datis duobus cubis inueniuntur alii duo quorum differentia aequet differentiam datorum ἱ hoc autem commode fiet per canonem sequentem,productum ex utroque cubo ter in latus alterius diuide per summam cuborum,a majore quotiente aufer nunus latus a minore quotiente aufer minus latus, relinquentur latera quaesitorum cuborum. At duorum cuborum mox inuentorum differentia est y. ergo latera nouorum cuborum quorum differentia est ρ. erunt i 88 79 3sseto supposito utrique denominatore comuni sto39i cubi autem erunt 669339o8 26a6239 & 487o71o38o8ooo modo tamen utrique supponatur communis denominator 7383 263 646 71 horum igitur cuborum differentia est V sicut S priorum. Tertio extat alius canon quo inuamuntur duo cubi quorum summa aequalis est differentiae duorum cuborum datorum, & est eiusmodi: utrumque datorum cuborum duc ter in latus alterius, productos diuide per summam datorum cuborum , a maiore quotiente aufer minus latus,& minorem quotientem aufer a majore latere,relinquentur cuborum quaesitorum latera. Ergo cum duorum cuborum posteriorum differentia sit q. si per hunc canonem inueniantur duo cubi quorum summa sit aequalis illi differentiae habebuntur latera quaesitorum cuborum - - ::::: . Vieta soluit acutissime problema Adriani Romani quod suerat propositum omnibus totius orbis mathematicis in uno casu, dum videlicet numerus cum quo debet fieri aequatio minor est binario, idque per sectiones angulares, ubi ingenij sui vim mitifice ostendit & maximam inde existimationem ubique terrarum sibi compara uit. Uerum Fermatius noster, etiam dum numerus binario maior est, quo in casu nullum est ab sectionibus angularibus praesidium, soluit quaestionem; sit enim Α . -3793 1 - 2 63 &c. nihil omnino immutando in terminis Adriani numerus aequalis cuiuis numero dato eo enim reeidit problema Adriani ut Vieta ipse vel agnouit vel emendauit sit autem datus numerus D 8 - 6, qui est binario maior, asserit Ferinatius valorem radicis primigeniae facillime designari per radices uniuersales eritque in eo casu hi potestatis 3 3 - Ra in 'bin. Io: - - ' a J - is potestatis 3 'Φ θ2 - bin. Io - P a Rursus si detur numerus 4 asserit Ferinatius valorem radicis fore ' potestatis bin a -- R 3 - ' potestatis s. residui a - 3. & sic infinitum valores nouos dabit etiam supra binarium, cum Uiet an unum quidem etiam sectionum angularium ope suffultus exhibere possit. vieta l. 3. Eetet. q. infeliciter soluit quaestionem tertiam libri sexti Diophanti s cum enim iste proponat in aenire triangulum rectangulum cuius area assumens datum numerum faciat quadratum , coarctauit Vieta quaestionem ad datum numerum ex duobus quadratis eompositum , at Ferinatius innumeris modis soluit problema de dato quocumque numero si enim dentur a numeri sequentes exhibet tria noulum quaesitum
26쪽
. Diophantum in plurimas Ferinatius superat.
Diophantus L 3. q. 8. tradit artem inueniendi tria triangula rectauula quae sint 38 aequalia quoad aream , qui vero plura ab ipse expetet numquam obii ebar, praeterea numquam tradidit Diophantus methodum iuueniendi triangulum dato triangulo
aequale quoad aream. Fermatius vitumque mox arque eadem operatione praestabit,
sit verbi gratia inueniendum triangulum rectangulum cuius area sit f. qualis est area trianguli rectanguli 3. 4. 1. esto unum latus cuiuspiam trianguli rectanguli 3 S aliud latus sit 1 N horum quadrata limul sumpta exhibent 23 - I Q. - 8 N. pro quadrato hypotenuis: quare ine inumerus aequatur quadrato, deinde alea si ius triangulii N-6. debet esse sextupla alicuius quadrat quia postulatur aream esse 6, ergo eius areae sextans quadratus est ac proinde ille ductus in 3 6. efficiet quadratum,efficit autem y N - 36. igitur hic numerus aequandus est quadrato. En igitur duos Perminos duplicatae aequalitatis ρ N -.36. & is i Q - 8 N. in his autem vilitatum num rus qua dratus est , ergo valor radicis saetis reperietur er tque - isti ac proinde N - erigaliud autem litus circa rectum est 3 igitur horum quadrata limul sumpta iaciunt quadratum cuius latus erit hypotenuli ergo habes triangulum rectangulum ἰ 323 3. cuius area est sextupla cuiuspiam quadrati nempe Elina. huius vero qua- .drati latus est . , . . per quod si diuidas singula latera trian 3uli mox reperti, habebis
triangulum quaesitum '. .. NA . . si'. cuius area est y. aduerte nos inuenisse
hoc triangulu per illud quod datum suit 3. 4. s. ac per inuentum inueniri possie tertium,
per tertiuin nuenietur quartum &sic in infinitum. Ecce tibi quatuor triangula rectangula quorum area est 8 o primum 8. o. a. secundum 74. 2Φ. 7. . tertium III. II. iii. quartum V et V l . ' iDiopliantiis l. 6. q. s. incidit in illam duplicatam aequalitatem I QSO -- 4.3, N. potest illa reselui duobus modis, supponendo primum ex illis malorem ves mino in rem altero, prout libuerit: Sc sunt duae radices : &-:. sciscitate ab illo tentiain, non dabit. Fermatius potest dare infinitas, pro exemplo seniatur noua radix I N -- Sejuxta illum resoluantur I - I me I - . N. fientque noui termini I Q M49 - i N. ergo cum unitatum numeri unt quadrati in utroque termino , resolui po- εtest per methodum,eritque radix pro duobus terminis posterioribus 'Ita. ἰ Fcui necte V Se fici valor radicis pro data aequalitate -- .' - . . lDiophantus l. 6. post quaest. rs. & i . omisit tertium casum quo quaeri potest trian- ogulum rectangulum ut tam hypotenuis quam alterum laterum circa rectum , detracta
area faciat quadratum: omisit inquam illud problema rarae subtilitatis non alia de causa nisi quia incidit in numeros fictos quorum enodationem ignorauit. Fermatius illud acutissime soluit s primo enim per analysin deprehendit inueniendum esse triangulum rectangulum in quo productus sub hypotenuia in summam unius laterum circa rectum& dimidij alterius multatus area, sit quadratus, deinde triangulum istiusmodi inuenire iusque ratiocinium & praxim dedimus supra num.r6.ubi diximus triangulum 986.ερ7. 6 6. satisfacere huic lemmati. Tertio latera huius trianguli nectit characteri radicum ut sit triangulum quaesitum q8s N. 69 N. 69q N. cuius area a as 3 64. tollatur ab hy
aequanda quadrato,aequetur illud postremum quadrato ab ε97 N. orto sitque 838oyaequale 697 N - 2 23sουν. & fiet valor radicis rere ideoque triangulum ab initio quaesitum erit 'Ea. En quo Diophantus mi squam attingere potuit, multa alia dabimus eiusmodi m sequentibus quae Diophantus omisit, ut pote sibi ignota.
27쪽
i, Doctrinae Analyticae , Quaestiones duodecim circa hactenus dicta . .
i Quot exempla dedimus tot sunt problemata dissicillima, quibus enodandis impares et unt alge bristat vulgares. Primum enim exemplum in quo proposita est duplicata aequalitas N -- IdcI Q - 2N -- I ita enunciari potest. Inuenire numerum octonario majorem cuius quadruplum additum unitati faciat quadratum de cuius duplum subtractum ab eius quadrato cum unitate iuvisto faciat rursus quadratum, numerus quaesitus est Secundum exemplum sic proponetur. Invenire numerum cuius duplum detractum unitati quadra m exhibet & icuius quadruplum subitaetiim ab unitate iuncta eum duplo eius quadrato faciat quadratum. Hinc existit duplicata aequalitas anter r-a N&i- N -- a Qvbi valor radiciost Tertium exemplum in quo 8ρ - -- 16 N & a Qr N aequamur quadrato,sic reponi potest in problema. Inuenire numerum cuius sedecuplum cum ompta quadrato additum A. iacit quadratum . de cuius quadruplum cum quaternario & duplo ipsius quadrato, facit quadratum, hic valor est U. omitto reliqua exempla ut proponam illustriores quassiam quaestiones.
Inuenire infinities duos numeros quorum productus sublatus ab alterutro eorum, aut ab illoru summa aut 'a differentia relinquat quadratum.
Sint duo illi a N. &r - IN sic enim satisfiet duobus postulatis prioribus, restat ergo ut duobus posterioribus satisfiat, suppono I N esse minorem, ergo productus xNi Q. subtractus a differentia I - a N dat pro residuo I --I-3N. subtractus autem a summai. relinquit Ι - 2- IN. illa ergo duo res a aequantur quadratis de fit per methodum vulgarem l pro valore radicis ac proinde duo numeri quaesti sunt a. l. Supponatur man pro noua radice I N. - & iuxta illam re solitimetur duo residua supradi- ω, fientque de novo, duo termini 1 in εκ V M. O- α - aequandi quadratis, igitur quoniam in utroque termino vntinum numerus est quadratus , inuenietur valor pro his terminis . Mi Veiis huic adde 4 de fiet valor pro prioribus terminis, igitur duo numeri qua ti erunt & hiram. Potes ex isto posteriori valore elicere alium tertium, di ex tertio quartum, & sic in infinitumia En tibi alios chaos numeros suisfacientes quaestioni Io i 6 & 4r modo iupposueris denominatorem I863.
Inuenire infinities tres numeros quorum solidum
subtractum a sipylis, de a qualibet illorum diste
rentia & a producto medij in extremos, & a' quadrato me dij, relinquat quadratum.
63 Ponantur erre quaesitit μω.-tN horum solidum i N - detractum primo de tertio, itemque differentiae primi & secundi, ac differentiae secundi & tertij relinquit quadratum , superest ergo ut satisfiat reliquis postulatis seu ut i Q I IN&i
28쪽
Q- I-3N. aequentur quadratis, sunt autem iidem plane numeri cum iisdem lignis quae in priori quaest e ligitur valor est ι & fient tres quaesiti a. 8. s. modo illi εlupponatur denominator communis i . Item tres tequenIc O 16. i8o . 41 9 I modo supponatur illis denominator si 86 satisfaciunt quaestioni simili ratione tres subsequentes a 983 I97. 78 992'11. 33 II77II. supposito denominatore communi 78 9929ra. soluunt quaestionem. Potest idem problema aliter proponi hoc modo. Diuidere infinities binarium in tres partes, ita ut solidum sib illis detractum singulis, Se cuilibet eorum differentiae & cuilibet producto media in extremos , 3c quadrato medii, semper relinquat quadratum, nam quilibet ternarius ex supradictis aequatur binario. Aduerte dumtaxat me per medium non intelligere minorem majore & maiorem Goore, sed biserς tantum rationem situs, in eo ordine quem supra vides.
Inuenire infinities duos numeros tales, ut differenti
quadratoru ab illis ortorum detracta maiori vel minori, vel summae vel differentiae eorum, relinquat quadratum.
Ponatur summa numerorum 1 - 2 N. Staistentia a N. ergo qui numeri erunt ἰ & a N.proindeque differentia quadratarum ab illis est a N- inuae detracta summa vel differentiae relinquit quadratum. Restat rem ut detracta alterutri numerorum, quadratu relinquat,relinquit autem : - a N.& - Q N. igitur haec aequanda quadratis, defit a Naequalisa. Ecduo quae Minumera suntl N a vι vero inueniks alios, pone pro noua radice IN dc iuxta liac xesolue terminos quadrato aequato & perige in operatione secundum marcem superius tradita, neque despondeas animum si Occurrant numeri facti, iam diximus quomodo reduci obeant ad veros.
Inuenire duos numeros quorum summa faciat quadratum , & quorum quadrata simul suncta
Istud problema idem plane est cum .periori quo quaerebatur ili ngulum rectans u. tum cuius hypotenuia de summa laterum si quadratus aliasque suit propos tum plerisque doctissimis Mathematicis a Fermatio nostro sine solutione. Vtere igitur triangulo primitivo supra inuento num. 23 Hy. H9. leto. quod. matur ab .s Ecii & forma triangulum ab iN -- s &ia.latera erunta chiniis in ro N. I II' IoN. 2 N - Iao. igitur hypotenuia i I 69 --ro N. M summa laterum circa rectum I I Q - 3 N. aequantur quadrato, duc summam istam laterum in io: ergo productus i69Q--37 6 N. t . cum hypotenuia i Q --isy - I. N aequantur quadratis. Ergo per ea quae dicta sunt num. 220 valor raὸicis est 5 3 & iuxta rositiones duo numeri a quibus nascetur triangulum quaesitum 66872986io289. 436 486oa776 I. Iosis ra9331o. nam & hypotenus a & quadratus & summa laterum de quadrata laterum aequalitur quadrato hypotenusiae. Proindeque duo latera citrea rectum senti duo numeri Paesti tum quia illorum summa quadratus est , tum quilatiorum quadrata simul iuueta faciunt quadratoquadratum. e iij
29쪽
invenire triangulum rectangulum cuius unum latus Circa rectum sit numerus quadratus qui additus dato multiplici alterius Circa rectum faciat
6 Detur triplus pro multiplici de formetur triangulum rectangulum ab I N--I Se t. lnera erunt 2-- I a N. I Q. - a N. a -- a N. triplum postremi istius lateris est 6 N - 6 cui si addas medium latus, fiet summa i Q. - 8 N - 6 aequanda quadrato. Insiaper ipsummedium latus nempe IQ- a N. quadrato aequandum est. Haec duplicata aequalitas modo cQmmuni resoluta dat A pro valore radicis di iuxta positiones fiet triangulum quaesitum in integris 3I3. 23. 3Ia.
Inuenire triangulum rectangulum Cuius unum latus Circa rectum sit numerus quadratus qui multatus dato multiplici alterius lateris Circa rectum faciat quadratum.
7 Detur triphis pro multiplici & capiatur triangulum inuentum in praecedente 3t3. 23.3ti. pro primitivo,& quia istud triangulum formatur ab I3 & Ia forma triangulum quaesitum ab rN -I3&Ia. latera erunt x 26 N- - 3r3. I Q ab N - 23. 24N 311. huius postremi triplum subtractum a medio, relinquit ly -- ρ6I -98 N. quod est aequandum quadrato, at medium latus aequari etiam debet quadrato nempe t Q - asN - as. En tibi aequalitatem duplicatam , ducto igitur horum postremo in 'ni iuxta ea quae dicta sun in numero 4. nent duo termini noui aequaudi quadrato 3 .: -- msi 'et: - Sc 1 Q-- ρ6i - N. horusa differentia est v - eligantur duo hane diffe-' rentiam producentes - de fiant reliqua pro solito , inuenieturque valor radicis ergo i N. a 13. εe ix. in integris abiecto denominatore eruntasue 292i dc 381o o ex quibus formatur triangulum quaesitum 36886 87ioo 38 t. 339673367 186 r. 17988863 aio 8o. dabimus iusta solutionem eiusdem problematis per aliam methodum in 3. P. n. 36.
Inuenire triangulum rectangulum cuius hypote nu-sa sit num erus quad ratus, & in quo datus multiplex unius later is circa rectum detractus alte- ri, faciat quadratum.
8 Pone 1Ν &r pro numeris sormantibus triangulum , latera erunt a M. I in rN. t a MaN - a. ergo si duplum istius posterioris 4 N - - tollas ab I Q - ,
30쪽
N. relinquetur I Q a N - aequandus quadrato, sed di livpotenuia χ - I Q. FaN. arquanda est quadrato. En tibi duplicatim aequalitatem ubi valor radicis est igitur N --I & I in integris relicto de nominatore erunt 3 & ia. unde formatur triangu lum 169. II9 - rao, redintegra ergo Operationem & pone pro numeris formantibus triangulum IN - 1 & ia latera trianguli erunt i in r69 - io N. i Q, io. N - II'. a N-iro. ac proinde si duplum postremi lateris detrahatur medio , residuum I Q. Φiii - 38 N sicut & hypotenuia r. - ΙΘ - io N. aequabuntur quadratis, ducatur ergo residuum 1 Q ' Iai - 18 Nin quadratum & fient duo termini aequandi quadrato reducti ad eundem quadratum VPI - 1ερ - de 1 - 16ρ - 1o N. differentia illorum est quam producunt & m horum producentium summae semissis quadratus aequetur maiori duorum superiorum terminorum & fiet valor radicis& juxta positiones triangulum quasi tum erit Iri 3o 6iI33r'. I8732ει8687921. 8ri8I7 ooqOo. &satisfacit quaestioni.
Inuenire triangulum rectangulum, culus unum lutus Circa rectum sit quadratus, & alteri in lateris circa rectum sit quadratus S alterius latens Circa
rectum datus multiplex hypotenusae additus
Detur multiplex duplus & sormetur triangulum ab I N -- I & I latera sunt i Q a a N. I in a N.2 N - 2. ponatur medium latus i Q. - 1N. esse quadratum,postreia vmi autem lateris duplum N - additum hypotenusae faciti in 6 N. - s ergo duo sequentes termini I Q, 6 N - - 6 & et Q -- a aequantur quadratis,dc fit valor et ac proinde i N -- i Jcrin integris erunt 3 & unde formatur triangulum quaesitum 4 I. s. o. hinc solues sequens problema. Inuenire triangulum tectangulum cuius unum latus circa remim sit quadratus numerus, alterius autem lateris simplum & duplum additum hypotenusiae faciat quadratum, triangulum est idem quod supra r. ρ o. si peteres istius lateris additi simplum & quindecuplum triangulum foret 3o. Is. 34. formatum
Inuenire triangulum rectangulum Cuius unum latus circa rectum sit quadratus, alterius autem lateris
datus multiplex detractus hypotenus ae
Detur multiplex duplus ; & assumatur pro triangulo primitivo illud quod inuentum est in quaestione praecedenti r. q. o. quodque formatur ab s. de A. inde ob ana. 'lysin praecedentem sormabitur triangulum quaestum ab I N - 3 dc . latera erunt et Q - t - Io N. I Q - ' - Io N. 8 N - o iit medium latus I in 9 Io . aequaniadum quadrato deinde duplum postremi lateris 8N o. detrahatur hypotenuis de rre manet I Q Iar - 26 N aequandus quadrato, ecce ergo duplicatam aequalitatem