장음표시 사용
461쪽
P RO P OS IT IO D EC IM A S E XT A. Si sint quotlibet numeri ab unitate secundum seriem naturalem dispositi, Se numerus angulorum binario multatus ducatur in aggregatum triangulorum a singulis relicto maximo , & producto addatur triangulus maximi, fiet aggregatum polygonorum a singulas.
υ Sint iidem qui supra Α Β C D. dico si L. dueat ut in aggregatum triangulo- ωα di rum a singulis A B C. de producto addatur triangulus ip1ius D. fieri u . a D' δ' stegatum polygonorum . singulis. Nam triangulus C. aequatur summae ip-' 3' iorum AB C. triangulus B. aequatur summae ipsorum A B. & triangulus A. aequatur ipsi A. sumere autem ΑΒ C. tum Λ B. tum A. idem est atque iumere C.semel, B. bis, A. ter. 3e sie deinceps, ergo aggregatum triangu lorum a singulis ABC. aequat ut ipsi C. semel, de B. bis, de A. ter. Quate ducere L in aggregatum illud trian totum , idem est ae ducere L in C. semel, in B. bis, in A. ter. At productis ex L in C. semes, in B. bis, in A. ter, si addatur summa omnium A B C D. seu triangulus D. fit V. per praeced. Igitur si & ploducto ex L. in aggregatum triangulorum a singulis A B C. addat ut itiangulus D. fiet idem V. aggregatum polygonorum a singulis. Quod demon
M. f. L. 4. Κ. 3. H. a. G. I. R. I. B. 2. C. 3. D. 4. E s. F. s. N. 3.
Si fuerint quotlibet numeti ab unitate secundum seriem naturalem numerorum dispositi, productus ex numero terminorum unitate aucto in polygonum maximi, adscita summa numerorum, vel adscito triangulo maximi, arquatur triplo similium. polygonorum a singulis.
sint A B C D EF. numeri ab unitate secundum seriem naturalem dispositi, dieo si polygonus maximi F. ducatur in numerum terminorum unitate auctum & producto addatur summa ipsorum ABCDEF. seu quod idem est triangulus ipsus F. summam aequa i triplo polygonorum s milium a singulis. Sit enim N. numerus angulorum hinatio multa tus , & super ipsos Α Β C D E. disponant ut totidem illis aequales ordine inuerso G. H. K. L. M. ita ut G. sit unitas. H. binarius Κ. ternatius & se dei neeps. Tune patet ambos C E aequari ipsi F. Ee similitet ambos A M. sed di ob medietatem alithmeticam summa duorum A E. aequalis est summat duorum B D. atque etiam duplo ipsius C. Igitur cum ambo A E. aequentur ipsi s. di summa duorum B D. sit eadem quae duorum B L. & eadem quae duorum D H. & K sit aequalis ips C. patet singulas suminas binorum M A. LB. Κ C. H D. GE. a quati ipsi F. Quare s harum summati ppolygoni sumantur , & praeterea polrgonus ipsius F. his, aequabuntur hi omnes polygoni simul
producto ex polygono ipsius F. in numerum terminotum unitate auctum. Itaque cum polygonus
summae M A. per decimam huius fit aequalis polygonis ipsorum M. de A. N plano sub M A. duct iii N. Item polygonus summae L B. sit aequalis polygonis X. N L. R B. N plano stib L B. ducto in N. Item polygonus summae X C. st aequalis polygonis X. N C. & plano sub K C. ducto in N. Item que polygoni luminatum H D. G E. snt aequales polygonis ipsorum H. D. C. E. N planis sub H D. C E ductis in N. polygoni autem ipsorum G. H. K. L. M. sint aequales polygonis ipsorum ABCDE. si his addatur duplum polygoni p. sequitur duplum polygonorum a singulis ABCDEF. una cum plani; M A. sub DB. sub K C. sub A D. sub G E ductis in N. aequati producto ex polygono ipsus
F. in numerum terminorum unitate auctum. Quare si adiiciatur utrimque summa omnium ABCDEF. erunt summae utrimque aequales. Quia vero C. est unitas N. hinatius. Κ. ternatius disie dei neeps patet productum ex G in E aequari ipsi E. N productum ex H. in D. aequati duplo D. &productum ex K in C. aequari C. ter, & productum ex L. in B. aequari B. quater & productum ex M. in A. aequati A. quinquies S se deinceps. Igitur ducere N. in omnia illa producta, idem est atque ducere N. in E. semel, in D. bis, in C. ter, in B. quater, in Α quinquies & se deinceps. Quate petis. huius qui fit ex N. in omnia illa producta, adscita summa ipsorum ABCDEF. aequatur polygoni4 a singulis. Quamobre in qui fit ex polygono F. in numerum terminorum unitate auctum adsic ita summa omnium, aequatur triplo polygonorum a singulis. Quod erat ostendendum.
si fuerint quotlibet numeri ab unitate secundum seriem naturalem numerorum
disposti, in idem latus unitate auctum, aequatur sextuplo similium polygonorum a singulis.
462쪽
Sint A b C D E. ab unitate secundum serieni naturalem dispositi, & ina xlnia E. polystinus Hio l . cuius duplum C. quo addito ad ipsum E. sat H. quo clueto in X. unitate iratorem ipsi E. iicit i. dico L. eue se, tu pluin similium pGlygonorum a singulis ABCDE Etenim ex K. in pia fiat M. Patet ergo per preced. si ad M. addat ut ruitima o in niuio R B C D E. fieri iti plum polygonorum a singulis. Quia vero productus ex K. in H. nempe L. aquatur productis ex K. in G. Ee in E. ex quibus H. componitur. Productus autem ex K. in G. est duplus ad M. quia G. duplus est ipsius F S pr ductus ekK. in E. eit duplus summae omnium A BC D E. per . Diophanti sequitur L. continete duplum ipsius M.& sumitiae omnium A B C D E. id est duplum tripli polygonorum a singulis. I tut L est sextuplum litivismodi polygc nomin. inod demonstranduin erat.
Cape maximam polygonoram quem ducito in suum latus uni Iste atietam , proaucIo aude ινι angalam usus lateris , summa ιriens eris aggregatam polygonorum
CVe trιangulum maximi lateris uni a te multari , qaem cito in idem Iarus dinia rate aucrum , producri eape t iensem , quem aueito in numeνam anguIονam binario matiatam, prodacto adde Iriangulum maximi fateris,set aggregatum polygonorum.
p Ropo SIT ID P RO BZEM A ra Proposito quolibet numero . inuestigare quot modis polygonus dici post
Sit pro postiis numerus Iab. primo quidem constat ex definitione Diophanti, eum esse polygo ιnum a latere a. totque angulo tum , quot ipse continet unitates, & se dieetur heeaeonticosigonali . Dei de inuenietur triangulus esse a latere as. quia eius octu plum vnitate auctum, quadratum sol. esse it, cuius latus 3 . unde ablata unitate superest 3o. cuius semissis 1s. est latus trigoni m. vi constat ex Diophanto. Denique ut sciamus an aliis modis idem iro. possit esse polygonus. Exponantvt ab unitate omisnes in infinitum ordinatim numeri, puta I. a. a. q. s. s. . 8. R illis subiiciantur ab unitate triangulares omnes ordinate dispositi, puta I. g. 6. Io. is et . 28. vi sactum vides in apposita tabella, quae
463쪽
potest in infinitum extendi. Tum propostus numerus Iao. diuidatur sollatim per numelos itianis gulos ,&Observetur, quoties residuum ex diuisone aequale erit lateti proxime maioris trianguli, toties enim numerus IaO polygonus erit, euius latus erit ipsum residuum diuisionis. At quotienso1fendet differentiam progressionis huiusmodi polygonorum consitutivae , seu quod idem est, idem quotiens binarici auctus , num estim angulorum indicabit. Hae arte si diuidas Iao. per triangulum a. ita ut residuum sit 3. fiet quotiens 39. indicans laci. ess polygonum angulorum qi. leu 3tesata conta henagonalem , di residuum 3. latus illius denotat, ita D insinuas piove monem triuinterminorum quorum disserentia sit 39. fient hi x. η o. 9. N ex his polygoni angulorum qi. formabuntur i. I. rao. Rursus si diuidas Iao. per triangulum a8. ita ut residuum sit 8. fiet quotiens q. indicans leto. esse hexagonum , at residuum 8. radicem illius designat. Ita si instituas progressionem octo terminorum quotum differentia si A. eruut hi I. I. s. 13. II. ai. 23. 29. quortim summa utique est leto. Quia vero leto. per nullum alium triangulum diuidi potest, ita vi residuum sit a quale latetiproxime maioris trianguli, ideo pronunciamus propositum eundem numerum, pluribus aliis modis esse non posse polygoesum quam quatuor; cum si ut ostensum est triangulus, hexagonus, tessataeontahenagonus , di hecatontaicosigonus. Huius rei demonstratio facilis est, quod uno exemplo fiet manifestum. Quia a8. diuidens isto. dat quotientem 4. & residuum 8. patet Ia O. aequati qua diuis
illo iplius et8. & numero L atqui per septimam huius triangulus 28. cum qui unitate maior est quamatus ipsius facit itiangulum 36. proxime maiorem, igitur iungendo 28. semel eum residuo 8. se inel, erit leto. aequalis triangulo 28. ter, & triangulo sequenti U. semel, quamobrem per demonstrata itistholio ii. huius tro. est polygonus collateralis ipsi 36. hoe est a latere g. & habens tot angulos, quot triangulis ipse constat plus duobus hoe est 6. quod erat gemonstrandum. Et euidens est si diuisio
tentata sit per omnes triangulos, donee deuentum si ad aequalem vel maiorem ipso1ao. eundemiao. non posse esse polygonum aliter quam modis se inuentis, etenim quomodo eunque dicatui esse polygonus, oportebit per ri. huius ut componatui ex tot triangulis quot ipse angulos habet, mi. nus duobus, quorum unus erit illi collateralis, alii a latere viaitate minore, quare si collatet lis itian-qulus resoluatur in suum latus , di in proxime in inorem triangulum, quibus aequatur, iam parapositus numerus eontinebit aliquoties minorem triangulum, & praeterea latus maioris trianguli se niel,& ideo propositus numerus ex demonstratis ostendetur esse polygonus uno inuentoruin modorum, vel interetur omnes diuisiones non esse tentatas, Quoru in primum negabatut , alterum asse. tebatur, unde manifesta sequitur contradictio, igitur ex omni parte proposito est satisfactum. Aduelle autem compendii gratia, non omnino tentandam esse diuisioneni donee peruenias ad triangulum aequalem vel maiotem proposto numero ; susscit enim s deuenias ad tes angulum qui semel tantum in proposito nuinero contineatur a cum enim ex huiusmodi diuisione quotiens non
possit esse nisi i. qui auctus binatio esse it 3. numerum angulorum trianguli, patet per hanc diuisio. nem propositu in numerum non posse esse nisi triangulum, si sotte triangulus per quem sit diuisio, eum latere sequentis iunctus, essetat ipsum sequentem triangulum. Quare eum per regulam Diophanti iam expertus sis an propositus numerus sit triangnius, perfluum erat id amplius inqui tete, sie in data hypothes nummi ia . eum perueneris ad triangulum 66. qui semel tantum continet ut intro. iam desissete poteris ab examine, eum per id nil amplius tibi possit innotescere nisi leto. esse triangulum , eum diuides scilicet eum per ii tangulum ros. sed id iam tibi eonstat. Rursus f propositus numerus f par, frustra tentabitur diuiso per triangulum parem eum latus sequentis est impar, quia enim euius ibet trianguli paris multiplex quilibet est par. eo detracto apto posito numero pati, impossibile est relinqui imparem vi constat ex Euelide. Hae de causa proposito nuinero lao. frustra tentabitur diuisio per triangulos Io. & 36. quia latera sequentium, sunt s. & s. impares numeti. Eadem de causa si propositus numerus sit impar, frustra tentabitur diuiso per triangulum parem quando sequentis latus est etiam par. etenim trianguli patia multiplex quilibet, par est, quo detracto ii numere proposito impati, impossibile est res duum es e par. itaque in hoe casu non tentabitur diuisio per triangulos ε. 28. 66. qui latera sequentium sunt 8. a. numeti pares, & se de
aliis. Denique possunt & alia eompendia obseruari , quibus iam prouecta diuisione, antequam penitus absolii ut, dignosci possit an utilis sit fututa neene, quae studioso lectori ininsanda relinquo.
464쪽
AD LIBRUM DE NUMERIS POLYGONIS.
AC et v is est superiore libro de progressione polygonorum, quotum latera secundum seriem
natutalem numerorum ab unitate utiposta sunt. Hoc vero agemus de illotum progressione quotum latera reperiuntur in qualibet medietate arithmetica continua, cuius dissetentia aequatur minimo termino. Et primum quidem insgnis aliquot huius medietatis propi ietates pet- sequemur. Deinde peculiares de quadratorum progressione trademus tegulas , tum generales de omnibus polygonis, demum singularia quaedam de cubis deque eorum progressone proferemus.
'ROPOSITIO PRIMA. In medietate arithmetica, in qua disserentia minimo termino est aequalis, productus ex numero 'terminorum in minimum , aequatur maximo. ALA C s Da Sint in medietate arithmetica ABCD. & differentia progressioni, sit E. gr ν ' ' aequalis ipsi A. & sit F. numerus terminorum,dico productum ex A. in F. aequati ma2imo D. etenim B. continet Λ semel & differentiam E. semel. at C. a. i. appeti. eontinet A. semel de differentiam E hia, ae denique D. continet A semel & dii etentiam E tet, di sie deinceps Quare eum E. st aequalis ipsi A. patet B. eontinere Α. his, C. tet, D. quatet, & sic deinceps quilibet sequentium eontinet minimum toties quot sunt a minimo usque ad ipsum inelusiue numeri terminorum, quamobrem D. continet A. secundum unitates ipsius F. ae proinde ducto A. in F. producitur D. quod demonstrandum erat.
Hine patet seeundum a minimo continete minimum bis, tertium tet, quartum quater, & se dei ceps quotus quisque est in serie progressionis, toties continet minimum.
PROPOSITIO SECUN DA. In hac progressione, productus ex numero terminorum unitate multato in maximum, duplus est summae rela quorum. A, B Cε Da gio sinx in i δέ progressione A BCDE. sitque G. numerus terminorum Aec H. unitate minor, dico productum ex H. in E duplum esse summae rellis γ' quorum ABCD. quia enim H. est numerus terminorum ABCD. Pro ductus ex H. in summam extremotum A D. aequatur duplo summae ipsorum ABC D. per quatiam Diophanti, at summa exilemorum A D. aequat ut ipsi E. quandoquidem A. aequalis est differentiae. Igitur ea H. in E fit duplum summae antecedentium ABCD. quod erat demonstrandum.
pROPOsITIO TERTIA. In hac progressione. Quadratus maximi aequatur producto ex numero terminorum in planum sub extremis. A. a. B. 4. C. s. D. 8 E io Styx num H qui supra, & planus sub extremis esto X. dieo quadratum
κ 1. C maximi E. aequari producto ea C. in Κ. Eteninie, A. in C. fit ipse E. r. bui . . '' ' Quale sumendo tres numerus A. G. E. 3 idem producetur numerus 3. r. porum. ducendo A. in E.&productum Κ.m G. qui fiet dueendo A. in C. N productum E in E. hoc est quadratus ipsius E. Quare patet propositum. .
465쪽
a adratus maximi aequatur predacto ex quolibet miremo , in planum fab na
mero terminoriam, Cr a Iero extremo.
Eadem erim ratione ostendetur quadratum ex L aequari producto ex A. in planum sub G.& E vel producto ex E. in planum sub G. & Λ.
In hae progressione, quadratus maximi aequatur producto ex minimo incompo situm ex maximo &summa reliquorum dupla. Sint numeri qui supra, & duplum summat ipsorum A B C D. esto M.
L. N, M.' dieo quadratum ipsus E. aqvati producto ex A. in aggregatum ipso. A. a. B. 4. C. 6. D. R E Iο- tum M E si enim H. unitate deficiens a C. N ducto G. in E. fiat LG. 3. H. A s Quia igitur e, H. in E si M. N ex G. in eundem E. fit L etim C. H. distant, unitate patet L. aequati utrique M. E. simul. At ex Α. in L. fit quadratus ipsius E pet corouiatium praecedentis. Igitur ex A. in vitumque M E simul, si idem quadratus. Quod erat osten dendum.
In ρνsgressione qua ab initate incipit, quadratas maximi aequata ν άvlo sam
ma antecedentium adsumente ipsam maximum. A., Bb, C i D, E, Etςnim v ponatur Α. unitas, & disserentia etiam progressionis vulta 1. 'π' ' ' erit pet hane quartam propostionem quadratus E. aequalis productois A. in E. N in duplum ipsorum ΑΒ CD. Quia ergo Α. est unitas quae non mutat numeros quos multiplicat, patet quadratum p. aequari ipsi E. & duplo summae ipsorum ABCD. quod etat propositum.
p RopOSITIO INUINT A. Ita hae progressone aggregatum quadratorum a singulis , aequatur productis ex
minimo in maκimum semel, & ire secundum ab illo ter, & in tertium quinquies, &in quartum septies, &se continue per numeros impares ascendendo. A a B a. C s. D st E ita sint in hac progressione numeri A B C D E. dico aggregatum quadrato
' tum 1 singulis aequati preductis ex A. in E. semel, in D. ter, in C. quinquies, in B. septies, in A. novies , di se deinceps pet numeros impares ascendendo. Etenim per pratis cedentem quadratus ex E. aequatur producto ex A. in E. semel. de in teliquos bis. Rursus qua diatus ex D. aequat ut producto ex A. in D. semel, & in antecedentes bis. Quare quadrati ex E. & D. aequaniatur productis e2 A in E. semel, in D. tecti in reliquos quater. At rursus quadratus ex C. aequatur producto e et A. in C. semel, de in anteeedentes his: Igitur quadrati ea E D C. aequantur pto ductis ex A. in B. semel, in D. tet, in C. quinquies, & in reliquos sexies. Rursus denique quadratus ex B. aequatur producio eu A. in B. semel, & in A. bis. Igitur quadrati ex E D C B. aequantur produetis ex A. in E. semel, in D. ter, in C. quinquies, in B. septies, S in Α. octies, quare addito quadrat ex A. sunt quadrati omnium ABCDE aequales productis ex A. in E semel, in D. ter, in C. quinis quies , in B. septies, in A. nouies. Quod demonstrandum erat.' . PROPOSITIO SEXTA. In hae progressione, qui fit eκ numero terminorum in summam extremorum, aequatur producto ex numero terminorum unitate audio in maximum. Si ut numeri qui prius, & sit numerus termiporum C. eiii adgendo vni A , E c ue D s sit x xmra , fi/t Η. di sit suo a extremorum Κ. dico ex K. in C. eundem c μὴ ' produci numerum qui ex E. in H. etenim ' E. eontinet A. seeundum unitates numeri G. quare cum addito A. ad F. fiat K. ac proinde K. eon, tineat A. semel amplius quam E. patet Κ. eontinete A. secundum numerum M. qui unitate superat G. quamobrem e m ex eodem A. inΗ. N in G. fiant K.& E. erit K. ad E. setit H. ad C .ae proinde. ' ex K. in G. producetur numetus aqualis producto ex E. in H. quod erat demonstranduin .
466쪽
in hac progressione, productus ex numero terminorum unitate aucto in quadratum maximi, una cum producto ex minimo in summam omnium, aequatur triplo aggregati quadratorum a singulis. P R T X M Haee est dee ima propositio Archimedis de lineis spitalibus, quae
. sic ostenditur. Sint in hac progressione ΑΒ. CD. EF. CH. Κ L. . M N. dico quadratum ex M N. sumptum secundum unitates Du- . meri terminorum unitate aucti, una cum producto ex AB. io lum- . main omnium aequari triplo summae quadratorum a singulis. Et e-
. nim adiiciatur i psi Κ L. numerus x K. aequalis ipsi AB. ipsi quo- . que G H. addat ut T G. aequalis ipsi C D. de ipsi E F. addatur. 1 F. eidon E s. squalis. At ipsi C D. addatur QC. aequalis. ipsi G H. & demum ipsi A R addatur P A. aequalis i pu Κ L. Tune . patet totos P B. QD. TH. XL. aequales esse ipli MN. Quia . enim A B. est aequalis differentiae , eo addito ad Κ L N ad D A. i sunt X L. P B.. qui singuli aequantur ipsi M N. sed ob meti icta- . . . . te in arithmeticam summae duorum AB. X L aqualis est summa diso . rum C D. G H. itemque duplum ipsius EF. igitur eonstat & totos N QP. R F. T H. aequales esse singulos singulis P B. X L. seu ipsi M N. quamobrems sumantur quadrati ipsorum ΡB.m RR TH. XL. M N. & adhue sitiret quadratus ipsus M N. sumetur utique quadratus M N. secundum unitates numeri terminorum unitate aucti. Ostendendum ergo hos quadratos, una eum producto ex AB. in summa Omnium AB. CD. EF. G H. Κ L. MN. efiicere triplum quadratorum a singulis. Itaque ' quadratus ex P B. e his fias aequatur quadratis ex P A. & A B. & plano his sub P A. ΑΒ. contento. Item quactatus ex QD. aequatur quadratis ex QC. CD & plano bis lub QC. CD. contento. Et similiter quadrati rei quotum aequantur quadratis partium, & plano has sub partibus, eontento. at quadrati ex Α B. C D. EF. G H. Κ L. aequales sunt quadratis ex x K. TG. RE. C. P A. quale s his addas duplum qiradrati MN. patet iam haberi duplum quadratorum a singulis. Ressat ergo probandum dupla planotum sub Iartibus contentorum. una cum producto ev A B. in Α B. C D. E F. G H. Κ L. M N. aequati adhue suminae quadratorum a singulis. Quoniam itaque quod fit his ex X X. in ΚL. aeuua tui ei quod fit bis ex A B. in XL. at quod fit bis ex T G. in G H. aequatur ei quod fit qυatet ex A B. iii G H. i quia T G. duplus est ipsius A B. similiter quod sh bis ex R E. in E F. aequatur ςi quod ..i .i hia si se lege L A B. in E F. quia RE. triplus est ipsius AB. R eadem de eausa qua bis sub alii, parti bus eontinentur, aequantur producto ex Α B. in alios numeros, secundum numeros pares continenter ascendendo multiplicatos, omnia utique plana illa simul sumpta cum producto ex ΑΒ in omnek Α B. C D. E F. G H. Κ L. M N. aequabuntur productis ex A B. in M N. seruet , in X L. ter. in G H. quinquies. in E F. septies, & sc per numeros impares ascendendo. His autem productis aequantur quadrati a singulis per quintam huius, ergo constat propositum.
PROPOSITIO O C T A V A. In hac progressione pro3uctus es maximo in summam extremorum, aequatur
producto ex minimo in duplum summae omnium. y Sint in hac progressione A B C D s. & si summa extremorum F. Dico A, a C s babs iis pro fictum E in F. aequari producto ex A. in duplam se inmae oloia ' is ' ' niuin, et enim cum F. componatur ex duobus A & E. productus ex s. in ' ' P aequatur quadrato ipsus E. N producto ex R in E. at ' quadratus ex Eaequatur producto ex A in E. semel, & in anteeedentes bis , tot ut addito producto ex A. in Ε. pa- hiu tet productum ex F. in F. aequati producto ex A. in duplum summae omnium , quod demonstran
Fline sequitur euidentet productum ex minimo in summam omnium aequati producto ex maximo in s emissem summae extremo tum , vel producto ex summa extremorum in semissem maximi.
pROPOSITIO NONA. In hac progressione productus ex numero terminorunt in quadratum summae extre
467쪽
morum, arquatur proqucto ex eodem numero terminorum unitate aucto , in quadratum maximi, Una cum producto ex minimo in duplum summae Omnium
sint numeri qui supra & si C. numerus tetmulorum,de unitate maior sit H.dico productum ex C. in q, am itum ipsius H aequari proo lactis ex H. in quadratum E. N ex A. in duplum summae omnium,
Mia, cic in quadratus f. aequatur quadratas partium AE. S duplo plani sub Α. & E quate plodueius ex G. in quadratum F. aequatur productis ex G. in quadratos AE. N in duplum plani sub Α ΕΔ l 3. huius. Eo producti ex G. in planum sub Α E. semel, sumendo illi aequalem quadratum ipsius E erit productus ex G. in quadratum F. aequatis prouuetis ex C. in planum sub Α E. N in quadratos Α E. Nipsi quadeato E. quia veto H. petat G. unitate, productus ex H. in quadratum E. aequatur ploducto ex C. in i ii adlatum E. & ips quadrato E. Igitur productus ex C. in quadratum F. aequatur productis ex G. in pi inum sub A E. N in quadratum A. N ex H. in quadratum E. atqui cum F. atqueitit Ipsstetriis a. A E. plantis sub A E eum quadrato A aequatur producto ex F. in A. ae proinde producti ex C. in planum sub A E. N in quadratum A. aequamur producto ex C. in planum sub F Α. igitur productus ex C. in quadratum F. aquatur productis ex G. in planum sub F A. & ex Id. in quadlatum E. quia aereia x poris vero sumptis tribus numeris F. A. G. ' fit idem numerus si F. ducatur in A. S productus in C. qui fit m Diophanti. s G. ducatur in s. di productus.' nempe duplum summae omnium , ducatur in A. patet productum eΨ G. in quadratum F. aequari productis ex H. in quadratum F. di ex A. in duplum summα omnium.
Ex hae & ex praeredente collige tres miseros aequales esse, nimirum. Productum ex numero terminorum, in planum sub minimo. di sub summa extremorum. Productum ex minimo in duplum summae omnium. Productum ex maximo in summam extremorum.
PROPOSITIO DECIMA. In hac progressione productus ex minimo in duplum summae omnium, aequatur quadrato maximi, & plano sub extremis.
Adi B Cs DL pio si dx numeri qui sapia, dico quadratum maximi E. eum plano sub A M.' aequati producto ex A. in duplum summat omnium, etenim quadratus E. 3. hesia. aequatur producto ex A. in iisos A BC D. his & in E. semel , quale si eidem quadrato addatur tutius productus ex A. in E semel, erit utique quadratus Ε. eum plano sub Α E. aequalis producto ex Α. in omnes Α Β C D E. bis. quod erat Ostendendum.
Hi ne rursus collige quadratum maximi eum planci sub extremis , aequati euillibet trium illorum productorum , de quibus in eo tollatio pta cedentis.
PRO pos ITIO UNDECIM A. In hac progressione productus ex duplo numeri terminorum ternario aucto in
quadratum maximi, una cum plano sub extremis, aequatur sextuplo aggregati quadratorum a singulis. A, B Dp Et L sint numeri qui prius, di sit G. numerus terminorum , R H. HItare si . G maior, di Κ. duplum ipsius G. ternario auctum, die O productum ex K. in
'γ' quadratum ipsus E. eum plano sub A E. aequari sextuplo quadratorum singulis: etenim quia H. superat G. unitate, duplum ipsus H. supetat binario duplum ipsus Gae proinde cum c superet ternario duplum ipsus G. idem X. superat unitate duplum ipsus H. Ita ν. huius. que quia triplum quadratorum a sngulis,' aequatur productis ex H. in quadratum E. & ex A. in summam omnium , utique sextuplum quadratorum . singulis aequatur productis ex duplo M. in quadratum E. & ex A. in duplum summae omnium ; at productus ex A. in duplum summae omnium, M. ιω- 3 aequatur quadiato E. Be plano sub A E igitul sextuplum quadratorum a singuli aequatur producto ex duplo H. in quadratum E ipsi quadrato E. N plano sub A F. quia vero X. superat unitate duplum Η. ut cistensum est, patet productum ex K. in quadratum E aequati producto ex duplo H. in quadratum E. de ipsi quadrato E. igitur aettuplum quadratorum . singulis, aequatur producto ex K. in quadratum E & plano sub A E. quod erat de monstrandum.
468쪽
Muia E multiplex est ad A. seeundum ipsum G. per primam huius, patet ducto A. in B. produci patiem quadrati ipsius E. denominatam a G. quale si ipsi X. addatur pars unitatis ab ipso G. denominata , & lumma ducatui in quadratum E. siet sextuplum agglegati quadratotum a singulis, 1 t eui dens est.
P ROPOSITIO DUODEC I M A. Ii, hac progressione productus ex numero terminorum in planum sub maximo , &sub summa extremorum, aequatur producto ex numero terminorum vnitate aucto, in quadratum maximi. s i, sint numeri qui supra, & summa extremorum esto F. dico ploducturi A , B C s , s s ex G. in planum sub F E. aequari producto ex H. in quadratum ipsus E' OT' ' etenim quia F. ex ipsis Α Ε. componitur planus seb F E aequatur quadrato ipsus E.&plano sub A E. Quate productus ex G. in planum sub F E. aequatui productis ex G. in quadratum E. & in planum sub A E. sed productus e2 G. in planu institi Α E. squatur quadrato ipsius P. Igitur productus ex G. in planum sub s E aequatur producto ex G. la quadratum E. & ipsi quadrato E. hoe est producto ex H. in quadratum E. quod erat de-
PROPOSITIO DEC IM A TERT IA. In hae progressione pro 3ucti ex numero terminorum in quadratum summae extremorum , &in planum sub sumnia e Ytremorum , 5 sub maximo comprehensum, aequatur seYtuplo quadratorum a singulis.s Sint numeri qui prius. Dieo productos ex G. In quadratum p. & in pi A, B a C s h g gio itum stib si contentum , aequati sextuplo quadratorum 1 sngulis. Namu ., o ' productus ex G. in quadratum F. aequatur productis ex H. in quadratum E. & ex A. in duplum summa omnium. At productus ex G. in planum sub F E. ' aequatur producto ex H. in quadratum E. Igitur producti ex G. in quadratum F. & in planum sub F E. aequantur productis ex H. in quadratum E. bis, & et A. in summam omnium bis. Vetum producti ex H. in quadratum E. & ox A. in summam omnium , aequantur triplo quadratorum a sngulis. Igitur iidem producti bis, seu illis aequales producti ex G. in quadratum F. & in planum sub FE. aequantur sextuplo quadiatorum a singulis. Qiiod demonstrandum fuit:
PROPOSITIO DECIMA UVARTA. In hae progressione, est ut minimus ad maximum, ita quadratus summae extremo rum, eum plano sub eadem summa & sub maximo coinprehenso, ad sextuplum aggregati quadratorum a singulis.
Sint numeri qui supra, di eo esse A. ad E. scut quadratum F. eum plano sub s A. ad sextuplum quadratorum a singulis. Nam cum ex A. in G. sat E. est Α. ad si ut unitas ad G. sed etiam ' quia ex G. in quadratum F. & i n planum sub F E. st sextuplum quadratotum a singulis, est unita, ad G. neut quadratus p. cum plano sub F E. ad sextuplum quadrato tum , singulis. Ergo est A. ad E. se ut quadratus F. euin plano sub F E. ad sextuplum quadratorum a sngulis. Quod demonstrandum erat.
PROPOSITIO DEC I as Am INT A. In hac progressione, productus ex maximo in dimidium numeri terminorum unitate aucti, vel ex numero terminorum unitate aucto in dimidium maximi, aequatur
summae omnium. sint numeri qui prius. Dico productum ex E. in semissem ipsius A. vel ex H. in dimidium E. aquari summae ommum. Etenim productus ex G. in F. aequatur duplo summae Omnium. per η. Diophanti at producto ex C. in F. aequatur productus ex H. in E igitur cum ex H. in E. sat duplum summae omnium , sane ex E. in dimidium Η. vel ex H. in dimidium E. siet ipsa summa omnium Quod erat ostendendum.
469쪽
Ducito numeνam teνminorum in pIanam sub maximo , cse sab summa extro moram , O producta adde quod fit ex minimo in summam omnium, composti
Dacito numerum reνminorum in quadratum fiamma extremoram , a producto aufer qtio is ex minimo in summam omniam,νe vis triens erit summa quadra ιors. Constaι per noniam adivitiante septima H dalio s. in ι quadratum ipsius Ia. sit rao. unis si feras
Ducito daptam nameνi terminoram teνnario atinum in quadratum maxami νολ- cIo aade planam sas extremis , eam ii sextans erit summa quadratorum.
O e, plano sab maximo cse stib famma extremoram contenio , producti sextans
Dacito maximum in aggregatum ex quadrato Iamma extremoram , o ex plano
470쪽
sas maxima es ob famma extremorum, productam diui de 3 er minimum , quotiensis sexians erit summa quadra Iorum.
Consar per deeimamquariam indagando quartam pro Orsionatim , tribus cognitis. Sis durendora. in us . M ab o. quo diu se per a. se Isuo. cuius sextans es ouo. τι an e.
p RG p O s IT IO DECIMA SEXTA. In hac progressione. Octuplum plani sub minimo, &sub summa omnium adscito miniini quadrato arquatur quadrato compositi ex minimo, & duplo maximi.
a D r o e Sint numeri qui prius, &st summa omnium F. Di eo inusum ti plani ex A. in F. adlumpto quadrato ipsius A. aequari quadrato com
positi ex A. R duplo ipsius E. Etenim ' productus bis ex A. in F.a qua- ro. huius. tur quadrato E. eisn plano sub A E Quare octus uin producti ex A. in F. aequatur quadruplo qua diali E& quadruplo plani sub A E. Proinde si addat ut utrimque quadratus A. utique octu plum plani sub Α F. cum quadrato A. aequabitur quadrato E. quater, plano sub A E. quatar. de quadrato A. semes. Atqui quadruplum quadrati E. aequatur quadrato dupli ipsus E. N qua diu plum plani sub oΑ E. aequatur duplo plani sub A. & sub duplo ipsus E. Rursus autem ' quadrati ex A. & ex duplo c... s. ipsius E. eum duplo plani sub A & sub duplo ipsius E. aquantur quadrato compositi ex A. N ex duplo E. Igitur hie quadratus aequatur octuplo plani sub Α F. Quod erat demonstrandum.
δ' η' s , ' δ' F. -ι aduendo quadra vim ipsius A. para unitas fel quadratus , euius latu/aquabitur duplo ipsius E. er intrari. Itaque hane eandem propositionem iam n Hieiter demonstrauimur. Primo ad quadragesimam quisνι m ope tiari riman atione. secundo Ili Oniuersatius, proua haec proprietas conuense omni provesoni arithmetiea, cuius minimvis terminus 3 Iis es iusserentia. Tertio uniuersatissime , da octaviam Diaphanti de rimeris multanguns , pro tri/ialem hane omni in Oniuersum progressioni ainii et ea antirantes ii theoremaris I. eeram qua adseitam demonariauimus. Hae ergo Hxisse sumiar de progreson e qaadratorum, quorum L era in hae progressione sunι oriana M. Agamas iam de omnium polygonorum in uniueoum progressisne.
PROPOSITIO DEC IMA SEPT IMA. si numerus secetur in duas partes, tum intres , tum in quatuor, tum in quinque 3& sie deinceps, de quaelibet pars unius sectionis comparetur, cuilibet ex aliis partibus eiusdem sectionis , continget hanc comparationem in prima sectione seri semel, in secunda ter, in tertia sexies, in quarta decies , & sc continue per numeros triangulos ascendendo. a secetur Α B. in duas partes A C. C B. 3e secetur D G. in tres DE E F. F G. o s τ' o di secetur H N. in quatuor H Κ. ΚLLM. MN.&sie deinceps, & compa-u κ' L u retur quaelibet pars unius sectionis euilibet ex aliis eiusdem sectionis, dico insectione numeri AB. hane comparationem fieri semel, in sectione DG. setite . in sectione H N. fieri sexies, & se continue per numeros triangulos ascendendo. Ρtimo enim in sectione A B. patet A C. tantum eomparari posse ipsi C B. unde constat propo
Secundo in sectione D G. quia D E. eomparati potest singulis E F. F G. & ipsae F F. F G. tursus
inter se semel comparantur, patet tres lite fieri eo inparationes. Quod erat intentum. Tettio in sectione H M. quia H Κ. ccimparari potest sigillatim, itibus reliquis, unde tres OAunt ut comparationes, & rursus tres reliqua: per proxime demonstrata, tet inter se comparantur. Patet hie in uniuersum sex fieri comparationes . quod erat propositum. Denique si numerus secetur in quinque partes eum prima pars comparati possit quatuor reliquis, di quatuor reliquae pet iam demonstrata . sexies inter se eomparentur, fient omnino decem compa