장음표시 사용
441쪽
ma omnium ducta in octi iplum interualli ipsorum , di adsumens quadratum numeri qui binario minor est eodem interuallo, quadratus existit, cuius latus binatio multatum multiplex est ad interuallum secundum quendam numerum , qui auctus unitate , duplus est numeri multitudinis eκ-
positorum numerorum,unitate in iis annumerata. Sint enim ab unitate numeri aequa.
Ii interuallo progredientes. A B. C D. EZ. dico fieri quod est propositum. Quot enim
sunt expositi numeri cum unitate, totvnitatibus constet Dumerus H T. Et quoniam interuallum quo E Z. superat unitatem, interualli quo A B. unitatem superat multiplex est secundum numertim unitate minorem ipso H T. si ponamus unitati aequa
les singulos AK. EL. H M. habebimus L Z. ipsus Κ B. multiplicem secundum M T. Quamobrem L Z. aequalis est producto ex Κ B. in M T. Et si sumamus Κ N.
binarium, quaeremus an omnium summa
ducta in octuplum ipsius ΚΒ. quod est ipsorum in te tualsum &adsumens quadratum ipsius N B. qui binario deficit ab interuallo ) faciat quadratum , cuius latus
binario multatum , faciat quendam n erum , qui interualli Κ B. multiplex sit, secundum compositum eκ utroque H T. T M. Et quia summa omnium est dimi dium producti ex viroque ZE. EL. in HT. At proὸuctus ex utroque ZE. EL. in F T. diuiditur in producitam ex LL. in H T & in eum qui fit bis ex EL. in HT. hoc est in duos H T. Rursum omnium summa est dimidium eius qui steYLZ. in F Τ. & duo rum H T. At LZ. est ostensus aequalis producto ex Κ B. in M T. Quare summa omnium est dimidium solidi sub KB. M T. TH. contenti, & duorum H T. si ergo se-cemus M T. bifariam in X. habebimus summam omnium aequalem solido sub ΚΒ.ΗT. TX. contento & vni H T. Quaeramus igitur an solidus sub K B. H T. TX. contentus , cum vno FIT. multiplicatus in octo ΚΒ. & adsumens quadratum ipsius N B. faciat quadratum. Atqui solidus sub KB. H T. TX. contentus ductus in unum K B. arquatur ei qui fit a producto ex HT. in TX. in quadratum ipsius ΚΒ Quare solidus sub K B. Id T. TX. contentus,
442쪽
dumis in octo ΚΒ. aequatur ei qui fit a vi δεα , , 'producto exHT. in TX. in octo quadratos ΚΒ. hoc est ei qui fit octies ex HT. mTX ducto in quadratum K B. hoc est et qui fit quater ex HT. in TM. ducto in quadratum K B. ostendendum ergo quod qui fit quater ex H T. in TM. ductus in quadratum Κ B. & adsumens proci Lictum ex H I. in octo Κ B. & adhuc quadratum N B fit quadratus. Diuiditur autem qui fit octies ex H T. in ΚΒ. in eum qui fit quater ex H M. in Κ B. & in eum qui siequater ex utroque H T. T M. in ΚΒ. quaerendum ergo an qui fit quater ex H T. in T M. ductus in quadratum Κ B. & adsciscens eum qui fit quater ex HM. in ΚΒ.& eum qui fit quater ex utroque H T. Τ M. in ΚΒ. & adhuc quadratum N B. faciat quadratum. At qui fit quater ex H M. in ΚΒ. aequalis est ei qui fit bis ex N K. in Κ B. & mixtus quadrato N B. facit quadratos ipsorum K B. K N. Quaeremus i itur an qui si quater ex Η T. in T M. due sin quadratum K B. & adsumens eum qui fit quater ex utroque H Τ. T M. in Κ B.& adlauc quadratos B Κ. Κ N. fiat quadratus. Rursus autem quadratus B Κ. tran sit in eum qui fit ex quadrato HM. in quadratum K B. & mixtus hic ei qui fit quater ex H T. in T M. ducto in quadratum K B. iacit numerum aequalem producto ex quadrato compositi ex utroque H T. TM in quadratum Κ R. Quaerendum ergo an quadratus son'positi ex utroque ΗT. TM. ductus in quadratum Κ B. ad semens quadruplum producti ex utroque H T. TM. in ΚΛ. S adhuc quadratum ΚΝ. fiat quadratus I taque si producto ex utroque HT.TM.
in Κ B. accipiamus aequalem numerum R. erit productus ex quadrato utriusque
H T. T M. in quadratum Κ B. aequalis quadrato N R. ut deinde ostendetur. Uidendum igitur an quadrati R N. N Κ.cum quadruelo producti ex utroque H T. T M. in Κ B. faciant quadra tum. Atqui quadruplum producti ex utroque HT. TM. in ΚΒ. aequale est quadruplo ipsius N R. quan- ά u Xπὸ Mia SH ΦΑ-τῶ κοῦ ets ά -
doquidem qui fit semel minoquς HI TM. in ΚΒ. aequalis Vtu, 'ΝR A qui
qintuor N R. equales sunt duplo producti ex N R. in N K. nam N K. positiis est b inarius quaerendum erso an quadrati NR. NK. cum duplo product, et N R in NΚsaciant quadratum ; factimi autem quadratum a latere ii K. cuius latus RΚ multa
443쪽
prima x. terita I. potis. tertia a. quarta a. inta a. toris.
tum binatio Nα facit numerum quendam N R. qui interualli Κ B. multiplex est, se- eundum summam ipsorum H l. Τ M. quae ad se ita unitate H M. duplum lacit numeri
s3YTAM. III e nonnulla sunt diluet danda, quae Diophanta a breuitas obseuriora reddit.
Ρ imo quod ait summam omnium esse dimidium ploducti ex summa ipsorum EZ.EL In HTpatet per 4. & s. huius: Cum enim EL st unitas , utique EZ. EL. smui conseiunt summam ex tremotum , qua ducta in A T: numelum terminorum , fit duplum summae omnium. Quia veto dueete E Z. in H T, ' idem est ae dueere sgillatim EL. L Z. in eundem H T. tectρ eo ne ludit sumis mam omnium esse dimidium producti ex L 2. in H Τ. semel, di producti ex E L. in HT. bis, & ctim E L. fit unitas, quae non immutat numerum quem multiplicar, bene infert summam omnium esse dimidium producti ex L Z. in H T. adscistentis duplum ipsius H T. Seeundis, diuidentes M T. bifariam in X. rem per lineas expressimus, quia ex hypothesi Dio ohantaea sequitue M T. esse ternatium, qui bifariam per integros secari non potest, hoe autem nillae it ad demonstrationem. Tettio, quod ait solidum sub K B. HT. IX. eontentum ductum in ΚΒ. aequari ei qui fit 1 producto ex H T. in Τ X. in quadratum ipsius Κ B. patet ex eo quod quatuor numeri quoquo modo& ordine inter se multiplicentur, ' eundem semper numerum procreant. Quartis , quod ait numerum qui fit his ex Κ N. in Κ B. adsumpto quadrato ipsius N B. atquasi quadratia i plotum K B. Κ N. sie probatur. Qui fit ea Κ B. in X N. bis.) aequatur producto ri X Nin N B. hi, di duplo quadrati ipsius KN. Igitur si addatur 'trimque quadratus ex N B. erit pro ductus ex X B. in Κ N. his, eum quadrato ex N B. aequalis producto ex K N. in N B. bis, de qua drato ex X N. his ,& quadrato ex N B. semel. At quadrati ipsorum K N. N B. cum duplo producti in E N. in N B.s aequantur quadrato totius X B. Igitur productus ex K N. in X B. his cum quadrato ipsus N B. aequatur quadratis ipsorum X B. X N. Quod erat demonstrandum. Quinto, quod ait productum es quadrato ipsius X B. in quadruplum producti ex Il T. in M Tvna eum producto ex eodem quadrato Κ B. in quadratum H M. aequati producto ex quadrato X B. in quadratum eompositi ex ipsis HT. M T. ad se insertur. Quoniam datis duobua numeria H T. M T. quotum interuallum H M. quod fit quater ex FI T. in M T. addito quadrato ipsu, Η μ) aequatur quadrato composti ex ipss H T. M T. patet ducere quadratum X B. in quadruplum pro ducti ex HT. in M T.& in quadratum H M. idem esse atque ducere eundem quadratum X B. in quadratum composti e2 sis ΗΤ. M T. Quoniam veto demonstratio Diophanti ob illius prolix; tatem, tyronibus fortasse videbitur obscurior, operat pretium duxi, propositionem istam aliter demonstrare. In quo praeter qnam quod ne ilius ti magis dilue id a tem e2pediemus, id etiam nobis nobis luese aceedet, quod in uniuersum de omni progressione Arithmetica ostendemus, quod demonstrauit Diophantus de sola pro
gressione cuius minimus terminus est unitas. Itaque more nostro, quinque vel sex Theorematis propositum eoneludemus.
THEORIMA PRIMUM Datis duobus numeris, quadratus primi eum quadrato semissis seeungi aequatur producto ex mutua datorum multiplicatione , una cum adrato interualli inter primum & semissem secundi., is sint dati A. B. R ipsus B. semissis esto C. Ipsorum autem A C. interuallum esto D . dico quadratos ipsorum A. C. simul aquati producto ex A. in B. una cum quadrato ip- λς ' . sua D. Etenim quadrati ipsorum A C. aequantur duplo producti ex A. it, C.&quadrato ipsius D. sed duplo product eet A. in C. aequatur producius ex R. in B. quia B. duplu est ad C. ipitur quadrati ip totum Α C. aequantur producto ex A. in B. & quadrato ipsius D. quod
444쪽
Non euramus vitum A. sit maior vel minor quam B. vel quam C. sed N eodein prorsus argumento si A. ponatui primus, A. secundus, cliendemus productum ex A. in B. cum quadrato Interualli inter B. S lamistem ipsius A. aequati quadratis tum ex B. tum seimsse ipsus Α. ortis.
TII ROREM A S ECV N D V M. In progressione arithmetica , productus ex disserentia progressionis in maximum, vita cum quadrato interualli inter . minimum & semissem differentiae, aequatur quadrato minimi, de quadrato semissis differentiae de quadrato differentiae toties sumpto, quot sunt termini progressionis uno dempto
H 4. Hi. Ε l. sint A B C D. in arithmetica medietate, & sit E. differentia progressionis A s. Bν. C9. Dii. cuius semulis G. , interuallum inter C.& R. esto H. dico productum ex
E. in D. cum quadrato ipsus H. aequari quadratis ipsorum A C. N adhuc quadrato ipsius E. toties sumpto, quot sunt ipsi ABC. nam interuallum quo D. superat A. continet E. toties quot sunt ipsi A B C. per tertiam huius. Igitur dueete E. in D. idem est ae ducere E. in A. de E. in seipsum toties , quot sunt ipsi A B C. at productiis ex E. in A. cum quadrato ipsius linaequatur quadratas ipsorum A G. per primum theorema. Ergo productus ex E. in D. cum quadrato ipsius H. aequatur quadratis ipsorum Aa S praeteto quadrato ipsius E. toties sumpto, quot sunt Ipsi ABC. Quod erat Ostendendum.
In progressione arithmetica, quadratus mavimi aequatur producto ex differentia in omnes antecedentes bis , de quadrato minimi semel, de quadrato differentiae toties sumpto, quot sunt ipsi antecedentes. C- ci, G, sint in progresJone arithmetiea ABCD. de si G. differentia prostes
A. B , C o D , , soni . dico quia tum maximi D. a quati producto bis ex C. in omnes an is ' γ' ' tecedentes A B C. di quadrato Ipsus A semel , di quadrato ipsius G. toties sumpto, quot sunt ipsi ABC. quia enim G C. simul componunt D erit quadratus ipsius D. aequalis quadratis ipsorum GC. & duplo Ilani sub C C. eadem de causa quadratus ipsin C. aequatur qua diatis ipsorum G B. N duplo plani sub G B. di tuisus quadratus ipsus B. aquatur quadratis ipsorum G Α. di duplo plani subi G R. igitur quadratus ipsius D. aequat ut quadrato A. semel, de quadrato G toties sumpto quot sunt ipsi ABC de praeterea duplo producti ex C. in ipsos ABC. quod erat
In progressione arithmetica, quadratus maximi audii dimidio disserentiae, aequatur duplo plani sub summa omnium , & sub disserentia contenti, una cum quadrato interualli inter minimum de semissem differentiae.
H. 4. E. a. G i. sint ΑΒ CD. in arithmetica progressione euius differentia E. euius semissia Α.s. B. .C.9.D.H. interuallum inter R. N G. esso H. Iplbium autem DG. summa esto X. K i,. dico quadratum ipsius K. aequati numero qui si bis ex E. in summam Oninium, vita eum quadrato ipsius H. Etenim quadratus ipsus Κ. ' aequatur quadratis Η Ea. Gi. Κ ix ipsorum D G. & dupio stoducti ex G. in D. seu producto ex E. in D. quan . As. B . Cf. Dii. Moquidςm H duplus est ad G At quadratus ipsius D. per praecedentem aequatur duplo producti ex E. in ipsos A BQ una cum quadrato ipsius A. semel, & quadrato ipsius E toties sumpto quot sunt ipsi AB Q igitur qua status ex Κ. aequa tui numero qui fit bis ex E in ΑΒ C. & semel in D. cum quadratis ex A. & G. semel sumptis, di quadrato ex E. toties ianipto onot sunt ipsi ABC. At per seeundum theor. quadrati ex A. N G.
una eum quadrato ex E. toties uImpto quot sunt ipsi ABC. aequantur producto ex E. in D. una cum qi drato ex H. igitur quadratus ex K. aequatur duplo producti ex E in omnes ABCD. unatum quadrato ex H. quod demonstranduin erat.
In omni progressione arithmetica, numerus qui si octies ex disserentia in summani omnium, una cum quadrato interualli inter duplum minimi & disserentiae, aequatur quadrato, cuius latus componitur ex duplo ma&hni,& ex differentia.
445쪽
Sitit A B C D in ptogressione arithmetica, euIus digerentia E. cisus semissis G Ee iniit uallum intet A. & G. esso H. intermallum autem inter duplum ipsius A. N Eesto L dico quod sit octies ex L in summam Ommum A B C D. eum quadrato iplius L. aequari quadrato compotati ex duplo iplius D. & ex E. sit enim X. summa ipsorum D G. quia igitur oetu elum producti ex E. in omnes A B C D. cum quadruplo quadrati ex H. est quadi uplum ploducti qui hi bis ex E in eosdem ΑΒ C D. N quadrati ex H. At productus ex E. in Α Β C D. his, quadratus ex H. aquatur quadrato ex X. per praece dens sieor. patet odiuisum producti ex E.in Α Β C D. cum quadruplo quadrati ex H. aequati quadruplo quadrati ex Κ. at quadruplum quadrati ex K. est quadratus, cuius latus duplus est ad K. Ne uni A. componatur ex D. N ex C. duplum illius eomponitur ex duplo ipsus D. & ex duplo ipsus C. sed ex E. igitur octu plum productile, E in A B C D. eitin quadruplo quadrati ex Id. quadratus est, euius latus ecim ponitur ex duplo ipsus D & ex A. Quia veto interuallum ipsorum Α G. est M. utique duplorum interuallunt, puta L. duplum est ad H. ac pioinde quadratiri ex I.. quadruplus est quadrati exH. quam obtein oetu plum producti ex E. in omnes A B C D. cum quadrato ex L. aquatur quadiato
euius latus componit ut ex E. N ex duplo ipsius D. quod erat demonstrandum. Sane hoc theoremate in uniuetium de omni progresssione arithmetiea demonstrauimus, quod Diophantus testringit ad solam progressionem quae incipit ab unitate. Nam illius propositionem ab hoe theoremate minime differre cuilibet rem attentius consideranti, statim innotescet, si hoe applicetur arithmeticae progressioni ab unitate incipienti Quod tamen ut fiat commodissime, tale adhue demonstrandum theorema.
ΥΗgo REM A SEXTUM.1ii progressione arithmetica quae in eipit ab unitate , productus ex duplo numeri terminorum unitate multato in differentia progressionis , adsumpto binario, aequa iurcomposito ex differentia, & ex duplo maximi termini.
sint A B C D. in arithmetica progressione , cuius disserentia E. & sie
A. viaitas, numerus terminorum M. cuius duplum K. & sit L. unitate mi
nor ipso H. euius duplum F. eui addita unitate fiat G. eritque G. unitatem incit quam Κ. eum enim HL unitate disterant, erit duplorum X F. interuallu in hinatius, quare G. excedens F. unitate, deficiet unitate ab ipso Κ. dico itaque productum ex G. in E. adsumpto binario, aequati composito ex duplo ipsus D. & ex E. Nam productus ex L. In E. aequatur interuallo extremorum D A. per tertiam huius. Quale si producto ex L. in s. agdatur unitas A. set numelus D. aeptoinde si producto eY F. in E. addatur binarius, fiet duplum ipsus D. quamobrem s G. vnitate maior qu1m R ducatur in eundem E. & producto addat ut binarius fiet utique num eius continens bis ipsum D. di semel ipsum E. quod erat demonstrandum. Hi ne portis manifeste insertur propositio Diophanti .stit enim ΑΒ C D In arithmetiea medietate, & sit A. unitas, dissetentia progressionis E quae binario multata relinquat G. & duplum numeti terminorum esto Κ. unde ablata unitate, supersit L. dico si H dueat ut octies in summam omnium ABCD. & producto ad latur quadratus ipsus G. fieri quadratum. cuius latus hinatio multatum, eontinet E toties, quot sunt unitates in L. quia enim a disserentia Rauferendo duplum minimi termini A. puta binarium, relinquitur G. utique per s. theorema numeo rus qui fit octies ex E in summam omnium ABCD. eum quadrato ex G. A,s C i D, aequatur quadrato cuius latus componitur ex E& ex duplo ipsius D. Ae 3 - Τ' per se, uni theor. ipsi E. & duplo ipsius D. aquatur productus ex L. in Hauctus binario. Igitur qui fit octies ex E in summam omnium ABCD. adsuisens quadratum ex G. aequatur quadrato, cuius latus aequale est producto ex L. in E. adsumenti hinatium. Patet ergo si , latere huius quadrati auferatur bina ius , relinqui productum ex L In Eseu numerum qui toties continet E quot sunt in L unitates, qui demonstrandum erat.
SIτ utrique Id T. TM. aequalis A.
ipsi autem ΚΣ. aequalis B. At producto ex utroque H T. T M. in Κ B. aequa
lis sit G. dico quod quadratus compositi ex utroque H T. T M. hoc est ipsius A.
446쪽
ductus in quadratum K B. hoc est in qua- N et λιdratum B. produeit quadratum ipsius G. Folia. c. I ἐU . Ponantur ipsis A & B. aequales in recta la- λχαφθω - - nea DE. EZ. & describantur ab ipsis quadrati A. B. G. α. β. γ.DT. EL. & perficiatur complementum οιδΘ. συκωληρῶ θω Γ- ζ-ΤZ. Itaque erit ut DE. ad E Z. Ita qua- 1 ἡ δε. ε , ευ- νὸ
Quod demonstrat hie Diophamus per lineas, longe breuius & iacilius per numeros ostendemus,& iplam propositionem sic concipiemus.
Produltus ex mxtua da rum ιρ ad tonum in hirtisattin, Miuatur quadrato produm ex mutuo, laterum ductu. Sint quadrati A. C. quorum latera D. E.&m D. in E. nat B. dii pro
A. 2s B. y C 49' ductum eκ quadrato A in quadratum C. aequari quadrato ipsius B. et e-D. y ε 7' nim ut eonstat ex denionstutione undeeima 8. Euelidis B. est medius proportionalis inter A. & C. quite productus ex A. in aequatur quadrato ipsius B. Quod erat de-
447쪽
CV M sint quae proposuιmus, pro
nunciamus. Si sint quotcumque numeri ab unitate, aequali interuallo progredientes , omnium summa multanguis ius est, tot enim habet angulos, quot unitates numerus hinario superans interua, tum s latus autem illi s eu numerus mu titudinis expositorum numerorum cum unitate. Cum enim ostenderimus summam expositorum omnium numerorum
multiplicatam in octo X B. Se adsumenistem quadratum N B. facere quadratum a latere R K. si aliam unitate sumamus A O. habebimus ΚΟ. hinatium. Et est similitet KN. binarius Erunt ergo aequali interua, '
Io progredientes o v. B Κ. BNοῦ Quam
obrem qui fit octies qx maximo 'D B. in medium BK. adsumens quadratum mini mi BN. facit quadratum habente M latus summam conflatam ex maximo O B. &duplo medii B Κ. Igitur O B. duetus in octo Κ B. & adsumens quadratum N B. aequalis est quadrato compositi ex o B. &duobus K B. & huius latus multatum brunario Ο Κ. relinquit tres X B. qui sunt i p.
sus K B. multiplices secundum terna. rium, at temarius adsumens unitatem, duplum effcit binarii. Quoniam igitur summa omnium progressionis terminorum cum unitate idem praestat quod O B. MOB. utcunque oblatus est,& muItanguintus primus ab unitate quandoquidem A P. est unitas, secundus autem post eam numerus est A B &eius latus est binarius , sequitur & summam omnium progressionis terminorum esse multangulum aequiangulum ipsi O B. & habentem tot angulos , quot unitates habet numerus superans binario Ο Κ. Interuallum ΚΒ.S est eius latus P T. numerus multitudinis expositorum numerorum cum unita.
te. Et demonstratum est quod ab Hypsele in definitione dicitur. Quod si fuerint quotlibet numeri ab unitate aequali interuallo progredientes , si intervallum sit
unitas, flamma omnium est triangulus . si binarius, quadratus I si temarius, quinquangulus. Exprimitur autem multitudo angulorum per numerum binario maiorem differentia ; latera vero per numerum multitudinis terminorum cum unitate. Itaque quoniam trianguli sunt, cum interuallum est unitas , latera ipsorum erunt maximi ter-
448쪽
minorum, de productus ex maximo ter- τρύ-ω-ζ- - ισι re γονοπαια minorum in unitate maiorem ipso, duplus est ipsius trianguli. Et quia o B. multau-sulus est, di illius tot sunt anguli, quotan ipso unitates , & ductus octies innumcrum binario minorem ipso, hoc est in Κ B. de adsumens quadratum numeri qui ab ipsomet, quaternario deficit hoc est quadratum N B. facisquadratum, zalisi erit multangulorum definitio. omnis
multangulus multiplicatus octies m numerum binario minorem eo qui exprimit multitudinem angulorum , & adsumens quadratum numeri quaternario minoris multitudine angulorum , facit quadratum. Simul erso demonstrata Hypsiclis definitione, & horum multangulorum . liquum est ut ostendamus, quomodo dato latere is qui reqniritur multangulus inue- matur. Nam alicuius multanguli latus habentes H T. & habentes multitudinem angulorum eius , habebimus & datum K B. Quare de habebimus Productum ex utroque H T. Τ M. in Κ B. qui aequalis est ipsi N R. Qu are & datum habebimus ipsum KR. quoniam binarius est Nia Quamobrem dc datum habebimus ipsius KR. quadratum. A quo auferendo quadratum ipsius N B. qui & ipse datus est, habebimus reliquum datum, qui quaesiti multanguli multiplex est secundum,octu-plum ipsius K B. Ergo inuentus est quaesitus multangulus. Similiter Sc dato multangulo, inueniemus latus eius HT. Quod
πολυγώνου πολλαπλατίων τὸν σία.
E.L- IN OCTAVAM. HE C propositio . ut1 nobis restituta est, patum habet disseultatis, pendet eius demonstra tio a superioribus, praelertim , sexta, sesunda , deprima, huius, quas Hetreo suis Ioeis in
margine citauimiix uod ait Diophantus de numeris triangulis, nimirum, si latus euiunibet trianguli ducatur in numerum unitate maiorem seipso , fit duplum ipsius trianguli, id sic infertur. Quoniam omnis triangulus ex definitione, est summa progressionis arithmetieae quae ineipit ab unitate. Et euius di ferentia est unitas, patet numerum terminorum, seu ipsum latus trianguli aequari mammo termino, proinde si lateri addatur unitas, seu minimus terminus, fiet summa extremorum. Quamobrem cum latus trianguli seu numerus terminorum, dueetur in numerum unitate maiorem seipso, hoe est in summam ext emorum, fiet duplum summae omnium terminorum per η. huius, hoe est duplum ipsius trianguli.
449쪽
. Hi ne autem innote it desectus seriae ptopostionis ut eoneipitur , Diophanto, eam restringendo ad totam progressionem 'a tithmeticam quae incipit ab unitate, sic enim peream vix applicari potest
haec Octava propositio numeris triangulis. Etenim requirit hac propositio ut a numero multitudinis angulorum auferatur quaternarius, vites dua quadratus additus octuplo producti ex polysono innumerum angulorum binario multatum , fiat quadratus. At numerus angulorum trianguli est terna
rius , , quo sane auferti non potest quaternatius. Eu esse it autem hate dime ultas si uniuersalius enun-eietur propositio sexta, via Nobis praestitum est theoremate quinto. Nam per illud theorema u-plo producti ex polygono in numerum angillorum binatio multatum, addendus est quadratus tervalli inter eundem numerum angulorum binario multatum, di duplum minimi termini, hoc est hinarium , quare non refert vitii in numerus angulorum hinario multatus si maior binatio, sutaecidit in omnibus polygonis supra quadratum vel a qualia binario ut accidit in quadrato) vel minor hinatio ut accidit in triangulo Nam in primo calu a numero angulorum hinario multato, auferetur rursus hi narius, seu ut vult Diophantus a numero angulorum auferetur quaternarius, S I sdui quadratus addetur omiplo producti ex polygono in numerum angulorum hinatio multatum. in seeundo casu etiam a numero angulorum binario multato auferetur rursus binarius quia nil supererit, nil addetur ad octi plum iupta dictum , sed huiusmodi octu plum erit numerus quadraturi etenim a numero angulorum quadrati auferendo a. superest a. cuius Octuplum est 16. quo ducto in quemlibet quadratum, patet fieri quadratum. In tertio denique casu numerus angulorum hinatio multatus auseretur a binario , n res dui quadratus addetur octu plo producti ex ti iangulo in numerum angulorum binario multatum. Vnde quia numerus angulorum trianguli binario multatus es unitas, quam auferendo a binario superest rursus unitas, hinc demonstratur quod ait Diophantus propr. 44. lib. q. omnis triangulus per octo multiplieatus, di adsumens unitatem, facit quadratum. Caeterum animaduetsi ne dignum est hane propositionem non eonuerti lusi in triangulis & in quadratis. Quemadmodum enim ex hac propolitione sequitur omnem quadratum ductum in I esse ere quadratum, ut supra docuimus, sic ρ eonuerso omnis numerus qui ductus in Io. facit quadratum , quadratus est. vi manifestiam est, di tuisus quemadmodum hac propositione demonstra iatur, omnem triangulum per octo multiplicatum , N adsumentem i. essi cete quadratum; se E eonuerso omnis numerus euius octu piunt adscita unitate facit quadratum, triangulus est, ut in promptu est demonstrare.
A io B M C s sit numerus cuius victu plum B. cui addita unitate sat C. quadratii, euitiets ' L ἡ 'o latus dico A. esse triangulum. Etenim quia B. par est eum si octonariici multiplex, erit C. impar, ae pioinde & latus eius D. impar est, quale si sumatur E unitate minor quani D. erit E. par sit ergo illius semissis F. & latere Rsat triangulus C. constat igitur odi plum ipsius G. adsumpta unitate sacere quadratum , cuius latus superat unitate duplum ipsus F. tam ex demonstratis ad M. q. qu m ex hac proposito ne triangulis applicata. Quare cum D. superet unitate duplum ipsus F. & ipsius D. quadratus si C. unde ablata unitate superest B. patet B. esse octu sum trianguli G. sed idem B. ex hypothesi est octuplum
numeri A. ergo A. est aequalis triangulo G. Quod erat propositum. In aliis autem polygonis non eonvertitur haec propositio, quod uno aut altrici exemplo probasse suis eiet. Quamuis enim vi huius propostionis omnis pentagonus ductus in 14. & adsumens unita. tein , iaciat quadratum , tamen non omnis numerus qui ductus in M. & adsumens I. faciat quadratum est pentagonus, etenim a. ductus in et . de adsumens I. facit quadratum 49. & tamen a. non est pentagonus. Rursus quamuis omnis heptagonus, vi huius propostionis ductus in o. & adsumens s. faciat quadratum, tamen non omnis numerus qni ductus in Ao. S adsumens s. facit quadratum. statim est heptagonus. Etenim 4. ductus in ηο.& adsumens s. iacit quadratum Ios.cum tamen Α. non
si heptagonus, S sic de aliis.
te volunt audire ea quae quaeruntur per methodos. sumpto enim latere multan
guli , illud geminabimus, liunt auferemus
unitatem , & reliquum ducemus in numerum multitudinis ansulorum binario multatum, producto ad emus binarium,
quadratumque eius qui sic fit sumentes,
450쪽
auferemus ab eo quadratum numeri mul titudiaris anguloru
i quaternario multati, reliquumque diuidentes in octuplum numeri multitudinis angulorum binario multati, inueniemus quaestum multangulum. Rursus ipso multangulo dato, inuememus latus hac arte. Multiplicabimus eum per octuplum numeri multitudinis angulorum binario multati, producto addemus quadratum numeri multitudinis angulorum quaternario multati ,& inueniemus quadratum, si tamen datus est multangulus. De huius autem quadrati latere, semper auseremus binarium, residuum diuidemus innumerum multitudinis angulorum hi nario multatum , quotienti addemus uni tatem , & summae semissem capientes,
habebimus quaesti multanguli latus.
NVlla o Ino hie est disse ut has, solum moneci has duas resulas paulo aliter tradi in excerptis nonsum editis Apostoditi. & Betrubi Ruhi atehitectonis, itemque in Hygini glomatico, nimirum sie.
DATO LATERE INVENIRE po LYGONUM.
Sama quadrarum disti uteris, hunc aucha In num/ram binar a miasrem malis udine angulortim , aprodvicto aufer quod si ex data Iasere in numeram qua re νio minorem mutiliadiae anguloram, re Ni λδεmum erit quassus polygoms. Vettii gratia dato latere Io. si velis hexagonum ; quadra io . hi o. quem duello in hinario minorem multitudine angulorum . fit qoo. hine auiae ro . qui sit ex latere dat 'io. in a. numerum multitudinis angulorum quaternario multatum, telinquitut 38o. euius semissis Iso. est hexago A
Datum pos sonum Aella in actutum numeri multitiainis angulorum binaria mi ari, producto dari 3-άratum numeri mutii iunis angulorum quatrinario mvitiata, summa eape Lιtis huic adde nnmerum quaternaria minorem muti ludisse angulorum, summam iuride per duplum numera angΛιον aem bininio
matiari , qMliena eris Pasitum linas. Ut sit datias hexagonus I . hune ducito in az. octu plum ipsius 4. hinatio minoris multitudine angulorum, fit 6ogo. adde 4. quadratum numeri angulorum quaternario multati, fit co8 . euius latus 78. cui adde a. numerum scilicet angulorum quatetnatio multatum, fit 8o. quem divide per duplum ipsius 4. numeri angulorum hinatio multati, puta per 8. fit quotiens Io. quaestum latus. Nos etiam alias multa a r&faciles regulas ad inueniendum polygonum dato latere trademus tu Appendicis libro I. Caeterum quamuis ut monuimus ad pracedentem, neque tegulae Diophanti, neque hae Aposto diti possint proprie applicati triangulis, quandoquidem in his omnibus regulis oportet a numero angulorum auferre quaternatium , quod in triangulis proprie fieti nequit. Attamen improprie M per numeros fictos quos vocant, etiam in triangulis hae omnes regulae iocum habent, quod exempli, set manifestum. Dato enim latere f. quaeratur triangulus per regulam Apostoditi, sumo quadratum ipsius 6. puta 36. quem duco in numerum angulorum binatio multatum . puta in I. st 6. Tum sumo numerum angulorum multatum quaternario, puta - I. quem duco in datum latus, fit - 6. quem auscro a 36. fit 4et. euius semissis et r. est triangulus a latere 6.
Rursus dato triangulo sti. quaero eius latus pet regulam Apostoditi. Dueo et r. in octuplum.