장음표시 사용
451쪽
numeῶ angulorum binario multat , puta in 8. fit Ii 8. & quia numerus angulorum multatus qi
nario est - I. cuius quadratus est addo I. ad 16ου. fit quadratus Io 9. cuius latus I3. cui numerum angulorum quaternario multatum , puta-I. fit ra. quem druido per duplum numeliangulorum binario multaci puta per a. fit quaelituiri latus 6. eademque racio estue regulis a Diophant
P Ropestionem pulcherrimam es mirabilem quam nos inuenimus hue in toeo sine
demon ratione apponemus. In progressione naturali qua ab vnstate sumit exordia/- quilibet namertis in proxime maiorem facit duplum Itii irranguis, in ινιan-σulum proxame maioris facit triplum suanramidis, in nramidem pro me maiores facit quadruplum sui triangulotrianguli, se sic niformι O generati ιn in tum methodo. Aec exiytimo parchrius aut generalius in numeris posse dars thea emacuius demonstratronem margini inserere nee vacat, nec licet.
DAto numero inuenire quot modis multangulus esse possit. Esto datus numerus AB. de multitudo angulorum eius B G. & sumatur in ipso BG. binarius GD. & quaternarius GE. ει quoniam A B. multangulus existens, tot habet angulos quot sitnt in B G. unitates, qui fit octies ex AB. in B D. adscito quadrato ex B E. 'quadratum facit. Esto eius latus ZH. igitur quadratus ex ΖΗ. aequalis est numero qui fit octies ex A B. in B D. &quadrato ipsius B E. sumatur in A B. vnitas A T. Itaque qui fit octies ex A B. in BD diuiditur in eum qui fit quater ex AT. in BD. & in eum qui fit quater ex utroque AB. ΤB. in B D. sumatur ergo DK. aequalis quadruplo utriusque AB. TB. Sc tran seramus eum qui fit quater ex utroque A B. Τ B. in B D. in eum qui fit ex KD. in B D. loco autem illius qta fit quater ex A T. in BD. sumamus eum qui
fit bis ex B D. in D E. etenim D E. est binarius igitur quadratus ipsius Z H.
aequalis erit producto ex Κ D. in D B. &ei qui fit bis ex BD. in D E una cum quadrato ex BE. atqui duplo producti ex BD. in D E. una cum quadrato ex B E. aequales sunt quadrati ex BD. DE. ergo &quadratus ex Z H. aequalis erit producto ex ΚD. In D B. & quadratis ipsorum B D. D E. at producto ex Κ D in D B. una cum quadrato ex DB.aequalis est qui fit ex KB. in BD. igitur & quadratus ex ZH. aequalis
452쪽
ex Κ B. in B D. cum quadrato in L D. '
N permutando aequalia eorum interualla. f. λε τὸν τὸ απὸ o . μειζον igitur interuallum quadratorum L D. DE. . . G--lγ.
est viri usque A B. B T. at DK. bisariam secatur in L. erit utique D L. duplus vitiaque AB. B T. atqui DG. duplus est unitatis A T. ergo reliquus G L. duplus est duorum B Τ. igitur GL. quadruplus est ipsius B T. & B T. est qua rea pars ipsius GL. sed & AT. vnitas est quarta pars quaternarii EG. ergo totus AB. totius E L. quarta pars est, sed & T B. ostensus est esse quarta pars ipsius L G. igitur productiis ex A B. io B T. est sextadecima pars producti ex EL. in L G. productus ergo ex E L. ita
453쪽
τώ- τὸ O. O . civ o εκκωδὲκακα μὴ L G. aequale est producto ex A B. in B T. sedecies, sed iam ostensum est productum
ex EL. in L G. aequari interuallo quadratorum M Z. ZH. ergo qui sit sedecies ex . A B. in B T. aequatur interuallo quadr
totum M Z. Z Η. hoe est quadrato MPI.& duplo producti ex ZH. in H M. quare qui fit sedecies ex A B. in B Τ. aequalis est quadrato H M. & duplo producti ex Z H. in I M. quamobceml M. par est. Secetur bi satiam in N
Quamuis propositionis huius demonstratio tam in eo dice regio, quam in vati eano atque etiam in eo quem prae manibus habuit dii tander, sit imperfecta, & multa desint, quae diuinate meum non est, eum praeterea neque ipse Diophanti scopus mihi satis perspectus sit, tamen quaecumque repet. a mendis repurgata persectae restitui sanitati, ut ex apta syllogii morum, atque adeo verborum omnium connexione aestimabit prudens lector. si quae sunt autem quae prima fronte obscuriora videantur . ea sequenti adnotatione fient perspicua.
Primo quod ait Diophantus duplum producti ex B D. in D E. eum quadrato ex B E. aequati quadratis est B D. D E se prohatur. Duplum producti ex B D. in D E aequatur duplo producti ex B Rin E D. N duplo quadrati E D. quare addendo utrimque quadratum ex BE erat duplum producti ex B D. in D E. eum quadiato ex B Eaequale duplo producti ex B H in E D. quadrato ex B E. semel, de quid talo ex E D. bis, sed quadratis ipsorum B E. E D. eum duplo producti ex BE in E D. aequatur quadratus totius B D. istitur duplo producti ex BD. in D E eum quadrato ex BF. aequantur quadrati ex B D. D E. quod erat demonstranduin.
seeundo quod ait productum e et X D. in D B. eum quadrato ea D B. aequari producto ex X B. in B D. patet per tertiam a. Euclidis. Tettio, quod ait secto D X. hisatiam in L. N addendo et B D. productum eκ Κ B. in B D. cum quadrato es L D. aequati quadrato totius L B. patet per La. Euclidis. Quarto, quod ait ex eo quod quadrati Z H. D L aequales sunt quadratis B L. D E. sequi quadrato tum D L. DE. ide in esse interuallum . quod de quadratorum B L. Z H. id sie insertur, quia qua .draiiD L Z H. aequales sunt quadrati a B L D E. sunt in arithmetica promttionalitate quadrati D L B L D E. Z H. quare de permutando ' sunt arithmetice proportionales quadrati D L D E B LZΗ. quod est propositum. Quinto , quod ait secto E G. hilariam in D. Ee addendo illi G L productum H E L in G L eum adlato G D. aequati quadrato D L nil aliud est quam σα. Euclidis. Sexto, qudd ait B L maiorem esse quam Z H. ita probatur, quoniam quadrati DL ΖΗ ostensi sunt aequales quadratis B L D E. est in arithmetiea proportionalitate quadratus D L ad quadratum
D E sieut quadratus B L ad quadratum Z Η. sed quadratus D L maior est quadrato D E. quis D Lmaior est quam D E eum eontineat DG. aequale in iesi ED. N praeterea GL igitur di quadratus B L maior est quadiato Z H. ae proinde B L maloi est quam Z Η. quod erat demonstrandum. Denique quod ait, ex eo quod Iroductus sedecies ex ΑΒ. in B T. aequatur quadrato H M. & duplo producti εου Z H. in H M. hine sequi ipsum H M. esse numerum patem , sie probatur. Productum sedeetes ex A B. in B T. binatius metit ut, quandoquidem binarius metitur numerum I s. qui m titue eundem productum. sed de idem binarius metitur duplum producti edi Z H. in H M. ut euidens est. ergo idein hinarius metitur reliquum quadratum H M. ac proinde quadratus Η M. par est, aepet eonsequens N ipse H M. par est. quod erat intentum. Haee ad librum Diophanti de numetis polygonis adnotasse suseiat. Quoniam vero hie libet mutilus est, de alia multa stitu dἰgna tum theoremata, tum problemata excogitati possunt de Du- metis polygonis, presertim de eorum provessione, visum est ea duobus sequentibus libi is misequi, quos id eleeo titulo Appendi eis aci librum de numeris polygonis insignire voluimus. Sed Ee praeterea. ad calcem libri ptimi, pulcherrimi eotollarij loco, Problematis huius Diophantat en dationem selieitet, ut spero, apponemus.
454쪽
BACHETI SEBUS IANI APPENDICIS. AD LIBRUM DE NUMERIS POLYGONIS.
Ropos ITIO PRIMA. IN progressione alithmetica, quilibet terminorum post minimum, continet mini mum semel, & differentiam toties, quotus quisque est a minimo; nimirum primus a minimo semeli secundus bis tertius ter 8e ita deineeps. Ε .. p ci ου sint in progressione arithmetiea A B C D. dest differentia E euiti, dis . st 'st ri plum F. di triplum G.&sic dein ps, dico B. continete A. de F. atque etiam
A. 3 I Vs' D. eontinere A. de G.&euidens est ex sola definitione progressionis alithmeticae. Aliter per 3. Diophanti D. continet A. semel, & disserentiam E. secundum numerum terminorum unitate multatum id est tet, de eadem de eausa C. continet A. semel, & E. bis, & tusius B. continet A. & E semel eademque ratio si plutes exponantur numeri. lago patet propositum.
PRO OsITIO SECUN DA. In progressione arithmetica , si differentia ducatur in triangulum numeri termino. rum , unitate multati, & producto addatur quod fit eY numero terminorum in minus extremum, fiet summa terminorum omnium. g , sint A B C D. in progressione alithmetica, euius diisetentia E. dieo si R. 1. B. . C '. D. o. triangulum lateris unitate minofis numero terminorum ducitur in E. Aea' ' ' 'st ' producto addatur quod se e2 ipso numero terminorum in A. ficti summam omnium A B C D. nam per praeced. Α. eoni; etur' semel in quolibet ipsorum A B C D. N praeterea R eontinet E. semel; Q bis eontinet eundem Ε 8e D. continet ter eundem E & sie deinceps. Quare patet E.contineti in ipsis B C D.seeundum unitates trianguli cuius latus est numerus ipsorum B C D. minor stitieet unitate qu m numetus omnium A B C D. quare patet propositum.
PROPOSITIO TERTIA. Dato latere polygoni, si numerus angulorum binario multatus ducatur in datum latus unitate multatum, & qui producitur, binario auctus ducatur in datum latus, set duplum polygoni. M , C E p sit F. datum latus polygoni, unde ablata unἰtate superst G. 3e se H.
n' 'di numerus angulorum binario multatus , quo ducto in G. fiat X. qui auctus' δε 'L ikia''2 binario faciat L. quci ducto In F. fiat M. dico M. esse duplum polygoni ' η 'Tψ' latere f. etiponantur termini ABCD R in progressione arithmeticaeonstitutiva polygoni a latere F. etit ergo summa omnium ABCDR aequalis pol'gono illi, &erit A. unitas. H. differentia, numerus terminorum ipse F. vi constat ex demonsttatis a Diophanto. Quoniam igitur interuallum extremorum Α E. per tertiam Diophanti aequat ut producto ex H. in . nempe ipsi κ.& addendo interuallum numet eum ductum, duplo minoris, fit summa ipsorum et patet addito binario qui duplus est ipsius A. ad K. aggregatum L aequati summae ipsorum A EQu mobrem qui fiet ex numero terminorum F. in summam extremorum L. nimirum M. aequatur duplo summae omnium per quartam Diophanti, seu duplo polygoni , latere p. quod demonstrandum
455쪽
PROPOS ITIO AUARTA. Si latus polygoni ducatur in seipsum unitate multatum & productum ducatur innumerum angulorum binario multatum , si et numerus qui adscito duplo lateris, aequabitur duplo polygoni.
Α-ri C sit Λ. latus polygoni & B. unitate minor, & C. numerus angulorum buD 'o EIo p. diis natio multauus ducioque R. in B. fiat P. quo ducto in C. fiat E. S ad ipsum c ' u , , E addendo duplum lateris Α. fiat D. dico D. ese duplum polygoni a latere
'I ' Λ etenim ducto B. in C. fiat Κ. cui addito hinatio fiat H. quo ducto in Λ. fiat G. eritque C. Per praeced. duplum polygoni a latere A. quate probandum ipsos DG. esse aequales. Quoniam igitul idem B. ductus in A. N in C. producit F. N K. erit ut A. ad C. se F. ad K. quare ex A. in X. fiet idem E. qui si ex C. in F. eum itaque H. contineat Κ. ti binarium, productus ex A. in Id. nempe G. aequatur productis ex A. in X. nempe ipsi E. & ex A. in binarium, nempe duplci ipsius A. At eidem E. & duplo A. aequatur D. ex hypothesi. eigo D G. sunt aequales, & ideo D. est duplus pol γgoni , latere A. quod demonstrandum erat.
Si quadratus dati lateris ducatur in numerum angulorum hinario multatum, producto auferatur quod fit ex dato latere in numerum angulorum quaternario multatum, residuum est duplum poligoni a dato latere.
x-L 1io M ia N ,,a sit A. datum latus, di B. unitate minor. & sit et numerus angui g. 8 c . D. ' rum binario multatus, & D. idem numerus angulorum multatusti 'Ξ' ' quaternatio, seu numerus binario minor ipso Q & sit E. quadratus 49 Vs ' η' ipsius A. quo ducto in C. fiat F. unde auferendo C. qui fis ex D. in A. supersit H. dico H. esse duplum polygoni , latere A. etenim ducto B. in A. fiat Κ. quo ducto in C. fiat L eui addendo M. duplum ipsius A. fiat N. constat ex praeced. ipsum N. esse duplum polygoni a latere A. Probandum ergo N. H. aequales esse. Quoniam itaque A. excedit B. unitate qui fite et A. in A. nempe E. aequatur iis qui fiunt ex A. in B. nempe ips K. & ex A. in unitatem, nempe ips A. cum ergo X A. aequentur E. qui fit ex C. in p. nempe F. aequatur iis qui fiunt ex C. in Κ. nempe L. N ex C. in Α, sed quoniam C. superat D. hinatio, productus ex C. in A. aequatur C. produ.cto ex D. in A. & duplo ipsius A. nempe ipsi M. igitur F. aequatur tribus numeris L. M. G. Quamo. brem auferendo utrimque eundem G. remanent aequales hJne quidem H. inde vero LM. seu illis aequalis N. Quare eum N. Ostensus sit duplus polygoni a latere Α. erit & H. eiusdem polygoni duplus. Quod demonstranduin erat
Hae .s demansisatio regula quam tria a 'ginas ct A frassitus, adimentena,mροθgoram data Iatera, de quia sura ad nonam Diophanti.
PROPOSITIO SEXTA. Dato latere polysoni, si triangulus a dato latere unitate multato ducatur in numerum angulorum binario multatum , sit numerus qui adscito dato latere aequatur
c , Η , iis sit datum latus A. & numerus unitate minor B. & si C. numerus angulorum ' Α Α binatio multatus, triangulus autem Matere B. est D. quo ducto in C. fiat. D , u E. cui addendo datum latus A. fiat F. dico F. esse polygonum a latete A. ete os nim dueatur R in A. & fiat G. quo ducto in C. fiat H. Tune patet per octauam Diophanti ipsum G. esse duplum trianguli 1 latere B. nempe ipsus D. quare cum ex eodem C. in ipso, G D. sane H E erit & H. duplus ipsus A. Itaque eum ad H. adde tui duplum ipsus A N ad E addetur Α. Φnde fit F. erit H. eum duplo A. duo lus ipsius F. Atqui H eum cupio A. est duplus polygoni a latere Α. per quartam huius. Ergo F. en huiusmodi polygonus. Quod erat ostendendum.
456쪽
s ei.E is D , Esto polygonus D. euius latus A. eui addita unitate fiat B. Ecs δ c sit numerus angulorum binatio multatus C. Et productus ex a TI. ' A. in Q unitate auctus esto E additisu ue fimul E D. fiat F. dieci
v. esse polygonum proxime malotem ipso D. leu a latere M.
Etenim exponatur progressio arithmetiea conititutiva huiusmodi polygonotum sumamur in ea tot termini C. H. E. L M. N. quot sunt in B. unitates. Igitur pet ociauam Diophanti disserenita progressionis est C. N summa omnium est polygonus a latere B. At summa ipsorum G. H. K. L. M. est polygonus D. Polygonus ergo 1 latete Rexcedit ipsum D. numero N. Atqui per tertiam Diophati N. continet unitatem G. & productum ex differentia Q in A. unitate minotem numero terminorum,& prodii eius ex C. in A. unitate auctus est E. Igitur E. aequatur ipsi N. cum ergo ut ostensum est compositus ex N D. aequetur polygono a latere B. utique eompositus ex ED. nempe F. t huiusmodi polygonus quod erat propositum.
PRO OsITIO OCTAVA. Si triangulus collateralis polygono ducatur in numerum angulorum binario multatum, S a producto auseratur, quod si ex latere polygoni in numerum angulorum ternario multatum , residuum aequabitur ipsi polygono.
Esto polygonus X. euius latus A. N numerus angulorum binario multatus B. unde ablata unitate supersit Q ternario minor numero ansulorum, sitque D. triansulus a latere Α. quo ducto in B. fiat
I is E. 4 p io ductoque C, in A. sat F. dico si F. auferatur ex E relinqui polygonum x. A. κ ''c , etenim sumatur G. triangulus 1 latete unitate minore ipso A. ductoque R in C io is io κ . G. fiat H. unde per sextam huius additissimul A.& H. set x. Quia igitur per' 3ψ ' 3F -s ad G. addatur unitas, & suum latus fiet D. unitas autem & latus Usus G. aequantur A. erit D. aequalis docibus A G. simul. quamobreni qui fit ex B. in D nempe E. aequatur iis qui fiunt ex B. in Α. N ex B. in G. qui est H. Productus autem ex B. in A. quandoqui. dem B. superat unitate ipsum C. aequatur producto ex C. in A. nempe F. & praeterea ipsi A. Igitur B. aequatur tribus numeris M. A. F. unde auferendo utrimque eundem F. remanet summa duorum A. H. nempe polygonus Κ. aequalis ei qui restat fi ex E. auferatur p. quod dentonstrandum erat.
Ducito datam Iaras unitate matiatam in numeνam angulorum binaria multa Iam, σprodis m binario auctam dacito in durum latas, fer duplam polygoni. constat per tertiam huius.
Daetro dasam Iatas in numeram multare minorem, proάactam dueito innameis ram angaloram binario maltasam producto adde daptam lateris, μι duplam polygoni per quartam huius . Ur data eodem pensagoni latere 7. Aelio ' in 6. Ν a. quo diacto in s.' ιas. evi flavitas durum nimirum I . Ν οι pr- ι o. Miu/semissis 7o. est Fassus pentagonus.
Daeito quadνaιam dari latoris in nameram angatiram binario matiatam, a prodam aufeπ qaod sit a dato tirere in numeram angaIoram gaalernaria mutia. tum , νψduum erit duplum pol goni per quintam huius. Ut data earim pentagoni iarere r. taetra p. in ν. ' i 7. hine a re pria iam ex7. in I. nempe 7. re Mum est vi prius ι o. cuius semissu Io. est Pastus pentagonM.
457쪽
same rei vatim a latera dato unitate matis Io, quem duello in numerum an-Ploνtim binario muiratam , prodacto adde da ιam latas , fer quasitas polygoηus per sextam huius.
S me tria vatim a dato latere , qviem daeiro in numerum anga Iorum hi νin mώI- ea tam , a producto aufer quod si ex titere dato in nam eram angatiram multa Iam terna νιο , residuum eriι quasitus polysonas per octauam huius.
PROPOSITIO NONA. Si numerus secetur in duas partes, triangulus totius aequalis est triangulis partium& plano sub partibus comprehenso.
ri uis . Numerus A Q secetur in A B. B C. di eo triangulum totius A et aequari triangu- . U' ' ti ' in iis partium A B. B C. N plano sub Α B. B C. iactaret D E aequalis ipsi AB. N eio apponatur E F. aequalis B C. N adiiciat ut ei unitas FG. constat ergo D G. superate A C. unitate . seut & Ε G superat B C. unitate. Ducto insuper Λ C. in D G. fiat x. patet ergo per Octauam Diophanti vel tertiam huius,iosum X. esse duplum Uanguli , latete A C. quia vero dueere A C. in D G.idem est atque duceres gillatim AB. in DE. E p. FG. N BC. in D EEG. erit x. aequalis productis illis omnibus. At dueete AB. in D E sibi aequalem di in unitatem FG. idem est atque dueere ΑΒ. in numerum unitate maiorem seipso . unde fit duplum trianguli ipsus A B. dueere autem A B. in E F. idem est atque dueere A B. in B C. igitur patet ex ductis Λ B. in totum D G. fieti duplum itianguli Α A. & planum sus AB. B C. smiliter productus e, B C. in D E. aequatur plano sub A B. B C& productus ex B C. in E C. qui unitate maior est, aequat ut duplo trianguli ipsus B C. igitur productus ex B C. in totum D G. aequatur duplo trianguli ipsus B C. N plano sub AB. BC. quamobrem eompostum ex productis ex A B. in D C. & eu B C. in D G. nempe productus ex AC. in D G. nimirum ipse x. aequalis est duplo triangulorum A B. BC. Aeduplo plani sub A B. B C. igitur dimidium ipsus x. nempe triangulus AC aequatur triangulis A RB C.& planci sub A B. B C. quod demonstrandum erat.
PROPOSITIO DECIMA. Si numerus secetur in duas paries, polygoniis totius aequalis est smilibus polygonis paritum, & plano sub pactibus comprehenso , sumpto secundum numerum an is
gulorum binario multatum. Sit numerus A C. sectus in ΑΒ. BC. & sit D. numerus angulorum binario multatus, & S unitate minor. dico polygonum totius A C. aequati polygonis simili bos partium AB. B C. N producto ex D. in planum sub ΑΒ. B C. eomprehensum. Etenim sumantur F. N G. trianguli ipsorum Α B. BC. & sit II. planus sub A R B Q Tum ducto D. in ipsos p. G. A sigillatim, fiam X. L. M.& ducto E qui est numerus angulinum ternatio multatus in Α B. B Q fiant N. p. quibus detractis ab ipsis X L relinquantui R. S. quorum sumina in qua addita ad M. sat T. Patet itaque ex sola eonstructione & pet Octauam huius numeros R. s. esse polygonos ipsorum AB. BC quorum summa Q. addita ad M. qui fit ex D. in M. planum subpanibus 9 fiet utique T. eontinens polygonos partium, de planum sub pallibus sumptum secundum D 3. EI
458쪽
numerum angulorum hinario multatum. Restat ergo notandum ipsum T. esse polygonum smilem totius A C. Quoniam ergo F C. sunt trianguli partium Α B. B C. de Η. planus sub partibus etit as- gregatum ipsorum F. G. H. aequale triangulo totius A C. per praeced. Quare cum ex D. in ipsos. S. G. H. fiant K. L M. erit aggregatum ipsorum x. L. M aequale producto ex D. in triangulum ipsius A C. Quate cum etiam N. Parquemur producto ex E in A C. de iis sublatis de aggresam elo-nim KLM. supersiit R. S. M seu T. patet T. He id quod testat si productus ex E. in A C. auditatur 1 producto es D. in triangulum eiusdem Λ C. ergo Τ. est polygonus ipsius Λ C. per octauam huius. Quod erat Ostendendum.
Si sameras fecerer in quattibet partes, polygonus tollas aqualis es smilibus po-t an is partium , ese productis ex qua liber parte in quamlibet assam torses fama s
PROPOSITIO UN DEC IMA. Qui libet polrgonus componitur ex tot triangulis, quot unitates continet numerus angulorum binario multatus. Ex his autem unus est colla te talis ipsi polygono, reliqui vero a latere proximὰ minori. Α , Tta quilibet polygo us A. evius latus B. quod unitate multatum sit C. & nu
D B A c. merus angulorum binario multatus esto D. dies polygonum A. eomponi ex tot in ' triangulis quot sunt in D. unitates, quorum unus est ab ipso latere B. reliqui a latere C. Etenim per sextam huius polygonus A. aequat ut producto ex D. in triangulum abs C. adscito latere B. sed s uni triangulorum abs C. eoneipiatur addi B. fiet triangulum ab ipso B. per septimam huius quia B. continet C. &praetetea unitatem) Patet ergo polygonum A. componi ex tot triangulis quot sunt in D. unitates quotum unus est a latete B. teliqui a latere C. quod de
Dato tiιεri 'unitate aucto adde 'fammet latas unitate malistam toties, quot fans unitates in nam ero angatorum multato teνnario, semmam dacilo in virum
V, si quaratur pentagonum a Iarere 6. avia ad . duplam is a s. nempe ro. μι v. qui diam in datum latus s. βι ιοa. eaias semissu σι. est quassus pentagontis.
459쪽
RopOSITIO DUO DEC lM A. si quotlibet polygoni collaterales ordinate disponantur, ij cum suo communi
latere constituent progressionem arithmeticam , cuius differentia . erit triangulus ab eodem latere unitate multato. iΗ , x , L M sit A. datum latus cuius triangulus B. quadratus C. pentagonu,
A ., n ' o D. hexagonus E. N se deinceps. sitque s. minor unitate quam A. p ου'c cuius triangulus G. dico ipsos Α BC D E constituere progressio. nem alithmetieam euius differentia est G. etenim cum numeri an sutorum ipsorum B C D E sint numeri 3. 4. s. s. & sie de ina ps per additionem unitatis crescentes, si sumatitur HKL M. numeti angulorum binatio multati erunt hi I. a. a. . etiam pri additionem nitatis crescent. Itaque quoniam per ν. huius, G. adsciscens A. maiorem unitate quam suum latus F. iacit triangulum B. patet G. esse digerentiam duorum Α B. Rulsus uuia per praeced. singuli C D E. continent tot triangulos quot sunt unitates singulis X. M. quotum unus est B. reliqui omnes aequales ipsi C. patet C. eontinere B. N ipsum G. semel , at D. continere B. & insuper G. his , atque etiam E. continere B. & ipsum praeterea G. tee, di sic in infinitum quilibet altior polygonus continet B. N adhuc ipsum G. semel amplius quam antecedens polygonus. Constat igitur perptimam huius G. essedi intentiam per quam progrediuntur ipsi A B C D E quod demonstrandum erat.
mi sis seo. si summa quassa. PROPOSITIO
460쪽
P Ro P os IT IO DECI MATERTI A.
Nio. G 7. F 4. Er. In progressione numerorum se eundum seriem naturalem dispositorum ab nitate; polygonus maximi, aequatur maximo terminorum, & sunimae reliquorum sumptae secundum numerum angulorum binario multatum. - Haec faeile permconcluditur, eum qua idem serὸ est mutatis verbi,. At si e ti Q u Sint Α Β C D EF. quotlibet numeri secundum seriem naturalem nu 3. D a. V 3, V 4. E F. o. m. o uis .nitate disposti, di maximi F. polygonus epo G. & numerus angulorum binario multatus si H. dieo G. aequati ipsi F. Ae summae reliquotum A B C. D. Ssumptae secundum H. Qsia enim summa ipsorum ABCD E. est triangulus h latere E. unitate minore ipso F. patet pet ε. productum ex pl. in illum triangulum adscito F. aequari ipsi G. unde pa
P Ropos ITIO DECIMAM ARTA. 'In progressione numerorum secundum seriem naturalem dispositorum, aggregatum similium polygonorum a singulis, aequatur productis ex sic dispositis numeris in totiadem numeros progressionis huiusmodi polygonorum constitutivae, si videlicet maximus unius ordinis ducatur in minimum alterius ordinis. Tum primus a maximo ducatur in primum a minimo , & secundus a maximo in secundum a minimo, & ita
deinceps Sint A B C D. seeundum seriem naturalem disposti &summa polygonorum , singulis esto V. tum sumantur tOtidem termini in progressione huiusmodi polygonorum constitutiva, ordine inuerso disposti EFGH. ductisque A in H Bin G. Cin F. D in E si productorum summa
X. Aieo UX. esse aequales, si enim L. disserentia progressionis constitutivae , seu numerus angulorum binario multatuit patet per primam huius s.continere unitatem E.& L.semel;G. continere unitatem semel & L. bis; H. continere unitatem semel, N L ter. Dii idantur ergo numeri H. G. F. in partes ex qitibus componuntur,nimirum F. in unitatem K. N in L. Ipse autem C. in unitatem M.& in N. P. ae qualet ipsi L Denique ipse H. resoluatur in unitatem in& in R. S.T. aequales ipsi Epatet numelos qui sunt ex A. in A. ex R. inta ex C. in s. ex D. in E. smui iunctos: nempe X. aequati omnibus
qui fiunt ex A in Q R. S. T. ex B. in M N P. & ex C. in Κ L& ex D. in E Quia igitur e, E in D. fit ipse D. quia Eest unitas At ducere L. In C. Ρ. in B. N T. in A. idem est ae ducere L. in Rinnaana omnium AB C. productus autem ex L in summam omnium AB C. adiatio D. faeie polygonum ipsius D. per praecedentem. Patet productos ex E. in D. ex L in C. ex P. in B. & eet T. in A. aequari polygonci ipsius D. simili prorsus argumento ostendemus productos ex K. in C. er N. in B. & est s .in A. aequati polygono ipsius C. & rursus productos ex M. in B. & ex R.in A. aequari po Iygono ipsius B.& denique constat ex in nitate in A. unitatem fieri polygonum ipsius A. Igitur euidens est omnia illa producta seu numerum x. aequati polygonis a singulis ABCD. seu numero
p Ropos ITIO DECIMA I N τ A. . Si sint quotlibet numeri ab unitate secundum seriem naturalem dispositi, aggregatum productorum ex numero angulorum binario multato in primum a maximo remel ; in secundum bis; in tertium ter, & sc deinceps adscita summa numerorum, aequatur aggregato polygonorum a singulis.
Repetatur enim praeeedens figura. Dico ggregayum productorum ex L. in C. semel, in B. bi, in A ter& se deineepi, adscita sit imma ipsorum ABC D. aequari V. aggregato polygonorum , sin-υ υ A gulis. Nam ex praecedenti constat V. aequari producti,
ti io G o. s.. Ei. product ex E. in D. ex K. in C. es M. in A. & ex iniis A. '' iimul atquantur 1 immae ipsorum ABCD. Rursus quia snguli L. N. P. R. s. T. sunt aequales inter se, dueere L in C. R N P. in B. & R S T. in A. idem est atque dueere L in C. semel, & ;n B. biη Ae in A. ter. Ig tur productis ex L in Q semel in B. bis in A. ter. & se deineem . si addatur summa omnium Α Β C D. fit v. aggregatum polygonorum , singulis. Quod demonstrandum erat. ο