장음표시 사용
431쪽
Dato uno laterum circa rectum , di plano sub altero latere & hypoterusa, in uenire alterum latus di hypotenusam. Esto alterum latus A. Planus sub altero & hypotenula lue. saciat.
. Inuenire triangulum rectanguluna , cuius ambitus sit quadratus, &idem ambitus siue adsumpta , siue detracta area quadratum faciat.
Primum quaerere oportet triangulum reciangulum, cuius ambitus si quadratus numerus, ct fiettii angulum , per decimam quintam, cuius ambitus aequalis erit cuilibet dato quadrato. Esto eigo tale triangulum 36. 48.6 O. euius ambitus est quadratus ΙΑ'. di constituatur in quadratis, solque quiesti t ianguli lateta 36 48 Q. do in superest ut ambitus sue adsumpta siue detracta .ie, s eiat quadratum. Quia ergo in quolibet triangulo rectangulo quadratus semissis hypotenusae stio illi addat ut, sue adimatur area saeti quadratum, ut ex demons ratis ad vigesimani secundam tertiis.Elὸ insertur, stimatur quadtatus semissis hypotennsae, puta soci Q Q. N is statuat ut aequalis am hiaui , puta x44 Q fiet ergo I N. q. N erunt quaesiti latera trianguli M'. di eonstat.
Inuenire triangulum rectangulum , cuius area si datus numerus. Oportet autem ut quadratus areae duplicatae additus alicui quadrato quadrato, iaciat qua
diatum. sit A datus areae Numerus, cuius duplum B. eulus quadratus F. quo addito ad quadratoqua ς diatum D. fiat quadratus E. Cpori et inuenire triangulum cuius latea si A.
e 'η ' sumatur K latus quadratoquadrati D. N sit ipsus X quadratus C. diuisoque' in v '' A pet K producatur G. cuius duplum esto H. Quia ergo ducto X in C. produ. ' eitur Α. est A ad G sieut K ad unitatem , sed se ut X ad unitatem , ita es Cad x. Igitur vi est C ad K. se A ad G N permutando ut C ad A. se X ad G. sed ut A ad B. se est
h. ιν. U. Gad H cum utrobique sit ratio subdupla, ergo ex aequo ut C. ad B. sic est K ad H. sed C B sunt l, . aettea te Ebrin trianguli rectanguli, cum eorum quadrati DF smul consciant quadratum E. Igi. ttim N Κ H sunt latera ei rea rectum trianguli rectanguli, cuius utique area est A. cum Α produeatute, X in G. semissem ipsi ut H. Quamobrem eonstat pro postum. Porro eonditio adiecta non solum suffieiens est, sed & necessaria , Ita ut dati non possit triangulum tectangulum , quin quadratus areae duplicatae additus alicui quadratoquadrato, faciat quadratum. Quod eadem iacilitate plobatur. sint enim Κ in latera circa rectum trianguli dati, di ipsius N. dimidium sit G quo ducto in K fiat alea A cuius duplum B. cuius quadratus F. dico F. additum alicui quadratoquadrato facete quadratum , sit enim C quadratus ipsius Κ. N ipsus C. quadratus, hoe est quadrato quadratus ipsus X esto D. Ostendetur ut supt, esse C ad B ut X ad H. Quare cum X H sne latera ei rea reetum trianguli rectanguli erunt de C B. latera circa tectum trianguli. Proinde quadrati ipsorum, puta D F. simul component quadratum. Quod erat propositum.
ARea tria vult rectanguli in numeris non potest esse quadratus, baius theorematis a nobis ia aenti demonstrationem quam , Vsi tandem non sine operos. O
432쪽
.ato nam ero qtiosis integro non possunt dari an iιi in antegris sIIo miΛores. D mo jurionem integram crfusas explicatam inserere margini vetat iovis exigui ιas. ae ratione d prehendimus euer .emanseratione confirma armus nasiam nam eram ιrianga iam praeter ωσitatem aquari qaadrato quadrato.
ratio est, quia quadribes irian Miam rectangulum, poses concipi iti heri relanguia, quod Ismarum D ab unitate, es ab alio quotiis quadrato, euias quadratis ponas Iams ι N. μι ariauia. h parenti
433쪽
Dato ambitu trianguli rectanguli, & perpendiculari ab angulo recto in hypote-
misam demissa, inuenire triangulum.
Sit datus ambitus 5o. perpendieularis Ia. Ponatur hypotenuia I N. erit summa laterum eirea re- mirari. ctum εο-I N. euius quadratus 36oo-Iao N. I aequatur quadratis ipsorum laterum, seu quadrato hypotenuis, & duplo plani sub lateribus. Igitur 36oo - ain N. est duplum plani sub late. . . ribus,&I8--6o N. est ipse planus sub lateribus. Quoniam vero, ut constat per octauam sexti, ut se γ' μ' - ε' hypotenuia ad .num latetum, sic etiam se habet alterum latus ad perpendicularem, ' erit planus sub hypotenuia, Se sub perpendiculati, aequalis plano sub lateribus. At ex hypotenuia in pet- pendieularem fiunt Ia N. ergo Iχ N. aequantur IMO - 6o N. & fit I N. II. ipsa scilicet hypotenusa. Quare facile est inuenire latera circa rectum, puta zo. & IF. Hine elicitur Canon. Semissem dati ambitus diuide per aggregatum ex ambitus ex perpo uiari, iste
Data area trianguli rectanguli, & perpendiculari sub angulo recto in hypotenu
sam demissa, inuenire triangulum.
Esto area 3so. Perpendicularis iet. Ponatur unum laterum circa rectum I N. erit ergo alterum ρηιι Quoniam vero ut est perpendie uiatis D. ad unum laterum circa tectum I N. sic est alterum ζ' .ad hypotenusam. Inuenietur per regulam proportionum hypotenuia as. & reliqua latera ao. de is. Hi ne Canon. Diui de duplum arrea per perpendicularem, oraetur 9pete , a. t
434쪽
'Definitionem seotimam . Odia m.
RETRACTANTI commentaria nostra occurrit mihi definitionem septimam ad mentem Diophanti aecommodatius explicari posse , si accipiatur de fractionibus, in quibus 1 upeiici res poteHates per unitates diuidi intelliguntur. Vt velit Diophantus, verbi gratia, ex .s . in . u. produci quemadmodum ex a N. in 3 N. producuntur 6 α&ex τι in produci ob eadem ratione, qua ex a N. in Q. Producuntur ia C.&sic de aliis. Sic enim vitaque desinitio, septimastitieet & octava de iisdem fiactionibus aeeipientur, & tolletur ambiguitas illa, de qua ad des nitionem octauam Diophantum eliminabamur, semper enim apud Diophantum fractio numellea erit seu αειθumes , cum unitates per Numeros diuidentur, ut A. de fiastici Quadratica, seu α,-ον, cum unitates per quadratos diuidentur, ut & sie de aliis. Et sane apparet eu reliquo opere ita sensisse Diophantum. Nam ubicumque αραμ pti vel . 3αwςὸν usurpat, huius modi s actiones intelligit. Vetum erit nihilominus, quod ad des nitionem septimam adnotauimus, nimirum eius demonstrationem , ab iis quae demonstrauimus ad definitionem quartam, pendere omnino, ut per se manifestum est.
436쪽
VILIBET numerorum a ter- nario per unitatis incremenis tum progredientium , mul-- angulus est, primus ab unitare, α habet tot angulos, quot ipse unitatibus constat. Latus autem ipsorum est, proximus ab unitate numerus, puta a. est autem 3. triangulus. 4 quadratus. . quinquangulus. & sic deinceps. Cum autem de quadratis euidens sit, ita eos constitui, quod nascantur numeri alicuius in te ipsum multiplicatione , exploratum est quemlibet multangulum multiplicatum aliquo numero secundum proportionem multitudinis angulorum eius , de adsumentem quadratum aliquem secundum proportionem multitudinis angulorum eius, apparere quadratum. Atque hoc nos demonstrabimus , ostendentes quomodo dato latere inueniatur qui poscitur multangulus I & quomodo dato multangulo latus accipitur. Prius autem ea demo strabimus quae ad hanc rem sumuntur.
In Librum Diophanti δε numeris multangulis commentarii.
I Aboriosismis in libros sees Arithmetieorum eommentasis exantiat;s, superest nobis de numeris multangulis liber enodandus. In quo restituendo quantum desudauerim coniicere poterunt quotquot in eo pereipiendo, ut Xilandio nobis traditus est, operam aliquam impenderint. San ut omittam caetera quae huc contulimus , non paruam 1 tytonibus gratiam promeriti sumus ob diagrammata singulis sere propositionibus adjecta, qua passim imperitus librarius , tanquam ad rem minim/ pertinentia, praetermiserat, cum tamen illotum ope destitutus , vel aecerrimo qui si praeditus ingenio, Diophanti demonstrationes vix percipere possit..
HAEc propositio desinitionis vel petitionis euiusdam loeum obtinet. Per eam enim suppon e Diophantus, quemlibet numerum ineipiendo a ternario esse polygonum, tot angulos continentem quot unitatibus constat ipse numerus, verbi gratia 3. esse triangulum, 4. quadratum pentagonum, ε. hexagonum, di se in infinitum. Cuius rei ratio est, quia xnitates euiunibet
437쪽
numeri aequalibus interuallis ita disponi possunt, ut repraesentem figuram totidem' angulorum , ερ laterum aequalium, ut in apposito diagrammate videre est. Undei etiam apparet, quod subiicit Diophantus nimirum horum omnium polygonorum latus esse proximum ab unitate numerum, puta a. vides enim in quolibet latete cuiustibet polygoni contineri unitates a. - Quoniam vero ipsa unitas virtualiter in omnis polygonus; est enim δέ triangu- ' Ius, & quadratus, & pentagonus, quia horum omnium polygonorum proprietates ipsi unitati conueniunt, idcireo ait Diophantus quemlibet numerum 1 ternario, esse polygonum in se a specie primum post enitatem , vethi gratia 3. est primus triangulus pol quadratus, F. primus pentagonus post unitatem, di sie de alijs.
SI suerint tres numeli aequalibus interuallis se superantes , qui fit ex maximo in medium octies, adsumens minimi quadratum, facit quadratum, cuius latus aequale est componio ex maximo & me dij duplo. sint enim tres numeri AB. BG. BD. aequalib. interuallis se superantes , ostendendum est eum qui fit octies ex AB. in B G. una cum quadrato ipsius B D. sacere quadratum , cuius latus aequale est
ipsi A B. & duobus B G. Quoniam ergo AB. aequalis est ipsis BG. GD. diuidetur qui fit octies ex AB. in B G. in eum qui ni Oelles ex BG. quadratum , & in eum qui sit octies es B G. in G D. Etrursiis diuiditur unumquodque praedictorum bifariam, nimirum in eum qui fit quater ex A B.in B G. & in quadratum ex B G. quater, & in eum qui sit quater ex B G. in GE. Atqui fit quater ex BG. in G D. una cum quadrato ex D B. fit quadratus a Iatere A B. Quaerendum igitur est, quomodo quadratus ex A B. & productus ex A B. in B G. quater, & quadratus ex B G. qua ter , compositi faciant quadratum. Itaque si ponamus ipsi BG. aequalem A E. traiiciemus eum qui fit quater ex AB. in BG. in eum qui fit quater ex B A. in A E. qui mixtus quadruplo quadrati ex GB. seu quadrati ex A E. iacit aequalem quadruplo producti ex B E. in A E. qui mixtus quadrato ex AB. st aequalis quadrato qui ex B E. E A. tanquam una describitur. fit ipsi B E. E A. aequales sunt ipsi A B. α duobus A E. seu duob. B G.quod erat ostendendii.
IN huius propos sionis demonstratione, nulla insignis est disseultas. THa tamen sunt quae tyrones fortassis motari queant. Primum est quod ait Diophantus Qviidratum ex R B. aequari qua-
438쪽
Atuplo producti ex B C. in C D. vita cum qualitato ex ho. Quod ita probatur. Quoniam AB supponiti ir aequalis summae duorum BG. D G. quorum Intervalium BD. ' patet quadruplum pro inta Nducti ex BG. in D C. una eum quadrato interualli BD. aequale esse quacitato summae ipsoru in II C. DC. hoe est quadrato ipsus AB Secundum est, quod ait Diophamus Quadruplum producti BA. in A P. una eum quadruplo quadrati ex A E. aequati quadruplo producti ex toto BE. in Α E. Quod euidens est, quia ' produ- xenia a. eius ex BE. in E A. aequatur producto ex B A. in Α E. vn cuin quadrato ex A E. Tertium est, quod ait Diophantus, quadruplum ploducti ex BE in AE, una cum quadrato ex A s. aequari quadrato compositi ex B E. EA. Quod rursus patet per s. a. potismatum eum Α B. si interuallum ipsorum B E. E A.. Potest autem haec piopositio de viii uel salius conelpi, Ee breuius atque etiam Acilius demonstrati, hoc pacto.
Si fuerint tres numeri in medietate arithmetica, octu plum producti ex medio in quemlibet extremorum, adsciscens quadratum alterius extremi , aequatur quadrato composti ex medii duplo, &ex illo extremo qui in medium octies ductus est.
D ,ε. Silat tres numeri A B C. in medietate arithmeti ea ,& st D. duplum medii, di eoA ,. s , C s x hi plum producti ex B. in unum extremorum C. una cum quia talo alterius ex tremi A. aequari quadrato compositi ex ipsis D C. Quia enim sunt in medietate arithmetiea ipsi ABC. erit duplum med ij, puta D. aequale summae extremorum A C. Quare Unotat poris ipsorum D C. interuallum erit A. Quadratu, alitein compositi ex ipsis DC. aquatur quadratJ, 'ipsorum D C. & duplo producti ex D. in C seu quadruplo producti ex B. in C. Quadrati autem ipia quatis a. Poris: totum D C. Τ aquant ut rursus duplo producti ex D. in C. seu quadruplo producti ex B in C. Aequadrato huerualli A. Isitur quadratus eomposti ex ipsis D. C. aquatur Octuplo producti ex s. iti C. una cum quadrato ipsius A. Quod erat ostendendum. Eodem prorsus argumento probabitur octu plum producti ex B in A. vii, eum quadrato ipsius C. aequati quadrato compotiti ex ipsis A D. Igitur ex omni parte constat propositum. Alitet etiam Franeiseus Vieta propositionem bane emonstrauit lib. g. variorum de rebus ina thematis is responsomni, per ipsam sellieet Alfebrae operationem hae arte. sit minimus trium nu merorum arithmeticae medietatis A. de sit differentia B. erit eiso medius Α - B. maximus veto ΑΜ- B. bis & s dueat ut medius Α - B. in maetimum Α - B. bis si A Quad. - Α in B. tet -- ΗQuad. bis. quod si sumatur octies. 8e producto addatur Α Quad. st utique A Quad. novies A in B quatet & vi cesses BQuad. sedecies. Hie autem ne metus est quadratus latere A. ter B. quater ut euidens est. Et A ter B qualet aequatur eomposito ex maximo de med ij duplo, eum maximus sit A qia B his, di duplum medii sit A bis -- Bhis. Ergo eonstat propositum. Eodem artisse io demonstrabit ut altera nostidi propositionis pars. Ducatur enim minimus A in medium A B octies, Ad producto addatnt quadratus maximi, fiet A Quad. novies -- Α in B, duodecies B Quad. quater qui numeras quadratus est a latete Λ tet B bis quod aequatueminimo de media duplo.
SI sint quotcunque numeri aequali in u
teruallo se superantes , interuallum maximi & minimi, multiplex est interualli ipsorum, secundum numerum unitate minorem eo qui multitudinem propos torum numerorum exprimit .sint enim quotlibet muneri AB. BG. BD. BE. aequali se superantes interuallo Ostendendum est, quod interuallum ipsorum A B. B E. mulitiplex est interualli ipsorum A B. B G. secundum numerum unitate minorem multitudine ipsorum. AB. BG. BD. BE. Quoniam enim expositi sunt AB. BG. BD. BE. aequali interuallo se superantes, erunt ipsi
439쪽
A C. GD. D E. aequales inter se. Quamo-htem ipse E A. ipsus A G. multiplex est, secu udum multitudinem ipsorum AG G D. D E. Atqui multitudo ipsorum A C. GD. DE. est unitate minor multitudine ipsorum AB. B G. B D. B E. Igitur E A ipsus A G. multiplex est secundum numerum unitate minorem multitudine ipsorum AB. B G. B D. BE. est autem A E. interuallum maximi & minimi, At A G. est unum interuallum ipsorum numerorum. IN TERTIAM.blIhil est hie disseultatis. Nam demonstratio Diophanti breuis est, & dilucida.
Si sint quominque numeri aequali inis
teruallo progredientes , summa maximi & minimi ducta in numerum multitudinis ipsorum , numerum producit duplum summe expositorum numerorum. Sunto numeri quotcunque A.B. CD. EF. aequali interuallo progredientes. Ostendendum est summam duorum A F. ductam in numerum multitudinis ipsorum A. B. C.D.E.F. producere numerum qui duplus
est ad summam ipsorum A. B. C. D. E. F. etenim numerus multitudinis ipsorum A. B.C.D. E.F. velpar est, vel impar. Sit primum par, & quot sunt expositi numeri,tot unitates sint in ipso I G. erit ergo HG. par. Quare secetur bifariam in Κ,&diuidatur H K. in suas unitates per L. & M. Tunc quia F. tsuperat D. eodem numero, quo C. superat A. erit summa duorum F A. aequalis summae duorum C D. Atqui summa duorum F A. aequalis est productio ex ipsemet in unitatem H L. Igitur &summa duorum CD. aequabitur producto ex summa duorum F A. in vilitatem LM. Ob haec eadem summa duorum E B.aequa- Iis est producto ex summa duorum F A. in unitatem M Κ. Quamobrem summa omnium A.B.C. D.E. F. aequalis est producto ex summa duorum F A. in Η Κ.. At producti ex summa duorum F A. in ΗΚ. duplum est productum ex summa duorum FA. in H G. Igitur & summae omnium A. B. C. D. E. F. duplum est produetium ex utroque F A. in H G. hoc est in numerum multitudinis ipsorum A. B. C. D. E. F.
Quod demonstrandum erat. A. B. C. D. E. F. H. L. M. Κ...G
440쪽
G. M.L. HIIsdem positis sit multitudo ipsorum A.
unitates , quot sunt ipsi A. B. C. D. E. Erit ergo impar ipse G H. sumatur in e unitas G M. & secetur M H. bifariam in K. &secetur M K. in suas unitates per L.& quoniam E. superat C. eodem numero quo C. superat A. summa ipsorum E A. dupla est ipsius C. Hoc est producti ex C. in unitatem ΚL. Ob haec eadem summa
duorum BD. dupla est producti ex C. in L M.quare summa ipsorum AE BD. dupla est producti ex C. in ΜΚ. Atqui ipsus M Κ. duplus est M H.Igitur summa ipsorum AEBD. aequalis est producto ex
ducto ex C. in M G. Quamobrem summa omnium A B C D E. aequalis est producto ex C. in G H. At producti ex L. in G H. duplus est productus ex utroque A E. in
G H. quare summae omnium A.B. C.D.E. duplas est productus ex utroque A E. in G H. hoc est in numerum multitudinis expositorum numerorum. Quod oportebat ostendere.
HAE quoque demonstrationes faciles sunt, & unieam tantum propositionem constituunt, ut euidens est, euius demonstratio pendet omnino a propositione sexta libri primi potismatum. qua ostendimu inmedietate arithmetica summam extremorum aequari summae duorum quorum libet ab extremis aequaliter distantium , atque etiam duplo medii , si multitudo terminorum laetit impar. Ex his porro collige summam quotlibet numerorum progressionis arithmeticae , aequa lem esse producto ex semisse numeri terminorum in summam extremorum, vel E eonuerso, producto ex semine summae .extremorum, innumerum terminorum. Semper enim accidit alterutro horum modorum summam Omnium numerorum haberi nullis intercedentibus stactionibus, si enim numerus terminorum sit par, eius dimidium sumi potest absque statione, si autem multitudo terminoiarum sit impie, semissis summae extremorum haberi potest absque fractione, quia tune summa existremotum est numerus par , quandoquidem est dupla medii termini.