장음표시 사용
51쪽
enim acutius res attendatur; comperiemus hac operatione, hasce duas Rationes ad eundem Consequentem reduci, licet illius nulla fiat mentio. Fieret autems praeciperetur, ut Consequens B duceretur in Consesequentem F, ut haberetur Consequens cornmunis; ad quem Ratio Antecedentis , eadem seret quae F; de Ratio Antecedentis D eadem qua Ai. Tunc vero duo termini Cris,quia eundem haberent Consequentem;essent denominatores Rationum TF,AB, N. illarum habitudinem exponerent ut ex dictis paulo ante clarum est.
MO P. XVIII. DEFINIT. Compositio Rationis est multiplicatio denotaminatorum seu quantitatum Rationum quotcumque, aliquam efficiens Rationem.
Haec est compositionis Rationum destritio ab Eu clide lib. 6. Defin. s. totidem fere verbis tradita. Cuius expositio non potest non osse clarissima tot editis in Euclidem accuratissimis commentariis. Qua etiam in parte Geometra suam non est passus opera desiderari lib. 8 princi quorum omnium lucubrationes, super hac re consuli poterunt. Exemplum tantum hic interim appono huiusmodi plura paulo post producturus unde totum hoc compositionis negotium tam obscurum quam graue , euidenter declarabitur. Sit Ratio A 8 adi , cuius denominator seu quantitas est . . Sit etiam Ratio Di ad E 3 cuius denomina
52쪽
ELIB. I. De Rationibis. Q toresti a Multiplicentur hi duo denominatores ut fiat 4, erit denominator I citionis composita ex Ratione quadrupla 8 ad 1 , vel aliorum quorum cumque terminorum Rationem quadruplam obseruantium s ex Ratione dupla cado, vel aliorum Rationis eiusdem terminorum. Quod si plures adhuc Rationes forent multiplicaretur denominator 8 proxime inuentus per denominatorem Rationis tertia insequentis; laberetur denominato Rationis ex tribus illis Rationibus compositae, ita de pluribus di.
Porro haec compositio Rationum per multiplicationem denominatorum factas aeqtie haberetur, multiplicatis ipsis terminis ut Prop. 16 docui. Nam mul tiplicatis Antecedentibus 8 4 simul; o simul etiam Consequentibus143. Fient 8 6 Rationis ver0 huius denominator esto , ut patet, si iuxta ea quae Prop. s. sunt exposita inquiratur, diuiso Anteced n- te per Consequentem 6. Et hinc constat non esse omnino necessarium ad Rationum hanc compositionem ut denominatores inter se multiplicentur sed fatis etiam esse , si ipsi Rationum termini inter se ducantur habebitur enim peracta terminorum multiplicatione quaedam Ratio quae dici debet composita, ex Rationibus, quorum termini sunt multiplicati, cuius
53쪽
cuius denominator oritur ex multipliticaone denominatorum ad singulas Rationes pertinentium.
PROP. XIX. PRINCIPIUM. Duplex est Compositionis genus in Rationibus Compositio presse seu specifice sumpta, S multiplicatio.
Hic mentionem non facio Compositionis illius Rationum: qua plures Rationes in unam illis omnibus aequalem colliguntur per additionem iuxta Prop. s. huius Illius enim Compositionis negotiu ab hoc longe diuersum est , quod ductis in se Rationibus non sibi additis, absoluitur. Compositio ergo Prop. praecedenti definita genus est ad Compositionem presse sumptam , de multiplicationem. Compositio preste
sumpta est quando Rationes Rationem aliquam componentes, vel per sui, vel per suorum denominatorum multiplicationem , sunt inter se dissimiles, ut in superiori exemplo duae Rationem ad Σ, dein ad DRationem octuplam componentes sunt dissimiles, vel earum denominatores dc inaequales Multiplicatio ver, ut Geometrarum institutum voluit, est Compositio Rationum similium siue aequalium: Quae fit multiplicatis Rationibus quotcumque aequalibus, deinceps quotquot extiterint vel earum denominatoribus: quos tunc aequales esse necesse est. Ut si tres huiusmodi Rationes quorum termini duplam seruant Rationem ducantur in se , primo quidem ducta Al in
54쪽
secundam Ct, ut fiat Antecedens 1 . Ex Antecedentibus Ad C ductis in Consequens G, ex Consequentibus Bi D. Deinde iterum ductis terminis proxime repertis 1 4 6 in terminos talo, T 3 tertiae Rationis, ut fiat Ratio G H. dicetur Ratio GH proprie specifice multiplicata ex Rationibus illis tribus aequalibus; ex quibus generice dici debet composita. De- nominator vero Rationis huius GH oritur etiam ex denominatoribus singulis harum Rationum aequalium aequalibus in se ductis. Cum enim sint tres Ra tiones, Meae dupta. Denominator 1 Ter poni debet, ita deinceps in se ducis ut tandem fiata denominator Rationis G H compositae ex illis tribus duplis RationibuS. Iam vero huius generis multiplicationis Rationum, variae sunt species: alia enim est quae duplicatio dici debet alia Triplicatio: alia Quadruplicatio, a uintuplicatio,ic. Duplicatio dicitur cum duae Rationes aequales in se ducuntur: ut si ducantur Rationes AB, ω D in se per Prop.I6.Fiet Ratio 2 ad 6:&haec Ratio dicetur duplicata Rationis AB, vel CD. Quia si Ratio AB bis ponaturi sic in se ducatur iuxta Prop citatam, producetur Ratio i ad quae multiplicata
dici debet ex Ratione AB MAI , siue Aliis posita: ideo is ad 4 illius duplicata dicitur. Sicut etiam
55쪽
II. Ratio 36 ad quae oritur ex Ratione CD in Rationem D ducta duplicata est tam Rationis CD quam Ra tionis alius cuiuscumque Rationis duplae, Hiod idem fieri contingit si denominator a Rationis dupla bis ponatur citari in ducaturit hac . Deno minator enim a Rationis duplae, est Ratio dupla in minimis terminis, ut Prop. . exposui , scd non exprimitur illius consequens qui est unitas quam con notat. Exprimatur igitur Ratio dupla in minimis terminis hoc modo 1 ad 1 haec Ratio bis posita multiplicata producet Rationem ad 1 qua duplicata dici debet Rationis radi, aliarum omnium Rationum similium hoc est duplarum. Idem de triplicata , Quadruplicata,&c Dicendum est.
PRO P. XX DEFINIT. Compositio Rationum continua est quando termini Rationum qui in se ducuntur ad
componendam Rationem sunt Consequentes unius Rationis, Antecedentes alterius sequentis Rationis. Sive Rationes sint similes siue dissimiles in eo conueniunt ut continuae esse possint. Ecce continuas dissi
D dupla: idem cum D ad F subtripla Vel conti
56쪽
LIB. I. De Rationibus. 9nuentur huiusmodi terminiit habet. Secundum schema: continuae Rationes similes eodem modo se habent ut hoc alterum schema refert. In quo Antecedens
tem habet Rati nem duplam:B verὁ factus Antecedens, ad Consequentem CRationem etiam habet duplam , c.
PROP. . XXI. DEFINIT. Progressi Geometrica est series plurium similium Rationum percontinuos terminos eX- tensa.
Vt series haruA,B C,&c. Duplae Rationis, cuius termini sunt communes duabus Rationibus immediatis; quas quasi commune vinculum nectunt cum sint Consequentes Rationis praecedentis, sequentis Antecedentes Progressio Geometrica dicitur progresso quidem quia eodem semper gradu,aequali scilicet Ratione extenditur Geometrica vero , eo quod insignis sit eius usus in Geometricis, vel ad distinctionem progressionum aliarum.
57쪽
ueo II. PROP. IXII. THEOR. Si inter duas quantitates Aeci mediae quot cumque C, interponantur Ratio A ad B componiture Rationibus intermediis A ad G Cad D: Dad B.
Theorema hoc habetur tanquam principium per se notum apud doctissimum Geometram nostrum, lib. 8 princα quod, inquit , obsecurim quidem es, quam
ferat principiorum natura sed communi gregarioque Geo
metrarum mulio a quorum numero non ita me amo,
ut me eximam, tenuis meae suppellectilis satis conscius. Illud igitur ut Theorema mihi meique similibus demonstrandum propono Suasit in primis tam libera duos inter terminos, alios quotcumque, quamcumque Ratione inter se habentes collocadi facultas; ex quibus deinde nascatur Ratio extremorum; taVt nullae sint Rationes ex quibus data Ratio componi non possit quis assentiatur sine demonstratione Deinde cum propositio haec demonstrabilis sit, id est, medium habeat per quod sillogismus institui positit, cuius
ipsa,sit concluso eadem sane non est quoad se dc per se primo nota. Quae tamen conditio a Logicis requiritur, ut propositio aliqua in principiorum numerum exponatur. Et vero in eorum numerum istud ipsum ab Authore Quadraturae non nisi aegre reponi videtur. Sic
58쪽
LIB. I. De Ration tu. FiSic enim ait loco citato deuod principium etsi verissimum
sit es a magnis Geometris non semel ourpatum, non tamen usque ade omnibus arridet, ut eius demovΠrationem non requirant. Ego ver censeo cum omnibus Geometris tamdiu inter principia esse censendum, donec alicui ratio occurrat hoc ipsum Geometrica demonHratione inter Theoreismata reducendi. Reducetur ergo imposterum En etenim tibi, peritissime Geometra , ad id necessariam illam demonstrationem. Praeparatio. ΙΣ. C . D8 linter duos terminos Aim medius C interliciatur. Tum A ducatur in C, ut fiat Diectangulum. i& ducatur in B, ut fiat rectangulum E. Demonstratio. Ratio terminia ad terminum B est eadem quae rectanguli D ad rectangulum E. Sed ratio rectanguli Dad rectangulum E componitur ex Rationem ad Cie Ratione Gad B.Ergo etiam Ratio A ad B componitur ex Rationes ad C& Ratione ad B. Probatur maior. Nam terminus medius C ducitur tam in A, ut producat D quam in B, Vt producat E. Ergo vel per I lib. ς vel per i . lib. . Vt scilicet idem
argumentum tam continuae, quam discretae quantitati
inseruiat eadem est Ratio A ad B, D ad E. Minor vero, ex dictis superius Prop.I6. Prop. 8.G Constat
59쪽
Constat euidentissime. Nam si quantitate sue denominatores Rationum A ad C;&Cad B in se ducantur: percitatas Prop. efficient Rationem compositam ex Rationibus A ad C, MC ad B. Sed siue denominatores Rationum, siue ipsi Rationum termini in se ducantur, eadem Ratio componitur, ut citato loco exposui. Ergo Ratio ad E quae ostensa proxime est eadem cum Rationea ad di quae ex duini terminorum A in ut Antecedentem secundae Rationis; V, Consequentis primae Rationis,in B Consequentem Rationis secundae orta est: Componitur ex Ratione A ad C, ωRatione,C ad B.Verum ergo est propositumTheorema quando inter duos terminos medius unicus interponitur. Sed aeque verum est quando plures inter
Sint enim inter duos terminos A,, B, duo inter-
iecti, C, D. Probabitur primo ex proxima Ratiocinatione Ratio A ad incomponi ex Ratione A ad C, ωRatione C ad D, quasi duo dati extremi termini forentinis D, i,ater quos lolusi immittitur. Deinde duo extremi A B assumentur,inter quos resolus postus est, nulla amplius habita Ratione termini C inprobabitur Ratio A ad B componi ex Ratione A ad D, ωRationes ad B. Sed Ratio A ad D iam ostensa est componi ex Rationes ad C, C ad D. Ergo Ratio A ad B ex Rationibus A ad C, C ad D , D ad B
60쪽
cornponitur. Eodem modo Ratiocinandum foret, iplures quam duo termini medi inter duos extremos statuerentur: ita ut verissimum sit Theorema propositum Vnde verum etiam sit, minus apte in numerum principiorum per se notorum reduci, cum reuera demonstretur per medium, quod ipsum necdum immediatum est, cum pendeat ex propositionibus Euclidiscitatis quaeis ipse demonstrantur adhuc per alia media ad principia magis accedentia. PMO P. XXIII. PROBL. Si data Ratio quaecumque A ad B. Quam
Oporteat in quotcumque Rationes aequales diuidere. Superius Prop. 7 huius. Ostendi modum, quo Ratio quaelibet per aliam datam Rationem diuidi of sit hic vero quaeritur modus quo data Ratio diuid tur, non per datam Rationem s sed in data Rationem aequales quotcumque, qui sensus longe a priori est diuersus & in hunc reculere videtur, ut ex dictis de compositione Rationis constat, scilicet, quaeruntur Rationes aequales quotcumque,quae datam Rationem A ad B componunt.