장음표시 사용
301쪽
, o tersi G erut Denominator Proportionis Rationum
C ad Di G ad H. Sed eade est haec utraque Proportio ex suppositione. Ergo ita est diadi,ut et ad G Velan-
uertendo I ad Δ ut G ad . Recte igituri suo more acutissime intulit Author ex constructione sua, ita esse Ead Δ, ut ad Ne Inuertendo A ad Elis ad G. Atque ea sola aequalitas Proportionis Rationum Aad B,& Ea dis 3 Proportionis Rationum C ad D, S Gad H; quarum Proportionum De nominatores sunt Δad E,ως ad G; colligitur ex constructione ab Authore instituta. Nec ullo modo exhiberi potest eius constructionis opera, id quod maxime sperabatur in Problema propositum exigebat nimirum , vel Ratio solidi Egeniti ex ductu in se subalterno segmenti Parabolici PD , ad solidum Portum ex ductu in se subalterno segmenti Parabolicis aut solidorum Cylindra-ceψrum illis aequalium: quorum bases, sunt semicirculus quam etiam Eic cito & mixta figura F. vel etiam 'uod idem est quod ultimo stabilitur, ad Problematis solutionem necessarium' ratio basium ipsarum; I; cum eadem sit cum Ratione corporum vel etiam Ratio solidi G ad solidum H, siue etiam basium G&H, eandem cum solidis Rationem ha bentium. Imo tantum abest ut per hanc constructionem Ratio basis E ad basimi, vel basiis G ad basi in Hobtineatur: ut ne ipsa quidem species Proportionis quae est inter rationes A ad B,& E ad F,vel Proportionis Ra
uonu ad D G ad H, eius ope reperiatur, se equa
302쪽
LIB. III. Examen triplicis clusis p r. 'Ilitas tantum inter ipsas harum Rationum Proportiones, concludatur Adeo ut Propositio haec 7. ad exhi
bendam Rationem basis E ad basima, vel basis G ad basim H ineptior sit quam fuerat ipsa Propositi ci.
quae nisi repugnaret calculus superior in illius Propositionis examen adductus concludebat eandem esse Proportionem Rationis basis E ad basim F ad Rationem basis G ad basim Hic Proportione rationis basis ad basim B , ad Rationem basis C ad basim D cum
enim hae bases rectilinea sint ambae Rationes nota erunt, atque acieO earum Proporti0: cui cum sit aequa M lis iuxta illam Propositionem 61 proportio Rationum E ad F, ω ad H, etiam haec Proportio nota erit contra quam fiat in hac Propositione 7 . In qua straque Proportio tam rationum A ad B, ωE ad F quam Rationum C ad D& G adHβgnota est ob ignotas Rationes E ad F,MG ad H:cum quibus componuntur Rationes notae A ad B,&Cad D ad procreandas Proportiones inter ipsa Rationes. Atque hactenus satis multis quae tum quaestionis obscuritas, summa cum tractatio nis a Geometra instituta breuitate coniuncta tum rei grauitas exigebant, satis clare mihi videor exposuisse Propositionem hanc: . in qua tota erat posita dissicultas. Nunc tandem concludo tota Ratiocinatione meatii hunc modum collecta Cum Propositio si Authoris,ex qua totum derivatur robur Proposui onis 77. ad Tetragonismum necessariari proxime influentis ab aliqua laborare ostensa sit suptilior' tam multiplici calculo. Cum item , etsi illa verari firma stare apponaturi nihilominus tamen
303쪽
1 ARS II. hax;dualiud expressis verbis pollicetur,expressis verbis aliud in conclusione praestat:dum Rationem ad F,vel ad H exhibitura prae se fert, Proportionem Rationu
gat;aperturuinae discrimen incurrat. Cum tertio eius allata costructio ad Rationes exhibedas,ut debuisset salua eiusdem Propositionis fide,no instituatur: sed nec ad aliud institui hac via, qua ad Proportiones posse ostensum sit. Cu quarto Proportiones dictas ad aliquid circa
Tetragonismum decernendum ineptas esse demon- starim, nisi acced i ipsarum Rationum cognitio. Cum denique suprema statutae ab Author conclusionis verba haec.quod seu ficit lex communis Geometriae
Principiis eaedem partes c lindricae ad paradelepipeda ipsi, aequalia reduci possint psis tantum Rationibus E adi, vel
GadH certis S determinatismon autem earum propol tioni, quanaec Rationes certae sieciei,nec certos earum terminos exigit; conuenire possint cum,inquam,tot ac
tantae dissacultates,quas insolubiles mihi videor demostrasse, occurrerint: aequi bonique consulat Geometra praestantissimus, si qu0 carius reliquii eius opus amplector,mirbrque attentius;eo longius ab eius de absoluto a se Tetragonismo sententia abripiar,firmiusque tuear
veritatem huiusce meae Propositionis 18.qua asserui notantum hanc secundam circuli Quadraturam, sed etiaduas insequentes tertiam&quartam huic assines, iisdemque Principiis innixas,eodem demonstradi genere collectas, vix a Geometria agnos i posse , adeoque laxum hoc Geometris adhuc super esse versandum,
304쪽
APPEN DIXIn qua notius quidam Tetragonismus discutitur
Praelo prope diem proditura erat illius Giebris Quadraturae superior discussio mea: cum ab Amico D. Comer noua circuli Quiaratura transinissa est quam apud multos Geometrice non imperitos maximo cum plausu exceptam referebat Hortabatur insuper x,quando me ex superioris tam prolixi quam perplexi examinis caeco Labyrintho faustissime,aiebat,expedivissem hunc etiam recens exortum Tetragonismum aggrederer, cum ab instituto non esset haec opera aliena, nec longior futura, unius scilicet Propositionis nec adeo reconditae, quam ad me mittebat, discussione, absoluenda. Suaa sum tunc quidem mihi ut, tum Amico tum mihi ipsi priuatim satisfaciendi gratia, Opus adorirer Nec mora
305쪽
st almodum longa,aut grauiore contentione comis
per viti aliquid quod hac in re quantulumcunque,
censetur maximum' in ea circuli Quadrandi ratione lateres nec per eam exhiberi, ut ab Author asserebatur, rectam lineam circulari periphenae aequalem ex data diametro sed paulo minorem Placuit tamen ea Quadratio non mediocriter tum quia perficitur Geometrica solutiones, qua nec simplicior nec expeditior obseruetur tum maxime, quia vixilli,ex innumeris, quae pauim teruntur, de praecisione concedat. Quae perpendenti mihi tum demum non aegre , quod proponebatur, persuasum est hanc scilicet nouam Cyclometriam non intactam hic esse relinquendam , necesse plane indignam, quae angulum quempiam natabula, qua necdum longe manum amoueram, Occuparet. Desiderari quidem poterata me plenior totius tractationis cognitio, quam quae unica Propositione contineretur.Absolutius enim futurum fusilet examen hoc meum: si omnium Propositionum , e quibus haec ultima colligitur, facta mihi facultas fui et fuisset enim continuo mihi ficta facultas, ea,quae obiici possent, petendi non e discretae tantum , sed continitae etiam Quantitatis fundamentis. Sed quando horum omnium cognitionem assequendi spatium praecidit operarum fini imminentium taedium : ecce nunc quidem solam ad me datam Propositionem; b meamque deinceps breuiter expositam de ea sei lentiam.
306쪽
Propositis Cyclometrica. Si adlineam qua potes adium uenum Grad.
a . min. o. circuli cuiusuis addatursemissi ' νοῦ componetur recta linea quuis circumferen
trici dranti eiusdem circuli. Expositi s Constructio.
Haec est illa ad me totidem verbis delata Propositio bsque diagrammate , quod in hunc modum con
Centro O describatur circuli Quadrans C BI. Quo diuiso bifariam in B,rursusque arcu B diuiso bifariam sequain A, ducantur lineae o B; A,B I secabitur BI bifariam in D a recta O A ; eritque I sinus arcus I A qui continet Gradus ΣΣ .min.3o Excitetur a puncto I lineae I ad ipsam perpendicularis I S, aequalis sinu ID, ducaturque O S. Poterit hac linea O S, radium OI, simulque sinum IO,aut IS per lib.1 huic lineae o Ssumatur aequalis ossi in linea OI producta,eidemque
addatur Exaequalis semissi radiDO I. Erit ex Cyclometra sententia, tota recta linea O aequalis peripheriae CB Quadrantis. Quod an verum sit, nunc est expendendum.
PROPOSITIO SUPERIORI ADVERSA. Breuior est recta linea OA: quam ut arcui C BI aequalis esse possit.
307쪽
Demonstratio Sisinuum Canonem conlauimus, ut consuli satis
tuto potest; paucis innotescet Affertionis meae veritas;
Nam in triangulo rectangulo I S, si ponatur Ol
nus totus co Coo erit IS tangens anguli O S. Sed, cum S ponatur aequalis sinu lo sit autem inus Dnotus in partibus sipus totius Oct erit tiam tangens IS in eisdem partibus nota atque adeo ex anone notus erit angulus lori cuius ecans est O S. Ergo Uri nota erit. Haec ad rem applicemus. Sinus is it 3 168.qui conuersus in tangentem I secans ei respondens est toto L. tantaque est O , siue CE ,hinc addeER Ooco semissem radij fiet tota in I IOI aequalis iuxta Cyclometrat arcui a I. Quod si ' 37O7α duplicet ut, ut si athi erit peripheriae semicirculi aedualis ad quam ita se habebit per s. lib. . semediameter OI1oo oo , ut se habet diame-
308쪽
ter ad totam circumferentiam. Sed posita diametroioo Coo circumserentia ex recentiorum Geometra-
cum accuratissimis Epilogismis maior vera est i ico,& minor vera si asyis qua deficit hic inuenta 3i i ham ergo multo magis, breuior erit quam par sit Patet ergo rectam O R a Cyclometra assignatam, breuiorem esse quam ut arcui C BI aequalis esse possit. Quod erat demonstrandum. Confirmatio. Propositionis meae aduersus nouam hanc Cyclometriam. Praeparati . Quia sinus non sunt ut plurimum ita praxis , ut
aliqua, fractiuncula non omittatur dubitauerit fortasse quispiam, ne desectus huius Cyclometriae proxime obseruatus inde totus proficiscatur. Quod dubium absterget penitus calculus ex ipsam et hypothcii
Ducatur itaque B M ad semidiametriam in per pendicularis. Erit ergo B M a qualis ccis est enim uitriangulo rectangulo O Ban iis semi- rectus ex hypothesi ergo uectus cst eiusdem angulus B per 3Σ. lib. i. Ergo peri lib. i. aequales sunt M B,OM). Ex notis vero Mi,M ,nota fiet BI,atque adeo eius dimidia I siue Is Notis denique I IS nota erit S sues E,&tandem tota OR.
309쪽
Orsiue OB est o ooo Tius Quadratum IO OO COOeoo aequale est duobus Quadratis B, O M. Ergo eorum alterum O M est Loo oo ooo. Cuius radix est ofIo7, maior veraci Io IO minor Vera hac radice O M minore vera o 1 o 6 dempta ex toto radio OIIo ooo restat MI 192 94 maior Vera smaiorem vera de industria assumo ut huic Cyclometriae magis faueam, ut constabit. Secundo quaeritur IB. Cum nota sit facta a,5ceius Quadratum notum erit, nempe 786 894α3 ,αquidem maius vero, cum qui maior vera, huic sit addatur Quadratum lineae Β, quod est Coo oo oooo; fient duo simul Quadrata 83 78 absas hoc est Quadratum Ba quidem maius Vero. Tertio. Quaeritur recta O S. Quadratum PD, siue
I est quarta pars Quadrati lateris BD cst enim D, semissa lineae Bahquae quarta pars Quadrati BI, esti s
310쪽
I 23 o's. huic si addatur Quadratum radijOI, fiet Quadratum basis Strianguli OIS. I s
46723 o maius vero ne excidat ergo radix eius numeri, tuae est oro 723 maior vera;exprimet linear Ori , siue V, ei ex constructione aequalem δε quidem paulo maiorem vera, hoc est, paulo maiorem, quam ipsa linea O E exigat. Quarto Determinatur recta O R. Si ad Eio o 13 addatur o, o semissis radij, ut praecipit Cyclometra,fe ipsa Opis o r. paulo maior quam reipsastori Geometrice inuenta ex mente& constructio ne Cyclomet sae.
Q nto. Conclusio tandem colligitur, eadem prope quaesti perius . contra hanc Cyclometriam. Si linea ORI 1 o 23 aequalis , arcui Quadrantis C BI, duplicetur fiet peripheria semicirculi 1 i 6 paulo maior vera posita semidiametro loco ooo' At eadem posita semidiametro semiperipheria totius circuli, siue,peripheria semicirculi minor vera iuxta peritissimos Geometras est asso'. Ergo aut dicendus est ab hoc nouo
Cyclometra numerus 3 i i 446'maior quam numerus
3; 'soli cum hic minor sit quam ipsa vera quantitas periphente semicirculi, ille vero eadem peripheriama io sit ostensus quod foret absurdum , aut fatendum veram Cyclometriam hoc modo non haberi. Quod
C ostaria. Qua dam hic obseruatione digna omitti non debent quae in modum corollarij obiter proponam.