장음표시 사용
291쪽
84 P ARS II. quarum prior sit posterioris dupla, aequaliter omnibus conuenire di aeque omnes denominare. Exemplis rem illustremus. Proponantur duae rationes ita ut prioris Antecedens it , consequens . quae ratio est Quadrupla Posterioris vero Antecedens sit . Consequens uerum di quae ratio est dupla quia igitur hae duae rationes 8 ad 1.& ad eundem habent Consequentem Σ. eam habebunt inter se Proportionem siue etiam rationem cum Proportio sit rationum rati, quam ipsi Antecedentes 8 habent inter se per Prop. . lib.i huius ita ut prioriatio 8 ad L, dupla sit rationis posterioris 4 ad i. siue Quadrupla ratio sit dupla rationis dupta ut earn Pi oportionis De nominator Pindicat. Rursus. Duas alias Rationes a duabus praecedentibus specie diuersas a Dsumo quarum Proportio, ut patebit, sit dupla Sit ergo Antecedens prioris Io Consequens . posterioris vero Antecedens esto, consequens . idem scilicet cum Consequente prioris Rationis. uia igitur harum duarum Rationum io ad ad . idem est Consequens, nempe ita se habebunt inter sese, vis habent ipsi earum Antecedentes Io per Prop.7. lib. I. huius. Erit igitur prior ratio io ad . siue dupla sesquialtera, rationis posterioris 1 ad . quae est
sesquiquarta dupla: Earumque Proportio qua aliud
non est quam earum Rationum Ratio' dicetur dupla: qualis scilicet iam fuit Proportio Rationum 8ad ad 1 ab his specie diuersarum. Denique ut verbo rem absoluam, quoties duae Rationes proponentur
292쪽
LIB. III. Examen triphcss Quadrionier. 8 1 proponentur proponentur autem innumerae' qua rum termini Consequentes, aequales facti fuerint vel reductione vel suppositione Anteceden Vero Vnius, duplus fuerit Antecedentis, alterius toties earum Rationum Proportio dupla erit. Quae cum ita habeant exhibebit , scilicet, aliquis ope notae Proportionis duarum rationum, Rationes ipsas certae determinatae alicuius speciei, quantitatis terminorum suorum, cuiusmodi in praesenti negotio exhibendae solent Mu igitur fieri potest, ut Propositio illa, aut horis datam fidem praestiterit, exhibueritque Rationem corporum E, F vel G, H, ex sola Pro portione Rationum E ad D, d G ad H quam, violata interim aequissima sententia calculi superius accuratissime instituti, supponi permisi, non admisi, eandem esse cum Proportione Rationum A ad B, C ad D quae nota est, cum ipsae Rationes sint corporum A, B; C, D quaenam corpora hisce characteribus designe , iam saepius declaraui quae parallel pipeda sunt eiusdem altitudinis imo Rationes sint horum corporum basium, quae rectis tantum lineis circumscribuntur.
Hoc dubium meum circa Propositionem hanc 77. non mediocriter auxit eius ipsa Conclusio longe a Propositione aliena En ut sonat Propositio Oporteat Rationem exhibere, qua est inter corpora E F, me inter corpora G or H. Conclusio vero ut se habet In eius
verba ex paragrapho superiori iudeliter relata Aepromis cum ba magnitudines priussint reductae ad Cylindri-
293쪽
cas aulitates istis quales creductio hor habetur supra Prop. i . huius etiam PROPORTIONEM RATI UNUM EXHIBUIMVS quaestunt inter ista ipsa ma-onitudines Cylindricas. Eamne conclusionem tandem secuturam suspicari
quis posset)Nunquid Conclusio,ipsissima Propossitio
non esse debet quae vel probada,si theoretica,vel soluenda, si Problematica fuerit, ut haec, in medium adducta fuerat et huic Propositioni Oporteat Tationem exhibere quae est inter corpora ES F, me inter corpora GH seruatis Logicis Macitis, seruato Geometrarum omnium etiam nostri, toto hoc eximio suo opere, solemni Problemata concludendi more, non alia potuit subnecti Coricluso, quam huiusmodi. ERGO RATIONEM EXHIBUIMVS quae 'inter corpora E me inter corpora Ga H duoderat faciendum. Illam vero Proportionem Razionum exhibuimus quae sunt inter ipsas Cylindrica magnitudines. Quam diuersissimam prodit vel ipsa paulo ante adducta ratiocinatio mea)cur ei substituerit eximius Geometra,non
aliud mali quidem occurrit causae aliud fortast ipsi
occurrerio quam quod obseruarit non eo usque pro motam fuisse constructionem suam vinationes ipsas quod apertius mox declarabes exhiberet, ut Pro positionis sententia exigebat quo nomine, defectus alicubus eandem arguere , saluo tanti viri iudicio, coactus sum. 11'd ne temere ausus in clarissimum Geometriae lumen ullo modo videar ipsam etiam eius constructionem, ut proxime o oui , nunc pur- pendam
294쪽
LIB. III. Examen triplicis uadr. posser. 87pondam ante quam decretoriam Propositionis incae conclusionem proferam. Nemo Geometra non nouit Problema omne Geometricum, quale est hoc, quod excutimus, constructione, 'ite instituta constructionis demonstratione constare. Hic non aliam obseruare licuit
quam qua paragrapho Dri sequenti E absoluitur. Postquam igitur iuxta Propositionem suam 62. quae medium est unicu ad stabiliedam assumptum,i qua
ut vera uti eum .nunc quidem patiori exposuit per Permutationem Inuersionemque Rationum para-
graphis B Gabsolutam. eandem esse proportionem rationis E ad F ad rationem A adB. etiam hic memoria refrica, significationis horum meorum characte rum tabellam amo te, denuo consule ad Propositionem s. appensam in cum proportione Rationis G ad H, ad Rationem Cad in ita constructionem aggre ciea chato paragrapho D. F uti tu inquiit, B ad A, ita F ad L Et tua C, ita Hud Q. Haec est constructio breuius sane tradita, ciquam rei momentum ferat quam plusculis aperio sigillatim.
Fiat, Bades, itas ad a. Id ita absoluetur. Quia corpus B,quod illud est,quod oritur ex ductu segmen ii Parabolici FLO in se,aequale est parallelepipedo cui
dam quod notum est, ut Prop. s. Ostendi corpus vero
A, ortum scilicet ex ductu segmet Parabolici AIO in se, est etiam aequale cuidam parallelepipedo eiusdem cum priore altitudinis, quod item notum est ex citata ProPQ
296쪽
LIB. III. Examen triplicis a ab. poner. 28' Propositione. Hinc fit ut nota etiam si eorum corporum ratio quae alia futura non est quam ratio basium eorumdem parallelepipedorum cum ipsa sint aequalis altitudinis. Sint ergo bases in duo rectangula aequalis altitudinis reductari eorumque rectangulorum bases sint lineae rectae ΑΛ B: quae expriment rationem duorum ipsorum solidorum Arim. Nec alia est natura solidorum Cim ut in eadem citata Prop. videre est.
Quare peracta Geometrica operatione necessaria, repertae sunto duae rectae lineae Cri D, rationem solido- .rum in D exprimentes quam etiam exprimunt ipsa rectangula MD. Ad haec corpus E, siue ortum ex subalterno ductu Fig. 11 in se Parabolici segmenti AID; est solidum quoddam 'si aequale corpor cylindrico,vel cylindraceo cuius basis est semicirculus A Lit fuse superius loco citato declaratum est. Idem dic de segmento Parabolico AI in se subalterne ducto, quod gignit solidum a me vocari solitum H. At corpus 'quod est solidum genitum c ductu subalterno segmenti Parabolici Flo,aequale est corpor cylindraceo aequalis altitudinis cum praecedentibus Ei H cuius basis est mixta figura inter duas ineas Eri, systematis interiecta, clausa vero ainc uidem, recta ad lineas ΕΚ, V perpendiculari inde
Vero, arcu M. Hari ut Geometrice inueniatur etiam
superius aperui Prop. s. hic interim ea figura qxponatur, suoque Characteres insigniatur Idem di cendum de corpore G, quod oritur ex segmento piP S in se subalterne ducto. Sit ergo etiam eius basis ex
298쪽
LIB. III. Examen triplici duadriser. 29rposita in inusta suo Charactere G. His ita declaratis. Sic habet constructio. Fiat ut linea B ad lineam A bita planum Rad planum Δ ei simile, ut Elementa praecipiunt. Et sat ut linea Dad lineam a ita planum H quod est semicirculus A a systematis ut paulo ante monui ad planum siue
semicirculum . Ham est tota Authoris constructio. Quid porro ex ea deducat, audiamus.
Erit itaque Tubdit ut paragraphos habetur modo
solido tam loco, eorum bases sumantur ut semicirculus siue planum E ad planum ita planum G ad se
micirculum siue planum . At quo ex fonte hanc sequelam derivat Geometra)Vix,fateor, querelis aduersus ipsum hic abstineo:quod Propositionem hanc,omnium totius operis sui grauissimam, quando omnium scopus ac finis est, Archimedea breuitate de grauitate, nulla rudiorum Geometrarum mei similium habita ratione tam paucis exposuerit, nec indicem saltem intenderit eo, unde singula ipse hausisset. Sed omissa omni querela erga virum tam bene de Geometris meritum , sequelam hanc e posita constructione profectam, verissimam assero: Dab ipso Authore, qui in rationum negotio nihil a se desiderari passus est assertionis demonstrationem haurio Quae ut apertior fiat, numeros assumam loco solidorum exduca uiam simplici quam subalterno genitorum, vel potius his aequalium solidorum cylindraceorum aut
etiam, quod expedit, loco basium , quibus solida illa
cylindracea insistuti bases enim eandem seruant ratio-
299쪽
nem quam corpora ipsa, quorum sunt bases cum eadem sit eorum altitudo easque numeris eosdem Characteres inuram,ut numerorum ad bases illas transsatio
planior fiat. Sit ergo in hoc schemate eadem Proportio Rationum A ad B ad D cum Proportione Rationum ad F,ωG ad H veram enim esse Propositionem 62. Authoris, hic etiam supponi patior. Ergo Permutando. Eadem erit Proportio Rationum A ad B, ME ad F;
cum proportione Rationum C ad D, G ad H. fiat iam ut iubet in sua
Δ.&vt Dad C; ita H ade Dico ita esse Padi, ut G ad Nam cum ponatur,vtConsequens B ad Antecedentem Rit, ad Δ:etiam in uertendo,ita eriti adi,ut A ad B. Ergo eadem est proportio rationum Δ ad F. E ad F; cum proportione Rationum C ad D ad H. Sed propter similem constructionem .erit Proportio Rationum ad H,&Gad Headem cum Proportione Rationum ad D GadH. Ergo eadem est Proportio Rationum ad F iadi cum Proportione Rationum ad H,
G ad H. Quia vero tam Rationum Δ adi,&F ad , idem est Consequens F quam Rationum Q ad H, G ad H, idem . Erunt duae priores Rationes A ad F fu 'ad' ad Fit Rationum Antecedente S E Hoc cur Proportio Rationum A ad B, ME ad