장음표시 사용
281쪽
Ratio eae rationibus eompota dicitur, eum α.tiontim quantitates inter se multi icatae, alia
quam ess erint rationem. O niam denominator euiuslibet proportionis ex.
primit quanta sit magnitudo antecedens ad eon. ieqtientem .ut denominator quadruplae proportionis, nempe 4. ostendit in quavis proportione quadrupla antecedentem magnitudinem quater continere conis Iequentem a denominator vero proportionis sub qua-σNiplae, nempe unum quarta indicat antecedentem es in quartam partem cons irentis &c. Diei alet denominator a Geometris, seu quantitas proportionis. duapropter haec definitio vult, proportionem aliquam auabita,vel pluribus proportionibus componi,quanisuo narum aenominatores , seu quantitates inter se mutitiplicatae effectrint illam proportionem, seu illius pro. pol tionis denominatorem. Vt v. g. proportio duode- eupIacomponi dicitur ex dupla, & sextupla a quando. quidem denominator proportionis duodecuplae, nimirum It . producitur ex multiplicatione denominat ris duplae proportionis, nempe x. in denominatorem lex inplar, hoc est in s. Eadem prorsis ratione oro. portio trigecupla dieitur componi ex dupla, tripla, Mquintupla. Nam harum denominatores interie multiplicati gignunt i o. illius denominatorem &c. Unde quemadmodum in magnitudinibus continue proportionalibus c ut dictum est ad defin. ro. lib. e.3proportio primae ad ultimam disetur componi ex or portione primae ad secundam, & secundae ad tertiant, e tertiae ad quartam &e. Sic etiam in quibuscunaue magnitudinibus ordine positis proportio primae ad vItimam dicetur componi ex proportione primae ad si
282쪽
iasanctim . 8e flaundae ad tertiam .& tertiae ad-ttami dic. donec proportio extiterit; quoniam denominator proportionis primae magnitudinis ad ultimam consu sit ea denominatoribus proportionum intermediarum
Hoc totum confirmatura Clauio in hoc loco adducendo rarias antiqin rum domonstrationes circa hanc materiam i Quas demonstrationes a in cllatum a thorem legere haud inutile erit.
I VL . Parallesogrammum secundum aliquam rectam llineam applicatum , deficere dicitur para, I, gram , quando non occupat totam iis l. - . Excedere vero, quando occupat ma- '. ioren, lineam, qu- sit ea, siaundum quam i applicaturi ita tamen, ut paralleloyammum, d iens , aut exciacias eandem trabeat a, hirudinem cum parallelogrammo applicato, constituat cum eo totum in uti parallel
SIt data recta linea AB. supra quam c-stituatur νωrallelairaminum Δ CDE, qaod non. Capet to 42 tam lineam Arit . I. , sed desie Cai
283쪽
cvndum rectam AB, applicatum, d cficere dicitiir pDral Ieloorammo DB, ita ut DB, appelle ur deiectus. E contra vero sit data recta A C , supra quam constituatur paralleloorammum ABFE, quod habeat latus ΑΒ, maius data recta AC, ducanturqtie lineae vesii pra . Parallelogrammum igitur AF, secundum re. ctam AC. applicatum, excedere dicitur Parallel 1 grammo DB, sicque DB , vocatur excessus.
PLOPOS. I. THEOR. I. I Triangula, & parallelogramma, quorum eadem fuerit altitudo , inter se ita se habent, vi
SInt duo triangula ABC, ABI, eandem habemtia altitudinem, quoram bases sint BC, BD. Item duo parallelogramma BE, BF, eiusdem altitudinis , quorum eaedem bases B C, BD. Dico ita esse triangulum ABC, ad triangulum' ABD,M parallelogrammum BE , ad parallel grammum BF, ut est
hasis BC., ad basin BD Ηne ost si basis BC, stacitatur
prima magnitudo, & basis BD, secunda : At trianguinium ABC, vel parallelogrammum BE , tertia ,& tri. angulum AB L , vel parallelogrammum BF, quarta, sequemultiplicia primae, ac tertiar ab aeqvcmultiplici-bu secundae, quartae vel una deficere, vel una aequalia esse, vel una excedere , ut ost-nsiim fuit in defin. lib. s. Ponantur enim tam triangula, quam parallelo
gramma inter easdem parallela, EF, G Κ, sicque verrdictum
284쪽
di m est in defin. huius libri, trianoula, & parallelogramma eandem habebunt altitudinem , cum per--ndiculares ad bases demisse aequales existant . Ru lus ex BG, sumantii r quotcunque rectae e licet inno
stra figura una tantum sumatur aequales ipsi BC , &st CG: Item ex ΒΚ, abscindantiir quotcunque rectae DH, HI, Ix, aequales ipsi BD. Deinde a puncto Α, ducantur rectae ΑG, AH, AI, ΑΚ. cap. Erunt igitur triangula ABC, ΑCG, super aequales bata,& inter easdem parallelas aequalia. Eademque ratione aequalia erunt triangula BAD, DΑΗ, HAI, IAx.' Maai- multiplex ergo est recta GB, rectae BC, tam muli, Plex quociue erit triangulum BAG, trianguli BAC: de quam multiplex est recta Bx, rectae BD, tam quoquen*ltiplex erit triangulum ΒΑΚ, trianguli BAD, quia in tot triangula aequalia sint diuisa tota triangula ABG, ABk, in quot rectas aequales sectat merunt totae rectae BG, BK. Quoniam vero si basis BG,aequalis su rit basi ΒΚ, b necessario triangulum ABG. aequale l bat.rHiem t-gulo ABK, ne proinde sim, maior fuerit tviam Bx, necessario ABG, maius erit quam ΑΗΚ, & simnor, minu&eru 3 proptereaque deficient una BG, r α,&triangulum ABG, aequemultiplicia prinis magnitudinis DC, 8e tertiae ABC, ab Βx, recta triangulis ΒΑΚ, aequemultiplicibus secundae BD, de quartae BAD, vel una aequalia erunt, vel una excedent, si ea, quae inter se re*ondent, sumantur .l ca , Quare quae reportio est primae BC, ad secundam BD , basia ad basin, ea erit tertiae BAC, ad quartam BAm trianguli mi triangultim. Sicut igitur basa ad basis, ita est tri. angulum ad triangulum , quod fuit propositum. --ioniam vero M vr triangultim AJ Q. ad triangu i dxIum ABD, ita est parallelograminum BE, θλ d plum enim est trianguli ABC,3 ad parallelc eammum , quod pariter est duplum trianguli A B D, unde perspicuum est: l . ita quoque eue parallel ran mum ad paraues rammum, ut bas, ad basin. Quod tutum confimati potest eodem arguaterno, quo in .
285쪽
sumus in triano ulis. si prius ex punctis C,G, rectae ducantur parallelae ipsi BA; nec non ex punctis parallelae ipsi RA,&c. Triangula i itur . M parallelogramnia, quorum eadem fuerit altitudo . ita se habent inter se, ut bases . dec. Quod erat demonstra
PROPOS. 2. ΤΗΕΟ R. Si ad unum trianguli latus parallela ducta sile it
recta quaedam linea, haec proponionaliter socabit ipsius trianguli latera . Et si trianguli latera proportionaliter secta fuerint, quae adsectiones adiuncta fuerit recta linea, erit ad reliquum ipsius trianguli latus parallela.
IN trian illo ABC, ducatur primum recta DE, P ralleIa lateri BC. Dico latera AB, AC , secta esse
Proportionaliter in D, &E, hoc est, esse ut AD, ad DB, ita AE, ad EC. Ductis namque rectis CD, BE, a erunt triangula BDE, CED. supereaaidem basin DE, & inter easdent parallelas DE, BC , constituta inter se aequalia. cba Quare ut triangulum ADE, ad triangulum DEB, ita est idem triangulum ADE. ad triangulum FDC: cca Atqui ut triangulum ADE, ad triangulum D ER, ita est basis AD, ad basin BD, cum haec triangula sint eiusdem altitudinis, ut constat s per E, p rallela agatur ipsi ABO Eademque ratione ut triangulum ADE,ad triangulum E DC.
ita est basia ΑΕ, ad basin EC. da Vt igitur AD, adi BD, ita est AE , ad EC, c cum hae duae profvirtiones eaedem sint proportioni trianguli ADE, ad triangu
286쪽
tim DEB, & ehisdem trianguli ADE, ad triangulum EDco Q sod est propositum Secet deinde recta DE, latera AB, AC, proportio. naliter. Dico DE, parallelam esse reliquo lateri BC. Doctis enim, ut sepra, rectis CD, BE, eὶ erit ut basis AD, ad basin DB; ita triangulum ADE,ad triangulum DEB, cum sint eiusdem altitudinis: Ponitar aurem ut AD, ad DB, ita AE, ad EC: s a igitur erit ut triangulum ADE, ad triangulum DEBcita AE , ad EC: Sed e ve basis ΑΕ, ad basin EC , ita est triam aulum ADE, ad triangulum DEC. cum pariter fini eiusdem altitudinis : ch Igitur ve trianguluat ADE, ad trianeulum Dra,ita est idem triangulim ΛDE,ad triangulum DEC. i AEqualia ergo sene triangula BDE, DEC; ac propterea cum eandem habeant bais sin DE, v) erunt inter easdem parallelas constituta. Imare parallela est DE, ipsi BC: quod est propo. . eum. Si igitur ad unum trianguli latus parallata d fuerit, Mia inod erat ostendendum.
ae trianguli angulus bifariam sectus 'fla, secans autem angulum recta linea secuerit & ba hasis segmenta eandem habebunt rationem, quam reliqua ipsius trianguli lateta. Et si ba- us segmenta eandem habeant rationem, quam resiqua ipsius trianguli latera; recti lima, quae vertice ad sectioncin producinax, bi ara secat angulum ipsius triaripili .
IN triangulo ABC, recta AD, seret primo Ium BAC, bifariam . Dico in It M. ad AC, i i
287쪽
i BD. ad DC. Agatur enim per C, re CE, parallela: ipsi DA, donec cum BA; pariter producta concurrael in Ε, inmeto ι debent autem coire CE, & BA, quia - - l dem cum dilo anguli ABD, BDq, in triangulo AEBD. a rν. H.scβ sint minores duobusrectis ; & angulus) BDA, b tb 13. H.lis aequalis interno, & opposito BCF, erunt etiam duo
anguli B, & BCE', -nores duobus rectis: quare iuxta de. fin. 33. lineae CE, BA, tandem
coibunt c 'eritque angulus ECA, aequalis alterno CAD; & angulus E, externo DAM aequalis erit. Cum Vitur ducianstuli CAD , D ΑΒ, per α structionem aequalet ponantur.
288쪽
PROPOS. q. THEOR. 6. Aequialigulorum triangulorum proportionalia
sinat latera, quae circum aequales angulos 3 &homologa sunt latera, quae aequalibus angulis subtenduntur.
Int aeqiriangula triangula ABC, DCEsBAC, CDE. Dieo esse AB, ad m, ut DC, ad CE,de BC, ad C A, ut CE, ad ED, & denique CA, ad AB, lut ED, ad DC: Ita enim latera circa aequales angulos sint proportionalia , ho- mologaque sunt ea lam ε in . quae aequalibus angulis subtenduntiir,hoc est, e. antecedentia omnia
aequales respiciunt angu- los, 3e eon uentia sim, liter . Constitvantur laeera BC. CE, secunduin ,- lineam rectam BE, ita ut langui E, externus sit aequalis interno ΑBQ p riterque externns ACB, interno DEC, sit aequalis: Et lquia duo a tuli ABC, ACB, a; minores sunt duo si rectis: est autem angulo Α , aequalis angulus DEC, erunt anetuli B, & E, duobus rectis minores. . bὶ Quare r-ΦBA, ED, productae versus partes A, & o, . 'r 'eoibunt. ueantur ergo&eonueniant in F. Quoniam umastulus externu DCE, aequalis est inter- no, & opposito ABC, cὶ parallela: erunt CD, & BF. e , a Eademque ratione paralIelae erunt CA, & ER, quod i angulus externus ACB, fit aequalis interno DEC. Pa -
rallelograrimum est igitur ACDF, ωὶ proptereaqu*l id resta AF, ae lia reta CD: de rem CA, aequalis M. i
289쪽
citae DF. Quoniam igitur in triangulo BEF, rem AC, parallela est lateri EF, e erit AB, ad AF, hoe est ad DC, quae aequalis est ipsi AF. ut BC, ad CE. Permutando igitur f erit ΑΒ, ad BC , ut DC, ad CE. Rursus quia in eodem triangulo BEF, recti CD, parallela est lateri BF, e) erit BC, ad CE, vim, hoc est CA, quae aequalis est ipsi FD, ad ED. Permutando igitur, h erit BC, ad CΑ, ut CE, ad ED. Cum igitur sit AB, ad BC, ut DC, ad CEBC, ad C A, ut CF, ad Ein i erit ex aequali ΑΒ, ad CΑ, ut DC, ad ED. Quod est propositum. Aequis angulorum ergo triangulorum proportionalia sunt latera. &c. Quod erat demonstrandum.
Ex his patet, lineam rectam , quae in triangulo via Iateri parallela ducitur, auferre triangulum simile isti triangulo. Si enim in triangulo BEF, lateri BF, νω rallela ducatur CD, erit triangulum DCE , toti tria gulo BEF, simile . Nam aequiangula sent, cum ang Ii BFE , FDE , aa aequales sint angulis CDE , DCE, externis 3 & angulus E , communis Rursus cum, ut demonstratum est habeant latera circa aequales angu los proportionalia, per primam defin. huius libri simi, lia erunt triangula ME ,& DCE. -
si duo latera habeant proporta P . - lia; aequiangula erunt trianglis, & aequais habehunt eos angulos, sub quibus molis latera subtenduntur.
290쪽
ut DE, ad DF. Dico huius '. modi triangula esse aequiangula . angulum ic licet Α, aequalem esse angulo D , A: angulum B. angulo E ; Mdemum angulum C, angulo F. Sie enim anguli aequales respiciunt latera homologa. .
Nispositis fiat angulus FEG, cio aequalis angulo B, &angulus E F G . angulo C , conmeniantque rectae EG, FG , in G, puncto ci, eritque reliquus angulus G, reliquo angulo Α, aequalis r AEquiangula igitur sunt triangula ABC , EG F; ca Quare ut AB, ad BC, ita est GE, ad EF ; ut auteiri AB, ad BC , ita ponitur DE, ad EF i d agitiit ut GE , ad EF, ita est D E , ad EFrae propterea ce aequales erunt rectar GE, DE . Rursus quoniam ci) ut BC, ad CR, EF, ad FG : Ut autem BC, ad CA, ita est EF, ac FD; gὸ erit ut EF, ad FG , ita eadem E P, ad F D; b) ideoque aequales
erunt FD. FG. Quare cum laterae EG , FG , aequalia e lateribus DE, DF, utrunqlre utrique , & basis EF, communis; i) Erunt anguli G,&: D, aequales; syI acgopterea etiam reliqui anguli reliquis - anguis aequales erunt. Quamobrem cum angulus G,aequalis sit angulo A, erit & a ngulus D , eidem angulo Α, aequalis; eodemque modo a.agulus D EF, angulo B, ecanamus EFD, angulo C, aequalis erit; quod suit propolitum. Si ergo duo triangula utera habeant proportiona lia deo. inod erat demonstrandum . 'b3x .prLς 4. Istat.