장음표시 사용
31쪽
ritu. proportio resimi motoris ad reliqtrum motu. uente idem motum motus vltra duplam velocitatem
tunc duo motus erunt equato in velocitate: etaim in/ excrescet hoc pseptima pini. et terra facilepatefiet. uersatur portio duiersabitur motus secundu illam Cineptima conclusis. Si potetie motoris ad patentia uoulonem Et insta eodem comento. Suersitas mo si ii moti sit minor * dupla proportio eade potentia motuinn m locitate et tarditate est secundu hanc propor uente medietatem eius in ultra Duplam velocitatemtionemque est inter duas potentias. s. motii 3 et resisti transibit. 2 quinta μm et ma3 tertu ostensiue patefictitiuam. Et secundo de celoramento.36.sic dicit. veloci/ Coctaua conclusio.'nulla P ortione equalitatistas enim et tarditas non fit nisi secundu proportionem vel minoris in ualitatis mototis admoniin lequitur potentae motoris ad potentiam rei more: mianioergo viris moli Banc perminam ter a.T. 2.3. Primi Doluerit portio maioΣtanto motus est velociora qua manstratule cocludes: aliuncta bac supposui queto proportio mino: tanto motus erit tardioti ut lapis per st nota est. Omnes motus eiusdem vociei secundumo p sico comentod . ex Puptatione proportionis velox vel tardu possint adinvicecoparari. tentie motoris ad motum arguit duplationem velo/ nonaconclusio.Omnis motus ex proportione maioritatis in motu.sic Dic s. cu3 Puuaerimus motum no ris in ualitatis producitu et ex omni proportidem, cessario coringet ut portio potentiae motoris ad ni in loris in ualitatis fieri potest monis. prima pars Ptum sit dupla istius proportionis et sic velocitas eradu per primam et octauam tem luppositione pro ma aspia ad istam velocitatem. ut commis vltimo sic diciti iuncta patebit. Secunda pars buuis apparet eo in Ois cmo.s velocitas alterationis et quantitas temporis e essus motoris admotum sufficit ad perducendum sequenmr proportioncm inter alterans et alteratum . si motum: ut est alibi demonstratum. ergo.pportio fuerit magna velocitas erit magnaret tem C Decima conclusio. Quocunm motu dato precise pus breu reconuerso. Ad ide3 est Aristo.et Alier . ut tirum duplo velociora in duplo tardior iueniri potest. m3.argumento contra prunam opinionem valde mill hcc per primam tertii: et secundam partem prime eiustis loci a xv equalitatri proportionis motoris ad motu. dein concluditur: auxiliante ista suppositione per seno sequinirequalis velocitas minui 3Tqualitas ergo pro/ ta. proponio maioris in ualitatis motoris ad motum portionis motoris ad mota est causa qua primo posita in additioe et vinulide mari poterit in infinitu. poni mrmo equalitas velocitatis motinim et qua pri/ Cundecima conclusio. Quandocimcdgrauius alio initio remota pino rei nollemnergo equalitas proportio/ eode medio tardius et velocum illo et eadem velocitatenis motoris ad mota est pruna et precisa causa mitalitru pol delaedere..pbat M.fit.n.a.graue miriu3 ex graui et
tis et velocitatis in moribus. pzmrea non videtur ali, letu quantulibet habens pondu .et b.graue suriplex ita qua positio qua possit rationabiliter saluari velocitaa nami ponderis ut desideras: etsubtili cruraliquod me in motibi misi aliqua iam dicrarum: sed quainior opis dium donec b habeat ad illud equalem proportionemniones sunt de caemii ergo remanet quinta vera.sic propor nigrauitatis a. ad icultatem ui eo: vel maic, ergo in ista concluso. Vera Nortio velocitatis in mo rem et ponatur in isto medio tunc grauitas a. bet mi tibus sequitur Proportionem potentiarum mouentius norem proportionem ad suam resistentiam intrinsecas ad potvitas resistitias et ecduerso . CVel sic sub alus et extrinsecam* b. beat ad stiam resilentia .ergo per verbis. eadem sententia remanente. proporrides poten quintam terni a. tardius moueniri b. C3teru3 econtiarum mouentium ad potentias resistitiuas: et veloci/ tra.condens r mediu3 donec proportio b. ad illud sit rates in motibus.eodri ordine proPortionalitatis sunt minor pruportione grauitatis a. ad suam resistentiamenstentes: et similiter ecouerso: et di de geometrica ase intrinsecam et M trinsecam timc per ina huius a.mo portione intelli tr. rur velocius *b. Secundo adaptenir sic medium CSecunda conclusio.Si potentie mouentis ad poten/ in proportio bad illud sit equalis proportionis grauitatias mi moti sit dupla proportio potentia motiva dupli tisaad suam resistentiam intrinsecam et extrinsecam. cata mouebit idem motum preci se in duplo velocius. tunc per primam diuus a. b. e*κ velociterinoue atac ostensiue demonstres M.fit apotentia motiva diti turiuel sica. beat ex sei vacuo motu; certe ocitana Unus bouentie resistitui eri sit c. potentia monum tis que sit c t subtili erur aliquod medium donec b. DO pla ipsius a. c d putria3 conclusiohem primi capti scendet in illo velocitatec.vel minori.nmc a.postu3 intuli proportio c.ad bast preciae dupla ad proportionem eodem medio tardius b. descendet. Rursus latine Udb. igitur p proximam c. mouebit, in duplo velo duim init oportet et reliqlia duo ueniet equalis ver locitatis. manifestu est . cuiusl; grauis simplicis quo
Tertia conclusio. Si potentie mouentis ad potentia libet velocitas et tarditas et elim auuslibet grauis mixsili moti sit dupla proportio eade potentia mouebit me ii quelibet tarditas per sit Niliationem et condensatio dietate eiusdem moti velocitate precise Dupla.hanc vi nem medii in infinitum poterit duplari: necnon m
Couarta concinno.Si potentie mouentis ad potentia nem mesu geminari non potest.istud corre ex Nictiostii moti sit maior G dupla proportio: potentia motiva. sufficientercontabit. geminata eiusdem moti duplam velocitatem nequaqj CDuodecima conclusio. Omnia mim compositionis attinget. c per quartam niti et prunam secundi con consimilis equali velocitate m vacuo movebunturiis cluditur ostentae. in ossius talibus motores sunt proportionales suis πε Γ Quinta conclusio.Si fiterit potentie mouentis ad po sistenis. gper a Nola talia in velociter minae nLtentianisu moti maior es dupla proportio de potem CE hoc scies.siduo gratua mim inequaliacopo
tia mouentemedietatem euisdem moti velocitas moi sitionis consimilis in equi libra in vacuo silvcdunt grati millatenus fiet dupla.hoc per tertiam miretperpes tuus declinabit.sint enim arib. duo talia gratua a. ma mam rem ostensiue patefiet. ius.b. vero minus:et sit c.grauitas a.d. vero laintas eius
Seria conclusio. Si potentie mouentis ad potentias e .ea ute3 sit grauitas b.et f. inutas sit eiusde3. tuc tam moti sit irinor. duplaypomo dupla potentia mo/ M.fsut quamvr nos ' et est inanimi.Leo minimuiuslibet grauis num quelibet velocitas persubtiliano
32쪽
ergo per octauam lappositionem primi MC et L nariter
congregata excedunt taetepariter adunata : et sic c. et finiendut eicitare b.ettrii .et e. resistunt.ergo per secun Gin partem butiis coclusionis , ascendet. D. ro de/scendet. 6 Sminta pars capti tertii.
plura biliter rimari. primo. contra istam positione. Et primo contra pini coclusionem sunt omnia ista que per aliis opinionii dictam; sunt addi icta de quibus est hic silenduinde eis sufficienter est prius dimi. CSe ciindoanc ista positione videntur tria seqiu in conuenietia.Wὴν ex tiali proportione motoris ad mora quandom sequatur aequalitas velocitatu in motibus. Et P ex minori proportione unius motoris ad suti3 mobi/le 'alterius ad suum quandom sequatur velocitas lis in motibus:et quad 3 maior . si Et in ex minorix
Portione ius motoris ad unim motum :* alterius ad suu3 smilitiir maiorvelocitas.sint eni3 a.et b. e terre pure in eqles a maior bminor et sintc.et D. duo aeres inequales uniformes proporti ima.et b.et sit canalor. d.vero minor.et aper suum Dest sta 3 diuidat c.b. vero diveliginar ille diuisides sunt equales lacrindu3 tems: vel non.si sic.ergo a.diuidit et mmcnir velocius.b rer transibit enim maius vaciu in equali tempore: et sic primus. Item manente proportione b.ad D. minore Nir proportio a. ad c. nec moueatur equaliter cuni b. zmsaem. Ru um maior mirmodicum proportio a.ad c.non tamen ad equalitatcin proportionis b. ad P. tunc a.diuidet et mouebitur velocius m in secuta casu.
ergo velocius Φ bri sic seqititur 3' L Ideo dicendum
in s ante pino casu.iste diuisiones totales no sunt equales sectindu tempus sed arib. Propter equalitatem proportionii; ad sua mobilia moueret eque velociter: et io in b.diuidit totum d .a.diuidet deci parte uale3 P. I coim .sit ista pars e.mnca. molletur eque velociter pere.sicut b.pcrd.ergopa secundam partem inmaelis proportis and e erit equalis proPorti di b.ad D.crgo est
equalis proportioia. ad G Quia ille stini equales per casum quod falsum est. Cuia c.eli maius e.crgo per quintam suppositionem inimi 3 ad illa comparatum ad e. habet proportionem maiore.ad c. vero minore. Midri de primo de celo capso De infinito. ubi probanniriste due concitis es. Infinitum non potest moueri a finito: et infinitum non potest mouere finitiin . subdit textus in si agetia fuerint proportionabilia suis passis:
movebunt illa per totum consimili motu in ualitatu et de motu alterationis loquitur ibi torus. Et Elier . bi comento .63.Dicit ex esse Φ si agentia fuerint proι portionalia suis passis equa proportione aut alia. actio nes etiam agenturm in palla eis correspondentia emni proportionabilia teporibus equalibus. Ergo eadem ratione in proposito. nam cum a. et c. sint agentia a portio/nabilia suis passis mouebiit illa per toni in equali tem poredit secundit verbum erro.actiones illorum sunt proportionales agentibusaergo qlia proportioea eice
diu bri actio a.actionem b. pro primo istocis3 dicen/dum non esse in conueniens idem habere proportion eandem qualitatit .s in virtute ayndi ad totum et ad partem sed quantitatine: quia l3 totum et pars sint ine qualia inqliantitat ossi in t tamen esse equalia in qua litate resistendi. Ideo sicut non disteriit in qualitate resistendi sed in qualitate sic nec motus per ipsa disserit in qualitate monis: que est velocitas et tarditas: sed in qualitate moniaque est longitudo vel brcuitas i oralis.C pro secundo dicendit; et aliqua agentia possim tine proportionalia suis Nisi squalitatiue .s in vimueagedi:et ex illa proportiona ' sequitur equalitas motuuq italit mire. s. in velocitate et tarditam vel qitanniatur e .squo ad agendum in surim pallium Per tota si ia3 qtian/titatem: et tali proportionalitate sequiuir equalitas motuum correspondentum siniantitat me et hoc est in
longitudine et breuitate equalis monis: et sic auctorita/tes alae te non procedunt. Caeontra tunc nulla para aeris est equalis resistentie simpliciter admouendum moni diuisionis cum aliqua parte term ciam tamen alimia sit maioris et aliqua sit minoris. si mi aliqua sit eq/lis alicui .sit a.paro aeris que sit emulis h. pti terre . tuca.non est equalis b. quantitatiue: nec minor illo: quia tunc b.esset resisteticina lotis simplicitercs a. neca. est mantis b. quia D robus Diuisum; omnino mirati diis in vimite ad diuidedit simul applicatis uno q6 sit ad a. et reliquo ad b. q6 sit d. eque cito diuidennir: quoniam agetia sunt omnimo equalia in virtute et nassa. snuli ter ergo sic. velocius diuidit et molier Φ d. inruasibit maius spatium in equali tempore. ergo a. est minoris rem stentie ui b.quod per predicta satis faciliter patet. Nec potest dici . Dum d. ividit b.c. luidit de a nem eqlem buta ιν c.et Daequali velocitate moti tun quia tuc aeris pars:et pars terre cent equales in quatitate:et totua.et pars eius essent resisteticequalis simpliciter: quod non conlanat veritati. Γ dicendum ς' aliqua re murulis resistetie est tripliciter.s qualitatuac et quantitatiue et vir 3 modo qualitatui e triplis it rinsece extrinsece et ut 3 modo et dece eqlita resistet te aliquop. sim λ3ntrinsece dicumr illa equalis resistentaeque quantuta densationem et raritatem: aut alias conditiones imi insccta sunt eque lacilia ad mouendi mi. Extrinsoce dicuntur illa equalis resstentie que persiis iuuamota extrinseca sunt equaliter resistititia .aliquid enim rosistit per aliquid extra ipsu3.Et ideo di luis est diu bdere vel alienare partem menstentem toti . Qisia toto ita erat separata. Doc autem ad propositum applicando dicimus q) aliqua Frs acris et aliqua pars terre siit in italis resistentie: et hoc qualitatiue et intrinse ulitat me tame et extrinscce tua: vel intrinsece et extrinsece coniunctis non possint me tales partes diuise equales in virilite:et diuidi celeritate consimili: sed equali tem/pore non oportet et sic Pars aeris est equalis quantitari ueparti terreri totum et pars equalis res niint esse. LTertio.contra eam ob Icitur perdimc modu3. tunc magnes velocius traberet ferrum nantum S magnu3. habet enim proportionem maiorem ad illud: quod timen est latium: quia in canir magnes contiguus cit 3 ferro quod potest moueri cm eo tanta vclocitate quanta ipse mouemnque velocitas sita.et dempto isto ferro applicetur femini minus consimiliter ridem magnetisc moto. tunc illud mouebit locitate a. non eni3 procedemec laparabinir ab eodem. Nec potest dici et,
femina minus velocius m cretun nisi impedirent magnet uia runcarecteret separari ab eo: et etia; γι natur tunc illud femim ad latus magnetis vel in me dio magnetis perforati: et sectindu hanc positioncm se/parabitura magnete: Gim iamcn fiserat scparatum rodeat ad eundem. 6 Dicendum cu3 Euerro.sii per septimo phrscopaeornento quarto ut magnes no trabit serriim: sed cum ferrum certam ii sitione suscipiat ex
se mouet ad illis. CLotra illud.magnes in equipe forti' talterare ista alterati Mims partim in magnu .dse minus moliet loci'ψ maius motu micto.q6 ex
33쪽
non sequinir: quia ferrum in tali dispositione non mo uetur secundit ultimum sue potentie . si enim modicu3a magnete distaret ad eum velocius moueretur Φmo ueatur coniuncrus cum illo.nam per Dispositionci prodictam causatain in fimo a magnete smum it happotit coniungi cu3 illo. et ideo siue illa dispositio fuerit tortior siue bilior:si Herit coniunctus magneti quiescenti vel moto: per illam si possit st tenet cimeo. Dic unum ausculta quod vulgus mirabile uidicabit. vide licet ineque facile est mouere magnetricum ferro contiguno magneti:siue sit sibi suppositum siue sumi siue sit inclitiam siue no. sicut magnetri per se penitus sine feno. I id.n. resistit se tinianti magnete nec magnetem elevans eleuat lamim sed fer* mones ne lacu magnete.ux hoc apstet . magnes in equa libracii ferro et de abra ferro equaliter ponderabit.Ccotra es picim' dicti sic instat Iunc p prima3 uis aliqua proportio mouentis ad mobile sufficiet ad motu3 causandituet alimia in duplo minor ista et sic sine fine. ergo aliqua proportio mouentis ad mox equalisxporidisti uple et aliqua minor sufficit ad morum causandu3. galiquide essum in aliqua yporri et dupla et maiori quatam posset illiae mouere..pbat dis antia:quia si aliqlia xportio mouetis ad mobiletet aliqua subdupla istius: et sic in infinitu sufficiens sit admoni tunc existere aliqua.P portione mobilis ad motorm dupla illius: et sic in uis, nitu pollet iste motor mouere illud mobile: quanto eniest minor pti portio illo toris ad mobile tanto est maior proportio mobilis ad motorcet tunc istente dupla prortione mi quacum maiori mobilis admotores fieri posset motus : hui' octaue repugnat. Esro istis dicendu P .pportio maioris teqtialitatis pol minui et sub duplari in infinitivet tamen num, proportione equali/tatis attinget nec ad equalitate alicuiuspportionis in equalitatis minotis pumi et de addit Ee et duplatioexportionis inequalitatis minoris similiter est dictav.
Tliincv.nad eqlialitate .pPortionis equalitatis nec albcinus a portionis inequalitaris maiotis poterit augeri.
vi per septima et octaua huiuS mi evidenter apparem ideo reti e pus facie sunt negandearso de omnibus talibus liffficiumque ad prestiis. Ica IIII. 3na moti et Pacii pertractata ititate dostendit ad motu circularcimilis me sunt Ptes. a Ps. in gnati apportione vox cla d Lo iocitatum in moribus ini coparatoe ad potentias molientcs: et motas:
modo sequensqueda spatia dermi idem locitatu in motibus localibus cimilaribus in commone ad quantitatem moti et piransiti vacd. Ela fare aut ommo quasda diffinitioneaeet suppositiones Nemittereri paruas quasta conclusiones ostedemqlle in alqs auciori minime sunt inuete. CDise finitiones si int iste. Quadram; est figura superficialis
plana equilatera atm rectangula. vi m. i. elntoz eucibdis. Superficies sunt similes. quapanguli Pan/gulis alterius sunt equales et latera equos angulos continentia proportionalia sunt inllenta. viri.6. cint 3
cuclidis. I Quadrangulus est figura sit perficialis plana rectangulae ciuius tili latera opposita ad vannir ut pol haberi exprimo elat euclidis. Suppositiora sunt iste pina. Omnes anguli recti initicem sunt murules. Vt Patet. Primo elemento* eiiclidis. CSmino. Omniti diram3 supersiciem multiangula
fium et silmliu est.pportio alterius ad alteram:sicut cit
in et iuslibet siti lateris ad suum reliquu lanis alterius pro/
L Tertia. nisi duo* circulo: est xportio alteri 'alalteriim tan* proportio quadrati sui diametri ad qua/dratu diametri alteri 'reti, est et .iraelatopciiclidis. I Qiraria. uortilibet ima circulodiim circularenties iis diametris sutipory : et B e. . de cimiis stipficie .s Quinta. Omnia duarii speram alterius est proportio ad altera lassi Mediametri ad diametrii alterius xpor
Tinita . cuivistimet spere stiperficies equalis est qua/drangulo qui sub lineis equalibus diametri spe et ciracii ferenne maximi cimili continenlr: et brevi octaua archimenidis de citruis stuperficiebus. Icoclusiones sunt iste. prima coelusio. Cuorunt ibet Duorum circulorum est proportio unius ad reliquum proportio sue diametri ad diametrum alterius duplicata. suit ocirculia.etb. super quor lim diametros conmstituantur duoquadrataque per pinam diffinitionem et suppositionem et dissinitionem proportionaliuvet per secunda; diffinitionem fore similia demonstrabis. quo cum secunda suppositione ostendes proportiones unius illoF quadrato z ad reliquum esse proportiones lateris unius illop ad lanis alterius duplicatam.Et isto cum tertia suppositione mura. et quarta suppositio. ne primi concludes intentum.
J Secuda concilita. Omnisi duo* circulo* proportio unius ad altem est suam circularentiam eodo ordinea porrio gentiata.ista et pnina ocliislacii adiutorio in
supponis.adlucra suppone pini facilir demiabis. t Tmia coclusio. Omniti duaru sperarii .pportionem
adinvicem Demonstrat circularentiam suopcircitio*maximop eode ordinexportio triplata.3sta ex quinta suppositione et quarta huius ciuia aurilio quarte suppositionis prirni sequini rostentae. Quarta concivisio. iurulibet duarii sperarii proportio superficiei unius ad superficie relique prolurii dis sui diametri ad diametru alteri' ostendit ee dupla. sint irae spere a.I ba accipiant duo quadranguli sub lineis eqitalib' istarii diainetrarii circularentus maximorus circulo* colent Equop similitudo x tertia dimitoe et ira suppositioe et quarta dissone Nortionalui: et secuν cladissone e cludit manifeste:ex quo cuscfalii Istiae mula urta stippone mi xpositu demonstrat. 6 Quinta conclusio. nuim iniamin speramina Portio superficiei vis ad stiperficiem alterius ad proportionem circularent ternaximi circuli unius ad circula. rentia ina mi circuli alterius cognoscitur fore dupla: ista per proximam et qtraria3stippositionem durus cusqrta surivsitione mi ostentae concludes. Sexta conclusio. Quamlibet inianim sperarii in proportio ad proportionem superficierum mariam eodem ordine sexquialtenim comprobariar. Sint due spere a. et b.proportio-a .ad b.sit c. et sic d. xportio superficiet
P.continet mcci se duo ea perquintam suppositione3 c.
est triplit eaergo caeontinet trimi3 e.preciae. go c. con tinet d.semel et eius medietate. ergo per diffinitionem sexquialtere caest sexquialterii; da hoc est quod osten dere volebamus. I Ecdia pars quarti capti. C, Peri yportionem velocitarum in comparationes acitum diueriis diuersa videntur: quisbusdam.n.videriar .pportionem monium localium in
velocitate ee lassi vaciop situaliaco Nopeode tac
34쪽
descriptor . me redargui pes de facili *mnc quod.
libet corpus motum sua medietate in duplo velocius moueretiet etia si tunc totu corpus pertransiret vacilis smiale conmeum pedalis longitudinis in horti: subdupui3 corpus pertransiret fructum siluale corporcii stib duple longitudinis in hora: illa duo eque vclociter Ino
nemn m mcc etia tunc possct motus puncti nec lineem
velocitate ad motu corporis comparamqiua nccs atra ab eis descripta in qualitate conum uint. I Alu aut Pomuit pportione monui localui in velocitate ecisi ty/portione superficiem eode tepore Pest tam.
Ac aut positio sicut prima poterit reprobari. Gllivictor pportione motuu 3 et magnitudinu subtilior istis multu ponit. lineam rectaz equaliu* tenoridiis lialibus motam 3: que periransit maius spinu stipsi
ciale et ad maiores terminos mouet velocius:etque minus et ad minores terminos tardi':etque equale ad cu/les terminos eque veloci lcr moueri supponit.et intelli sit st terminos maiores: terminos ad quos a terminis
a quibus nugis distantes. Va aut positio videt maliquo cotraria esse rMion l. Tla secundu 3 eam quelibet pars semidiametri circvdiaeti no terminati ad centrii 3: et cita tota semidiameter moueretur equast suo medio piancro ut tuuis coclusio ma dicit: et percosequens tardius silo puncto extremori uinc circulus equinoctialis in sexquialteraqportione velocius mouerenir stio Pia metro: ut mac5clusio vult inudi: et ena m illud: τὰ midiameter equinoctialis no mouereriir velocius noetarduis. nec eque velocitercu aliquo mobili: cui' nullupunctum quiescit.Et non pertransit aliquod spatiuadaliquos terminos: sed ad unu te nui: quonia ad unu tremit semidiametri non molles.s Deo videt rati biliter magis dicendu cd velocitas motus localis attendit penes velocitate incri velo moti in corpore moto localiter: quia velocitas motiis
est ex eo . mobile pertransit vel pertransiret macua cui quievina in panto tepore: et hoc vel veru vel maginabile. Uel etiam velocitas motus est co P pinransi/ret vel pertransit magnu vacili finisi esset sibi applicatiim in panis tepore: r boc intelligit a pler stiprema speramque in sita covexitate nullii Pacu:3 describit Et iblud vacui penes cuius magnitudine attedit velocitas monis localis no est corporeii nec stipaliciale: ut prius est probatu .cit ergo lineale. C Et quia velocitas mose localis no attenditur penes murisu: nec mediu vacui pertransitiun sed penes mann 3. ideo ista tria princi/piasiapponunt. ii Suppositio pina .cuuislibet mobilis localis velocitas secundu mariniit vacui lineale ab aliquo puncto in moti scriptu acc l Pit. TE ccii da. qllorii libet opino tuu localiu3 velocitates et inarameli/nee a duobus punctis si ioz mobiliu eode tepore descripte eode ordine pportionales evilliint. Dexistis duobus tu adiimgar. circulo* in spera enitantiu qui per centrum spere transit aliis maior stit: et hocper. Spmi Tneodosii de veris apparet: per ista aut /cipua macii aliis priori diis quamda conclaisionii; illi' auctoris opposita Olledemus: sed in pluribus octonidi numiemus cit coxium multu 3 leuius et leu iidemus. Esrima oclusio. Omnissi duo p puncto* circularenascimilop eode tempore unifortia iter de Nntiu .pportis vclocitatu lassi diametrop illarii circii ferentiarii in ortio reperit. Quonia per pina sup ne rus hui' et secunda velocitates illop motuu3 et circularentie per eos descripte .pportionales existunt. ergo per secunda3
via metop eode tepore unifonniter circillos describemtuuri. proportio velocitani3 eli lassi diametro: seu se.
midiametro: illa: 3staquitia ad pina parte per mastippositione huius partis ut conclusione Proxima3 domonstrabis. Et quantii ad parte secunda sumtrybato. eande es la pportione diametrop et scinidiametrop: q6
faciliter pcapit illumum scies.
I ς' p. nes duas cimi feretias circulo* eode tepore formiter cincuductas sine in si ipsas siue in supficies speram describentes siue una in seret alia per tota supti, cies spere stiis velocitatibus proporrionales ollendes. Γ circularetia.mcirculi quedi mouet in se ut circusitarentia equinoctialis:et qilaeda describit tota supficie spere ut circularetra collinaris. Pte a dii ius p ptruriam suppositione pus huius et P secunda probabis. cudaeo ps dii ius p 3 p eande adiuncto iami serenti ellipticiei spe dcicribetis punctu terminans diametru ei' motu3s canae ortos aliter stra semidiametrii illam item scribat maiore cuculli maliquod aliud p inctu enis dri circularenti l6 P secunda suppositione Nilus piis poterit demonstrari. 'prima vo et iucunda parte Gobviis tertia faciliter apparebit. TQuarta musioqitorii libet duop cimilop eode tempore uniformiter circii clop:siue in seipsis motop:si/iae spas describentui sitae mus hoc mo: et alter reli suo:
proportio et velocitacu 3 in motibus Imrtio et i .pma
pars ollandit pyma et se da suppos rione hilius paratiscit secunda taclusione pine piis bilius: et quarta iumpositide pini huius. Secuda ps aut fili monstras siesuppositoq) circuli spa 3 stri il incni terminas dina metru motu secante ortos ala diam i3 csccnt destribat irratore circulii i aliq6 aliud punctu eiusdes cimili. PS e scrinida suppositione Nilus piis. I 'vis pCQuinta conclusio. uarii li/ batis 3' latere no potahet duarum sperica; staperficiep eode3 tepore uniforam iter sup duos arta imobiles circumstenti ii3 propor/tio velocitatu in motibiis est yportio geminata: ista ex pina et sc6a stip neptis miliis: et quinta conclaisionem me piis huius m quarta suppone mi capi nili udie ostensui et Hirali ante iii None pina huius piis.s Sexta coclitis. Omniv spa* code tepore mi/is iter sup stios polos imodillis rcilotia tax proporti velocitatu in motibus est .pPortio triplata: ista P pinas suppone et tertia cu sta piis huius. et terita conclusione capti adducta 'suppone pini indilbitarer appet. ς ε m. γ ma mictOz Paucis veris altis coam, pti Telox adiuste faciis sciri tret stire multu comui rete nati: et hoc rim huc latuit coopta: is initi negotio no multu spectet ess latcntia deo tegamus. CVeni assiimeda simi ista. V. elata mimi apportio litate iugunt. Σ'.qmior eluta occupante vel militer occupare debet comiptibiliu vera tota 'semidiameter toti spe comambivii ptinet trige et tersemidiametra spe terre et dimidiu eius dimido et vigomaei' pie. Isbid p Elpi grania 3 Pria. Ti. a3.ubi vult longitudinem .ppinqilitate itine ad terra in predicta proportione ad terre semidiametrii se habere cu3 quotbebit hae chore in panibulis almagesti dimissis minutis ui integris Nordat .illild aut hi resinit: scd no pro. ii sed eius dem fatiua ybano exv almogcsti tholo mei. et thebit poterit ee certa. Eadeest proportio diametrop tota liuet medietatu; sua*: it g se b3 unu ad suamata et reliqua ad stia. est ergo pinutatim diametarerso totius vere cormptibilium blamantin s re
35쪽
terre trigeses et ter continet nequassi minutis computatis.Sit ergo diameter terre lassi mirasri diameter to/tius spere cormptibilium Vrit. 3s. adcinde assigneturalius terminus qui sit trigintaecuplus triplus. 3s lota. ad quem etiam trigintaecuplus triplus terminus adiptetur. 3 9 P. hiccssio. .sunt termini coti propos . ergo per quarta mini. Proportio pultis maximi ad ubtiinu.i. minimii est tripla proportionis 3 ad yltimum. ergo per quintam suppositionem prime partis tota spera comi bilium.3 93 continet speram terre. Decessio est Proportio. . conti pro ord '.s. . clemento coniuncti3 ad minimu.3nter illa queramus. ergo quattuor continue proporti 5alia: quoru3 proportio simplex non sit nota que coniuncta babeant Noporum dictam ad minimu3 inter illa. utrunc ista proportio sim/plex et nota erit praeportio elementota quesita. Tlon enipotest cila maior nec minormi si quis cotradimit per predicta faciliter conuincetur. OBint ergo quattuor termini prupor, .l.3et. .et 32768.q coniunctiycontineant. 33S2 .igitur bd termini compositi ad minimum terminoa est minor proportio ui totalis spere corrupti bilium ad spera3 terreaergo portio.3Σ .ad. i. est minor proportione aque ad terri. l. Rursii3 insponant. atu quattuor termini continue proportiox .su 3zlOSy. 3 p P.qui collacia. Tocis perficiunt. Duiusinodi auto
termini collecti ad minimu predictoriis est maior pro portio m totius spere com* tipiti irin ad speram terre. Moportio ergo. ad mug est maior proportione viii elementop ad pro u sibi minus: et l3 alma ani mimitias computemus proportionem element op xuedi clam nullatenus in integra extendemus.zisponannirenim quatmor termini continue propor, . 'proportio
diametri vel semidiametri totius spere corniptibilitis ad diametra seu semidiametru spere terre fecitndu sententiam Et agram et tunc inminus illop minimum
cottinebit.369I6.z3I.i o ' partes eius.Dec est ergo a proportio quattuor clamentoru coniunctis adsimplicem meram terrervi ex predictis a raret. Ac aut proportio minor in proportione. 3 .co. ad Uua NoAν grani minutis numeratis proportio elemeti maioris adsininu sibi min' est modicii Iuno 2PPOribe. I. ad unum. Ergo secundu omne sentcntia est istast manima. iuslibet elementi maioris ad proximu sibi minus est modicu minor proportio&3Hadvnnmrimbnor * 33 ad uniim.et hoc est ostendere volebamus. Esroportio spere ignis ad speram copositaex tribus elementis residuis est maior proportione ζ' ad unum. na per proxuria quodlibet elemennim maius 3e etias bis cotinet mox unu sibi minus. igitur si ad instar quattuor emis* disponerens isti temuni te or milita orti M. ponatu 3z.ioz 3Σ M. quoru3 si tres mic regant in mu is T. stitimnumsper ex trib' istarioribus eniscoposita reptitat. pq5 aggregatu.si quartus mimis diuidaist igne reputat exibit. i.et remaebit unitas diuideda.qmis igiEnuerus aerematu3 pdiem; semel et ampli' corinebit: et hoc est cuius denarationemdsiuimus. Cosm eude modu3 vena: citiun3 et quo inlibet elatop xportio ad ml3:et quel 3 emide poterit de edi distina mentatis aeris a cetro terre plus Pe
ciesriminua undecim cotinet semidianae 3 spe tenre. Na dividua me talis aeris a cetro terre in medietas diametri spe ex trib inferiori in liter coposite a Pa sit a.6 aut medietasmus decies et mmyundecies
tinet semidiamet* spe terre. Ob sic faciliter apribit. Biai.ponat q&3elm maste edere sibi Irimu i
nus fin*.32. ustili Dianactru a. plus decies etia undecies terre diametra acinere. ivmanta .ad istu
portio linxum illo: ad minum3 est tripla xportionis cupie.ut illa est minor xportoeaad spera terre que in xportiis diametri. g pseptima suppone pini3 psibu' est minor tertia pie alteri' .pporticina agit sc parsa ad socratem que est yportio diametri ad diametruvie terre Decii a .pportione travidit. cu ganust 3 emti maioris .pportio ad puniu sibi minus est maior. ad.i.Put a multo fortiori tertia pie xporriois a.ad sperra terre Nortione decupla stipare.et eade3 in. pportio Diametrop et semidiametro viri P pdicta. diameter gita. H.io . tinet semidiamet* spe terre. Rura
ius 3 est Nortio diametri ad diametru spe rem. ιsponant aut hi qmior termini me Nortionales xporatile undecimia.i.ri.iri.inia op mmmi ad minimuillop est yportio tripla .ppomois undecit e miram et hecest maior a portio a. ad spera terressium gallum esti maioris mortio ad primu sibi minus minor est a'
retrascedent.gtema psimusque est yportis undecimpla est maior fisa parte alterius que est yportio Diamem a.ad diametrii3 spe terre. portio semidiametria. ad I portori diametri spe terre certoendecuplo minor
erit. lom cade via citium et quori iubet est op dia/metri et diar troy a portio ad cui uni t et quorulibetetntop diametru seu diametros una cu spulitudine αν iuslibet et quorui3 eotiide poterit inueniri. 'punctumediii distatae orauitatis celi a medio pucti terremulatu su a covexitate aeris simas. na disticiaco uitans mi a ceto terre tinet. 3α semidiametra spe terre. goν statia medii pumei' a centro icto eande semidiametru .u .et semis ineuitabila tinebit: si a poma distutiam talis aeris a cetro terreno otinet undecies lambeiam i quere terre.c inctii mediii ccii a cetro terre coiteritate acris mi illii altius siniatur.sic g volum' lucide demiat . qcm eg orcioe velo tu in motib h ill mototis auxilio a quo motus cum e dunt ad statim mobile alia proportione . cui sit honor et si otia qufidiu fiterit ullus morus.
36쪽
qui alim Norti co quide .pportione dia signaroeuntiu indiuisa in otianior et si cuiatiior in
Tyria Wyrno proportiones maioris in ualitatis augere est ultra cuid sit
unum itus Quid si pror tu et qlio diiuditur est una eae in termi/ quid sit
Uel altu terimn .Lad qu .sit myportione.e.sic it cisi adda seminaltera dupleraeitcm qd fit Pportio/ne duplicare triplicare .et hecola e V Eucli. intellibsenti patent. Ei aut volueris p arte3 proportionem maioris inequali ratis adderemuom denae uo m nominationes alteri' multiplicare: et si volueris una
q3 gila quo* quodlibet in spes diuidis infinitas. uenientia cetera a pluribus auctoribus ia tradita presuppo no et ad .pPositu accedo. Duc tractatu perca a diuidedo.In quo* p quedam meambula velut queda princi pia sic premitta3 . licerta bretus introductionis inde Demot aliqira vera dicam. lituitu talus capitulis exmuis presuppositis non fit per se notu: vel sicut tan gitur alibi demostratii. In scdo Asones alius de p. Portionibus demostrabo et subiugam queda documen/ra pauca. In tertio de .pPortionibus4pportionii spe. cialiter I rtractabo. In quarto prius dicta ad Nortiones motuu applicabo. In quinto ad velocitates condescenda. In sexto tu i de incommesurabilitate monui celestiu3 comyndo quedam que alias ad mu in respiciens breuiter pertransiui.
C Explicit pars proh talis. 3I neci Ποῦ oriones litares sut
uales nec eariun rei tres species assignaturista tui una e. Continis vero proportio maioris sequalitatis in infinitu excedit proportionem equalitatis.t Eloisppomo minoris ineulitatis in infinitii erceditura Norti li/tatis et aqualibet maioris ineqitalitatis: ut post videbitur. Cundem Φ nulla est .pportio inter xportionem litatis et ineqtialitatis nec inter .pportione maioris imita litatis et minoris inequalitatis.s unius ad alae 3. 6 Ciure Mimodo est dictati proportione .p urtio tuam maioris in ualitatis ita in et De Proportione proportiomini tmnoris in ualitatis inter se. ouia n. C s oportionem maioris inequalitatis diuidere est ino des ter e,' termios mediu3 Pu me assignare ut sit. b. una quitas timiora. a quatitas intor:et a portio.b. adcsitia. dico P Diuidaea .est imi re scii assignare me aut me' inter.b. IX. voco aut mediii generalr qb OG emaius. et minus Q.b.Sit. n. l. diu interib. . cum ab alia subtrahere hoc facias deno' 'tar deno m Tlobiis alteri' iiudedo. Denoemnationis inuolo postra docebitur u p mltiplex diuisio P algebram benir. uitaeo et alismeratio additio duplae triplicatio etc.sub terminoin yportionib' minoris inequiatis filii Gotra. pro citius citidelia aliq sut notada. ' cist in Q re duob'terminis ficiit sta.α maiore.b. λ Inmore. et sit. dria unius ad alterii vel excellus: lcou .pportlo maioris semiralitatis q e .pportio.a.M.b.augem p au one ficitae . 2 p diminutione diminuit. proportio vem mino/ris ines litatis.syportio. diada .paugmctu hui' me Di minuit. 2P diminutionem auges. Quato.n.dria ema ior tato xportio maioris ineunitatis e maior. 2 Pportio minoris ineulitatis minor: sic.S' ''mica pone postea deduceninluti non es pro .Si.na . ita uniformiteraiigeat a portio maioris inmittatis difformiter augebitur. Et .pportis minoris inormiter minuer. Si vero c.dria viti minuat .pportio maioris in litatis ditar minuet retipportio minoris in litatis disses augebit. xta apot dupla augeri.vno mo pati elu.a.a' ' C platermini. I Et tunc ad itai tam iactatione Nortiola ametire maioris ineulitatis se in infinitua.atlyri: et sili .a. Alio mo auges.c.p diuisione.b. mioris termini: et tuc ad munita augmctatione. c.rtaris. b.ii fuit tu minui et cr ima,ta ausi aetatio nocit nais pol' sc ifinita diminutio: muti innitu possibi bile e augeri .pportione d diminutio ne termini minoris. rno sic Posse augeri Pportione per
37쪽
mIn c. .in tionibus malotia inequalitatis. addui Peno'm lis per nominationem alterius diuiditur.In subtra/tione deno' ouis p nominatione alterius multipli/ωLiuen' oenominato: pollea docebisequo* multiplicatio et diuisio in algebra habetur. C Quinto dico. st icta:et per sint ii Eucli.satis potapparere . quanto prortio maioris in ualitatis est ma
augeri.c.tii pol diminui i innitu:ad ciuiis dinuntatione: liii statur augme' xportionis minoris ineqlitati si ii finitii et diminutio inatoris xportionis.Et sic Φtii cumcl.diminueres .pportio maioris meqlitatis: in aliga remaneret nussi eqlitas bere sic iniucum xpor minoris inculitatis auget nun* ad eulitate; attingeremita de Duninutione .pportionis maioris ineulitatis: /de p3 ω pportio edittatis excedit in ilimm .pportione minoris inequiatis et e edit in itinitu a qual3.ppomone maioris ineqlitatis:q6 pol ex dictis facilr declarari.
vel et si mr 3 augerer .a.tii vclocius G b.vel etiam si
vini 3 diminueret.b.cii velocius .a.et Ira de dimini, tione. quo ad propositum: tamen non est citra.
T Acto dico ei pNruoi maiori maioris in litatis cores det minor Nortio minoris inculitatis: et minori malor.e.g.sicut maior est Φ Σ'ita sub i' minor est ivssi uptas probat ex duo .mqrcuuls.pportionis deno est maior illa est maiorauius ri minor illa emis
notata vult 3orda.et. arissu et recitatur in co 'S Dissi nitionis sinu. semp loquor γ' ' campani.dem' vero
subquadruple u est qrtuest minor is deno' subduplae uestiusmin iste sint ean denotationes a arebit postea qn docebit Nortionu denominatione utenire. TSecudo .pbat illud ex pte p qnti e qua hetur in aliqua
ita subqtiadrupla e minor Φ subdupla . est xpositu3. Acto dico . sequir ex dictis . si fuerint ν' termini cotinue propor Amaior vocit pinus medi'saes et minor tenuis luc yportio mi ad 3 compo' ex proportione pini ad secundu et sit ad 3 ret est proportio primi ad
e duplicata et sic est intelli da.lo'. Diffinitio. Eucll. et deinde dictum campani ut 'sio dicetis proportione trono*Pponi ex ite reda proportionibus.in propor' pini adulti mucoponat ex proportioni ulter
mem et ficos debemus itelligere maius:et st ultimu3 minus. ιζ Sed si fuerit tres tennini ut privis r primus sit maior proportio ini ad C:est proportio tertii ad V plicata.vii siclit proportio mi ad finest pars et mi
tor tanto prortio minoris inequalitatis estniinor sibi correspodens et ecoueris: de .pportio proportionum minoris inequalitatis est sicut proportio propartionu3niatoris ineqiralitatis sibicorrespondens vel qtiel3 opponitur relative mittam in nomine relativo stiperponitionis in relatiuum suppositionis. r.gra. si proportio
,' sit et 'proportioni dupleminc proportio sub x' est subes' subduplaesi vero ν' sit incomestirabilis dupla similiter subtripla est uacomen'' subduple. sufficiat etigo tantii modo in proposito tuestigare proportionem Pportionii; maioris inequalitatis: per qua3beri poterit
proportio proportionum minoris inequalitatis: nec de ortionib' minoris inequalitatis et ad hoc plura di - . .cam. Co eduim qitannun ad Propositum spectat Pr invia omo improprie: et est medium unproportionale. mem
fomosprie et e in editi yportio alta O se b3 ad min' sumitu extremu3 in eadem proportione minia maius se madip3. proportione F semp loquor. i medium i/proportionabile 3 dicis. quod 3 est sadu mcd ex/ pomo .le tremorum h3 proportione ronale sic.s.est mcdui3 iter 'a τ .Aliud eqbad viri 3 extremo*myportione irronalem siciit diameter udrati iter costam et x coste. diale
3':ita proportio ini ad ν' est maior proportione tertii ad C: nec coponit proportione3 tertii ad se : nisi diceremus P unus coponinar ex maiori:et mm' estes' duplicatu N potius abusio vocabulo p videtur. L Quarto dico ad propositu ιν proportione minoris in equalitatis augere est medium inter crimina statuereque cotinue augeret si mediu versus e M tremit conti nuc propinetus signare ipsam vero dimini aer est e remu vel extrema remota assignare: diminutioc: sicili proportio. ad.s Pico π eam diminuere est extremu vel extrema remota tuenire: H.et. S. O Pu portiona&S.est minor in proportio. . M.f. qr est medietas eius.Et si ad c signes linguis: hic.i. Smnc proportio.i. ad.S. que est sit clupta est 3 pars subduple.s. .
ad. S. Ereptu de ins vel additi cim per ide: unde p
proportionalia signita sibin ipsa est tri ita: sit inliter si ado tertim ipsa est y '. CEx istis pol videri quo
a ab alta subtrabitur: quo duplar. L Siat volucris ροr arte3 proportione3 minoris inequalitatis alteri M. Aliud est adunt in exticinii m p ta portionem ronale et ad aliud irronalem et sic costa est mediu3 inter me stram et diat mi udrati. mcdiu proportionale e Pu serusia plex vnii siue proportione ronale ut et. inter. .et unuλπιν aliud sin proportionem irronale sicut diameter rati
iter costa et dupli coste. C mediii di maesti di alus taliquast nostini ad xpositu in res. C ars divno modo Proprie et est parsqtie vocaturaliqi tota vel multiplicat tiua ad q totu est multiplex:et partes sunt plures tales. Alio modo via priciet est pars aggregativa vel no aliquota que non precise ruiniit sim; totii in plus vel mimis et docta tur in puncipio quili citclidis: ars unse sumatur in prima et propria significati e tenet . L predictis possunt dici quedam dissimiliones. aqiud sit proportione duru' .scfaquid sit proportionem auget re qd addem plicare triplicare etc.tertia quid medi uinquaria ςd pars. C possent etia haberi petitionem pria inter quas q3inias quantitates minuas incina les quodl3 mediii in infinitu assignare: q, fit drias mitis seu excessu3 unius ad altera ividendo.Secunda Drer quotainq3 duos numeros in uales solae finitosnu ot. Hameros inuenias. L3teponanir ille suppones inae, notii rea Ois proportio tam ronalis is irronalis inquantitatis' inin ir/ tinuis repti. a nulla proportio i nueris irrationalis
reperitur.tertia. omnlii comesura liu3m Portio e ro Giuiui, naus: et siue a mnis proportio ronalis e comesurabi/ reperitur inlimqllaria. omnui3 incommensurabilium proportio Nulla pest irrationalis . et econueris. totum hoc patet M . S. . si z2πς io et ex diffinitionibus commensurabilium et incommiurabiluunmtis in decimo modo et princi is septi repereur
inuet ex o secitde diffinitionis quinu. I Ex his sequutur alie me. acit et sit quinta . quelibet proportio e Queis Dduit sibilis in infinitum:quia per primam si I sitione omnis proportio reperitur in quatitatibus continuis r utinuum per mam des nitionem proportioniam diuidere cu
38쪽
medui3 inter extrema assignare et per prima3 petitione inter quelibet et' extrema minua inequalia in infinitu isibile est me assignare. CAlia est et sit iuxta inquelibet oportio est scut quantitas cotinua i hoc . in infinitu est diuisibilis sicut quantitas mi vi in et equalia. ii in ira quol3. et in partes comesurabiles: sir Inartes si nuicem incommensurabiles etc. quoi 3 alio modo qui per primam petitionem proportio diluditur frem dii iusione excessiis studii e maioris termini ad minorem. vino proportiona in unde no sequimr.e restinii istis per medium aereo proportio est diuisa per medium. 2r odo tales excessus et termini t em quantitas continua per mana suppositioncm que quidem qui
titas coirimit sibilis est in itaim. 3sta sup confir per o M . . diis quinti. ubi dici r . denominatio .ppor
tionis Σ'F quantitan Muibus nullia interponat ir medium:b3 naturam line bus vero interponitur umimh3 nam stiperfici quibus eo talo nam corporis: que noest verisimilexi romnis proportio irronalis me deno minat ab aliquo numero omnis proportio irrationalis taediate denominatur ab aliquo numero aut cii fractionCaut in fractioni aut sine fractioni Maut sine fra monQq pdenominationu tuentio postea docebiturio. proportiori irronalis N me denos vinari ab aliquo ni tmero. quado ipsa est Pars aliquota aut narres alimius proportionis ro 'rauiqii est comesurabilis ali rationali miniam sicut proportio diametri ad coistaen est medietas Et proportionis. T icoi ir*n5 apparet mihi mola proportio ii natis sit comesurabi lis alicui ronali et ro est qrois proportio est: sicut quantitas mimia quoad diuisione3: ut Pς per ultimam MPmι sitionciergo pol diuidi in Σ'.quorii quodi; in incommiurabile toti. Per io .crgo erit aliqua pars duple: et non erit medietas Pitple nec 'DIta: nec ': nec due, etc. Sed erit lamen stirabilis duri u er fis cuicunq, comensurabili ipi dum per .s.lo. Et iterum pari ratione poterit esse aliqua scommvirabilis duple cetiam triplericuli 3 commensurabi ii aliciti istorum sicut est medietas scintertie et sic de alus. σει sic forte poterit esse aliqua irronalis que erit scomessi rabilis cuilibet rationalis ec vi si aliqua est in F ' 3 ret tavltra qn sit aliqua que sit incommensi irabilis cuilibet:
unon sequanir forma ars 'siciit aliqua qualitas cδιtinua ossiusqtlantitatibus unuis ordinis est i commenlarabilis. L 3stud in nestio demonstrares; si sit is,m est indemonstrabile et ignoti im hoc et apparet in z 'vitimo dissinitionis quinti: idim infinite sunt xportiones irrationales. qua* deno'sci on esto si locus ab aucte valeansint tir ω quel irronalis est ,' alicui rationali seu denoi ab aliqua rationali: et arguitur sim quelibet irrationalis est comesurabilis alicui rationali: ergo citiussi denominatio elucibilis: et arguit sic.exo ': sed probo Inam qr si non.sit.b. una proportio irrationalis. cui denomination5 sit scibilis et a. sit Loor rior alis citi denominatio est scibilis: et sit. c. Nortio
stippono . xportio est stibilis: si eius deno' e scibilis et ecoue oetuc g arguo sic. R.e'pportio scibius ra.est pportio scibilis: δb.est .rportio scibilis ante
apbo:qr si aliqtra quantitas cotinua est labilis is nota: sic iit.a.et proportio eii isde3 ad aliqua; ali1 est nota sicut si illa alia quantitas est stibilis seu nota. b. ter cur dico de quantitatibus propor de numeris dicatur: sicut allegatur et de latur infra cotra suppositione quarti initti patetitam . si quel3 proportio irrationalia esset comensurabilis alicui rationalitenominatio eius eci scibilis: lue non foret scita. sol aute dicatur P auctor stelligit in non dii mi lata Tunc deberet hoc plus obcere de proportionibus irro 'iu de rationali Nis.qnam similiter no sunt alique scit quare potitis videtur stolligere . denominationes aliqua* non sunt stibiles: qt
non sunt denominationes rariois denominatio uti repet immediate ab aliquo numero nomines. LSufficit g mihi pro nuc in ego possiim in hoc pitulo pncipare ista facem datis quibuscunm proportionib' rationalibus siue irrationalibus:virum sint in commeo si irabiles vel commesurabiles.s utrum unius Promet δtio ad alteriam sit rationabilis vel irronabilis Dernon/strative ostendere. I 3 tem dato. fuerint commenta rabiles et comuniter earum proportionem assignarem iste mini mo principales huius camili. I Et γ' mproportiones date sint in commensit rabiles non intredo ulterius insuirer mina proportio unius ad alterumque e irrationabilis sit medietas pie aut tertia paratripla vel quadriiple. etc.quia forte esset aliqua talis que nullius proportionis rationalis cet pars aliquota et sto. esset tamen foret nimis difficiteri forte impossibi bile reperire:qr sorte eius renes non esset stibilis mi patet auctoritate superius allegata. C e proportione proportionum irrationabilium me volo breuiter expe/diminu iam in quinto Eucli allegativinfinite sunt
proportiones irronales.qiliamin denominationes sunt ignotari ad c ciim omnis earum deno' a proportionerationali si assumpta si sit aliqua que vili rationali est commensurabilisscut est verisimilaetatis nullam pro
portionem habebit.propostis ergo duabus propom nibus irrationalibus persuas denominationes si habeant et Iint note scietiir iussi tearum proportio adsportionem rationalem a qua denominatur: pros arrio vero proportio mim rationabilium instruis ostedetur.
ex istis in intre proportione cap lauiter assigna.
rtavcr. .si queratur proportione inter medietate
me proportionis et quartam partem triple: dico maproportio dupla et tripla sint icoincturabiles: sicut eret veritas et in Da patcbi similiterquelib3 partes aliquo. te nim sunt in commensurabiles: si vero queratur de medietate duple proportiois et tertia parte quadrime' dico* quadrupla et dupla sunt commesurabiles. ut mi us videbatumdeoque libet ps aliquotamus est comissi rabilis citi libri nam alteri proportio quadrupla ad duplam per reo nitebit.Et tunc habita proportione tutius ad totis pefacili inuenies per hoc medium propor tionem Pariis ad mari .cum enim queris dea' parte adrupla et de medietate dure et cum proportio qua/ τ .dmpla sit dupla ad duplam sicin post NM capias mu3 numerum babentem 3' qui sit duplus ad aliqucin mi Φ 3menim habentem medietatem vel duplam deinde ac cipe part maioris et medietatem minoris. Et qua/ καῖ' lis erit proportio unius istamin partium ad altera 3: ta lis erit proportionum ictarum: rita poteris operari
est proportio 3 partis quadruple ad medietatri dupinflamur tertia. Eodem modo in aths est agedu. Esro/ rem Pomo rationalis pol imaginari diuidi imierali. .mo, hQ --reis tribus modis in proportiones rationales trib'mo,
dis in Tremones irrationales. et uno mo in rationatri domet irronat primo mo per rationales equalas:valiqua
39쪽
Qium potest dimide sicut ' in P Σ' 'non omnis in dulidit
Molis no Ois diuidis hoc ino: sed aliqua:vnde sicut.i6 . dimidi
piam. qui tertia Semaltera eo in se quarta: et sexqquintan Eupla di sicut.6. s. J Quarto p irro 'qui tertia Semaltera vo in sexqquarta: et serςqtunta 3: sicut.6. S.CQuarto p irrox eulcs:et ques; est duuamd bilis isto moesiciu et m. z.que est init diameter ad G icta 4 in m. non Di quel 3 Pol diuidi in in irronales equales nee mireri ..quel 3 in 'sed ola pol diuidi i plures irro in lutes: qr ois pol diuidi in duas aut i tres aut i qmor faciendo icatii di usuictu. LQuinto p irronales in ira qua ruquel sit nam aut pies diuise .pportionis et qlibet dii uidit istonio intelligedo: sicut mi ut udrilpla In Ppor time diametri diuidis ad costique esturta es em2et in oportione quarti coste ad diametria que est 3 pro. portionis Φ, . CSe 3 2 irronales inequales: q* nubta sit ps aut pres:et quel 3. t diuidi assignaclo inter eius extreina media imoporu et in 'et ea multipla variari, do jsta.n. e V et sine demo icta sunt:qr visis seque tibiis facilr apparebi innec ponis. in demes' sequenti a supponariqn tii clare pateat si dictaa. C. τ' sta, tim post diceriqr facit magis ad xpositu malius allop. Ccosila dico. quel 3 proportio irronalis posset una/mnari et dulidi illis. . modis et de umorvltimis modis:
or modo .stribus modis per proportiones irronales: o mora p ronale et irreualem seu irronales: et de vitimis P, qt citiust 3 VPortionis irronatis aliqua yportior alis cli pars.no in aliquota: qr qualibet irrationali aliqua ronatis est maior.Et sic de isto pir breuitate non plus declaro qr illa no facilit ad.ppositu. ut postea vide uim de illis tribus modis minis.ssi quelibet ures, qtra proportio irrationalis possit diuidi quolibereti aliquo istorum modorum post dicetur. Ccapitulum secundum.
loistin tam*ς Ha itroductoriis ad itelle lictu sequetiu prelibatis inpio et capta . x alios demostrido. pria p.nulla xportio Gnalis est divisibilis: scue per rotrale et irranes et per
ales et irmnalesque non lacuit a ronalesino est veru sit 5.a..pportio ronalis inter eximi a.d. f. sitq; di/uila in.b.ronale et c.irronale P.e.medui iter extrema. a. x portionis aliunatu sin primi diffinitione. tuc proportio.b. attedii inter .d.q.Largini g sic.e. est comesurabile
ipsi .d. st tertia suppone:qr.b.eopyportio est portio ronalis: r. est comesurabilis ipsi octaua scinii: si diremtitates comunicant eidem coicabunt in sere No .ppor/zio.Lad.e.est pportio numeri ad nume* per quinta de ιcimi ergo ipsa est Gnalis:qrminor termin est pars aut dies maioris Per qliarti . .et ps et ex vincto et oi d. sed proportio illa que est inter. f. Leaest Proportioc. gae
est yportio ronalis resto ii positi im. J Uelpat sic
est incomesurabile.e rae. est Nortio irronatisque est xportio eo a perpositae: ergo. fastin x .d.per in s T/c ivbi dicitur . si alique due quantitates hierint i cantas cuicum una earu3 competit et reliqua: g si fellat
mesurabile i .e.ν est Q maioris: ergo οὐ filii bonae cuius fuitω. f. est icornesurabile.d. si Ex quo sequitin. corim proportio in irronalis p est contra aliud m.
sinim et sic ri situm. Et inride arguit ina4 rotis nomi diuidi in plures et in una rationale et una irronaiciure etc. LGarxeaderatione Potest declarari ista es icto p . nulla pporito irronalis est diuisibilis aliquo modotriu primop modo* diuidedi Iportiones in ultimo notabili positoz. in plures:*iata quel 3 sit ronalis: neq;
rationalis cuc extrema sint det.f. c
rationalis per tertia supposition evet sistitast comesurabile.e.qr.c.est y rilo ronalis reo per octalia decunitast cometiarabile ipsi.d.ergo.a .est yportio ronalis
ius o mebat .ls.a.n5 diuidi fete. I Et ita sine.b. . xpor troes ponans eules si ire ineuies etc. CEt ita si a. ponatur Diuidi in tres veli utuor xporeides etc. I Unde manifestu est. nulla Mortio irrationaliscoponi ε proportionibus ro' ' luis sit eo.Sinit dupla ex duobus quata quelibet est sicut diameter ad collam: ut pa/tet in ultimo notabili metia φ mnalis addita irratim natiqiiq; irronale colluuit. Tertia p.si iter nue sminores alicii ius Promorus non fuerit numis medio loco pro Iurtionalis siue numeri talis proportio non
diuidi in putres ortiones ro ' equat et per hoc nubta promui orationalis est pars eius aliquota .si non sit ita. sit ergo.a.xportio Gractu primi numeri sit. S.et: 'signetur*.αyportio iter duos quos vis numeros qui
io per. e.meduim assignandumra sint ille .pportioneo
sit.caeum igitur per aduersarium virus sit ronalis.sa. αb.eta.sequitur u .a.etc.et sint sicili tres numeri continue proportionales et proPortio extremovi 3 est propor/tio data.sa.inter quos est nummis medio loco proportionalis.ergo et interqtioni tineade proportione ve/loces. illa ultima ana tenet per octauam sexti: siciit. S.et .sunt aliqui numeri in proportione.a. relati: qr primi perpositum ergo interipethaest numerus medius proe
icit diuidi in diras rationales equales. C Eode3 moar tur . no diuidis in tertias: nec in quartas nec inantas. Et sic assignado plura media inter eius extrena amrilla media et extrema essent. siciit numeri coimili xpor tionales:et sic inter aliquos numeros relatos in proportrione.a.essent plures numeri medu a portionales: ergo iter primos essent totidem ines contrapositu et o octasui octaui que e istasi inter duos numeros numeri γυlibet in continua yportione ceciderint totide inter omnes trade a portione relatos cadere necesse est. Unde sequitur cr nulla prorito ronalis est pars aliquota auι citius yportiois tr alisintercillus primos numeroano fiterit medius numeriis ortionalis vel nume iners es in o '.s. .et dicit Iordanus in cometo Aris
stie. nulla a portio superpate pol diuidi per medius et itelliget inoportiones irronales. Quarta .ri aliq oqirantitas in duo equalia diuidatur quop quodlibet sit pars eius aut paries illa duo simi: siciit duo termini rei numeri: unde manifestum estMsi minus subtrabatur amatos et residuum si fuerit a murori:et sic ultra tande uenietur ad aliquid N erit pars utriusq; diuidenti, iam et diuisi. 3stam lane ponoppsequentem et ut ali, qua dicenda inelius intelligantur. L et lorandu ergo Ῥn aliqua quantitas illidanir in duo:qtloruiu quodlibssit pars illa sum equalia et econtra.*uasi mi due medie
40쪽
tate .Si vero in diro in ualia diuidanmr: runc si illa fuit comesurabilia unum est partes toruis: reliquu3 vero est pam siue narres et similiter si in tres vel in quam. Octane de Mono nila tres stippositiones. prip luppo ma estomnis quantatas que est adhuc rum vel paretes
citobus numeris signatumquopumis ornumerator alter denominator: ut in re commesto.'s.et hi quide3 nu
meri sunt citra se primi et in sua Nomoe minime sicut dicimus.3.T: unde si sunt numeri sunt primi peneto et stippo metepperiri eiusdem. I Sina suppositio e si abali, qua quilitate dematur aliquid . sit pam aut pies eius totuerit sia partes aut pam habes eadem deno' cum
Duppo et residi .s sui es .et hoc habetur .s m. Cortia est suppositio.omnis quantas in duo diuisae quoru3vnii sit pars aut nartes.iduo nam '. sunt sicut numerim' ad numeratores earii: dexportio me ad tripla est si
cuta portio op ad triane laboc etiam satis haberet ad 3 exoctauaxpone septimi et s. Tvis positis p posita demostratum sic quoddi totum diuisti 3 per ineqtralia
in .b.malus. ζ.c.minus. oz unum est pars aut partese
tuc per saeam supponem reliquii.est etiana pam aut partes et per eade3 ide numerus e denominas.b.et denonibnds. sit itaq; iste numerus.& numerus q numerat. sit.e.et. numeriis qui numerata.sit.f. Tales naq3nu meras op3 ponere: atri expria suppone. C EG aDguit sic.e.zd.sunt contra se primi per primam suppone quare.d.est Derio rimator et.eaest numerator: sitris et d. simi contra septimi perem maergo. etf. sunt contra septimi per scda; parte. 'mqtie dicit sic. si numerus acriuatus ex duobus adumiq; fiterit m et illi erit primi .mo.d. in aceruam exe.2set est primus advini, Milioru ut probatum est ergo.e.TL sunt primi. sed. b. Ic sunt sicutie.et.' er.3 'suppositione. ergo.b.eta. sui in
musicut respecua numeri a se pini q6 est citrap positurn.ergo perprima septimi et decimi per subtractionescamnoris.a.b.maiori et iterum residui et sic tandem erit deuenire ad aliquid . erit: sicut unitas respectu virilis ivriois numeri para est ut mitraret docet a suppositio septimi .si Ex 4 mrpositu.f. et alem Detractionem tande deuenieturia aliquid Φ erit nam utriusqI- - diui et Diuisi sa.b.Lar quodlibet eorum est sicut usδ σ mi inmis. inunta .si inter numeras pinos alicui xportionis no fiterit nucius medio locorpor seu numeri nulla Nortio rationalis est partes aliquote ipsi sino sit ita. sit.a. yportio rationalis taliscuss. b. oportio mnalis sit partes aliquore et residuum P cu.b. cor nil.a.st.c. tuc persiam stipPostrione precedete.c.est parat Partes ipsius. a.et qualitercuque sit necesse est: H.c. sta portio Gnalis . aliter. n.α cismeretur . b. mnali.etc.irronali qbe impossibile per prima oclusorie si ergo sit pars.a.et ia probatu est .c.sim intro ronalis.erso aliqua Mortio ronaliserit ipsius.a. intericultis nuci s.f.nullus numerus medius N. est impossibilepersiam coclusionem .sit ergo.b. maius.c. minus.si si misnus subtrabatur a Inaiori. inde residuu.si necesse merit a minori quotiens miret sic lade deueniret ad ali q6 est pars ipsius.a.etnam.bor precedete3 Pclusione: cum facta fuerit prima detractio aut remanebit residu/um aut n5 si nummis est residuit ergoc.erat pars im
aliquotiens replicatim precist reddit. et per fis est pam eius.3tem si nullusit residuuaergo deueniemus ad alti
quid O est para virium duis et diuisti vidi iuxta di
ctum precedens:et illud est c..denabimus ergoa.e psa.et iam probatu est P. c.est ortio ronalis. ergo aliqua proportio ronalis in sum. a. q. est impossibile per in conclusione ε Si aut residuis fuerit sit illiiddaergo sicili arguebar deae. .d.sit Nortio ronalis.quare.a. et proportior alisco Ilpon mirex una vel ex pluri bus.c.rationali etd. irrati ii sestipossibile permaconcilitan ut ergo d.est pars utriusq3 diuidetium et diuisi.La.et.b .eta.itag noom ulterius facere alia3 dotramone: sic edatur iam habetur intem3 contra secundam tactanem:qr aliqua proportio rationalis ere
et sino fuerit residuu.d.eralpum utriusq3 diuidennum et diuisi ei prius est improbatum. si vera merit residuus ori sicut prius per prima claneu illud sit proportio rationalis qr alias.c.rationalis componeretur rationali et irrationali et si illud residiuun fuerit para utriusq3 etc. a.b. .hoc est sicut ius di siam Dex CSi sint metes detrahanir ab ipso.d.et semper oportebit in resi/duu sit proportio ronalis sicut poterit semp probari Pprimam coclusion etqr perprecedente in h3 detra oprocedinirin infulmin sed erit deuenire ad aliquid merit pars ipsius etc.et per prima mone probabitur sempe) illud Φ erit proportio rationalis o3 tade3 concedere ς aliqua uortio ronalis erit pam ipsius. a.q6 est intra sinam cocliisionem. Eodem5 arguit sta ponas mastruet.b.min' tetitamrear ext ' mimis se deducis
etc.quoniam habetur oper continuam detractionem . minoris.a.maiori tandem deueniretur ad aliquod .enam et et in qualibet detracti ecdiunctim per prima abnem. remanet in I portio rationalis:ergo in ultima illud residuum 'inerit pam s. erit proportio rationalis in est impossibile per fecitndam conclusionem. Q Et hoc siniumrposito Φ ali*iali proportio rationalis sit partes aliquore alicuius irrationalis. inter ciuiis primos munem nullus fuerit numerias medi' stu nu meri me aergo impossibile est. aliqua proportio rutionalis sit narres allatu' termini: estxpositu Et ut facilius intelligatur ponatur exemplum in numeris:
os potest remanet.ς.et it 3 illo subtraciora cinmitum potest remanet una. '.que est pam sis a. de qua arguimr fictu prius rita bis tit detraciis quandom vem temtrandom vem etc. sed semper deu miradaliquid c erit nam ipsius sicut dictum est et deducetur Perprimam conclusione3 . illud est proportio rationalis in tamen arguimresse impossibile per es hist visum L l Sequmir it 3 ex bis . si aliqua proportio ronalis sit para alterius proportiois rationalis ipsa est talea partes quarum quelibet est proportio innalis.Si enim esset iries qlup quelibetesselyportio irronalis: sicut oporteret nisi veram esset . dictum emtuc per modus detrahedi ante deuenirini rad unam illarum que esset pam totalis in argueretur sicut prius et hoc est contra seci mdam coclusionem. I Sexta conclusio.si stierit aliu portio inter cuius mos numerus nullus fuerit nivitnenis medius propor seu nulli illi fuerit illa est inta mensurabilis culciInm proportioni rationali minori ea