장음표시 사용
41쪽
multiplex Mo modo. dico igitur Φ si maior proportio ecomesurabilis ininori et no sit in inplet ad ipsa3meces. Qi pars istius co demostratur deduce do ad impossibile. I Sit n.a.talis proportio inri r cuius minos nume ros etc que sit mobilis b.minorisaergovinaq3earu est siciu unus mimerii per S .io raso. b. minor e ars aut
partes maioris. p quarta septimi. 6 Sed . b.sit Ps.a. est impossibile r 3' lane. . vero sit partes est ipossibile. per ':ergoaxst in 'cilicum minoriri tam Ppositivet loquor semst de Nortionibus ronali et pnet sita.PPortio datariae.sit ma Iportio maior . si ergo.c.sit re .a.m alia xportione . in multi puclaucae. cintinebit.a.semel vel pluries:etcu n aliqua ei'pte vel ali quas eius partes ut notu est ex desinitione.pportionu3
cura diem sit ista pars.d.aut ergo.d .est ortio irrona liaeet boc est i possibile per prima coclusi Qqr tuca. natis coponeremrexa.rationali darrationali: vel Pluribus.et.d.irraumali vetas est xportio rationalis:et
hoc itea est impossibile.y siam coclusione: qr nulla . Pportio malis est pars ipsius.a. I et Maeontineat aliqtiensa et cir 3 boc aliqd q6 sit pars ipsi a.sit illud.caut ergo est ortio irronalisdit B cotramma conclusi se sicut 'ara .pportio ronalis et hoc est spossibile. st ortam oclusioneqr nulla pPortio ronalis est pars ipsPa. nec alicui' sitis:et sic m r. in nita Mortio mnalis ma/ior Geteaest tamesia rabilis ipsi.a.in aliqua yportione un5 sit degenere instiplici. Septima p.si xportio mary ior fuerit multiplex ad minorri ut dupla vel tripla ete.
tot media rpori 'Fm proportione minore essent itere*ι trema maioris. quotiens im rmior minore cotinet uno empto et totiens nummis medios Finxportiones mi. norem inter mos numeros maiores necesse est iter st. .maior.b.vem minor mergora. ponatur multiplex
adis a. t diuidi in plura.b.et bec diuisio fiet per medi,um seu medio* assignatione F m. b. ortionem. tam si sit unu mediu.acotinetipsum. b.bis:eterit duplu3 ad
is i etZper prima; distinctione: sed Φ totide niteri et Metari pro rtione reperiantiar inter fimos nuer .a. Pportionis probamr.qr Hemis talibus medus Ninu
portionalibi is pin.b. Mortione inter aliet extrema ipsius: illa media et erirema ponam in numeris pineti b.est xportio ronalis sicut m p siam.f. que est ista. Wimor quosqycontinuexportionales pin Mortione data numeros inuenirexrgo .pportio primi ad ultimii com/nitur ex pportionibus ite emaem ex M.f.r diffinitionis:tin pn'etc.Sed talis xportio est a. que coponit ex pluribus.b.ergo inter aliquos numerus relatos fimaliqui proportione est numerus med aut nmneri modo F m.b. ppinio ergo et inter mollibet in eade pro. Portione relatos per so S aergo iter primos et minimos ipsius.αet hi sum totide inlotiens.a. tinet minore uno Depto: ut prius est declaratu. TOctaua conclusio. si νιν o portio maior fuerit comesurabilis minoriri no sit mul/tiplex ad eam necesse essim inter minos numeros mi noris sit numeriis aut numeri medii fim illam Nortione aut proportionalitatem Fin qua inter primos numeros miores est nummis seu numeri medq. C propter
eduocatione est aduertendit . proportio qiris di mulati meae absolute:sicut dupla tripla G.et hoc mo miti rx est genua:et dupla tripla sunt nota spe 'xportionu ut M. cum pportio or multiplex in patione seu relati ad aliam prortione et ita .pportioque no est multiplex ab /Plute est inrtiplex copa sicut dupla sexquitertia ridivina semiuincia Et Nun mepi primo indiet nuc capio Rest mos micros muta cum minis numeris altem iis in medus suenire eo mo a predixi. Eut ex causa
a .m Portio maior.b.minorque sunt comesurabiles perpositum ergo stant duo minam.perfnta decimi. ergob. est pars aut paries in ergo. baest tales paries ipsi a.
ita Φ quel3 usquarumcu est proportio rationalio: Nevila ultima probatur per cor' - .et potest sic deduci qrsi.b.est paries.a.ergo residitu3 qd cu3.bcoponi La. similiter est pars aut partes ipsius.a. bens eandem deno/minationem in.b.it amaaest talis Pars aut paries qua
les paries est. per supponoe facias pro qua a pne Percorinita detractione minoris a maiori deueniet ad os illam partuit que probabitur esse portio rationalis p prima coclusione: queetia erat nam ipsius.a. et ipsitis, sicut in alia coclusione dediictu est:ergo.b. est paries tales *que libet illarii est rationalis. voceriirmo melibet talis.d.er .d.est pars.b.et sic est parλα ut probatuest.ergo est multiplex ad.Let fila est nastiplex ad.b. erpo
inter pumos numeros.baest numeriis medius aut nue/ri fim.&yportionemri similiter inter Rumos numeros a. 'nd.proportionem per.6.imediate poedete ergo primi numeri.ari pini numeri.dicdueniunt in medus moν
do pruis dicto: q6 filii probandum. cest sunt alia
numeri pro intionales inter numeros maiores secun/eum quadam proportionem fm quam est necesse inter primos numeros minoris numeri numeros interesse.
lona .si fuerint et Nortiones et inter primos nite e=ros maioris fuerit numeriis aut numeri media letadus ortione minore: aut scom aliqua Nortione Fin qua iter numeros minoris sit numerus aut nimieri mediivile due.pportiones M eriit. Fest Esi mersa duo predd
tioneaeii xportio mi termini ad ultimii coponanir ex ortionibus iternaedus seqmret .acoponetur ex pliaribus b.et d piis. a.erit multiplexad.bargo comesii rabilis.et Bestiniasi ouersio. F.Jnis precedentis. Sivem
iter numeros pinosa fuerit numerus medius aut nuo
comesurabilium data in pncipio. 6 nu baiulium
hec est quasi mersa.j m in hoc camilo no erunt commesurabiles in prortione multiplici sed bene in capi nilo pret l, est comi re.b.ut dictis est. I lota . non sciquint r.inter istos numeros sunt aliqui numeri inedus portionalesaergo iter eos e aliqs numerias medius imo Pilt iter istos numeros sunt tin Ummieri medu: ergo
nullus numeras medius est inter eosdem. Et simila ergo nullus et sic De paridiae: et silr sequitiirtatu sunt et linee medio loco rportionales fi proportione ratio/nalem inter illas Plias: rgo nulla alia linea est. TDeci in prira st datis duabus yportioniblis si sint comesurabiles
q; earum puminis in primis eius numeris statum hoe poteris facere ex pratica sequeti. ocide vide si iter illos numma iam babitos fuerit aliquis numerus mediiis
42쪽
xportiorialis innueri: et in fuerit et 'qua .pportione sicut is ueti practica saltest Nes patebit. si trico ergo
p in si iter pinos numeros maioris.nullus tuem nume/nia medius seu mesu a portiones date sui incoincturata .p qnta Alusione. rSmo si iter mos numeros
.ut numerus medius seu numerim.b..pportionem,norcitu Iaerit comensurabilis.b.et multiplex assib. pos '. T Tertio. si inter duos numeros a. fuerit etc. notit mb.tunc no erit multiplex ad.b.per M. TQuar
portioncsed maliqua alia ortionem qua iter pru
nos numeros. b. et numeros medios.a.etca. b. erut co
mesurabiles. per octaua. Ecuito.si uiter numerosa. uerit numerus medius ete. ni fimb.nec maliam sportione 3 qua interminos numeros.b. sit numerus Maerunt incomesurabiles. per alia 3 cocluso sunt ergo quasi , coclusiones pilales iuria. . mebra diuisiois inuens. LE lum de maesicut tripla et dupla. Gergo iter numeros malatis. triple qui sul.3Σ.i.nulla sit numerus medius M. ico in dupla et tripla sunt incomesurabiles. L ErepviI de et sicut quadrupla et mucremo inter numeros quadruple u sunt. τι est medimm proportione dupla.sT Dico P sum comestirabiles.
ris qui lunt.het.l.no sit mediu m proportionem triplarita sim proportionem minorem. ta stom dupla3mico. maior non est multiplex ad lmnoretri. Exe et quarti sicut octuria et quadruplari qr inter utriusus otimos numeros est medium etc.secudia eandem uom n s. plam dico P sunt coincturabiles. s Exempli imminti. sicut tripla et quadrupla inter cuius num aen mediu sed qr non Fin eandri .pportionem sed inter numeros maioris scom tripla3.inter numeros minoris
''ideo sui icomesurabiles.Et preter hos modos nullus alius modi mec aliqua dispositio pol imaginari. sicut faciliter potest ostendi perissifficiete diuision cinus quelibet iussio partialis fiet inter cotradictoria CDivisio sit ista.a. . b. t inter numerosar est medulatu no. V prima ppositis duabusyportionibus come iurabilibus rarii proportione assignare:fit iter numerus maioris fucru mediuraui media mproportionem mi nox ipsa comebit minore totiens quotiens sunt numeri medq addita unitamviri ex pina diffinitione et octaua me.quo scito statim ma portio eius. Si vero inter numeros maioris non sit medium in numeris m , portione minor Esed ri aliam proportionem: scf3 quae inter primos numeros minoris sit medium aut mediae tunc illaproportissecundum qua inter numerus vim usq3 est medui3 etcampum utriusq3ret erit sicut unitasque qualibet earum reddit totiens sumpta quot futui/ter numeros illius:cuius est pars media addita ini/tate: Mut ex septinia et octaua coclusionibus prima et Peunda dissi' 'poterit apparere. capiatur ergo numerus
medronim inter numeros maloris et addatur ias.Pieo . Nortio istarum proportionum est sicut proportio
tionales sicili est in propositoxportio mi ad ultimuin tripla primi ad sc etc. 'r sctam dissimnonem unticiaelicis. Eo per idem quarta est dupla duplae. Tu tu schi.ficut 3Σ et octiiplaxit ergo inter moanumcros mauuls 9 sit 32. Li.sint quatuor numeri me
fm proportione scω3: vim divo nedo numerus isto
lunt duo numeri meandexportionem duplam: ut prius DicebaturCapiamus ergo numerum medioru3 δ oris.1Mllamor et addamus italesunt. . et iterum crupiamus numeriim mediorum minoris cit unitate.sunt 3. ico P proportio maioris xportionis ad minore erit sicut .PPor IIO. .ad. .etessiportio superpatiens vel si
perinptiens 3 .i. , . Et cositis RPortio est yportio/mseti istuas ad 3 qua ex lata et Odis poteris inue. Rigare si ni velis.dic finitur prima pars secudi captivili in qua.laadcussiones coturetur. D secuda parie isti' capituli ego ponat respracticas duas utiles ad Nicia.
nireptimum ori date denominationis xportionem habere cuius medium ostedam faciliter per singula cene νra ex lariter dilairredo. Ut este multiplici ego dico prima spes. dupla nominatura numero binario denor 3i eJ. i vero quatuor. l Supparii laris donominanir ab integro vel unitate vel fractione: ut se
quiata l.semurtertia i V.sexquiquam i π.semquinta ist. I Supen ames denominaiis integra seu unitate et fractionibus. ut superbiptiens 3 i p. C multiplex stipparticularis denominarur ab integris scia nitimeris et fractione: ut dupla si quiaLΣ et .dupla sexqui, tertia Σ3 etc multiplex suppartiens denotas a num et fractionibus: ut Dupla supbipartiens tripla superiripaniens istimas 34 . et sic ultra:Miniiuni typortion is Penominario inuenta. I vrios minueros seu mi eros inuentes in hunc modum prio inuiltiplicibus no est difficultas lumbetnaq3 oritonis degenere multiplici minor numerus e unitas.maior vero est sua Penoemnario. ver. gra. primi numeris porrionis Duplesunni. arie.Φ.i.M. In atris tamEmieribus taliter est agendum primo Dinominatione Nortionis de qua queris scribe persuas figuras. deide accipe denominationem fractionis vel fractionus pronuntem minori qui ab aliabus vocatur comes radiciit postea eundem nummim multiplicaverintegriuri vel integra in denominatidemsita et producto adde nume/ratorem fractionum. Et tunc habebis numenim maiorem quem aliqui vocant ducem radicum. vergra sit tumuloso quiaLque sic scribituri Q binaruis est denos minator.Ideo ipseest numerus minox ipsum emo multiplica per unitatem:et sui.r adde niuneratorem.s unitatem:et sunt 3' num s maior. Dico ergo oe primini
meri illi' proportionis sunt 3.τα l Ei luderemolum sit data Mortio dupla superquin Murtim septima sci
sit data portio dupla superquinii ita septimas ci
mi. sicut pro utio octuma et dupla.Mr iter numeros inmotis qui sunt.8.et.i.sunt duo numeri me .s trit inundum proportionem minorem huic numero modiorum addas unitatem sunt tres. Dico P maior conti/net ter minorenvergo est tripla ad eam. Et pol pr ban:sicut pauonet in sint tres termini itinue promu
n inanira fractione vel a fractionibus iubmultiin, cibus a fractionibus bilis primis numeris proporti,nis maioris mequalitatis sibi core comem entes, διm3 minor est numerator et maior est denominator Hr. m.volo scire denominationem subditriciet qr iam hi
43쪽
π 'tuc P predicta inueniam primos numeros inple siruperparti s que sibi correspodet in maiori inequalitate et sunt.iz.dico . Penominatio rPomois Date est 'e ita de alqs est agendii. si mropo ' Duobus numeris si iter eos fuerit unus numenis medius proportiona/uter uiuenire si ex ductu unius in reliquii fiat numeras quadratus uirere est unus numerus medius qui est radix illitis udrati ex ductumus in alte* Num.Doc tybari exv.f.et. 'Υ.sicut min comento capani ira . . si Syponas ex lu tatis.znet qr ex Dum vnius in altera si loqui est quadrat .cuius radix in umoxio radix eius est numerus medius inter numeros asfignatos. L notatii ιν si iter duos mos numeros re/Pennir unus numerus medius necesse est quelibet illo
'F i mediatos reperit unus numerus medius. 6 Esitem per illa mei regula poteris videre si iter nuerum mediu et ali ad vel Olibet extremop est unu medium unde si sint aliquot numeri continue proportionales: et si iter alique eoa et sibi a sn u sit altils numerus me/dvis inter quelibet eo*et sibi nimii erit et Meadem Nortione numa aliqs medius p s octaui. LEt poli mascuae.si iter.z.nuem fuerint tres numeri medu: etsist a. .et sic in infinitu recto p tales numeros impares qui orititur ex additione numeri inrediate sequetis numem medioru numeropret si tu eris.is poteris iuenire.M.si sunt etc. Utratis duobus numeris . si inter eos fuerit Σ' num mi vel minium ali ciuils omois. Et uterin eop sit cub' inter eos sunt duo numeri me a sic iureiumr. Duc radices maioris in radicis minoris et betur minor. Deinde plicas radice3 minoris in radicis maioris et heniri inloti l Si vero no su Orit cubus no erat iter eos duo numeri medu .s Memiuemtisivterq3e fuerit cii luis ii sint nueri meduo ita si fuerit* mi.si eo no sintyn .ver. Gaan nueris xximis:sicut.nets. Plam' radice maioris.sseet dii catur in urdatum radicis minoris que est umor et me
dix minoris sin udratii radicis maioris que est.ς. emul.ls.maior numeroz mcdiop. Iabebimus ergo duos nurneros medios iter duos numeros datos:isto mo/
nume* et scom tant duo numeri medη F3eadexportionesicut pol iuri ex ista regula sequirin inter sim et tertiit imo iter quost3 in eade .ppomane relatos erut duo numeri mem fm eade .pportione sim qua erat inter primu et w5m.st octaua octauLsicut pista regulta stitum
si iter numeros duos datos sint Ealq: et inuentiumr ita meide regula lueniuntur.8 .si liverint et. .etaso. et sic initimii ixcededo per quoslib3 mimeros quota generatio sic det tr.capta prima radice.set.accipiatur numerus usequitur uno intermisso.s. .et addat cii duplo vivis ra/dicis qui est quanior et rumuit.8.ethmir secundus minicius. L Ad babedum tenui sae est agedu. capiatur
enim numerus qui sesitur intermisso uno.sio. et addam duplo S qm ci .i6.et rueniunt. .qui est tertius nimems medio: il possimi P huc regula r mriri sic isterius est agendu. T3te operata aemel per ista regula: deinde semel per inprecedente inuemedo munerum mestu in quolibet it alloiuestigare si haeram. ruori mesu inter nueros assignat .Et agedo semel pista:
et bis per in siue semel per ista:et totide per o siuebia per istat et stinet 2 et nualtifarie inaestigabit multis
modis illas regulas copulando:si inter numeros datos fuerit medius numerus:et ςs sit uteret si.et. I. 3T. . aut
ros multiplrditati do.s aut ad quel3mcdia .pporta . nalia tu eda habeas resilam generato placet mihi. Ueni tan .si de aliquo numero medio: velis tetru
eu Fn .c.xportione quiqde et di sint minimi age sicis
portionem summariam tuarum. J multa in bis regualis dicta possem exari ' ex geo' demostrari: sed nolui diutura morari. caput. III.
rima Hrio tertio capitulo atri magisve l. v cialia proportionuIn nor tionibus adiungi pro qbus qtaedam suppositi rus primitias sunt ponende. prima est p suppol illi es munereinop maior est inrtiplex minoris sunto septimis in via Nomone minimi r
eam definitione bstpositoΣ .in. inu lidis. si Secu mi daestratiust 3 promonis inultiplicis alter in op nuo rom est itas hec citans ad primurar eius o inferto p .etmin prima regula VmcaPituit. Tertia erit. Nonis numeriis medio loco nomonaus inter alique nu/meruet unitate est medius m ypomon ima inplicis: causa est:qr ois numerus est multiplex unitari: qrii cusiuilibet numeri pars emtas vidi in C septimi inrare nullus est numerus mediumr inter mos nimieros tionis multiplicis nisi m nomon multiplicis ista mi tur ex inlaetimia. CCtiarta .nulli' sportio Vnis no multiplicis aliquis numerox primox emnitas: probamr sicut 3 retaliter nummis ea multiplex unita. teret luc Nortio esset multii lex. CCuinta est.ii ullus e Flu muneriis seu numeri medu inter primos numeros pinportionis no multiplicis Fin yportione multipliccim si
numerus medius esis multiplex nunoris:et maior multim intam uic maiorere multiplex minoris: et sic pru/portio eri de maere multiplici. CEt aduerte .uter
breuitate loquedi. ortiones coimedus conuenire ini Nicipe mi inter os numma maioris est medius numerus inniteri pm x mone mmore aut m alias Nomonem Iesset inser prim PIIner minoris si eri nuenis aut num medu eomou dicebat i Istiatione sit capti. Bequumrcoctanes. I 'prima octa. is p pxportio de genere multiplici est Mypomoni nomiib
Homone.Fr serta sesi capituli. Sed hoc est impossi.
ergo talcant i medus p ii capa aut ergo iter in Q hopnumerop est mediu3 et in portione multi.
44쪽
comet hoc est impossibile. per sextas suppositionem:
qr. h. no est De sine mi altiplici aut stam aliquam alia3 p, portionernn hoc est impost bile. Per quarta supponem p m est degenere multiplici. t Scoap. nulla .pportio multiplex est comesurabilis alicui no mitiplici maiori .Sina. stipaecb.n6 mduplex maior.a. si ergo stitia mesurabiles aut b.est multiplex affa et sic interminos numeros. b in medium sim Nortione etc. IXr serta 3 i capi Let hoc nomi esse.per sextam supponem .aut. b. se habet ad.a. in alia .pportione et tunc sequitiir . sit partes.b.P mmm3 est esse unpossibile.pcr quartam et 3 p sex ani suppones sicut prius est argutii. Tertia con/clusio. nulla Iportio de genere multiplici est comestra. bilis alicuique non sit de genere multiplici line U: mnulli murori per prima 3 one.milli maiori. p sinam: misequitur . sen proportio inulti pleraddita unitate facit a portione no multiplicem q5 etia3 pS:qr citiunt t.ppomonis multiplicis deno'e aliquis mimenis modo si numerus multiplicet semp xuenlt numerus itegro rum:et ois numerus alicuius multiplicis semp est Mylet additio proportionis ad proportionem facit multitu/dinem p nominationem. vi in precedenti capso dicobamr. s Ite sequitur et predictis si aliqua prortio genere non multiplici dupliceriir aut triplicetur aut quoli aliter liceturinunq; proueniet pportio de senere multiplici qraliter stratur in talis Mortio esset alicuius talis ni mens est impossibile. per primac, clusione. desideno' proportionistro multiplicisque est numerus cum fractione vel fractionibus vel nil meri cum fractionibus etc.per seipsu3 aliquotiens replicetur nuneti hi numerus per se integrarii. Ito seqξς, si aliqua multiplex coponatur ex pluribus no multi plicibus:sicut dupla sexquialtiet sexquitertia: vrest multiplici et alia: sicut tripla ex et et sexqui alti quelibet co ponetiuerit comesurabilis coposito et et erat incomem iurabiles inter m q) multiplex no iiii coponis no multiplaeibus sed nunc8 aliqin no multiplex ex multiplicibus coponanir. 4ulla etia multiplex est mul 'p tiplex no multiplicis. I Quarta coclusio. si fiterit aliqproportio de genere multiplici intercili' denominatio, ne et unitate no sit mediu seu media ipsa erit incomtavrabilis cilicu 3 mmoti et cuilibet maiori que non est multiplex ad eam de genere multiplricum. n. Penominatio eius et unitas sint duo primi numeri eius: vim exprima regula labi capituli.Et inter eos nullum sit medium ista Nortio est in Uctuciiq* minori et citiis maiorique noest multiplex ad ipsam.perteratam sint capituli: et nulla est multiplex ad ravnec cisset comensurabilis nisi de generemtultipli per precedenter n. sequitur itaq3 proposinam. Luxistis alus leuiter patet . proportio
proportionurn non est sicut proportio sua nim deno minationum. 3Mn enim quasi omnes .pportiones: quarum denominationes sunt note erunt incδmensi irabi/les.tripla quidem est incomesurabilis pleri ni deno minatio eius est sexquialtera ad Penominationem Plinrici δ' vero est dupla triple.lao 'eto 'et tamen no est lxiis sportio denominationumaeum solitin durea et quidni B priuilegiii tenuerit. talis e pportionii pror
tioqiralis est proporreo suaru3 nominationii et latus ' p nunio reperitur. C Quinta cocluso. omnis proportio de genere superparticulari est incomesurabilis cuili superparticulari et cuilibet alteri que no est multiplex ad ipa; qua impossibile est esse degenere multiplici .cuiussi tenim proportionis sirpe anicularis denomi nationes seu pini numeri rint sola unitate. ita. maior excedit minore solum permitate. cum ergo inter tales numeros nullus sit numerus mediiis. scqiiii iter nullius proportionis superparticillaris primos numeros enummis medit .ergo per quinta laclidi capituli im e Incomesurabilis cuilibet minora et cuilibri maiori queno est multiplex ad eam: sed nulla superparticularis est multiplex alterius:qr iam esset comesurabilis alicui minori cuius es Ibatum est. verbi gra.nulla supparticu/laris e comesurabilis alicui supparticulari.Simidi nubia multiplex est multiplex ad ea3Mr nulla multiplex est multiplexnisi multiplicis nec comesurabilis: nisi mul/riplici .exo'hirilis. I Sexta coclusio.o Proportiones
degenere multiplici si it comesurabiles et sotu tales undenominat loca sui de numero numero*Mssi eade serie ab unitate ominiae .pportionaliter ordinans. Gi gratia. sit a talis senes numerop m duplam Dportione ab unitate hoc mo.i. Σ. .Ri6.3αμ. et sic ultra. Et sistsit una alia proportionem triplam sic ordinata. i. et . pi et sic in infinituri ita de alus. emostrata una ista* coordinationu3: ut puta. ina Pico G qile libet .Ppomo deno ab aliquo istorum numerori ina est comensurabilis cuilibet deno ab aliquo eorudevsiciit dupla est commensui abilis qliadruplae ocmple:et sic de alus. Cuelibet alia proportio que noest de aliquo istoru3 numerorum est in mensurabilis cuilibet istariam: sicut
semitiau.triple etc. I Declaro primo Ῥ quelibet talis sit comesurabitis culi 3 mqrcitiust3 minuerimniei
pant in rnedus cu abuni t primis numeris cuiuscii q3 alterius proportionis deno ab aliquo numero illius ordinis:vt manifeste in qr quilibet primi numeri sui de/no' et unitas:vt sepe dictum est ergo post' secundi caupinili iste sui comesurabiles. 6 Sed Φ nulla alia. ortio sit alicui istarum commesurabitis motas siciqr istaecit multiple s. e genere multiplici. per tertia; hui' Sed hoc est mi possibile q6 arguitur fici qr nulla alia Etalis . inter eius primos numeros sit medium aut media filia aliquam proportionem ius deno' sit aliquis numerus istius ordinis. et nulla istarum est talis . inter
numeras eius sit m aliam proportionem l sin ali iaciti' aliquis istoru3 sit Ocno'. ergo nulla alia participat
in medus cum aliqua illanim ergo nulla alia est comosurabilis alicui istam. per in stoi camili: et antecedo Probant qr nullus nummis unius coordinationis est aliquis numeriis alteritis coordinationis nisi una coordinatio erit pars alterius: sicut ista que est ri proportio nem est pars eius que est fin zi elu.q. lcs. c.nec nominatio recipit medium inter se et unitatenis iste numenis medius sit aliquis istius coordinationisaetas nulla mutis coordinationis Particinat cu3 aliqua alimus coordinationis nisi a coordinatio esset ars alteritis ut dictum est. Existis potes videre si aliquar/pomo multiplet sit dupla ad aliam oeno' maioris est aeuius deno minoris est radix et . C3ste si aliqua multiplex sit zi' alicuuismi quadrupla alit 6 . aut si et sic st denominattolles pcedendo in parib ntermissio:
nominatio et iis erit quadrilpia. Si eo sit alterius tripla: nominatio eius erit cilbica: cuius radix est de nominatio minoris et est: sic ei de duabus no semppterimnis et si sic de utroq; ordine: ita q) portio multiplex sit alicui si sei'erit cubita .3sta pili ex S' euclidis faciis specillari. Nulla proportio de alio gonere*de multiplici in commesurabilis alteri nisi maior de primis numeris maioris sit de numem aliquorunumemrum qui in eadem coordinatione a nitate cotinue proportionatrordinati inet similiter cum hoc mis
45쪽
normaioris minor minoris sint quada3 alia serie nu ruxportionu ita
merorum qui continue ab unitate proportionaliter obdinantur. Usu si fuerint erunt comesurabiles sitia..in Pomo inaior. b.mino i ago sunt continensurabiles: necesse est eas in mes ins conuenire. per ς' ' secundi cruPituti.ergo i Ialor deptimis .ab. sunt in eadem serie nil merorum ab unitate proportionaliter Positoru3. Coconsimiliter initior de primis.a. minor Delmis., critima consequencia patet ex probatione et mi. Lo si fuerit M. b.in alia proportione consimiliter est arguenidum: et ista conclusio auertitur. CG ut faciliter videanir disposui pro exemplo unam fi siue quasdam seri
ea nulneror uln.quas si diligenter inspexeris cim ad utitorios p io et iss mclidis poteris prolixuis Demon
CDicat aestvna lateralis ordinatio a sinistro secundum
proportionem triplam. i. .p. 27.et sicut prius dictum est quelibet proportio instiplex denominata ab aliquo minerorum istorum est commensurabilis cuilibet denoeminate ab aliquo eossidem. Et nulla alia est quin alicui nominate per aliquem eorudem num rum sit , mensurabilis. Et ide 3 dico de coor udrataque est Ramdum proportionem duplam: sed deme ibi unam coordinatione in sitis pinis numeris pria est semat. cuius p minueri sunt pinus post unitate coordinatione sinistra. s. t. et pilis Post unitate de Dextus .et.Ψ ypor est cuius nueri sunt. n. G.et sic t i finitu:qr coordinatio
portionis P est et 'prior' ad primari Oetc.Et que/libet ista de Uciui3 eoru de et nulla est inγ aliciu crum. s. n. illa coicit inaedus et nullae allecuistis nisi fuerit aliqua coordinatio et sit pars istius et iter ciruist 3 houpumos numeros est medium aut media in numeris sis pina Mortione huius ordinis.ssemali. CEtc5sila potes unam alia seriem .pportionii ex aliis numeris coponere in qua.pportione seril tertia erit i ferior siue prima. Et ita de qlibet alia xporupe n5 multiplici poteris operari. LEx ista pne.sicut ex precedeti put altu elici. uest*si aliqua .pportio multiplex sit dupla alteri' maioris de senis numeris maioris erit proportio quadrupla maiori deprimis niteris minoris:et sic radinet deminoenb' numeri Mide pr. et e . si primi numeri minoris duaro inalor pyor' sit 3 'mioris inaior niteriis malotio erit cilbic'et cox nueri pinini oris aut radices. l3te; si altu spor' ito in stiplex sit alteri zy minuerier' erunt1 ' TEt sist 'et 6et 'et sic ultra P pares denom, natiora xcededo i par ' itermissis. et ep. simi e u meti sint illa.ppor 'ad aliqua ronale erit et, aut qJ etc. et una ad alia erit es C et si ii sint . ' una no erit et 'aut ' etcnec aliq rdnalis erit me '' et' aut. .pars aut 6.etc. Sed quelo talis pars ei' denominata a nuero parierit ppor' ronalis. Oae si alvi Nortio no multiplex fuerit ad aliam 3,' iei' num sui cubici et .Et sila si rfuerit ad alia 9 ' et si iet is vltra duab'sema deno itermissis:eteue Si mi e nucii sit cubici ipsa erit ad alia et 'ri sin5 siit cubici ad nulla erit 3 'aut pi' etc.nec aliqira natis erit δ' es est neco nec leti' etc. mi Oxpoesyportiois no multiplicis stierit m stiplex deno ' aliquo
meri erut Ucubici. Do* oiui3 .pbatio et α' poteris here ex s' noni euclidis r ei ybati M. et ex figura questi pius est descripta. Et ut brmius me transtera hec bmitto. Loctava β. si iter pinos micros alicui xportio s finis fuerit solii nuerus medi' a portimus: nila xpor ronalis minor est illio ' nisi i .pporti de subet 'nec aliqua maior nisi in xporti de mali. aut mitiplici Gali. cum
tionalis ipsa no diuidit i alius Morti des ronales nisii duas medietates.p ς' sit caph: g nulla .pportio ron
erit ps eius nisi medictas sua nec pies.pcor terra
capthg nulla erit sibi di nisi aliquo dicto* modop. cide t ptari ex 'sinica irria mulsi 3 talis ista parac inae 3' aut 'vel S' Maest una porportio irronalis.
Emico et uisi iter prios numerus alicuius .pportionis tuerint duo ineud Nortionales et non putres nulla mi nor est eide comesurabilis. ut in Nortioe w3' aut i yportione uialt.nec aliqua maior nisi in proportione stratertia suppamculari. Et oui ou est medietas eis aut ':aut 6'.aut 6' et est mnalis. si inter mimoros aliciis' fuerit tres num mead poteriit et de B pontinuite cosises proportiones.et si *' etc.si s ' etc.Et ita bre/niter iuxta mi merum numerorum medior tim inter primos niteros pPortionii. C suit de .pporti ob ta duan poterunt p 6 et ' in si demonstrari. t Ex mictis et ri Ῥ ad qua ly yportione imonale e altu propor . rationalis dupla et similiter tripla et quadruplaeet sic de atris secundum genus miliari non tamen ad quamlibet est aliqua proportio rationalis subdupla aut stibi ri pia aut subquadrupla etc. et ita procedendo. Simi. literno cuilibet est alia ortio commensurabilis i sex qui altera proportione nec cini3 in sexqtinertia.nec inirtiplici stirparticulamet ita de alo generibus et specieb' est dicendux sed solu plicii lariter et deterimnate ad albqua est aliqua multiplenet nulla talia proportione. Per quintam secundi capti. CSimiliter ad aliquam est aliqua in proportione instiplici et sesquialt.et subdupla et multiplici in qui altera: et in nulla alia proportione: si/ciit octaua et i similiter dealqs. L 3te si alia sit duplaad.b.atit in alia quis . ortione: inter culus nii meros no sit numerus medius aut numeri nulla unca aut linee medie cum linea a .et.b.cotinue propor V ordinate Ducommcnsurabiles alicui eoru .sa.nec.b. Et si inter numeros proportionisai.ad.b. sit tantum vn' nu
merus nulla inedia* proportionum est commensurabilis xportioi.αω.b.nisi una. Et si duo due etc.nilia pote ς' si
46쪽
genere multiplici companis se ex duabus luperpar/uet 'nisi qdnina. . D qdrupla uat precile ex oua superpar. 'sic qroponit ex sexqui altera et sexu tertiae
et sic manifeltatur addendo unas alteri et militiplicado
nomination unius per denominationem alterius:
sicut in primo capitulo diccba turret ri exemplo proportio. d. taque cli dupla componit ex proportione. ad 3.que eit let qui tertia. et assitaque est si ilaltera.
Eo aut nulla alia xportio b genere multiplici litta
lis declaratur. Omnia em3 proportionum multipliciu placit minor et ommu suppar ' sexquialtera est ma/i deinde semtulertia. ut patet Perre superuas allogatam. L ita proportio est maior ius denotatio estitiaiovet minor cuius denotatio est minor. EEcia Ostolii iri eli . sexquialtera et sexqui ertia componut precose duplam: ergo nec Due murores inuice addite faceret unam duplantaec maiorem dupla. Sed quelibet alie e silperpartientes sunt minores:sicut due se tertiae
aut se aquarici aut sexquitema: aut sexquiquaret Existis duabus sexquialteris: ex quibus nulla multiplex fit preciscscd dupla semitiquarta: sicitum ex additi Munius ad alteri que tame dupla semitiquartas3 sit maior dii pia est tame minor Φ alia aliqua niultiplex ergo patetinnulla militiplex nisi dupla fit ex duabiis lupem par : q6 si ut prisbadu. LSiquis polica diligeter con/iideraucrit et geometriam et arime μ' sufficienter itebi erit multa pomotb 'etia poterit inuenire in quihus nolo divitius imorarL Sed finaliter pono masaliam conclusioncique videtur scinii ex precederibus: cuius fructus non modiciis per dei gratiam apparebit: et tanto amplius admirabitqtianto amplius circa 3:β et ea que ex ipsa sequutur protiindulta cogitabit. conclusio eli ista.propositis duabus proporrionibus igno/tis verisimule est eas incomensurabiles cile. . si multe proponantiu ignote: verisimile est aliqua alicui incommensurabilem fore. Sicut in primo capitulo tacebitur. tres sunt modi proportionu: quedain enim sunt x portiones rarioales: alie sunt irrationales habetes donominati des a rauoalibus: c cit ratio comesurabbies:et forsitan est tertius modus. proportora irratiotrique nullam habet denominationem: eo . no sunt com
ne nominationu: aut νm plures ordines multo pati inues.Sunt que sunt comensurabiles:etque sunt inco/mesurabiles multo plures. ergo duabus eap ignotisy positis verisimile est eas incoineiurabile esse. Antece dens declaras. Sumant .n. Fin ordine sis nomina Ilonu. io. proportides in genere multiplici sicut dupla riplaudruplaetc. vscvalloo et sint iso. termini asinulta comparati. Tuc uiter illisiodi terminos seu pros ides aparado qualibet cuilibri suntia. R.pro portloes proporticium et illarii.et .sut rationales 2 non Plures: et omnes alie sunt irrationales siciit pollea Doclara . ut si plures proportiones rationales tanquastanaum sument: sicut. αvcl. .et accipientPPor Iones earu3 adhuc erit proportio irrati, ' ad rati leamulto maior. L ut si capiatur proportiones in alio gonere in multiplici adbuc pauciores erui tuae comensurabiles. Immo omnes superpar sui Hicem uicommesurabiles ut nutum. L Si vero accipiatur quedam De uno genere quedam de alio paucissime erui iuicem comesurabiles.m sicut patet ex tertia coclusione hui'o imo de genere multiplici sui incomesurabiles atris. Similiter etiam deciipla nulli rationali est comesura.
bilis etc. centupla nec alia nisi uni nec leti' alicui nec i3, alicui M. L tande si capiatur oes multipliccs citra centum nulla est comensurabilis alicui rati, minori lino ex '.ictvt videbit post. Sic igitur m antecedes decla/ratu ad citius occlaratione faciunt ora coclusionco huiuis er nona. illinc declaro nona3 principalia videmusa .m numeris P in quibus iud scit quotlibet acce/ptis per ordine3 numerus pereectop. seu cubicop mul/ro minor est numero allop:et ino plures capiunt tanton aiore .pPOrtio no cubicop ad cubicos aut no placiora ad placios.3o si sit alias nucius o quo penitus ignoretur quis est: aut quatus sit.urru sit magnus vel paratius: sicut forte numerus ommu horam: que transibiitatem alium erit: verisimile est . talis numerus sit nocubicias.Sinuetiam in ludis si peteret nutilem ab/scondito viru3 sit oebaeus vel non: tutuis est responde . no:cum hoc probabilius et verisimul uis videatur: modo sicut est de numeris quantitatum ad hoc: uade Proportionibusyportlon ulla rationarii sicut est piis ollensum: qtua irrationales lunt alns multo plum adsensum prius dictum 3mmomplus est siquis diligen/ter considerauerit inuenici proportiones proporum num rationalium generantur et rariores sunt illis: quelum rationales et noctibici rariores sunt numeri cubi/ctur multitudine numerorum. Ergo si de aliqua proι porti de ignota petitur verisimile eit illam ei te irratio nalem. Et proportiones. quarum ipsa est proportio inconi surabiles esse: et hoc li proportiones ignote de quibus queritur forent Proporrideo irrati aes. Et si forte proportiones polite incnt de O modo. s. irritionales habeto se rona comesui . probat hoc ide sint a.et di Tiuic arguit sic.si a.est comesurabilis alvcui ronali a qua babct denominatione sit illa c. et b.cit comensu auctu ronali sit illa d. Et ultra sica.et d. sunt inconae; a.et b. sic icome, O argui spero ' s io .crsequiuir. a.cit comesurabile c.etc.cit incomesurabilis. cl.ergo a. est uacomensurabilis d.et d. cit comesurabile. bergo a. est incomensurabile b. m ergo Psic.et d. stini incolnensurabiles Met b.sunt incomensurabiles: sed verisimile est . et oeque sunt proportiora ratiocles sunt incomensurabiles. ut prius dictum est: ergo verisimilecit *a .et b.sunt incomesurabiles:s si ut nunc probam eum. Et si forte essent de secundo modo proportio/num si sint alique talesuta Φ nullam taberet denorni.
natione3 adhuc exillimadu est et verisimile est . sit ita
de aris: sicut de illis quatum adhoc.s. . interyportio/nes illarum proportioniam rationales sunt minores mirrationales.Et ideo verisimile est proportionesumsitas Gla inc5mensurabiles.s Et si forte una sit oinodoalia sit de alio. mnc arguitur sic.3n quolibet ni odo perte silmpto proportides incomensurabiles uater se sunt maiores aliis ergo similiter erit in totali multia plicatione proportionu3 ex illis modis aggregata con/sequetia nota .et antccetans prius probaui3 est: etexarmtecedente multur propositum: ergo et D cons liente. Let arguit specialiter.Si a.esset de primo in o. et di secundo modo: quia tunc b.em coni Iurabilis albini de primo modo sit ira. tunc vltra.b.cit coniciurabble et c. eli uicomensurabile a .ergo b. est incoincrasti bile a. consequentia patet per comenta octaue Decimi. et antecedes cit verisimile: quia pnia I ars est vera perpositu et Σ'pars est verisimilis.Wpus sinu batu g conclusio veri sitis .m itam P duabusIportioibiis ignotis
apportionalitercilius fuerint siue ronales siue in ales
47쪽
verisimila est illas intamensi irabiles dilam fuit mopropositum. Ergo si ponantur multe verisimile est alia quam alicui incommensurabici; fore: q5erat secundo inoposivitia. CEt quam plures essent tanto magiam dendii3 esset . aliqua sit alicui incommvirabilis.Si enim .pposita una xportionea portionii verisimileest illam irrationale me.uerisimillimu est propes pluri bus aliqua irrationales forcismi possetis Qtemplo denumeris cubicis declarari: uti probatioe medetis concstisionis dicebas fusi capiantiso. Norto eas inuicem comparido M. Tvro cui 'declarati pono conclusione talem. Quotlibet terminiscitulae generia propositis quot proportioes intereas fuerint qualibet cuilibet comparando uiuenire ni tmerus positoriri ter. minorem primitus est sumendus qui multiplicet per Propinquiorem numeratorem .s perimediate inuem tem: et numerus productus est nummis proportionii 3 terminorum us positorum numerando portio na vortim ineqlialitatum et minorum.α si volueris habere proportiones maioris inequalitatis praecise: tunc eiusde* muneri producti medietas capiatur et habebis intentii. sicut feci in probat precedetis conclusionis: quia de Pportione .pportionum maioris in ualitatis erat sermocum dealqs in pino capis fuerit expositu3:
quonia Nortio earum est penitus: sicut proportio pro portionum maioris in ualitatis sibi corres dentili. CEt Getiam nunc volo loqui tin xportionis'maioris inequalitatis de quibus semper loquumr aucto res:qilia etia ide est mimems eopcum numero allop. ΓΘmt ας emigra. termini.multiplicabo . a ueniet.ieta umenis ronalis Pportionu in utram ine/qtialitaterauus medietas vel subduplu es .ctnumerus
proportionii maioris inequalitatis iter eos assignatos. Eo totidem linee possuntxtrahi de amo termino ad alteria a. . punctis dispariter simatis:que sint abae.d. et totide modis possunt quelibet quattuor rescii3 alia combinari. Et ita agendii est si sint plures res pucta
seu terimni pportionales ad inueniendii numera combinari u seu Nortionii. CAliud exenu sit illud sponit in edete coclusione. in eius declaratioe.Sint
igitur ita nume .si . a ortiones per i mediate so
portiones sint de genere multiplici per ordine sumpter sic pus dicebat ut dupla tripla qdmpla M. Ei o. sint proportides earum ostedendo P istam. R. proemmonii . . sunt ronales et no plures et omnes alie sunt
irratio 'et accipio pino et ' a' si is nim is imis e sunt come inter se multa alia rati, 'citra QM est comesura, alicui eam. per ς' coclusione huius camilcmultiplicet ergo.6 Per. .et capiamus medietate producti et habebimus. i et iste est numeras proporum num istam proportis .et istet . proportiones promtitionii sunt rati les. te et si sui essit, rabiles inuice et nulla alia alicui eam per eande is huius.istas. aetra comparando sicut pus intreniemus.&proportiones istam Proportionuique sunt rationales.
1 3tem i, , ' capiamus x et 6 M. eis est dictu: quia ista coordinatio est pars prime. vem si' et ri
sunt cSmesurabiles et nulla eiusdem citra io, ' quapest sy 'proportio in ortionum. Γ'mis' et 36''oant nobis una alia. Cye is ' et io,' via alia: sicut una truum is, et Exhnquia nulla alia nisi iriditia est tamen
surabitis alimi citra io nisi sit aliqua istanam. vim
ex ε' coclusione .n anifestu3 est . tua simi.io. Proporationes. quani quelibet est comesurabilis alicui ronalicit lino. TEt si quelibet is lammi6aesset comensura/bilis cuilibet ea rude haberemus.leto.pro riloes Pro portionu ratio' :sed quia no est ita sAS e sunt comesurabiles iter seret alie quattuor inter se et incomensum biles primis:et sic dearis. ideo im sunt.Σ . .pportionestrarioales M. P. ortionibus de quibus erat fimo. Et relique omnes irrationales est ergo proportionum irro illa p ad ratio' siciit.iosad unii. T pro lusione pina prius posita data est una re ': sed do alia perqlia eminuenitur numerus xportionii inter terinios quonibet assignatos.Sit iram numerus terminop Prutus a.si ergo a. fuerit nitems nar ab eo deme E et 2 modietatem residui multiplica ipsu3 a. Et producto adde medietate ipsius a. et habebis intentu3. Si eoa.es ii parabeo me mu3 et Permedietate residiu multipli
in ipsum a. et numeriis .muctus erit numcrus.pportio/mmaut combinationu terminop aut lineam. si anusita essent puncta difformiter simata. C exemptu pini.
dietas citH. st qui multiplica.S. I sunt.et cui adde medietatri ipsius.8.et habebis.zS.qui est numeri quesb
menis a querit. CEx istis duab' regulis: que in uno fine coueniunmr ide babetur per unam et per alia.Sequis etiam ιν totalis numerus .pportionu in una meo utatCaut combinationu aliquop termino*: aut linea. interpuncta dispariter simata no pol esse nisi vesnumero: in hoc ordie posito M.ffisas.U.28. 3α etc.
que quide ordinatio sic componis.Etetia ulterius*ubet parte dirige in hunc modii. J 3te pino numero ponea unitate citi adde duo: et habebis Σ' istop numero/tumaelii es adde.3. 2 babebis 3 mi adde. . et habebis diui adde. .et habebis C et sic ultra. unde ma dicit
nueros aliosa icti saetide dico de lineis facti inter puncta dispariter sit uata.s. nulla 3' pucta sunt in malinea recta. cap. IIII.
pro quidiis sunt alique suppositioncs IU tende prima sit hec Gelocitas sequiuir proe Dii PPO portione potetie motoris ad mobile scuta resistentia 3 eius. unde proportio unius velocitatis ad alteram sicut proportio proportionis potetic unius motoris ad suum mobile ad proportione proportinois alterius motoris ad sini3 mobile.ista suppositio in per Rristo.es mi.et tamentato. ibidem.et M et π musco. Secura sirpoositio est. proportio composita ex mai et si Polareet minore ein maior G diima minoris. Doces generaliter verit; de qualibet qtiantitate. Tmia suppo 3'suppositio.Omnes potetie sunt equales que ieci mobile vel equalia possint equali velocitate motiere. C Quarta sus suppositio. In quodcum aliqua potentia potes in id potest quelibet potentia sibi eqitalis: retram in quod lihelequale. CQuinta suIvositio. Omnis pars cui tin s stippotu et pci se dupui3 est minor residuo vel equalis:et cui totum est misin dupum residuo est minor: etcui to/tum minus est eti duplum residuo est maior. I Sex suppota supposivo.Si aluiua pars est commensurabilis suo
48쪽
isaeerit etia comesu'i' residuo quod cum ea componit totium etsi incomesurabilis residuo erit toti comensurabilis.m ex eo in rausPPortio erit Pars aliquotae aut Ptes siti totius. Exquo est toti comesti 'qragit erit ea.dem denotatio talis Partiaeet eua3 rindui. vim ex una iuppone facta in probaude et Alanis sini capuἰ g reis diuun erit comesu toti pam: ergo et toti 2 S decimi.
'suppo CSemnia sup .si aliqua pars est icomesu suo toti
erit viritu: ergo si a. no est come utrim ista no sunt
comen '. alitia p3 a delimctione antifriaris p perpumam parte none is que dicit sic si fuerint Due quanta res conum icantes totii q6 ex his est afectu utrim eam erit coinunicans: ergo si b.erit incomesu ipsi a.simili/Muppo ter erit incomesux ipsi c. L octaua stipposuisaeo taxportione totius ad aliqua erus parte pes scinyportio illius partis seuPPorsionis ad residuum.Similiter δι portio totius ad res ii Tn.Iportio totius ad una νι portione sit rati, eade Immo et insiditu eode modo nominarit: MPortio.pportois talis ad indusi essissciat numerat op ad numeratore. Droportio A ton' ad residii uest. sicut orno demininatoris euasdem rem
diu ad numeratore eiusde. L 3stam Π tribus sua
tionibus faciis ad 3'' clusione loei capti. sit a.ton1Ab. Imri ioc.residuu.et sit.pportio a .ad b. nota: que sit, 'gdierit i . a. gcem l : ergorpor badaam mcut unius ad Pi .ssii una.et ortio ad caerit sicut 3 ad duo.Ls uialtera. LII a suppositio habeme 'ets' sonibus leo capti de numeris datis. est ista:st totius ad detractim fuerit xportio data et residui ad detractum erit proportio data . si residui ad detracuuia fuerit proportio data: et tot uis ad detractu simul diata erit. L ut v pclusio sit illa. si totius ad detractus fuerit.pportio data et totius ad restauerit xportio dataeet intelligit per xpor Oione data .pportum n cuius donomiatio nota el : ut tabemr in pino libro 'ni. in ita
que ex pina parte 4 Albnis: et ex ista p. s' xpositio hui'capti fuerit vera. L Itona suppositio et vltima sit
stippo ista scita .ppomoe duarii quatitatu una earii scita alto rara* poterit esse nota hoc . dico de quatitatibus. bat seciuida ocla de numeris Paris: que talis est. si da/ti numeri ad alique fuerit Iportio data et illudatu esse consequi I mmm.l.nonim: et quelibet due quantitates iant sicut et numeri. vim ex ' io. LIdem erit hic di tendis de numeristaut de qualitatibus comensura, quibuscum. L 3te ista suppositio declarat .et sint α et λα qualitatesquam .pportio sit nota que sit se quialtem et a.sit quilitas nota que sit noue pedu:dico. barrit
noue ad aliquid puta ad diet tunc per coem regula multiplicando Σ' per 3 .set. r. et perpredicta diuidatur per pinu. eres et bit .sb. q6 sic fiet nolim et erit sta regula est vulgata et alibi demonstrata.
D. C prima coclusio . iste regule limi false. Si aliquam
D . tena in et ali mobile aliqua velocitate dupla Potem mouebit ide mobile in duplo velocius: et ista si alici potetia mouet aliquod mobile . eadem potetia poterit subduplu mouere duplo veloci' falsitas meri. Et sit b. una potem que moueat mobile aliqua velocitam et sita.γ' dupla Ei giporta bad c.sit dupla. bene se quis . x portio a. ad tacri ppomo ad b.duplicata.per c. semidii notabile primi ergo ad c valde bene sequit. velocitas quaa ouci est dupla ad velocitate qua dimouet er pina supposition rnor fio velocitatu est sicut a portio a portiora. L Sed aduerie.si propor
dimaiore o dupla ergo a.mouebit c. pius qua in duplo velocius Q dimoueat perinia suppolitione. C 'o si proportio bad cait maior G dupla sequis IIvrtio a. ad cerit nunor qj dupla advortione bad cvier lecundam suppositionccrgo a.moliebit c. velocitate minorissi dupla ad xelocitate qua b. noua c.Per pinam suppositione. t Uerbi grae sita.F. b. . si gyportio b. ad ce
ad cerit proportio b.ad c uplicata. Si aut xportio b. ad cfit minor qj duplaata ut sit. tuc a Portio Rad diest plum proportio b.ad duplicata ergo velocitas est plura duplicata. CSi eo apportio bad c sit maior ψDupla ita ut cisit unitas.Tuc proportio a adc. et simi se
velocitas est plus a dupla. CSiDymmo b. ad cisit maior G duplauta ut sit unitas.Tuc Nortio maciet sinulitervelocitas est plusquo dupla: ergo patet cae; duplicatioe motoris no sequit duplatio velocitatis nisi in uno casu.Lquado potentia activa prima Pomnuad mobile duri rgo regula est falsa: qr exquo est conditionalis deberet esse necessariaret alis no Ocberet posst esse veru sine cosequete : et tame veritas antecede no stat cum veritate piatis nisi in uno casu. falsitasi re pol per cade murcipia demonstrari quonia si albina poterea moueat aliquod mobile aliqua velocitate eadem potentia no mouebit subdit plium in duplo velocius: nisi pruna velocitas a dupla proportione prouonuet. Immo quadocv illud quod ipsa mouet dupla velocitate: quid 3 esset in proportione sub diu ad primum: quid i maius Φ subduplu: et quud et ininus. LSecudo arguo conti a secunda regulam Quia si sit vera.sequi urg)quc Qi Potoria quam v bυ Ἀκ est lis possit movere Ocum mobile intecum fuerit res ,lsi m I EI sumatur a. Potentia.que possit mouerec.et sit d. viiisue mobile duplu ad cetssit duplug ad d.g. 4m ad Let sic ultra. t Tucybatur ista cosequetia.a .Potest minuere ergo potest mouere stet similiterybat ista potmouere Sergo potest mouere Let similiter potest mouere femo potest mouere pet sic ultra.CSit iracv b. utra potentia que possit mouere P. lino tarduis pcist Φαmouet cisicut est possibile. ergo si re sit vera b t mmum c. duplo velocius Q immo bootest movere αν est subduplim ad ciet medietas eiusaergo b test mouere ita velociter precise sicut a. potest mouere catra. mouet duplo velocius G b.m cat daemo ari b.eque velociter possiant mouemcoerseptima quintiSi duo ad tertiu habeant eande proportione ista sunt equaliae ergo per tertia suppositionea.et di sunt equalis potetici sed dimi mouere spei post g per quarta supponem
a. t mouere d.q6 fuit pro G. Ceteode modo po/testybari ista cosequetia. Me mouere L ergo pol mouere capiendo unam potentia3: que possit mouere c.
Duplo tardius Q ipsiun a possit mouere d. Et pro
bimn at prius Φαet illa potetia datae que potest minuere sunI equales.Exquo sequitur proposinim: sicut . iis est deducrum. C inrisi si a.moueat caproportioe quadrupla. Tuc grana inae bene sequit mouetcuit illa polante mouet duplo velocius hoc est a..pportione dupla.sb. Potentia posset mouere c. subdigilum
decvita velociter preci se sicut a. t uri c. ergo sicut
49쪽
micue equales: G potest mini ered. quia sitra. bel
Lia que pol mouere duplo tarduis pol mouere Sura velociter init a. mouet d.3mmo inuit. - uis:quia sit illa potentia b. Mnvitio bad rit medietas duple proportionis: et cum proportio b. ad αsit proportio dupla sequit . proportio bad Seincom sita ex dupla et me Iplergerit maior G in laeergo
per pinam suppositione b.mouebit Lyciocius oratioueat d.quia a.erat dupla ad LMeo no aequit amplius alvi mouere L mo et pol mouere cim tame inuinin si regula esset vera sicut est demostratu. CQuid ergo dicemiis de Arism physicopstua videtur ponere bruiusmodi regulas reprobatas. Dicendum estissunt fallanili addatur ad mina. Si aliqua potetia moueat aliquod mobile a proportione duplae diipla potetia monebit .Et mist ad inda. si aliqua M. una eta P/portione dupla eade3 mouebitia. Et ita pomimus glesare et dicemita . sunt itelligedere et forte: in Aristio dicit hocaedemisium in transsatioe et sino dia in forte
subintellexit. vel fortem L Secunda coclusio. quali. t velocitate demonstrata et qua volueris proporti oposita an a maioriniit a minotis ueniat reperire. sita. pportio pposita mibi nota.et sit h. vna yportio a qua venit velocitas monstrata que quidem b. proportio
locitate demonstrata a proportione b. ignota: signenirmobile unum minus c. ad quod st habeat c. in propor time a mota et Maeet sit illud LTunc diabebimus ma3 proportionem d.ad Lignota3.Et sit ista cque erit composita ex intermedus p in Euc. in princi sistimi. Hin fimo capitulo iseest allegatu compositas a. pportione Pata que attenditur inter et r.et b oportioe ignotaeque attendimr inter a.et applicetur itaq3ανω
tentia admotum mobili et moueat ipsu3 aliqua velo/citateraut ergo ista velocitas erit ma velocitas dupli eat ta . l.mouebit Lmobile duplo velocius Φ ipsus d.mobile c.etsi sinergo xportio aqua mouetur L erit proportio duplicata aqua b. mouebit c.quia velocitas sequitur proportionem π.per primam suppositionem.
CEt ultra proportio est dupla ad b. et est composita
duplicata ex tali applicatione d ad Liam b. xportio statur esse eqtialia a.Proportioni nomet prius Pate: aut ex applicatione Sad s. velocitas prima erit plusqua duplicatar ergo perpetimam suppositionem e. proportio erit
plusqua pportio duplicata et iusqua dupla ad baergo per inda pariem p suppositionis b.est proportio minora. aut ex appliciti dedola mouendum f. velocitas erit minus G duplicatae ergo per mi suppositionem cproportio erit minor m dupla ad b.ma3 partem: ergo per tertiam partem V suppositionis b.proportio est maior Ga.proportio que est refiduum Dec. dempto b. Et
hoc est quod volebam scire.Uerbi gratia: sit a. propor/no data notatque sit tripla et b..pportio ignora a qua venit velocitas demonstrata quassim ci ci capiam mo
ta.strina. Si ergo .mouet f. plo velocuis istam se ergo barat .pportio data tripla equalis a. si plus in duplo velocius:ergob.est minor Φ a. et Φ tripla. Ominus Q in duplo velocius: ergo b.est maior tripla. si consimiliter per idem argiumentii Poteris propos, . tum inuenire si semper maneat id modii et accipias unam potentiam que excedat secundu3 proportionem data; et sit fis applicetur mobili pruno. Et tunc aut cimouetur precise in duplo miscius G O.mouebat L aut minus S in duplo velocius aut magis. ut arguitura. cui in pecto capitulo.o aute3 velocitas sit duplicata: vel plusqua duplicata: vel minus patet ex diffinitione velocioris vel tardioris positain. physicop: quia simicirca calique difficultates a pler diuersa genera motum nolo me in eis impediri.sed in proposito volo sta re. otia conclusio. ta proportione duo* mobi/ 3Ilium et stilo in qua proportione minus moueatur velincius ab aliqua potentiassi maius mouetur ab eade3 potentia.ad utrum mobilium proportio potentie fiet no/ta. Sit a poteria ban 'mobile.etc.min' rq r omnis motus prouenita proporti maiorisinequalitatis usuppono a. erit maius b. sit me. proportio a.ad b. et prooportio b.ad c.sit Let I portio a ad c.sit d. ergo d. propora
Cett. Et vltra sit g proportiodad ita. g. erit xρου tio proportionum. a quibus velocitasProuenit: et qr avportio velocitatis est nota. per hy tesuproportio proportionii erit nota. .g. per mam suppositione3. Σ
bemus itam quattuor proportiones Set cf. et g. qua Ioue sunt note spet fet due ignote. Set quas volumus
eci notas. Rr tiir igitur sic proportiod.totius adc.sui partem est nota: ergo proportio euilac3 partis sciad Dresiduiim erit nota per pumam partes octaue suppositionis. CEt similiter proportio totius dard f. mi. duum erit nota. per secunda3 partem eiusdem octaue.
Eouinc vltra proportio Gad fast nota et faest proportio siue quantitas nota ergo erit notaaergo due proporationes.s.c.et Silam sunt note: et hoc volebarri.Uerlu gratu.Maa quin ad c. et velocitas qua c. uenir sit topia ad velocitatem qua b. ueni ergo per prima suppositionem proportito Noportionum. speriit ipla itis in d erit triplum ad caergo cerit una 3'de d. ergo fresd 3 erit me tertie ipsius d.ergo proportio dad ferit
sinit denumeratoria ad numeratore3.s sicut.3.M.2. in
laxqiualtera: et tam portio D.per hypothesi Nov. componetur tet dupla et me de morti,nis quadruple: et quia Scoim animrexciet Let Lindivina c.erit medietas dupla vel sit tama proportio 3y'cf.r 3 ergo proportio earum est: simi proportio numeratorum ergo c.se habet add.sicut unum ad duo. Ila. tandu*l3b. sit duplum ad c.non om propter hoc. a. moueat duplo velocius G a. moueat b. qr hoc est improbaturri per puniam conclusionem bilius. ΓΘciendum est etiam in sicut ex proportione duo: mobiliuet velocitan reii ectu eiusdem potentie ad quodli mobilium. proportio potentie potesttarie ita etia qua/si ecoueris scita a portione diram potentiarum et velincitatum respectu eius 3 mobilis cuiuslibet potine ad
mobile potentia fit nota. 3ta proportiones erunt more a quibus velocitates otiuntur: ut si ponatur Psitta maior potentia.b.R3 minora canobile quod mouet ab ut v successurer et sint cetera siciit pruis: et tuc arguatvlteruri penitus simi supra. Ecui arta ocluso.quauia 4 pdemostrata et qua placet romtidea posita. figa portio
50쪽
nota. 1 Signens ternum sinit in Σ'coclusione. Et sit
tur ergo Linobile et Lmin'ssi c. ad q6e.se habeat in s portioenaeque est a.silm a.totalis proportio a.ad L ainplicetur quom a potentia finobili et moueat. Rut ergo velocitas qua d. mouet f. est comensul velocitari quai noem et caut no.Si sic ergo totalis erit comensurabilis a.Hemmor senam suppositionei quia ab istis ImrWvenuint velocitates predicte: que sunt im nensurabiles.ergoa oportio erit comen sui a. residii .sb. r sexta suppositione3. Si D velocitas mitor qua d.m et Lia scomesurabilis minori qua d. mouet c. gyPortis maior aqua venit velocitas maior.inest incomesurabilis e.nor irimori a qua venit minor velocitas.Per pina suppositione:etvltra b. para est incoι messirabilis c. sue partu ergo est intam a residuo.
per septima suppositionem istam qualiter inuenis si di
proportio est comensurabilisvel incomesurabilis a. summoni et hoc fuit pino xpositu. CEiergo boopo,tio sit comesurabilis a. xportioni ergo erit proporti
bilis c. ortioi totali .per et 'pariem et suppositionis.
qr ab illis ortionibus oriunt. Velocitatis giportio id aaerit nota per s''sed a.est .pportio nota per vit,mam stirivinosum Fixerit pportio nota Eliter arguo sicyportio velocitatu est nota: et Nortio mobblium que est xvi nota.ergo ad utrum mobilissi ppomopos fiet nota per Alusione me precedere: g .pportio erit notae etiar dixPortiserit nota: O fuit Σ'Opostu. Verbi Naa. yportio ata sit dupla subdupluade. moueat iracud. mobile in die per unum miliare et applicet Sad fet moueat Lm equali tempore per unus
dissi icoincturabile miliari: q6 se beat ad miliare: t dyameter quadrati ad eius costa.si g ita siti nexportio qua moucbite. erat incomensurabilis duple. Et similiter xportio qua mouebat squia tucc. se betatad b.siait dyameterad costa ergob.erit immensim rabilis residito.sper septima lisi positione. CSiecto.
moveat cisio pus per misi miliare in die: et in equali tempore moueat for tria miliaria ergo ortio d. ad Lisaest 3 'a pportione d.ad Gque est b. ergo baest ma3 dee.eta.est 2 3 de Noeaergopportio avid b.es .sicut te ad Leta. est dum ut positum est. ergo baest medietas dii et hoc voleba3 scire. C Si eo proportio data.sa. fuisset quadruplaret d.m et per ii miliare: sicut pus
portio duplar: PPortio octurea.t Et eodemodo babebit intentu: Eu due potetre mi mobili comparatu siciu dicebat de roclusio ita . f.sit maior potetia minor potetia. et d.mobilea sit proportio fad c a. ata et postqva c.mouebimrd.applicet fad d.et arguis visit . CSciendu .Pportio velocitatu arguis et sumis Nomone tempo* et Pactop pertransito: siue acetsitorum vel aliquop talium. Hinc et 'Physicon Nex proportione velocitatum arguit proporti portionae et iste processis est a posteriori: quado ere ex propomoe Torvonu arguitur proportlonlocitat .m μι
Mi velocitate sciri poterit a qua ortione oriatu cista tamex ortloe velocitatu. sita.nota proportio a qua venit velocitas data: tu sit una alia vclocitas istic ι mensurabilis que oriatur ex booportione. Eico. b. minora et arsuo sicyportio .pportionum .La.an b. est icut proportio velocitatum per pruna suppositionem et proportio velocitatu est nota ut silm mirargo pro
Paulo a albaest notae seda. Moortio nota perbippo mesim: ergo di est proportio nota per nonam sumomtionem et hoc est propositu3. Sic ergo sciemus tam portionem potentiae ad resistentiam.f. proportionem aqua venit velocitas: ubi γ' nequita suo mox sue a sua resistentia separari: nec diuersis mobilibus applicari. uerbi gratia. sit a.proportio dupla a qua venit velocistas data. Et sit aliqua alia velocitas quadrupla ad isti: que menit π b.proportione:ergo b.est Iportio qdrivmada sicut ad durima. Eugebo ergo portionemplam v scd ad quadruplam eius siciit dicebatur in mocapitulon habebo ortionem is 'ergo baerat ortio ioi'. Sma conclusio. lota proportione aqua σ3
venit velocitas.si sit rationalis duos euis mos nutuo res dare.Si vero irratidalis duas lineas iti rerqua/rum maior sit siciit potentia moto minor vero si si/ciu resistetia rei note. L cista; petimo de supposito: de inde dexposito. Doupponamr. Novio sit nota aqua venit velocitas: et suoportio est nota quando euia norinstita. Aliquarum aut proportionu3.s omniu3 rationabiliu et qtumdam irrationarillu Penominatu
nes sunt scibiles et aliqtiam 3 irrationabiliu no sinistis bilemcutin fimo capimis et in probatione to tertu caspituli dicebatur.Si ergo fuerit aliqua velocitas queat proportione oriat unciuus denominatio iubili noeshimpossibile est ut huius nortio fiat nota. Venitas nam de qualibet ortione nobis data vel danda poterimus inuestigare: perfecitnda conclaisionQ utriri ipsa sit maior vel minor tali xportione irratio' incognoη et innominabiliret sic tandc3 poterimus inrestigare duas ortiones satisn inquas. ad quas talisxportio ignota se habebiti ita . erit minore maior et maiore minodiet hoc de sumere. Si aut velocitas oriatura proportione.curus denor sitstibilis ad cognoscendu3eam
precedetibiis ad hoc Iussumus adiuuari multu valde.
f in cnim possumus demiali, portione xposita
reptare mi promo: vii venit velocitas: sit eide equaslis: siue maior siue minor. At ubicum sciuerimus n/portione velocitatu attas mobiliti mpectu eiusde motoris ab eade ιυ': vel velocitatu et potentiam et motuum
re.ut si aegraue moueatur in aliquo medio et b. minmoueat in eo medioeyxporidem enninsa ad bet velocitatu De utram velocitate sciet aqua ortione
oriar nisi fuerit: eo ς dipliis iuuab ra medio vel ex distorinitate motus vel aliunde. Cet si aliqua proportio moratur sciemr.si ista de qua queritura qua venit
velocitas sit coincturabilis xparuoi rposite ci, si LOrit fiet nota per quartam conclusione. Eo si per istis
conclusiones vel per aliquam istarum possumus orationeyali citius velocitatis cogitare ita*possumus dicere. talis velocitas prouo ita tali proportione.Ucrbi gratia velocitas qua aliquod mobile pertransit