장음표시 사용
181쪽
i a Manifestum est porro, curvam Oo Lin hoc casu es hyperbolam aequilateram, axe recto FA, semitransverso FL, subtangentis longitudinem aequanto, descriptam, quippe ultima tangentium, evanescente Ordinatae quadrato, erit potentia, a dedi e& longitudine, aequalis soli subtangenti ; intellecta igitur F D eidem aequali, ut integer axis tr niversus sit D ta
atque ordinatis OP, O P; quoniam dicterentia quadrati tangentium , sive ejus aequalium H O, vel A O, ideli F P F Pa quadrato subtangentis FL, esi quadratum ordinatae EM, aut sive ipsarum O P; erit semper rectanguli im D P L aeoua. te quadrato PO, adeoque hyperbola Loo a qui latera 14 Est autem hyperbolicuitas patium AO OLF aequale rectangulo ex subtangente Logisticae in parabolicam curvam it Iani, quae Logi it icam perpendiculari ter secat ,, juxta deterivi nationein . 1 . Propolitam , qu .Pque eam deni, seu aequalem luscipit ordinatam, aut eisdem axi paralles istiuor it citur; sit enim ejusmodi paraboIa Fid , cuius lemma rameter aequalis subtangenti Logi ilico, videlicet FL, tangenti in
182쪽
Theorem. Hugen. Cap. VII. 167 .
puncto i , seu ipsi curvae perpendicularis i X abscindens ex ι axe infra ordinatam ty ipsam y X aequalem semipara metro,
seu ipsi FL iuxta ibidem dicta) itaque Xt aequabitur HO. s& ducta quavis axi parallela , erit Xt ad Xy , seu ΟΙ Ιad L F, ut quaevis tangentis portio, lineis infinite proximisHe, Sq intercepta, ad ordinatae y t portionem, iisdem lineis interpositam ; rectangulum itaque ex hac ordinatae portione in Ho semper aequale erit rectangulo ex constante linea F L in illam tangentis portionem, omniaque rect-la spatio hy- iperbolico adscripta aequabuntur rectangulo ex F L in curva parabolicam F t T, ac partes partibus correspondentibus; ita- ique rectangulum sub circumferentia, radio FL, seu subtan- gentis Logisticae descripta,in curvam parabolicam F t T,aequa- ire erit curvae superficiei rotundi solidi ex Logisti ea N M cir- sca axem voluta progeniti, partes etiam correspondentibus ipartibus aequabuntur, & talis curvae superliciei portiones,planis quibuscumque DN, EM interceptae, erunt ut paxtes Parabolicae curvae t T, inter axi parallelas ab iisdem cursiae pun ctis ductas conclusae.
is Assine huic est, quod in solido ex Tractoria circa axem
revoluta nuper detexi, nempe applicatis tangentibus ad ii n-gula ordinatae puncta, quae, utpote aequales, obstabunt superfi- iciem parallelogrammam AOPF, subtangentis longitudine,& ordinata contenta, erit infiniti illius solidi superficies aequalis stiperficiei eylindricae ex F A OP circa axem revoluto, uuippe quae pariter ad parallelogrammum OF sit, ut circum- Ieremia ad radium ; quapropter etiam curva Tractoria gravitatis centro ea rere dicenda erit , sicut Logistica , aliae quaevis interminatae lineae, finitam superficiem sui rotatione describentes.
183쪽
Theorema Decimum uintum in quinque partes divisi
alias demonstratum . Figuraram ad eumdem axem compositarim, si portiones unius proportionentur ora dinatis alterius , quomodo tangentes determinandae.
Asia demοκstratio primae, 9 tertiae partis hujus Theorirematis. mperbolicum spatium aequale rectangula ordinatae in alteram Logisticae subtangenteis. Tan . gens Expansae Ungulae cylindricae determinata. Geue ratis constructio tangentium pro οwvibns ungulis elisex cylindro non circulari abscissis. Solidi ex Luisti- . ra inlinise longi superficiem fultam esse rursus δε- monstratur . Imperbola ungulae Logi sicae correlata', ' st yarallelogrammum Lusica trilineo circumscri- ptum ad ipsum trilineum, ita olivdricus Logisticus: ad suum truncum , ita ct Huperbolicas olivaericvs ad truncum suum. Rotundum solidum ex bperbola, ad rotundum ex Logistica , ut inscriptum hyperbolae parallelogrammam ad Logisticae subtangentis qua-
. dratum. Caeterae Theo ematis partes ex longioribus . Logarithmorum tabulis determinaudae. Auctoris verba circa hyperbolae quadraturam ex Tractatu de evolutione curvarum adducta. Huperbolae quadratura per Tractoriam, -
1 T It timum Hugenii Theorema quinque partes complectitur, quas demonstraturus, & simul referam, ivisasteriscis, ordinis , 6c claritatis servandae gratia, dili inguam -
184쪽
ait igituri 'i Notum iam e T. hanc Letificam lineam tetragonismo Θ risiae defervire , se demon aιrones P. Gregoria a S. Vincentio circa bperbolica spatia, duabus ad alteram aBm-Foton ordinatis interjecta. Godque se duo fuerint hujusmodi spaτω, is quibui ordinata unius μι , ut OD ad HGin ultima figura , in ordinata alterius , ut B F ad c E . Me
spatia erunι inrerse, ut linea D G, O FE. Nondum astem, quod siciam, notatum fuis, haec ipsa spatia Θperbolica esse adparallelogrammum Θperbola A voco parallelo rammum. jus latera μι dua as utramque ais totori ordinata ex e dem puncto sectionis ducta ut unaquaeque linearum D G. FEad subia sentem FO. deὸut. parallelograminum ιν- perbola Iupponatur partium O, 434a94 8is , quodlibet Θμr-holicum spatium duabus ad alteram a mptotota ordinatis interjectum erit ad hoc parallelogrammum , ut Logarithmus p portionis earumdem ordiuatarum, videlicet. tit disserentia Logarithmorum numerorum, exprimemium proportisvem ordinatarum, ad utimerum o , 43 r9 8i 9 il acceptis scilices tigariatomis decem notarum ustra charactersicam. 's Hinc porro facile es veritatem ostendere Tetragonismi Θperbolae, an me pro- posset in Tractatu de Evolutiove linearum carvarum, gnem --
185쪽
a Ptimam, & secui adam partem iam eap. 6. -m. a. 3. O abrade ostendimus ; tertiam quoque partem ade ire & re . tiquas ex his consequentes , ibidem num. 6. 9 7. in aperto posuimus , ut nihil. opust superaddere , plenioris tamen scientiae ι atque Leclorum utilitatis gratia, rursus eadem de- inonstrare aggrediar, generali hoc Lemmate praeniisso, quod& in praecedentibus quadantenus attigimus t nimirum . Si duo spatia quaelibet A B, SRB ad eumdem axem BR con parata suerint, itant semper unius portiones, a termino R con lutatae, proportionales sint ordinatis alterius, pulli, FN QR ad DTR ut FS ad T P; manifellum est, quoaeonstans quaedam linea K se habebit ire para metet compa- . rationis eo modo, quo capste ψ. m. a. parametrum Logi-
stloae exposuimus) itaut, si Κ in F S adaequet spatiu FN M. etiam K in T P adaequet spatium T O QR ; nat ergo, ut Καδ F N . in F D ad FS seu ponatur N FD reganguiunx aequale spatio N F R dico junctam D , tangere curvamRPS in S. Patet id, tum ex cap. 6. num. 8. ubi generaliter monuimus, in curvis praemiisse conditionis, esse G M ad S F. idest, ob triangula similia, FB ad F D, aut reictangulum alteri figurae adscriptum B F N ad N FD , ut idem rectangu-
186쪽
Ium 3d si alium N F R α, quod proptere/ aeuuabitur ipsi N F D rectangulψ, eritque, M K ad F N . ita FD ad F S,
Mippe cuna ram extremorum , stam mediorum xectangula eidem 6 F QR sp tiri sint Qqualia tua etiam ςonst i ex dictis cui s. min. q. u7. 9hi ex mutuum compositione hanc
ipsam tangentium constructionem, data praescripta figurarum conditione demonstravimus; tum denique hoc argumento ;ordinentur hinc inde OTV, o tu secantes curvam in P, p , rectam verbDS in V, u; quoniam ex constructione est spa
ra dextra , ubi curvae R S convexum axem respicit, & e contra in figura linistra majus N F t, quim N F t v, minus N F Tquam N F ΓΟ, ubi curvae RS concavum axi obversum est, erit residuum ex N F in T D , aut aggregatum ex N F in t D , minus spatio ot RQ , majus spatio OTRQ in prima figura. & e contra majus spatio o i R inminus Ο Γ I in secunda, seu respective minus, & majus . majus , & minus rectangulo ex K in ordinatam i p , T P , quippe quod juxta constructionem tali spatio aequatur; habebit ergo N Fad K , idest SP ad FD, aut ut ad tD. UT ad T D , minorem, & respective majorem in prima figura, seu majorem.&respectiv E minorem rationem in secunda, quam habeat tyad eamdem tD, seu TΡ ad eamdem TD. idebque t p. &T P in prima figura majores erunt, quam ut, & UT , minores autem iisdem respectivo sumptis in secunda Lectoris
dexteram respiciente; & ideb puncta curvae P, p, erunt utrObique extra rectam DS; quae propterea tangens erit. Quod fuerat demonstrandum.' Auimadvertendum is figura fini a hujus Schematis, in quodnae figura AOπιθυι decresentes ad partes A B, tertiam ii eis vitreis notata decresceutem ad partes oppositas Rh quod ostinet ad boς proposiIum) Iuperfluere, neque a hoc moratam ef
versia, figura superior BA ad parae; R-demiat , sererim rectangulum N ED.von aequale sed mavus Datio ΝFR ZY a 3 Cum
187쪽
a Cum igitur ex dictis cap. 6. min. 4. lineae in Imisti QI S axi B V parallelae, veluti FS, P R sint ad invicem, ut spatia hyperbolica NORQROR QP existentibus AB asymptotis, ordinatisque FN, PO, alteri asymptotoruin parallelis patri spatium hyperbolieum OR aequari recta ligulo o P ex ordinata o P in alteram Logisti suba ltangentem PD ; unde constat, quomodo Logistica hyperbo- llae quadraturae conducat , uti in prima hujus Theorematis lparte asserebatur; secundam partem citra petitionem princi pii probare hinc nequeo , sed satis evidenter praeostensam liabes loco citato. Tertiae partis demonstratio sic erit instia tuenda. Rectangulum o PD aequale est, ex dictis, spatio hyperbolico OR QP; habebit ergo parallelogrammum hype holae inseriptum ΚΟ PB ad spatium GPQR eamdem rationem, quam idem habet ad rectangulu o PD; idest quam balis ΒΡ, seu TR ad PD; aut, obtriangulorum similitudinem, quam subtangens Logisti GT ad axi parallelam R P
188쪽
. 4 Obiter notare potes in demonstratione min. a. allata, quot curvarum tangentes geometricὶ determinari Peam, praescriptam nimirum conditionem suscipientes. In Expaniala sphaeriea superficie . sive Ungula quavis eylindrica an planum extensa qualem in Demonstrationibus Vivisneorum Problematum consideravimus specimen hic dumtaxat daturi sumus Esto ejusmodi supctficies Ungulari, Expansa BQIC ; eui inversὸ ad eumdem axem altera similis, dc
aequalis, sive eadem mei replicata, AN B applicata esse intelligatur. Constat ex Propositione quinta Demonstrat. Ui-vian. Probl:' fore tot1 superfletem B A Q ad partem A N Fresectam quavis ordinata N F, secante alteram curvam in S, ut ordinata BC ad FS, quia ordinata FN tantumdem distat 1 basi Amn figura A BQ , quantum FS 1 vertiee figurae a B C; itaque, si fiat rectangulum N FD aequale spatio AN F Q , juncta D S erit tangens , juxta ea , quae meri a. generaliter demonstravimus. Et si supponatur QBC est e Ungula plano semiquadrantaliter inclinato abscissa, seu eadem, ac spura sinuum inscripti quadrantis BCl, quem avi parallela SL secet in G, tangat vero in eodem puncto G erit tum FD aequalis ΚG; demi iso enim sinu GE, ae i-
189쪽
Deficis in Diagrammate linea S G raditu quadrantis, de quo tu praesenti Demo Maimae.
N F . E B Wquales; ergo & F D aequalis erit tangenti G Κ ; eidemque quantitati aequalis erit s id ii semper erit D F ad Finis ut tangens ad arsum lineae Q F congruentem ante luam in planum evolveretur , uti est hic arm GI J eti mi Ungula semiquadrantalis non sit, curvarum enim eumdem axem ordinatas proportionales habentium. eadem est, respectu eiusdem a vertice altitudinis, conivns subtangens FD I .s Quin imb & si Ungula non ex circulari cylindro , sed ex parabolico, hyperbolico , aut alterius generis curvae m- silante resecta foret, eadem potarior constructio locum ob
190쪽
ductaque axi parallela qualibet S GL , erit S L aequalis arcui curvae G E ; nam & tota B equalis est curvae I G C. circa quam in cylindro convolvebatur; & portio Q F aequalis portioni G, utpote suscipiens ordinatam FS aequalem sinui GE , eni aequalis erige tuc in superficie cylindrica ad punctum G nondum expansa , 'adeomae εc reliqua F B, seu SL aequalis reliquae portioni GC; His itaque existentibus, ductaque ad puneium G tangepte henii ieis curvae G Κ, atque huic posita aequali FD, oportet, 'inam DS tangere curvam Ungulae sic expansae, et u liintsInde ductis parallelis U Ρ H m R T axi propiori, ii u p m r t. remotiori, secantibus lineas, ut in figura videre est cum sit D F ad H U, vel h v, ut F S ad S H, seu S li, vel Κ G ad tangentem G m, posita jam DF aequali ΚG, erit praedicta Gm aequa Iis HU,
seu hu; verum propter SL, seu HY, vel hi aequalem cuta
vae G C, & PT, vel pt aequalem RG, seu rC , erit H P, vel h p aequalis curvae GR , vel Gr : estque RG minor , sicut e contra r G major tangente mG.; 'itaque HV major est quam H P, minor vero hu, quam h p ; & utrobiq; pundia V , u rectae DS ultra curvam c SpC : tangit e
go, uti Propositum: fuerat ; eademque F D subtangens erit omnium alliarum unditarum etiam non semi qua istantalium, propter ordinatas ad eadem exis puncta F 'senaper propor
6 Quanta hilae, Deu bone , Veritatum seges enascituri At mihi non in' hoc canim tititur, metiturve an equatis ratias promissunt Sphaeto lindricarum Sectionum tractatum invulgem ; Unum hoe nori dissimulabo ad Logistieam pertinens , quo simul usum doctrinae quadan tenus insinuabo, Nimirhm, superficiem ex Logistica cirea axem revoluta 'fi- nitam esse , uti supra praecediri 1iιgium. Ir. 13. tarn monuimus , ex qu5 Ungula semiquadrantalis ex cylindri eo x super Logisti eae curva erecto aequalis foret spatio hyperbolico ibidem designato , hinc etiam sponte profluere. Esto enim