장음표시 사용
101쪽
f. a. Vt igitur longitudinem perpendicularis V inuestigemus, in radium M , si pia est, productum ex D ducamus normalem quae parallela erit et aequali tangenti et propterea D m MN. Cum ergo in triangulo rectangulo C sit hypotenusii CD et angulus D CN It erit CN ι' Ο Η, hincque 'NATD cosu a Iam quia triangultim
ΜVm erit 'Mni. V Iadu V bb-- cco It a ' . Qiiamobrem superficies conica V erit dum bb-- ccosu-as). Vnde perspicitur, si conu esset rectus, quo casu interuallum CD 4 evanesteret, superficiem coni recti arcu A respondentis re aida V aa--bb au V aa--bb). Aequaretur ergo areae trianguli, cuius basi maum arcu A et cuius astitudo sit III. Vsaa--bb) VA Vti e elementis constat f. . Ex aequatione v asdu V bb ccosis as statim fluit constructio curuae Varignonianae, per cuius rectificationem silperficies conica exhiberi potest Formetur enim inter coordinatas Orthogonale et eiusmodi curua ut si id et g du ccosis a), erit elementum huius curvae IduV bb-- ccosu Has). Hinc arcus istius curuae per a multiplicatus praebebitre stan him, cuiuM area aequalis erit superficiei conicae AVM. Erit ergo huius curua abscis 1 p bu Ἀ--: et applicata oducos Iι- alimosinu tu unde abscissae
102쪽
propterea curua ope rectificationis circuli ficile construitur. Attenuenti autem statim patebit hanc curuam eandem esse, quam Varignonius tradidit. q. s. Si hanc superficiem conicam per quadraturas cuniarum exprimere Velimus, is quidem infinitis modista per cunia algebraica quam transcendentes sine ullo negotio fieri posset Verum iam pridem summi Geometrae constructiones problematum transcendentium quae fiant per rectificationes curuartim praecipue algebraicartim, illis quae per quadratura essiciuntur , longe antetulerunt: cum facilius sit longitudinem cuiusque lineae curuae saltem proxime fractice rasSignare quam eiuM aream.
Hanc causam e tempore, quo ista quaesti m Mistellaneis Soc Regiae est . agitates Celeb. Narignonius non parum praestitisse merito est visiis, quod explanationem superficiei conicae scatenae ad rectificationem lineae cur ae reduXerit, cuius constructio ope rectificationis circuli tam facile expediri possit. Maximi autem sine dubio esset aestimanda solutio Leibnigii, qua idem quod Varimonius, per curvam algebraicam idque pro omnibus omnino stiperficiebus conicis praestitit, nisi ob errorem ante memoratum si careret Nunc autem , postquam amer- manno methodus latissime patens est inuenta quadraturas omnium curuarii ad rectificatione curuarum algebraicarum reuocandi, sere sine ullo negotio scopus, quem VH imonius et Leibnitius sibi proposuerant, obtineri poterit. f. s. In hunc finem eliminemus ex rmuIa inuenta .asdu V bb -s cos - ' qu ntitatem tran3Cendentem ponendo cosmum anguli u a, ita ut, ducto ex mad
103쪽
icae ope cuius rectificationis haec aperficies mensurari queat, abscissa X et applicat naturque pd Ut sit eius elementum uiae V I-pp). Essiciendum
ergo est ut integratio da P I--pp ab integratione semiuiae fata pendeat. Primo autem requiritur, v j pd fiat quantitas algebraica alioquin enim curua non re algebraica. Cum igitur si Ddae pae X d', ponatur Ixdpis, fietque X a et Ita Ddae q. Vocetur arcus istius curua mn, et cum
que porro Ipsae coordinatae curua quaesita a et a definientur. f. . Descripta ergo hac curua ope coordinatarum
x re U-q, si eius arcus vocetur sobs in v ris, 'b sit . s, os , et sermula nostra, qua superficiei
104쪽
s DESUPERFICIE COXOR SCALENOR.
superficie conicae portio AVM determinatur, Es - , Const. Quae constans ita determinetur, ut posito ipsa Ormula evane
A TI in. prodibit sortio superficiei conicae EVMm a s . tibia te 2 a)ῖ Const. , si quidem haec constans ita accipiatur, ut ista sermi illa evanescat posito TOTO. Simili autem modo aliis quibuscunque xaloribus pro p accipiendis innumerabi te aliae chamae algebraicae obtinebuntur, quarum rectiscatione portio superficiei conicae quaecunque in plano exhiberi poterit. f. . In huiusmodi autem lineis curuis non ipse a cus superficiei conicae est proportionalis, sed eum perpetuo quapiam quantitate algebraica Vel augeri vel diminui oportet , Ut prodeat Xpressio superficiem conicam abQlute mensuranS. Ita circumstantia etsi praxi non impeditur, tamen eiuSmodi lineae curuae, quarum longitudo statim ipsa sine adiuncta alia quantitate quaesitum praebet, lii non immerito ante rri blent. ancobrem non ab re erit eiusmodi curvam algebraicam signare, quae ipsa, Vticurua illa Varignonii transcendens, sine assumta alia quantitate
105쪽
titate superficiei conicae portionem quamlus metiatur Cum igitur portio EVM exprimatur an formula as ' cui uti algebraica inuestigari debebit cuitu elementum it h. ES, multi enun curvae si arcus quantitati et responden ponatur erit
siperficiei conicae portio EVM abs.f. Io. Sint coordinatae trilius curua quaesitae et I , quae cum per sinctione algebraica ipsius et exprimi debeant, tatuatur X tu i, sic enim sumtis integralibus et Eiusmodi constantibus adiectis , Ut posito et O , quod euenit in puncto ambae coordinatae X et I euane- stant. Hinc elicietur ista aequatio --XX ADIX- hXλ n-Ph n--m) - ίn Jhra JPH q. v - I , - ἔ n- ni ha - ,hhz I Vnde valor ipsius z per X et a facile definitur, qui in altera aequatione libstitutus dabit aequationem algebraicam inter X et I , qua natura curua quaesitae continebitur.
106쪽
1 DE SUPERFICIE COIOR SCALEXOR.
ex his aequationibus ambae litterae desiniuntur. f. a. Superest ergo ut tertia incognita . per primam aequationcm definiatur. Cum autem qualia incognita δε maneat indeterminata, ei pro lubitu Valor assignari poterit, statuamus ergo fh m, ut euadat
unde facta in prima aequatione substitutione etiam incognita si ex calculo egreditur. Fieri ergo nequit m n. Quocirca statuamus ethhthzuc seu fh Taeritque in ra lὶ et m Vnde fit
107쪽
f. Is Inuenti nunc ex aequationibus siseperioribus valores ipsius cita definientur ut sit
108쪽
x DE SI PERFICIE CONOR SCALENOR.
E cognitis denique valoribus litterarum et Ecurua quaesita per coordinatus X et I supra exhibitas algebraice describetur, quo ficto si eius arcus quantitati respondens dicatur 's, erit superficiei conicae portio EVM III ah S. g. 6. Vt Xemplum praebeamus, faciat XIS coni V cum diis angulum SO', incidatque perpendiculum V in peripheriam, basis erit CD TICA et proptereae mari porro erit V a et b a a unde fite e Taha atque 'a --V21 et a -V21 . Hinc fit 1 α --J 2IH- ν 9--2V21ὶ quia duo
sili intra eiu centrum cadit, nunc cono quoscunque considerabo, qui Drmantur, dum linea recta per Verticem perpetu transiens circa lineam quamcunque circumducitur. Eit
109쪽
igitur figuria quaecunque AM basis huiubmodi coni, et pun-Fig. .ctum V in sublimi positum eius veletex, unde in basi demittatur perpendiculum m. Ex D ad punctum curua AM quodcunquem ducatur recta M , et in ducatur recta tangen cuniam Μ , in quam D perpendiculum demittatur Q. et cum assis cognita ponatur, relati assignari poterit inter D et Q Sit igitur rima , D AT , atque habebitur aequatio inter X et F. Onatur praeterea huius coni altitudo D ta b , sumto autem huius cuniae elemento 'm, si ducatur m et exin in D m perpendiculum demittatur Mn erit mn dX, et Ob
mn dabit Mn . et 'm g. 18. Hi praemissis si in peripheria basis punctum fixum A tanquam principium assumatur. Super sciet conicae portio V erit integrale trianguli elemen, taris Vm. Ad areolam ergo huius trianguli exprimendam, iungatur recta d, quae in tangentem riderit normaliis, ac propterea area trianguli MVnisi et Lmm V vero ob triangulum Dd ad D rectangulum, V αν bb a P Vnde cum It M aeae Drhabebitur area trianguli elementaris ' Vni Atque hinc erit superficiei conicae portio quaesit A V
g. 19. Maxime naturalis via hanc superficiem exprimendi est , ut ea in planum explicetur. Concipiatur igitur Onus charta superductus, quae secundum rectaSAV et M V et basia A excisi in planum explicetur
110쪽
i DE SUPERFICIE CONOR SCALENOR.
VAM ; haecque figura mixtilinea AM aequalis erit portioni stiperficiei conicae A VAE Huius figurae explicatae ducatur in ' tangens M , et in eam ex V demittatur perpendiculum Cum igitur hoc triangulum VH simile et aequale sit triangulo
f. O. Inquiramus nunc in constructionem huius curvae ex data basi coni in fig. a. Ponamus in hunc finem angulum A MIIIo et distantiam VIIII et erit statim et V bb XXJ. Tum vero erit tacita
. di irati Vnde fritur b, uiuia igitur velis vel f per x datur, inueniri poterit anguluS quo cognito curua in circa V in plano describetur , cuius area A v aequalis erit superficiei conicae quaesitae. f. et 1. Quoniam assignati superficiei conicae pondet ab integratione formulae s hoc negotium