Novi commentari Academiae Scientiarum Imperialis Petropolitanae

111쪽

Vt alitem constructionem ei bni Zianam, quae est elegantissima, emendemus, peculiari modo nobis erit proce- cedendum. erspicuum autem est Virum 1 lmmum suam constructionem ex consideratione rectarum ad datim curvam tib angulis quibuscunque dii starum deduxisse ; hae

en is rectae his concursibus Dimant nouam curuam,

cuius rectificatio tam simpliciter exprimitur, ut quaevis quadratura eo ficile reducatur. Atque ex hoc ipsi, n- te Celeb Hermannus methodum silam ingeniostillimam

quadratura curuarum quascunque ad rectificationes curuartim algebraicarum reducendi hausit, quam methodum postea Celeb Ioli Bernoulli ex geometria in analysin puram translatam dilucide proposuit. f. a. Sumamus pro curua data ΛΜ illlam ipsam piι. figuram , quae ante basim coni constituerat, atque in eius singulis punctis , in datis cum hac curua angulis ductae concipiantur rectae S quae suis contactibus sement nouam curvam S per cuius rectificationem stiperficiem conicam exprimi oporteat. Ponatur arcus curuae cognitae in s. sitque angulus 'm O, quem redi S cum cum A m puncto II constituit, et sumto elemento Μα cis, erit angulus SMNT CH do. Quo hinc concursus rectarum S et sseu punctum S determinetur, consideretur centrum circuli osculatoris in is , quod sit in M, et Vocetur radius osculi R in x F, erit angulus M. Rm atque ob rectas in Km ad curuum ΛΜ normites, erit angulus RMS 9O'-e et angulus HS 9O' O do. Vnde cum sit ROSI AMRm-HRMS MS; ιμ-Rms, fiet ang. Sui OMR

112쪽

m ob datos angulos et latuSculum .m d S, et

definiendam respondeat curvae S punctum F curuae datae A puncto A , ita ut recta AF sit tangens curuae quaesitae S in princto F. Hinc cum sit 'S et prodibit S III is cos. iv -MS-A , si quidem integrale Id cos. O ita capiatur, Ut evanesi a post 5 o. Quo facto vicissim integrale formulae sit cos C per rectificationem curvae S exhiberi poterit, erit scilicet sciscos C FS-AF-MS. f. et . His praemissis siti Vestigium Verticis coni in plano basis, seu punctiun , in quod perpendiculum ex vertice coni in planum basis demissum incidit, cuius perpendiculi altitudo D supra posita es II b. Ducta porro ad M tangentem , in eamque e D demissis

cui basis A respondentem erit is a

113쪽

ALMRI MOVE CORPOR CONICOR

Riperficies Hs V bb- - γ). Quo igitur haec sepe scies per rectificationem curuae F exprimatur, angulus, ubique ita constitui debet , ut Drmulaesiis com integratio ad integrationem sermulae Idsv bbH IF perdu-

catur.

q. s. Ponamus in hunc finem Oso et cum costians ipsius 2 Vltra radii magnitudinem , quam nitate metimur nunquam excrestere postat, quantitas heant assiimi debet, ut V bb--ID eam nunquam stupe-gare queat. Qitare noretur maximus Vesor, quem fio

mula V bb DI usquam in con induere potest, eique' vel aequalis vel etiam maior assumatur. O igiatur modo si angulus v suerit definitus, obtinebitur superficies conica arcui basis A insistens iis V bb- αν Udόcos , ideoque exprimetur rectangulo h FS- AF ΜS si ilicet rectaem ubique ita constituantur , Ut sit cos Sym seu sin RMS-6 τ nhincque construatur curua y rectanguli a AF--Fs-ΜS area aequabitur superficiei conicae quaesitae, quae igitur per rectificationem curuis algebraicae S exhibebitur. Cum enim ubique tam angulus I ri quam longitudo S algebraice assignari queant, ipsa curua S erit

unde fit C Cum autem natura

114쪽

1M DE SUPERFICI CONOR SCALEXOR.

bi Sos uix ergo supra nuenimus S za, nunc habebimus S TU Di Qitiam Xpressionem sequenti modo geometrice construere conabimur. re f. et . Sit iterum curua Ambasis coni, D vestigium verticis, et M punctum huius curuae quodcunque in quo ducatur tangens et normalis K. Ductaque recta D ex D in tangentem demittatur perpendiculum Dd, simulque tangenti agatur recta indefinita DC, in qua capiathii DC altitudini coni b, ductaque C erit C V bb-IIJ. Tum in normali ad curuam capiatur ΜΚ h, super qua tanquam diametro descripto semicirculo PM applicetur chorda KΡ C , si ducatur Μ', erit sinus anguli ΚΜ cosi , Vnde recta μ erit positio rectae M S , sumatur in normali ad curuam 'R r, et cum it et M m

Ksin. 1 ΜΡ, ex Min P demittatur perpendiculum T, et erit Rin et mma fietque P b . a' piatur X erit 'STI k- , unde longitudo rectae ' facile definitur. Quae operatio si in singulis punctis ruinstituatur singula punistari determinabunt curvam quaesitam L qua inuenta erit portio superficiei conitae arcui A insistentis aequalis areae parallelogrammi

115쪽

β. 28. Si curii ΛΜ statuatur circulus, extra cuius centrum cadat punctum D , ut conus abeat in conum scalenum ordinarium qualem primo silmu contemplati, atque curua S secundum praecepta hic data constrilatur, tum eadem prodibit curua, quam Illustr. Leib-nigius loco supra allegato inuenire docuit E quo manifestum est non ipsam hanc curvam S in rectam elongatam , si in rectam quampiam constantem ducatur , praebere superficiem conicam quaesitam, sed arcum illum FS recta AF auctum longitudine rectae ' minui debere. Hoc ergo modo non solum constriictionem Leibnigianam, quae tantum ad cono scaleno erat accommodata, emendauimus, sed etiam ad conos, quorum bases sivit gurae quaecunque extendimus.

116쪽

ao TRE REMATA

THEOR EMATA

QRCA DIVISORES NUMERORVM.

in uis tempore summi Geometrae agnouerunt imma tura numerorum plurima praeclarissima proprieta-tes esse abstonditas , quarum coguitio fine In Itheseo non; mediocriter esset amplificatura Primo quidem intuitu do- strina numerorum ad arithmeticae elementa referenda vi detur, atque ViX quicquam in ea inesse putatur, quod

ullam sagacitatem aut xim analyseos requirat hii au tem diligentius in hoc genere sunt ersati, non solum, veritates demonstratu difficillimas detexerunt sed etiam eius modi, quarum certitudo percipiatur, etiamsi demonstrari nequeat. Plurima huiusmodi theoremata sunt prolata ab insigni Geometra Fermatio, quorum Verita quamuis demonstratio lateat, non minus uicta videtur Atque hoc imprimi omnem attentionem meretur, in mathesi adeo pura eiusmodi dari veritates, quas nobi, cognoScere liceat, cum tamen ea.demonstrare non valeamus atque hoc adeo in: arithmetica su Venit, quae tamen prae reliqui mathese partibus maXime pertractata ac perspectes haberi solet :neque facile assi are ausim, an similes veritates in reli quis partibus reperiantur. In Geometria certe nulla curi propositio cuius vel veritas vel falsitas firmissimis rationibus euinci nequeat. Cum igitur Nineuis Veritas eo:

magis abstrusa censeatur, quo minus ad eius demonstratu

onea a

117쪽

mCA DIVISORES NUMERORVM i

onem aditu pateat, in arithmetica certe, Vbi natura nu merorum perpenditur, Omnium abstrusissimas contineri negare non poterimuS. Non detunt quidem inter summos mathematicos Viri , qui huiusmodi veritates prorsus steriles, ideoque non dignas iudicant, in quanim inuestigatione ulla opera collocetur; at praeterquam quod cogniti omnis veritatis per se sit excellens, etiamsi ab usu populari abhorere Videatur, Omne Veritate , quas nobis cognoscere licet, tuntopere inter se connexae deprehenduntur, Ut nul

Ia sine temeritate tanquam prorsius inutilis repudiari possit. Deinde etsi quaepiam propositio ita comparata Videatur, V siue Vera sit uo falsa , nihil inde ad nostram

utilitatem redundet, tamen ipsa methoduS, qua eiuS. Veritas vel falsitas euincitur , plerumque nobis iam ad alias tiliore veritates cognoscendas pateticere solet. Hanc obrem non inuiliter me operam ac studium in indagatio, ne demonstrationum quanimdam propositionum impendisse confido , quibus insignes circa diuitares numerorum proprietates continentur. Neque vero haec de diuisoribus doctrina omni caret si , sed nonnunquam in analysi non contemnendam praestat utilitatem Imprimis vero non dubito , qui methodus ratiocinandi, qua limosius , in aliis grauioribus inuestigationibus aliquando non parum subsidii

afferre possit. Propositiones autem , quas hic demonstratas exhibe , respiciunt diuiseres immerorum in hac sormula a fi ' contentorum, quarum nonnullae iam ab ante memorato Fermatio, sed sine demonstratione , sunt publicatae. Qitoniam igitur hic perpetuo de numeris nistegris sermo instituetur, omnes alphabet litterae hic constante numeros lategros indicabunt. Theo

118쪽

r. si uerit numerus primuS, Omni numerii in hac serina a θ' - αρ-b contentus diuisibilis erit per p.

Demonstratio.

a ' --bp' a b H etc. Hic primo notandium est omnes inciaS, quamquam sub sorma fractionum apparent, nihilominus esse numero integros, cum Xlhibeant, Vt constat numeros figuratos. Quaelibet ergo iacia cum sectorem habeat , diuisibilis erit per , nisi is alicubi persectorem denominatoris vel prorsiis tollatur, Vel diuidatur. At ubique Omnes sectore denominatorum minores sunt quam quia adeo non vltra I crescunt, ideoque factor numeratorum 1 nusquam per diuisionem tollitur. Deinde cum p sit per hypoth. numerii primuS, MnuS- quam per diuisionem minuetur Quocirca imgulae on

119쪽

CIRCA DIVISORES NUMERORVM sta Coroll. I.

2. Si ergo ponatur IIII , et erit m et semper diuisibilis per ' si quidem fuerit ρ numeru primus. Cum igitur sit ap-arata et I alterum horum factorum per diuisibilem me oportet. At nisi sit p prior factor per non est diuisibilis unde sequitur formam perpetuo per ' esse diuisibilem, si uerit numerus primus praeter binarium.

Coroll. 2.

3. Ponendis ergo pros successive numeris primis, erit zy- diuisibile per x 2'- per ' 1 per G2''- per II etc. quod in minoribus numeri per se fit perspicuum, in maximis autem aeque erit certum. Sic cum σε sit numerus primus, iste numerus q=R-T necessario per A erit diuisibilis. Seu si potestas et si 'per diuidatur, post diuisionem supererit residuum

Theorema .

. si traque harum so uiuum a p- et p-bsuerit diuisibilis per numerum primum tu, tum quoque istaser mi ala a b -a- diuisibilis erit per eundem numerum primum .

Demonstratio.

Cum per . . a --b -a -b sit diuisibilisper numerum , si heri primus, atque hic formulaea' a et ' o per ' diuisibiles assumantur, erit UO-que summa istarum trium formularum nempe a -b ρ- a b eri , si heri numerus primus diuisibilis Q. E. D. Coros.

120쪽

s. Si ponatur Ita , cum t zzzo sit diuisi-hil per D sequitur, si sormula ρ- Perit diuisibilisper , tum quoque formulam a--1Jρ-a--1 reper

diuisibilem, Coroll.

6. Cum igitur assumta mula at a per diuimhili sit quoque Drmula a --1ὶρ-a- per diuisibilis ; simili modo in eadem hyphothesi erit haec quoquo formula a --2. -a-2 hincque porro haec a a) a-3, etc. atque generaliter haec s-o diuisibilia per p.

Theorema .

. Si si silerit numerus primus, Omnis numerua huius sermae ορ- per ' erit diuisibilis.

Demonstratio.

si in ponatur a I, cum sit a -am ope diuisibilis, sequitur has quoque mulas 2p-2;a - ' ρ- etc. et generatim hanc ρ- Bre per numerum primm p diuisibilem. Q. E. D.

Coroll. I.

8. Quicunque ergo numerus integer prori assumatur, denotante numerum primum, omne numeri in hac sema ις - contenti erunt diuisibile per .

s. Cum autem sit c -c csct ' -I , vel ipso numerus o vel or diuisibilis erit per . utrumque autem