장음표시 사용
121쪽
autem simul per ' diuisibilem esse non posse mani stum est. Quare si numerus f non fieri diuisibilis per , haec serma certe per p erit diuisibilis.
1o si ergo uerit numerus primus, Omnes numeri in hac forma contenti ap ' a erunt diuisibiles per
exceptis iis casibus, quibus ipse numerus a per p est diuisibilis.
II. si neuter numeronim g et ' diuisibilis ierit per numerum primum ' tum omni numerus huius ormae ap -br m erit diuisibilis per .
Cum neque a neque 4 diuisibilis pert, atque'
denotet numerum primum , tam thaec Drma ρ' - , quam haec erit diuisibili per . Hinc ergo quoque differentia istarum sermularum apr -bp' erit di
Iz. Cum omni numerii primus praeter binarium, euius ratio diuidendi per se est manifesta sit impar, ponatur m -- pro , atque persipicuum erit, Omnes numeros in hac brina ' - by contento esse diuisibile per zm-- , siquidem neque a neque meorsim fuerit per am- - diuisibilis.
122쪽
b η et ab non diuisibile erit per am--I. Quare si ab θ' addatur ad Drmulam et V -bφ', quae est diuisse bilis per zm- I, prodibit mula a ' - by , quae per et vf- non erit diuisibili nisi Vterque numerus se et i seorsim per a m 1 sic diuisibilis.
I . Quoniam ob am numerum parem semula a m b φ factores habet a -b hsa --θ ), neces se est ut horum fictorum alteriit diuisibili per et w-HI: ambo autem simul per numerum am-- diuisibiles esse nequeunt. Quare si a m H I fuerit numerus primus, et neque neque diuisibile sit peram I, tum vel a -bφ vel ' - - θ' erit diuisibile per ram- T.
et s. Si m sit numinis par puta metu, atquea' by seu a ' by diuisibilis per zm -- L Φn- - , tum Ob eandem rationem vel a - θ' vel ' μι diu visibile erit per numerum primUm n - I.
16. Summa duorum quadratorum a--b per nullum numerum primum huius mae n- Vnquam diuidi potest, nisi utriusque radix seorsim a et sit diuisibilis per An X.
Si n- fuerit numerus primus , neque get per illum sint diuisibiles, tum et' 'η b erit diuisibile per n-1 11), hincque ista mula '' -- -b' non erit dicim
123쪽
diuisibilis per n-I, neque propterea Vllus eius sector. At cum a ram etiam 1 sit numerus impariter par sermula et '' 'RH b' sectorem habet aa-bb; quare fieri nequit, ut iste factor a --bm, hoc est ulla dum rum quadratorum summa sit diuisibilis per n-1. Q. E. D.
I . Cum omnes numeri primi vel ad hanc se am
n -- Vel ad hanc n- reuocentur, si n- non fuerit numerus primus, diuisorem habebit semae 4n I; namque ex meris numeri sermae n- - nunquam numerus Q ae n- resultare potest. Quare cum summa duorum quadratorii per nullum numerum primum
sermae n- diuidi possit, per nullum quoque nume rum eiusdem brmae in- , etiamsi non siit primus Lvidi poterit.
18. Summa ergo duorum quadratorum a--bb, per nullum numerum huius seriei: a P, 9, 3 3 , D, etc. est diuisibilis. Omnes ergo numeri primi praeter binarium, qui unquam diuisores esse possunt summae duorum quadratorum, continentur in hac brma a n-- siquidem numeri inter se communem diuisorem non ha
19. Cum Omnis numerus sit Vel primus vel productum ex primis, limina duorum quadratorum nullum
merum primum pro diuisore habebit, nisi qui continea a tur
124쪽
tur in hac cim il-I Dunbres ergo primi tan e duorum vi conam contine Arar in hac vine: - , I, 3, I, 9, 37, FI, SI, SI, II, 9, 97, et
demi a diuisibilem OG Imrnam rum quadratorum. Hinc ergo sequitur omnem fremam duorum qua temet inter te primorum es esse numeri primum Ves Knario Xcepto alios Ita es mahabere, nisi qui in inma η- mi intra.
2I. Omne diuubre fumata ea et hi adratis rum inter se priminum stat ves a meri huius
125쪽
Sint ' et ' duo bi quadrata inter se rara, erit vel utrimque impar et alterum par et alterim impar priori casu im e a --b diuti ta que ero cam diu res inpares, si qui aerint, in his se continebuntur. Cum enim bi adrata immti sint quadrata nullus diu brimae n- I mi venit I S . At numeri vel ad hanc mum sn-- vel ad hanc n- re cantur in nullum numerum me in I Te Te diu rem in mae duorum biquadratorum. Ad hoc demonstrandum sit primo in I Emem primus, atque diuisibilis
sibilis', nisi terque minis se sim diuisi nam admittat qui castri autem assumtione, quod meri sint inter se cluditur. Cum g tur
a per n-3 nultu, Cil a re et i stor per diuidi poterit. At nimacrum imparem illim mage Lictor erit ---b , qui ergo per nullam numerum prima se me n a diuidi potest. Hinc me numeri primi praeter binarium, qui Aquam mma - diu cia, erunt huiusmodi m - I. Ex multiplica ne autem O rum pluriumue talium diu rum nunquam Emem se mae Oritur ex quo sequitur u Em pinu numerum huius Ormae n- siue sit prima sine compositus summam duorum biquadratorum inter e primorum f- videre. Q. E. D.
126쪽
tur in hac sorma nH-I Diuisores ergo primi summae duorum quadrintorti continebuntur in aes seri :z, 5, 13, I, 9, 3I, I, 3, 6 , 3 89, 9 , etc.
fio. rio numerus huius brmae n I nunquam possit esse summa duorum quadratorum , facile intelligitur. - Numeri enim quadrati et sunt pares Vel impares, illi in hac forma a, hi vero in hac ob -- continentur. Quare ut summa duorum quadratorum sit numerus impar, alterum par alterum impar esse oportet, hinc oritur 1 arma a D b-- seu n - 1, ideoque nullus numerus huius formae n- summa duorum quadratorum
esse potest. Quod vero summa duorum quadratorum ne diuisorem quidem , mae n I admittat, ab omnibus scriptoribus method Diophantea semper est assu matum nemo autem Vnquam , quantum mihi constat, id demonstrauit, excepto Fermatio, qui autem suam demonstratibnem nunquam publicauit, ita Vt mihi quidem videar primus hanc veritatem publice demonstrasseri nullium numerum vel huius brinae n Ioel per numerum eiusdem ornaae diuisibilem unquam esse posse summam duorum quadratorum. Hinc ergo sequitur omnem summam duorum quadratorum inter se primorum vel esse numerum primum, Vel binario excepto alios diuisbres n0uhabere, nisi qui in brina. n- contineantur.
2I. Omnes diuisores summae duorum biquadratorii inter se primorim sunt vel a , vel numeri huius
127쪽
GRCA DIVISORES UMERO asDemonstratio.
sint a et ' duo biquadrata inter se prima , erit vel utrumque impar , vel alterum par et altertim impar priori casu limina a --b diuisi, erit troque ero casia diuisbres impares, si qui fuerint, in hac Qrma 37-- continebuntur. Cum enim biquadrata simul sint quadrata, nullus diuisio formae n- locum invenit 16 . At numeri n-- vel ad hanc formam 8n-- Vel ad hanc Ἀ- reuocantur. Dico autem nullum numerum rinae esse posse diuisbrem silmina duorum biquadratorum. Ad hoc demonstrandum sit primo n-3 tuneru primuS, atque per eum diuisibilis
sibilis', nisi terque numersis seorsim diuisionem admittat, qui casu autem assumtione, quod ambo numeri sint inter se primi excluditur. Cum igitis
at per Ἀ- , nullus quoque eius fictor per in diuidi poterit. At ob an 1 numerum imparem, illius sermae fict orerit a --b , qui ergo per nullum numerum primum r-mae 8n a diuidi potest. Hinc omnes numeri primi praeter binarium , qui unquam rinam et: --θ' diuident, erunt huiusmodi n-- I. Ex multiplicatione autem duorum pluriumue talium diuisorum nunquam numerus r-mae 83r 3 oritur ex quo sequitur nullum prorsu numerum huius rinae n- sim sit primu sule compositus, ummam duortuniiquadratorum inter se primor in dividere. Q. E. D.
128쪽
22. Cum omne numeri impares in una harum quatuor formarum contineantur : nes 1 et in a praeter numeros in Q a prima n- - contentos nullus alius poterit esse diuisb summae duorum biquadrato
23. Omnes ergo diuisores primi summae duorum biquadratorum inter se primorum erunt vel et vel in hac serie contenti. I ,εI, 3, 89,9 , III, 13 , 93, etc. quae complectitur Omnes numero primo Brmae 8n-DI.
et . Si quis ergo numerus puta miserit summa duorum biquadratorum , tum is vel erit primus, Vel alios non habebit diuisbres , nisi qui in serma n - contineantur; unde inuestigatio diuisorum mirum in O dum contrahitur.
23. Nullus igitur numinis, qui diuisorem habet non in rmam n -- contentum, erit summa duorum i- quadratorum nisi me habeat quatuor diui res aequales, qui autem in consideratione biquadratorum reiici solent.
26. Omnes diuisores huiusmodi numeronim --b si quidem sunt numeri inter se primi sunt vela vel in hac forma siti H I continentur. Demon
129쪽
CIRCA DIVISORES NUMERORIM 1 Demonstratio.
Quia ' et ' simul sim biquadrata, eonim um-ma ' His alios non admittet diuisite , nisi qui in bima n-- contineantur. At ni meri in hac br-
merum imparem haec fictima diuisorcm habet ' --b quae ergo per nullum timeriam primum Gn eritdhiisibilis , ac propterea alios diuisores primo habere nequit, nisi qui in brma I 6n- - contineantur. X multiplicatione autem Monim pluriumue huius modi ni meror m 16n--I, perpetu productum eiusdem Oimae na-stitur, neque n liliam timerias bimae 6, - resultare potest. Unde cum nullus numerus sermae 16, - divisior ipsius ' --i existere possit, necesse es Vt om nes huius sol mae '--θ' diuisores , si quo habet, me sint primi sui comsositi, perpetuo in hac sormula Gn-HI contineantur. Q. E. D.
et . Nullus igitur numenis, qui in hac sorma I 6n-- non includitur, unquam esse potest diuisor Lmmae duarum potestatum Octaui gradus inter se primarum.
28 si quis ergo voluerit numeri cuiuspiam huius sermae a 4 i diuisbres inuestigare , is diuisionem per nullo alio numero primo nisi in hac forma 6n-- T
130쪽
contentoS, tentet, cum demonstratuna sit Omnes reliquos numeros primos huius formae diuisor .essu non posse.
29. Summa duarum huiusmodi potestatum a bx quarum exponens est dignitas binarii alios diuiseres non admittit , nisi qui contineantur in hac brina ' Pyn I.
Quemadmodum demonstrauimus omnes diuisores br-mae a 4 b in hac sorma in-- contineri, hincque sterius diuisiores omnes rinae a --b in n-- et Q ae '--b in 16 -- contineri uicimus ita simili modo ostendi potest sermam a q--b' nullos alios diuisores admittere nisi in mula an contentΟS. Dehinc porro intelligemus mas a H by ; ρε--bsi, etc. alios diuisore habere non posse , nisi qui in sermulis si n--I, 128n- etc. includantur. Sicque in genere patebit sormae hi ' alios non dari diuisbres, nisi qui in formula 'Ur n-HI contineantur. Q. E. D.
a . Nullus ergo numenis primus, qui in hac serma et 'n-- non includitur, unquam esse potest diuisor vllius numeri in hac sorma a --b contenti.
11. Diuis,res ergo huiusmodi numeri a vi ba inquisiturus inutiliter operam suam Onasumeret , si aliis numeri primi praeter eos, qua firma n-- suppeditat, diuisionem tentare Vellet.