장음표시 사용
131쪽
32. Fematius assirmauerant, etiamsi id se demonstrare noli posse ingenue esset consessus, omnes numerOS ex hac forma a. 'H- ortos esse primoS hincque problema alias dissicillimum , quo quaerebatur numeru primus dato numero maior resoluere est conatus. EX Vltimo theoremate autem perspicuum est, nisi numerus ua' HI sit primus eum alios diuisiores habere non posse praeter tales, qui in sorma et M '3r- - contineantur. Cum igitur veritatem huius effati ematiani pro casu 2 --x examinare voluissem , ingens hinc compendium sium nactus, dum diuisionem aliis numeri primis, praeter eos, quos sermula 6 n-- suppeditat, tentare non puch bebam. Huc igitur inquisitione reducta mox deprehendi ponendo IO numenim primum esse diuisbrem numeri 2 H- , Vnde problema memoratum , quo numerus primus dato numero maior requiritur, etiamnum manet insolutum.
33. summa duarum potestatum eiusdem gradus tia --b semper habet diuisores algebraice assignabiles, nisi m sit dignitas binarii. Nam si m sit numerus impar, tum by semper diuisbrem habet a sem, atque si suerit diuisor ipsius m , tum quoque ap--b sormama --b diuidet. Sin autem vi sit numerus parci in hac sermula et ' continebitur, ita V p sit numeru impar, hocque casu a 'H-b ' diuisi, erit se ae a -b existente in α' p. Atque iis habeat diuisorem , tumTOm. I. E etiam
132쪽
etiam a q--ba perit diuisor omae a --b . Quo . circa a --b numerus primus esse nequit nisi m sit dignitas binarii. Hoc igitur casu , si a --b non fia- erit numerus primus, alios diuisores habere nequit, nisi qui sermula et mn - - contineantur. Contra autem si differentia duarum potestatum eiusdem gradus proponatura'-b', ea semper diuisorem habet a-b praeterea Vero si exponensis diutarem habeat , erit quoque ap-υρ diuisor sormae a '-b . incisis sit numerus primus tam a -b praeter a b alium diu rem algebraice aD signabilem non habebit, quare si ''-b ierit numerus primus, necesse est ut m sit numerus primus et a-b a. Interim tamen ne his quidem cassibus tam a is semper est numerus primus id quoties am-- est numerus primus, per eum erit diuisibilis. Praeterea vero etiam
alios diutares habere potest, quos hic sum inuestigatinus.
a . Si disserentia potestatum a -b suerit diuisibilis per numerum primum an- - , atque sit mimus communis diuisb numerorum m et an , tum quoques s erit diuisibili per an I.
Quia et n-- est numerus primus, erit a '-b diuisibilis per an-- , et cum per hypothesin a -b sit quoque diuisibilis per an--I. Sit an αm-ρ, seu, si residuum in diuisione ipsius in per m remanens et cum a '-b ' sit quoque per an - diuisibilis, multiplicetur haec forma per i erit et '' '' - ιροM' per
133쪽
an. I diuisibilis at posito m- pro an est quoque et ' Θq-hς' - per an - - diuisibilis a qua r- mula si prior subtrahatur, residuum fM -bα -- bφ' f-- quoque per an - - erit diuisibile. Hinc cum per hypothesin diuisorem an-- non habeat, necesse est ut '-l per an- - sit diuisibile. Onatur porro Tigρ--r, et cum utraque haec mula a q bcq et aqq-bη sit per an H- diuisibilis, multiplicetur posterior perciet' et a priori subtrahatur, atque residuum ἐν 'sar P seu af -U pariter per an H- erit divisibile. Simili modo patebit, si fuerit ρ Vr-- tam sermulam a -b per an H-x re diuisibilem atque si per huiusmodi continuam diuisionem fores litterarum ς, etc. inuestigentur, tandem peruenietur ad maximum communem diuisorem numerorum metram, qui ergos ponatur p, erit aρ-bρ diuisibile per an-HI. E. D.
as si igitur m heri numeriis ad am primus, maximus eorum communi diuisor erit nitas, ac propterea si a - ν' fuerit diuisibile per numerum primum an - , tum quoque - per n-- erit diuisibile.
36. Si ergo differentia numerorum a- non su- erit diuisibilis per an-- , tum quoque nulla huiusmodi sorma a -b , ubi m est ad an numerus primus, per an diuisibilis esse potest.
134쪽
a -b per numerum primum an se diuidi non potest nisi m sit diuisior ipsius an posito quod a- non sit diuisibile per n-- T.
38. Existente ergo in numero primo, haec formaa -b' praeter diuisorem a- alios diuisores habere nequit, nisi qui includantur in hac Drmula mn - - I. Vnde diuisores numeri cuiuspiam in hac ma a -b contenti inuestigaturus diuisionem tantum per numero primos in se a mn -- contentos tentabit.
39. Nisi ergo numerus sit primus, existente vi numero primo, alios diuisores habere non O terit, nisi qui includantiu in hac sorma n-- L.
o. Si ergo sit numerus primus, diu res se mulae a '- ν' praeter a-m, si quidem a et oberint numeri inter se primi, continebuntur in hac serie
I. Si sermula b' diuisorem habeat ' tum quoque haec expressio af α py f bfgp)' per perit diuisibilis.
consueta euoluantur, in utraque serie omne termini praeter
135쪽
haec ima af α - b p)' per p erit diuisibilis. Q. E. D.
Eodem quoque modo generaliter demonstrari potest, si fuerit Aa F diuisibile perp, tum quo
diuisibilem. Haecque verita aeque locum inuenit, si v p sit numeni primu sule secuS. iiii etiam non opus est , ut utriusque potestati idem sit exponens u , sed etiamsi essent inaequales, conchasio perinde valebit. Tum em quoque si re fuerit numerus par ex diuisibilitate sormulae et by per numerum D, diuisibilitas etiam huiussormulae αpsa Npfh sequitur. Venim haec aliaque similia ex algebrae elementis sponte patent. a Theor
136쪽
s. Si heri a s zm--IJα, et .m- Inumerus primus, tum ista expressio a - erit diuisibi
Cum sit am-- numerus primus, per eum Luidi poterit haec mula D - , seu haec d)' I. Hinc per theorema praecedens quoque ista sormula f- 2m-DI' α)' - erit diuisibilis per am x. Quare si fiterit a '- am semesa '- per num rum primum am--c diuidi poterit. Q. E. D.
'' in Cum casus, quibus ipse numerus a est diuisi-hili per m-- excludantur, manifestum est in rmulas1 αυ- - 1 in numerum 1 per et m- diuisibilem esse non posse. Hinc pro 1 omnes numeri assumi possunt qui per zm- - non sint diuisibiles.
137쪽
8. Ad valores igitur ipsius minueniendos, Ut a' Iper numerum primum 2 m- - fiat diuisibile, inuestigari oportet residua, quae in diuisitone cuiusque numeri quadrati per zm- - remanent. Si enim fuerit lautus modi residuum, erit et m--Iὶp- idoneus es pro .
p. omnia haec residua r erunt autem minora quam 2m- - , neque tamen Omne numeri minores quam et m-- erunt valores ipsius quia numerus valorum ipsius maior esse nequit quam m. Dabuntur e go semper m numeri, qui pro r adhiberi non poterunt.
so Valores vero ipsius r eryn primo omnes numeri quadrati ipso m-- minoreS, tum Vero residua, quae in diuisione maiorum quadratorum per m--' remanent, neque tamen Vnquam numerus omniti diuersorum valorum ipsius r. maior esse poterit numero .
set Ut sit huius theorematis clarius appareat, atque per exempla numerica illustrari possit, sequentia problemata adiicere visium est, ex quibu non solum Veritas theorematis luculentius perspicietur , sed etiam vicissim patebit
138쪽
tebit, itoties a non habuerit alorem hic assignanim, toties sonii illam a - non esse diuisibilem per m H I. Cum igitur haec ob ula ' - semper sit diuisibilis per III H I, quoties a - diuisionem per m-- Tnon admittit, Otie a -- I per am- - diuisibile esse oportebit.
st Inuenire Calores ipsius a Ct a'- flat diuisibile per . Residua, quae ex diuisione quadratoni per oe- manent unt hinc hecesse est ut sit vel a sp- Vel a sp-- , siue a spes I. Priori casu fit a I seu a - 1 sa --1ὶ sp sp et poste riori autem sp - et)sp. Vtroque ergo diuisibilitas pers perspicitur. Sin autem fuerit et a sp--2. Vel Vel a spes a neutro casi formula ra- per s erit diuisibilis.
sa. Inuenire lores ipsius a , t haec forma Isia per diuisbilis.
Tria residua, quae in diuisione omnium quadrato-mm perra remanent sunt, I, 2, . in Valore ipsius sunt: pH- pH-2, et p- - , sin autem filerit Vela' pH- Vel p-- Vel p- tum non sorinula proposita ' - sed haec '-- per te diuisibilis.
s . Inuenire Calores ipsius a ut haec forma a
139쪽
Ntimeri quadrati per et dilii dabunt s liter a residiua tiae illat . 1, 3, , 5, 9. in formulam 1 per i erit diuisibilis, si fuerit a II pH r denotanter num litemque X numeri I, , , , 9. Sin autem pro sumatur quidam ex his numeri 2, 6, , 8, 1 multiplo quocunque ipsitu 1 auetus, tum a -- per II erit diuisibile.
Ob M H I numerum primum erit δ' - divisibile per avi I. At est Τ' 1 lsr - . Vnde quoque haec formula 1' - ani- - 1 ce erit diuisibili per 3 17 -- 1. Qitare si sumatur a vi Ha)α, tum haec formula a - erit per avr- - diuisibilis. Q. E. D.
36. Ad alores ergo ipsius a inueniendos, omnia residua quae oriuntur, si cubi per avr-- dividantur, notari debent. Vnumquodque enim laortim residuorum multipl ipsius in se quocunque auctum dabit alorem idoneum pro .
140쪽
In his residuis primo occurrunt omnes ubi diutaribus minores, deinde si quodpiam residuum fueri r pro diuisore 'u-- T, tum quoque aliud dabitur residuum IIII m- I r. si enim cubus ' dederit ressiduum , cubus ain. I )' dabit residuum seu III DI-r
39. Notatu hic dignum est numerum residuorum perpetuo esse mur, si diuisi, suerit Ina I. Semper ergo dantur re cubi, quorum radice sint αἰ a iu e quibu idem residuum resultat. Scilicet hi tres ubi ' a', ' per diuisi idem dant residuum a et hi tres coebi et et si pero a diuisi idem dant residitum . Praeterea hic notari conuenit, si pro a alii valores praeter hos assignato capiantur, tum ' I Ol Iesse per 3 1α - diuisibile , quod etsi verum esse ficile de