장음표시 사용
51쪽
si & agantur lineae Ac, o B; erit inscriptum triangulum vel aequale vel majus quam dimidium trapezii AB A, dc consequenter majus quam dimidium areae curvilineae: & sic ducantur lineae eg Sc hi curvam tangentes in punctis b & d, paralleloe autem lineis A c & Be, Rerunt triangula Abo & cd B respective majora quam dimidia trapetagiorum A ego & chl B, ergo majora erunt quam dimidia curvilinearum arearum Abo A & cd B c& sic continuo inscribantur trianguIa quorum bases respective parallelae sunt lineis tangentibus curvam in eorum verticibus, & eodem modo probari potest haec triangula inscripta majora esse quam dimidia reliquarum curvilinearum arearum,& exinde e curvilinea area continia o aufert Ur qUantitas major quam dimidium reliquar, &c. & consequenter Ultimo residuum erit minusquam quaecunque data quantitas. Sit series, cujus primus terminus a sit ii iangulum Ac B, secundus vero b aequalis sit summae duorum triangulorum Ab c & cd B, tertius vero terminus aequalis sit sumtruequatuor triangulorum similiter inscriptorum, &c.; haec series erit con- Vergens, summae enim successivae fa, a -- b, a 'b - , &c.) Perpetuo ad summam Criei, i. e. ad aream curvae Ab cdBA vergunt, & ultimo Propius ad eam accedunt quam pro data quavis disterentia. Cor. I. Omnis quantitas, quae continuo inter limites convergentis seriei ponitur, aequalis erit datae seriei summae. Si non sit aequalis datae seriei summae, sit differentia ri & inveniantur limites ab & aci
quantitas, & qui propius ad se invicem accedunt, quam pro differentia d. Sint e & eg respective seriei summa & praedicta quantitas, &ef& eg majores erunt quam ab, minores Vero quam Uc , per hypothesin vero differentia fg d major est quam bc, ergo summa υ-s fg eg major erit quam ac, quod hypothesi contradicit; unde ὸ haud major vel minor erit quam e g. in E. D. Hoc modo demonstravit Archimedes aream circuli aequalem esse triangulo, cujus basis ecti ejus peripheria & perpendiculum radius.
52쪽
Cor. 2. Sint duae convergentes series, la si singulus terminus unius seriei sit in data ratione ad singulum alterius terminum, tUm prioria seriei summa erit ad summam posterioris seriei in eadem ratione. Hujus corollarii demonstratio eadem erit ac ea in prob. 2. lib. xii Eucl. elem. quam consillas. PROB. II. Datis sicce His feriei summis, invenire terminos succes os. Sint S, S , S', S , S , dcc. successivae summae, & series vel finita, Vel
c - S - S3, d in S3 - S , la sic deinceps. Ex. Sit distantia sae) termini quaesiti a primo, & sint duae successivae
& residuum erit ne κ x X x-ρ π x - 2e x - Π - 2 e terminus quaesitus.
FIG. a. Cor. I. Sit figura ab ede IA a rectis Aa dc AIdc curva ab e Icomprehensa; inscribantur & circumscribantur Parallelogramma subbasibus AB, BC, CD, &c. aequalibus, quae dicantur et, & lateribus Aa, Bb, Cc, Dd, &c. figurae lateri A a paralleliS, contenta; la compleantur circumscripta & inscripta parallelogramma; & sit x AI, &- A a summa
53쪽
summa inscriptorum parallelogrammorum Ab --ΓcH Cd &c.
summa circumscriptorum parallelogrammorum erit Proxima summa,
inscriptorum parettalogrammorum differentia per exemplum erit
est parallelogrammo Ab, cujus basis est e; & consequenter latus si parallelogrammum sit rectangulum, erit aequale; sin aliter propor-
x-2 e .. x-n-2 e. Area vero curvae inter duas praedictas summas
circumscriptorum & inscriptorum parallelogrammorum semper poni
inter se & quantitati x' aequales: sed curvae area inter has duas quantitates continuo ponitur, ergo area curvae in hoc casu erit : ordia nata Aa fuit nκ xN x-e X X-2 e . . . A -n-ae; quod, cum e o, fit n xx xxx A &c. nx' ' ; ergo, sit area curvae continuo sit α', ejus ordinata correspondena erit Cor. a. Sint ordinatae nN xκ x-e N x-2 e ... x-N-2 e, & summa praedictorum inscriptorum parallelogrammorum erit x e N x X x eri x e . . . x-n-ae; R consequenter, si Ordinata curvae sit nae ejus area erit Q.
Et sic ratiocinari liceat de pluribus hujuscemodi quantitatibus. THEOR.
54쪽
THEOR. I. FIG. 3. Fluxio vel velocitas quantitatis sx per x semper designetur, tum fluxio ejus potestatis x - AP) erit 1ix' ' x; fluat enim
uniformiter x, & sint tres successivi valores quantitatis x respective, x o, X, x o; tum tres successivi valores quantitatis Q erunt respective
subtrahantur hi tres successivi valores quantitatis x ) a se in
vicem, & resultant duae successivae differentiae nx o - n . - α'
οῖ - &c. & n x' ' o n. x' 'o lac. quae continuo crescunt; unde, si x fluat uniformiter, quantitatis α') motus erit acceleratus :si vero sit motus acceleratus, tum spatium n x o - n . - ' x oz &c. minuS, & nx' ' o n . --x' 'o' - &c. majus erit quam spatium, quod corpus velocitate ad punctum P eodem tempore describeret; ergo velocitas quantitatis πὶ erit ad velocitatem quantitatis x ) in minori ratione quam o : nx' ' o - n. - x οδ &c: in
quantitatis x) per x designetur, velocitas quantitatis x' inter duas
55쪽
x' - ox - - &c. semper ponetur, quicunque sit Valor quantitatis ρὶ Supponatur o nihilo aequalis, & duae praedictae quantitates fiunt nae' 're& inter se aequales 1 unde velocitas quantitatis M, quae inter eas Ponitur, erit etiam n x x. Cor. I. Sit quantitas x', cujus fluxio requiritur; fingatur x - ν,& consequenter x' γ', Unde nx' 'x mI' 'F, & per reductionem
56쪽
Cor. 6. Sit quantitas data quaecunque algebraica functio fluentium quantitatum; scribendo γ, z, υ, &c. pro quantitatibus in his functionibus contentis inveniri potest ejus fluxio.
exponentibus potestatum vel radicum datae quantitatis; e. g. sit logarithmus quantitatis x, tum 'A erit togarithmus quantitatis AHae autem exponentes sunt mensurae rationum quantitatum, erino garillimi etiam erunt mensurae earum rationum.
Di - . Hinc facile colligitur, si modo logarithmi quantitatum a & b
57쪽
ter quantitas x erit ad datam quantitatem Μ:: κ ad fluxionem eius
Iogarithmi ι hinc fluxio togarithmi quantitatis sa erit propor-
3. Sit exponentialis quantitas Q , R ejus fluxio erit γ γ x
58쪽
. Fluxio exponentialis Q x Verit V X fluxion. exponent.
odi 'l v &c. ubi si tene B, C, & praecedentes terminos respective denotant. Sit V exponentialis quantitas, & facile constabit fluxio quaesita. Et sic inveniri potest fluxio contenti sub pluribus exponentialibus
quantitatibus. cor. Si vero c. sint quaecunque furectiones quarumlibet incognitarum quantitatum; & pro Y,3, et, &c. & earum fluxionibus in serie prius tradita scribantur hae functiones & earum fluxiones respective; invenietur fluxio quaesita. 5. Secundae fluxiones inveniuntur e primis, tertiae e secundis, &C. eodem modo, quo primae inveniuntur e fluentibus; ergo datae fluxiones pro fluentibus habeantur, & facile inveniri possunt earum fluxiones.
Ex. Sint x. x, x, &C. respective prima, secunda, tertia, &c. fluxiones quantitatis x); & sic j, γ, J, &c. prima, secunda, tertia, lac. fluxiones quantitatis γ), &c. invenire secundam, tertiam, &c. fluxionem quantitatis x γ': prima vero fluxio datae quantitatis invenietur
potest ejus Ufὶ tertia fluxio, &c.
59쪽
Duae sunt methodi inveniendi areas curvarum, vel quod ad idem redit, inveniendi summas quantitatum, quarum datur infinitus numerus ; altera e repetitis additionibus continuo vergit ad summam quaesitam, & ultimo propius ad eam accedit -quam Pro data quavis disserentia, quod cognosci potest e limitibus successive deductis inter quos consistit quaesita summa: haec fuit methodus veterum. Altera vero assumit summam tanquam quantitatem generaliter cogni am. &ejus partes exinde deducit , & quantitatibus, quarum datur infinitus numerus, fiunt praedictae partes vel aequales vel propiores ad rationem aequalitatis quam pro data quavis disserentia; & exinde concludit summam quantitatum, quarum datur infinitus numerus, esse assumptam quantitatem: haec fuit methodus recentiorum: in hac vero methodo minime refert, quo modo generantur partes ipsae; solummodo refert. Utrum paries quantitatis assumptae quantitatibus, quarum daturoinfinitus numerus, conveniant, necne: si vero partes considerentur tanquam motu generatae, tum dicitur methodus fluxionum vel incre
mentorum; sin aliter dici potest methodus integrationia. E A P.
60쪽
De inveniendis Fluxionum fluentibus.
PROB. IV. ATA quacunque suxione, quae sit algebraica functis liferae x in x se ducta: invenire utrum ejus suens exprimi potes terminis incognit
dum pr. cedentem pro ejus fluente assumatur quantitas x)κ e--JU- ὀx' - κ μ --- lx mxv in Ecc. κ α in βω' -- &c.); cujus inveniatur fluxio, & ex sequatis correspondentibus datae es re- B a saltantis