장음표시 사용
101쪽
COI' 2Gos' aco5' 2ooγ' ς' qui consistit tu medio inter primum 1:& secundum aequalis erit millesimo primo Termino hujus I, A, - B, - C, - D, &c. Cuius etiam Termini intermedii eodem modo inveniuntur; nam si pro m scribatur 999 , proveniet Series
mino hujus Seriet i, 7 A, L B, Z C, D, M. qui consistit in me
dio inter millesimum & millesiimum primum. EXEMPLUM III. Si quaeratur Terminus hujus Seriei I, - A, B, - C - D &c
ciatus intervallum a principio sit quantitas quaelibet m: primo divide Numeratores & Denominatores per incrementum ipsorum commune 3,& evadet Series I, A, B, &c. adeoque erit r ', q --
102쪽
t 3 & inde ra m - - - : unde Series posterior evadet' 3m a 'iaml53 3 D. - ' cujus Terminus ab initio distans intervallo I - r, sive- id est, Terminus qui consistit ante Primum tertia parte intervalli communis, aequalis est Termino Seriei Prioris, qui distat a Principio, intervallo quan
Sit a, b, c, d, e, Series quotcunque quantitatum, & si priores au rantur de posterioribus, manebunt Dimerentiae Primae b-a b, d c, e d: dein si harum Differentiarum priores similiter auferantur de posterioribus, relinquentur Differentiae secundae c - 2b a, i 2 c- - b, e- Z - - ; quarum rursus Disterentiae constituunt Differentias tertias d-3cq-3h- a, e - JG φ 3c- quantitatum Π, b, c, d, e. Et sic porro proceditur usque dum Perventum fuerit ad ultimam Differentiam ut in Tabula sequente. et lar
Sit I - v binomium in quo unciae I, - 1 eaedem sint ac Coefficientis in Disterentiis primis ; tum unciae quadrati 1 - AH-x', scilicet - 2, -- I erunt Coe scientes in Di ferentiis lecundis; item Unciae Cubi s , -ῖ, -bs, i erunt Coefficientes in Dinerentiis tertiis : & in genere Co scientes in quolibet Ordine Disterentiarum erunt unciae in correspondente dignitate binomii. Atque hisce praecognitis, pergere licet per silium ad quemlibet Ordinem Diderentiarum alasque consideratione intermediarum. Duae quantitates habent Differentiam Primam, tres habent secundam, quatuor tertiam ; nec ulteriores habere possunt. Sed nonnunquam accidit
103쪽
cidit quendam ordinem Di Terentiarum constituere progressionem aequa lium, quo in casu ulteriores Differentiae non habentur, utcunque magnus sit quantitatum numerus. Sic in progressione arithmetica aequantur differentiae primae, adeoque non dantur secundae. Et in Serie quadratorum I, ς, 9, 16, 25, &c. quorum radices sunt aequidisserentes, disserentiae Primae 3, 5, 7, 9, &c. sunt in progressione arithmetica, secundae sunt aequales, caque de causa tertiae 1 unt nihil. Sic etiam in Serie cuborum I, 8, 27, 64, 125, 216, &c. Differentiae primae sunt 7,λ9, 37, 6 I, 9 I, &c. secundae I 2, 18, 24, 3O, &c. tertiae 6, 6, 6, &c. utique aequales 1, adeoque quartae nihil. Et universaliter sint A, B, C, D, E, quantitates quotcunque datae, T vero variabilis, tum in expressione AH- ΗΣ - Cay -- Deti es Eet' scribe numeros quosvis aequi limerentes successsive pro T; & quantitatum provenientium ultimae Differentiae determinabuntur per altissimam dignitatem Σ', nulla ratione habita ad inseriores. Sic in hoc casu quarta dimerentia est ultima, propterea quod quarta potestas a' sit hic altissima. Saepist me di Terentiae constituunt Seriem Convergentem in Casibus quando non abrumpunt. Ut si a, c, d, e, &c. sint fere inter se aequales, earumque Disserentiae primae b-ι-b, d - , e - d, &c. etiam sibi mutuo sere aequales, atque etiam secundae similiter & sequentes
sibi mutuo quamproxime aequales, tum l - c, c - 2 bH-a,d-3c 3b- a, &c. constituent Seriem convergentem. Item differentiae Terminorum quorum relatio definitur AEquatione
non expectandum eii Disterentias quantitatum quarumcumque vel con- Vergere vel abrumpere. Hoc tantum accidit in iis quantitatibus quae increscunt aut de Crescunt aCcurate Vel quamproxime eadem celeritate ac certae quaedam digni eates numerorum aequidi Terentium.
De Desci ptione Curet aram per data s Ea.
colonus in Epistola ad Ol enburgam Anno i 676 data, postquam
in Onstraverat artificium evitandi Series nimium complexas in quadratura curvarum trinomialium ; innuit, Sed haec minoris facio, quod ubi Series simplices non sunt fatis tractabiles, aliam nondum communi- catam methodum habeo, qua pro libitu acceditur ad quaesitum. - us fundamentum est commoda, expedita, generalis solutio hujus -- Problematis, C Ervam Geon: Ir:cam describere, orice per data quotcungue
puncta trans bit. Docuit Euclides descriptionem Circuli per tria pun-Potest etiam Seotio Conica describi per quinque data Puncta
104쪽
M & Curva trium dimensionum per septem data puncta; adeo ut in s potestate habeam descriptionem omnium Curvarum istius ordinis, quar per septem tantum puncta determinantur.) Haec statim Geometrice fiunt nullo calculo interposito. Sed superius Problema est alterius generis: & quamvis prima fronte intractabile videatur; tamen res aliter se habet. Est enim fere ex pulcherrimis quae solvere desi-
Newtonus in Propositione sexagesima Arithmeti Universalis, docet descriptionem Parabolae Conicae per quatuor Puncta: vel potius docet methodum inveniendi AEquationem ad Parabolam quae transibit per quatuor data puncta. Et eadem methodo describere licet Lineam tertii ordinis per novem puncta, & Lineam quarti per quatuordecem. Et sic in reliquis. Sed nostrum institutum non requirit solutionem adeo generalem; sussicit enim describere figuram Parabolicam per extremitates quotcunque ordinatarum quae sunt sibi mutuo, & etiam Axi Curvae parallelae. Sed neque descriptio Curvae organica motu angulorum, aut alio quovis modo, ad praesens propositum conducit: eodem res redit sive Curva actu describatur, sive descripta concipiatur. Curvae enim hic nullatenus sunt necessariae, nisi quatenus alumento sunt intellectui in rite concipiendo Problemate. Etenim descriptio Parabolae per data puncta, idem est omnino Problema ac assignatio quantitatum ex datis ipsarum Differentiis; quae per Algebram solam, idque Per resolutionem AEquationum simplicium semper perficitur.
Detur Series O inatarum ingui aer antrum ex una tantum
parte pergens in in nitum, re oporteat insenire L neam Parabolicam quae transsit per extremitates om
Designent A, AI, AI, Ag,'Aή, &c. Ordinatas aequidistantes insistentes Abscissae normaliter. Collige easem differentias primas B, Br, Ba, B3, &c. secundas C, CI, Ca, &c. tertias D, DI, &c. & sic porro. Adeo ut A sit ordinata prima, B di Terentia prima duarum primarum ordinatarum, C differentia secunda trius prjmarum ordinatarum, D di Terentia tertia quatuor primaru' & sc .dei' eps. Dimerentiae autem colli idebent auferendo priores ubaque de posteriorjbus; hoc est, ponendo B in Ai A, B i - A 2 - Α Ιθε c. C s 1 B, &c. & ita porro in WEqus; ρο-ο ζδ. ζsse negatiV . qN Oriuntur ex subductione quantitatis majoris de minore.
105쪽
Hisce praemissis, sit T quaevis ordinata in genere, Primaria vel intermedia, cujus distantia a prima ordinata A, nempe AT sit ad intervallum commune sequidistantium ut quantitas indeterminata et ad unitatem, eritque
Hic est valor ordinatae cujusvis T jacentis ad easdem partes Ordinatae primae A, ad quas jacent reliquar: quod si jaceret ad alteras, tum mutandum seret signum Abscissae Σ Etenim Abscissam pono amrmatiVam quae ab initio tendit dextram versus inter ordinatas posteriores ;nqgatiVam Vero quae ad contrarias partes Porrigitur. Propositio autem se demonstratur.3 concipe
106쪽
Concipe ordinatam T motu parallelo latam deserri super Abscissam, adeo ut successive deveniat ad loca reliquarum. Et quoniam illius distantia ab Ordinata prima ponitur esse ad intervallum ordinatarum commune ut et ad unitatem ; erit a luccessive aequalis O, I, 2, 3, ψ,&c. & interea T aequalis Ordinatis A, AI, Aa, A3, &C. Per Vices, cuique in suo loco. Igitur ad eruendas Coessicientes A, B, C, D, &c. quae essiciunt Parabolam transire per extremitates Ordinatarum, in AEquatione ad figuram T O A H- B C p N '--- D p κ - - κ
- - &c. scribe ordinatas A, AI, Aa, Ag, &c. successive pro T;& interea pro z, Iongitudines Abscim ordine sequentes, id est, o, 1
Quippe ex valoribus ordinatarum A, AI, Aa, &c. vicissim eruuntur valores Coessicientium A, B, C, &c. Ex quibus patet ordinatam primam A escte primam Coessicientem ; item differentiam duarum primarum ordinatarum esse Coessicientem secundam; & disterentiam secundam primarum trium esse Coessicientem tertiam; & sic in infinitum. Igitur valores Coessicientium in solutione positi essiciunt Parabolam transire per extremitades Ordinatarum. E. D.
-κ -π- Φ &c. de quo si subducatur valor ipsius T, habebitur
107쪽
Hoe est, prima Coessiciens A aequalis est Ordinatae primae T; secunda
B aequalis est differentiae inter duas primas ordinatas T & T ; tertia C aequalis est di rentiae secundae trium primarum ordinatarum, T, T , T 1 quarta C aequalis est differentiae tertiae primarum quatuor Ordinatarum , & sic Porro in reliquis ut jam demonstratum est.
Dentur quinque ordinatae I, 4, 2, 3, 9, Per quarum extremitates oportet Parabolam transire. Collige earum differentias Primas 3, -a, 1, 6; secundas I 4239- 5, 3, 5, tertias 8, 2; & ultimam -6. 3 et 1 6 Dein juxta praescripta in solutione Propositi- -5 3 5onis, pro A, B, C, &c. ponantur ordinata 8 2 prima, & prima quaeque differentia respe- -6ctive 1 hoc est, A I, B m 3, C --5,D-8, E m-6; at F, G, &c. erunt nihil. Hisce autem valoribus substitutis, prodit AEquatio ad Parabolam T-x in 37-s' η - Φ87η quae in ordinem reducta sit T i
108쪽
que ad probandum opus, scribe o, I, 2, 3, 4, successive pro Abstita et, & pro T provenient Ordinatae quinque proPossitae. Ceterum ordinatae possunt sumi in ordine inverso, modo mutentur signa differentiarum in ordinibus alternis: tunc ponendum est A 9, B m -6, C m 5, D - - 2, Em - 6; quibus 1criptis & AEquatione
prodibunt Ordinatae propositae in ordine inverso. Atque hic obtinentur duae AEquationes pro eadem Parabola, quoniam Abscissa initium ducit nunc a Prima, nunc ab ultima Ordinata.
EXEMPLUM ILOporteat nunc invenire AEquationem ad Parabolam quae transit per extremitates sex ordinatarum aequi-
lige earum differentias primas, reli- -2 4 I 6 34 58 quasque usque dum perventum fuerit 6 Ia I 8 et ad ultimas, ut in margine. Et inve- 6 6 6nies A 5, B - - 2, C - 6, D - 6. Quibus substitutis, oritur
quae reducta fit T se s- Et si pro Σ scribas successive o, I, 2, 3, 4, 5, PrOVenient sex ordinatae Propositae. Linea recta transit per duo puncta, Parabola Conica per tria, Cubica per quatuor, Bi quadratica per quinque, & sic in infinitum. Nonnunquam vero accidit Curvam inferioris ordinis transire per plura puncta, ut in Exemplo novissimo. Ordo autem Parabolae semper denotatur per ultimum ordinem differentiarum. Quod si numerus Ordinatarum sit infinitus, & progressio aequalium differentiarum non obveniat, in eo inquam casu Curva erit dimensionum infinitarum, valore ipsius Texcurrente in Seriem infinitam Sc Η OLION. In hac solutione posuimus distantiam communem ordinatarum esse unitatem; Verum si Pro eadem usurpassem quantitatem quamvis η,
109쪽
Et invenies vicissim B - An, C in An , D Any, quibus valoribus substitutis pro B, C, D, E, &C. orietur
Evadat jam intervallum commune n nihil, & L, A, A, &C. evadent fluxiones Ordinatae primae A, dummodo fluxio Abscisiae et sit unitas , atque proveniet T AH-AzH-- ΑΣ' -μό- Az3 Az' -&c. Igitur coincidentibus ordinatis aequid istantibus, incidimus in Seriem ubi Coemcientes Terminorum sunt fluxiones Ordinatae Primae respective divisae per numeros I, 2, 6, et , &c. qui generantur Per Continuam multiplicationem horum, I, 2, 3, 4, &c. Et hoc primus deprehendit D. T lor in Methodo Incrementorum, & postea Hermanas in Appendice ad Phoronomiam. Hinc si ordinata Curvae cujuscunque resolvatur in Seriem hujus sor- A in B ΣΦ CZ'H- DΣ' - -&C. ubi exponentes Abscissae et sunt numeri integri de assirmativi; primus Terminus A est prima ordinata, utique quae transit per initium Abscissae; primi duo A -l- Ba denotant lineam rectam quae transit per duo Curvae Puncta coincidentia, quaeque proinde tangit Curvam; primi tres Termini AB a--CE de finiunt Parabolam Conicam quae transit Per tria Curvae puncta coincidentia, quaeque ea de causa tangit Curvam, eandemque habet Curvaturam in puncto per quod transit ordinata Prima; primi quatuor Termini A B et Η- Cay H-D Σs definiunt Parabolam Cubicam quae transit Per quatuor Curvae puncta . coeuntia, id est, quae tangit CurVam, candemque habet Curvaturam & Variationem Curvaturae in puncto Contactus. Denique tota Series AH-BΣ Cay -DΣ -&c. est Ordinata Parabolae dimensionum infinitarum quae tangit Curvam, & in Puncto Contactus, habet eandem Curvaturam, Variationem CurVaturae, i Varia-
110쪽
Variationem Variationis, & sic in infinitum, ut exprimitur a Nemro in Propositione decima Libri secundi Principiorum. Vel quod eodem
redit, tota Series est Ordinata Parabolae transeuntis per ordinatas Curvae aequid istantes, numero infinitas, & coincidentes cum ordinata prima. Hinc ideam habemus analogiae quae est inter Methodum Di Terentialem & Methodum vulgarem Serierum ; haec Procedit per Fluxiones sive rationes differentiarum ultimas, illa Vero generaliter per differentias cujuscunque magnitudinis. PDesignet D EF Curvam quamvis, cujus Abscita AC decussat ordina tas aequidistantes A D, BE, CF, ad langulos rectos. Sitque AB T, AD A; eritque ex seperioribus A B aB-Α Σ' -b ἶ- ΑΣ Η- ΑΣ' - - &c. scilicet hicce valor ipsius B E est Ordinata Curvae Parabolicae quae coincidit cum
altera Curva in puncto D: igitur pro Area Curvae usurpare licet Aream Muidem Parabolae, quae Per methodum Fluxionum inversam prodit ABED in Az- - λΣ Η-ς ΑΣ - - - ΑΣ' - AT φ&C. Et eadem prorsus ratione si BE dicatur 1, existente AB in BC-z, erit Area
In qua si mutetur signum Abscissae et, obtinebitur Area BED A negative expressa, scilicet mutando signum Abscissae obtinetur Area jacens ad alteras partes Ordinatae. Sed Area illa assirmative expressa evadit
Et haec est Series D. Johannis Bernoullii exhibens Aream per ordinatam ultimam ejusque Fluxiones expressam; quamque nos jam dedimus per Fluxiones Ordinatae primar. Notandum autem est Seriem Priorem non extendi ad casus in quibus ordinata prima tangit Curvam, & Seriem D. Bernoullii non extendi ad eos in quibus ordinata ultima tangit Curvam. Nam Parabola cujus Area' usurpatur pro Area Curvae quadrandae nullam Ordinatarum tangere Potest ; adeoque coincidere nequit cum altera Curva ordinatam suam tangente. Hujusmodi enim
Expressiones pro Areis &'Ordinatis Curvarum praestipponunt formam. Seriei A Ba-Cχ' - &c. in qua exponentes Abscissae et sunt numeri integri & assismativi.