Methodus differentialis, sive Tractatus de summatione et interpolatione serierum infinitarum. Auctore Jacobo Stirling, R.S.S

51쪽

Summatio Serie VI.

- T, atque habebitur I TXL n N)-T V N κ quae divisa per TXα-n, eVadit , , Vel 3-ὴ O. hac Vero AEquatione eruetur Radix γad modum sequentem. Finge

Adeoque

52쪽

Summatio Serici M. I

si υ 'Vν ib*bi Pro S, Spriem in Theoremate positam. Grossurium. Si n si integer & negativus, vel nihil; Series simum-bitur accurate per hoc Theorema. Et si m sit nihil vel nesta g

el les erit infinite magna. Inservit autem haec Propositio & superior Quadraturae Curvarum binomialium. Haec usui venit ubi in Ordinata

x κὸ-fx' , est e*fx mo; superior vero adhibenda est ubi con trarium accidit. Ex EMPLUM I.

AEquatio eam desiniens est Vma , uti patebit scribendo

valores I, 2, 3, 4, &c. successive pro z. AEquatio autem in Theoremate

53쪽

E - - &c. Ineundo computum reperio aggregatum duodecem Terminorum esse I. o73975o8. Dein substituo Terminum decimum tertium, id est, κ. 161 18oa58 pro T, & pro aualorem suum correspondentem I 3, sic prodit A m

- - - 2426I,

- - - - 25O,

S m. I 6339882OEx hoc computo habeo S m .r6339882O, Valorem utique Terminorum omnium post decimum secundum; quem itaque adjiciens summae initialium, I.ψo73975o8, habeo I.57O796328 pro valore Seriei summandae, id est, Pro longitudine Arcus semicircularis cujus Diameterest unitas.

Termini initiales, quando eorum Summa eruitur, facillime reducuntur in stactiones decimales per regulam sequentem, Pone a m I, braa - c., c b d dm c - Γ c, e - d --&c. eruntque Ter-

54쪽

scilicet sumendo initium Abscissae et a diversis punctis. In priore va

B H A C m D ', &c. In posteriore valores ipsius z

- DH-&c. Dabitur ergo S ad plures figuras sumendo pro T quemvis c Terminis sat longe distantibus a principio. Et similiter in aliis casibus instituere licet computum, idque duobus modis diversis ubi Termini sunt assignabiles. Haec autem Series hunc in modum scripta

I - Ι - - -- &C. QCitius tractabitur Per ProPositionem tertiam aut septimam. SCH οὐ D M. Hactenus egimus de Summatione Serierum quae prodeunt in Quadratura Curvarum binomialium. & similibus. Caeterum procedere licet eodem modo in casibus dissicilioribus: nam Summa Seriei deter

minatur & erui potest ex data relatione Terminorum ; idque resolvendo AEquationem Disterentialem ut in novissimis duabus Propositionibus. Problema autem esset laboriosum quaerere Summas independenter a Terminis, quando Termini non sunt assignabiles; ideoque quaesivi quantitatem quae ducta in Terminum T exhibet Summam S. Sic etiam Areae Curvarum facilius eruuntur mediantibus ordinatis, nam Series hac ratione prodeuntes sunt simplicissimae. Et hisce praemissis pergo ad methodum resolvendi Radices AEquationum Differentialium in Series m gis quidem compositas, at simul longe magis convergentes quam superiores; quas ea tantum de causa exhibui, quod essent simplices & usibus vulgaribus sufficientes.

Hucusque Summam quamlibet designavimus per S, ejusque Terminos per T, D, T , &c. At in sequentibus etiam designabimus Series vel Summas, per 52, 53, S , &c. earumque Terminos per I 2, T 2,

55쪽

Et sicut in Serie S, Summae successivae designantur per S , S', &c. ita in Serie Sa, denotabuntur per S a, Sssa, &c. atque in Serie S3 per S , S 3, &c. Et sic in caeteris. Hanc autem notationem introducere coactus sum, propterea quod Summae & Termini diversarum Serierum simul considerandae veniunt in eadem AEquatione.

PROPOsIΤIO IX. Data relatione inter duas Summas in Hversis Seriebus, ρο PEquatione ad Terminos in alterutra ; invenire AEquationem ad Terminos in altera.

Problema solvitur progrediendo ex relatione variabilium praesente ad succedentem, ut exinde eliminentur Summae; id quod Exemplis patebit. Ex EMPLUM I.

Sint S & Sa duce Summae in diversis Seriebus, earumque relatio

T, relatio

Terminorum Seriei S: atque eX hisce datis opporteat eruere AEquationem

ad Terminos Seriei Sa. In AEquatione S m TH- Sa, ex. hibente relationem Summarum, substitue valores Variabilium consequenates pro antecedentibus, hoc est, S sive S - T pto S; S a, sive Sa Ta pro Sa εἶ T pro T, & Σ - I Pro Q; atque habebis S T T Sa- Ta, quae ablata de priore relinquit AEquationem liberatam a Summis, scilicet T mTa unde est Ta ' T

56쪽

wwatio Sertorum.

substitue pro T valorem proprium ---X. I, atque Obtinebis Ta - . - --- - T. In hoc insuper valore scribe valo

res in determinatarum succedentes T a, T , &ali pro praesentibus Ta,

quatio autem prius inVenta TZ E s dat a me es ' LI Tr. AEduentur iam sibi invicem duo valores Termi

eaeprimit relationem Terminorum Seriei Sa. Qi. I. Ex ΕΜΡLUM II. Sit jam relatio inter Summas S TH Sa, &zT-3Tκὰ ibi AEquatio ad Seriem S. In AEquatione ad Summas scribe valores

Caeterum per AEquationem ad Seriem S, est 3T

57쪽

so Summatio Serierum.

sus progrediendo ad valores indeterminatarum succedentes, habebitur

T: unde T i2αiq. Σα s. T 2 ; atque Per valorem ipsius Ta est idem

T M - ' κ Σα i Ta ; quibus duobus valoribus inter se aequatis, obtinebitur zΣ --T Y T a -- zzφ- Σφ5 κ 3 T a o. AEquatio utique ad Terminos Seriei S. Et in aliis casibus similiter procedendum est. SCHOLION. Per hanc Propositionem Series infinitae inter se comparari possunt. Nam AEquatio exhibens relationem inter Summas S & Sa, dabit unam ex data altera: & Termini ipsarum S & Sa, dabuntur ex suis AEquationibus, quarum una assumitur, altera Vero eX ea assumpta eruitur: ut in Exemplis hujus. Propositionis. Ut si relatio Summarum sit S ----- TH-Sa, & AEquatio ad Seriem S, T T; inve

Sint jam 2, 3, 4, 5, &c. Valores succedentes in determinatae z; & usurpando unitatem Pro T invenies

In priore Denominatores sunt quadrata numerorum naturalium, & in posteriore quadrata numerorum Triangularium. Relatio autem inter

Series S --- T l Sa, scribendo a pro et, & unitatem pro T, dabit Sa S - οῦ, di ducendo in S, erit 8S - Iet 8 Sa m a in

58쪽

Mwwatio Serierum.

sunt quadrata numerorum naturalium comparari possunt eae ubi Denominatores sunt quadrata Pyramidalium, Triangulo- Triangularium, C . Atque in genere possunt comparari omnes Series quae denniuntur IlI- quationibus sequentibus

Iuveni e vatorem Seriri quam proxime, quae taesinitur ΛΕ- quatione hujus formae

Primo sit r i 1, & fingamus AEquationem ad Seriem esie T α - κ

et S 1 accurate: & progrediendo ad valores indeterminatarum

59쪽

Summatio Sericrum.

T Jam quo minor est Summa Sa, eo proprius quantitas e - T accedet ad valorem ipsius S; & eo minor erit Set, quo minor est Terminus ejus primus Ta : is Vero evadet minimus ubi variabilis a est minimarum dimensionum in Numeratore Mus valoris; nam hic et magna supponitur: ponantur ergo Coessicientes dignitatum Σ' & Σ nihilo aequales, &habebuntur duae AEquationes g --m O, atque -n-pVis fi m O, ad determinandum duas quantitates assumptas p, q. Pri- Unde erit ma dat qmm, ex qua & secunda eruitur I --

Ta--T, E. I. Et eadem prorsus ratione invenietur approximatio, ubi AEquatio ad

60쪽

S; T - T si AEquatio exhibens relatio- Terminorum Seriei S,