Philosophiæ naturalis principia mathematica

21쪽

PHILOSOPHIAE NATURALIS inor ConPon.

Comia. s. meis lagarithmis cujusvis speciei, Domithmi atis aperiri eisdem numeris res O dentes inveniri possunt, si dentur subtangentea inritisque aperiris Hinc a dentur logarithmi quorum subtangens est unitas qui hyperboliciacuntur , sitque data subtangens ali speciei .6S42944 multiplicantur togarissimi dati per hunc numerum, habebunturquo oramdem numer xum Iogarithmi in hae tutera specie, ut liquet ex hoc Theor. Ideoque in postmetu per hanc -- Premionem L. x, intelligemus Iogarithmum hy-Perbolisum quantitatis . qui si multiplicetur per quantitatem quamlibat ut a, a L. x exprimet Imarissimum x ex ea aperio depromptum quis habet a pro inhiangente, eat enim D aram L. ad euin logarissimum qui ergo erit a L. . M. μοδι α αε Mimata gari mica et et a Mariata, ἡnvenire duo sutiangentem, dum modo uerius M. Oet lagaritaminin sutiangens o ratibularum aequales, et erius ordinatae sint aequales numeris eis logarissimis correspondentibus, quaeraturque ejus logarith castis tangens; inveni tur in altem lagarithmie cujus auhtangens est unitas abscissa respondens ordinatae quae ait unutatis dupla per Cor. 2. Prob. I. quae est. 69 14 2 fiatquo ut 69314 2 ad Mim . ita unitas ad subtangentem logarithmica tis Iaram quae invenietur 4342944. ora Hine dato lagarissimo alterius numeri desumpto ex togarithmica cujus sistangena data est, habebitur ejus nitineri Iogarissimus in iis Iis, Scendo ut a tangens da ad 4342946. italogarithmus datus ad Eiusdem numeri togarit mum in tabulis. U. P M. Lu Si quantita eariabris, cujus logartihmus etiam variabilia est, ex uastiram ii iis variabris mone, monem e a togarithmi determinare. Concipiatur Iogarithmica ad quam pertinet species Iogarissimi qua assumitur; sit a. subtangens, sitque y Variabilis Proposita, quae consideretur ut eius logarimmicae ordinata, sitque x ejusdem Iogarithmicae abscissa ei ordinataea respondens, erit Per naturam logarithmia

eae n 36. yy dx maeady etdx---, sed, est Iosarissimus ordinataea ergo 1 est eius dinserentia, ergo di. - - hoc est, differentia Iogarithmi est differentia variabilis proposita dia visa per ipsam variabilem, et ducta in constantem quae sit subtangens Iogarithmicae ad quam pertia ne species logarissimi assumpti.

Et e convereo, si habeatur haec fluxio , eius fluens est lagarissimus ipsius quantitatis rex ea togarithmica sumptus cujus subtange est..

Data sit subtangens logarissimi eam log rithmiem vero Ri data sit abscissa ruit ordinatara , quaeritur hujus logarithmicae su tangens Quaeratur primum abscissa quae indo. garithmi responderet ordinatae aequali R, per Probi L aliquo ea Am fiatque ut M ad C inita subtangena data ad quaesitam. Me L In t ulla logarissimorum, marithmus numeri s. est Soloso si ergo concipiatur Iogarithmica cujus abaeima sint lagarithmiari

4I. Theor. V. Syntium Agari micum AB Puductus ordinatis A B, P, arcu B P et abscisia

A meo rehensrum, aequale est rectangulo G tangentis et dimoviis ordinatarum. Ducta enim per punctum P tangente P Reompleatur rectangulum T im, agatur per

B recta AE parallela Tm, sorans T F in et Μ Ρ in Q per m ordinata mi altorii Pinfinit propinqua, et per poema fi Parallela Tm oecurrens T Pin petii in x His p

22쪽

reeiangulum Μ, aequale erit rectangulo Ursi. Quar. in area togarim ea Am Prudivisa intelligatur in metangula innumera ut Ni metangulum E F PMd risum erit in t tidam metangula ut is eorrespondenti sit,

Agatur enim altera m ipsi Q P infinit pro In qua a punctis , Mauriteantur ad axemor mendisutum p m mea Mae in Alpe pendieulum P H; et tangat togarist eam in P erit ob triangula pis P, P, T similia, passo Nn i Pisis P, seu myt. Μ T, t ex natura hyperi a per Theor. 4 da Hyp.

Per o m rationam rationum at ex aequo μακNni rκDGem CDtΜT Quam ob datas i et, , summa omnium recta u. Iorum NM, N, in quas dividi potest aream Mi hoc est, haec area ipsa est ad rectangulum sub datami, et summa omnium 4, seu tota metam P, ut m ad WT, proindέγε

VPic etio oriana erum irier avmmotum hyperbo illae Agaris micum intem e 46. Sesosium. Cum It Marchio Polenua in Epistola ad Hermannum Patavi an I 29. adita, ita facilem et expeditam to thmicae Macriptionem organicam, pro ingenii aut sag citat invenerit, ut curva illa Metionibus conicia haud dissicilius eo truatur, eumque I arith ea per lineas rectas id primis quod hyperbola

per Lectores es quadrilatera sua, in Problem tum constructionibus quas per areas hyperholicasa olvuntur, loco hyperbola non mia usum retur arithmica quamvis si problema ad me-Tum eniculum redueatur, qu bene possint usurpari spatia hyperbolica, quam inacima I garithmicae. Quomodo autem eo tructiones quae per spatia hyperbolica fiunt, ad logaristum eam transierantur, pluribus exemplis ostendemus dein Ps.

23쪽

PHILOSOPHIAE NATURALIS suin Conma

m Maximis et Minimis. ετ viso . Si quantitas variobilis, quam e ponat meta Pi curvae ira ordinais ad

μειώ acrem , ---tia auream 3π--α4s ore L Ut ex data aequatione lata a Mimam Α, et ordinatam, P inveniatur u ιor absessam A E cui maxima es minima appliaeata Ei ordinatur, sumenda est aequationis fluxio, at ratio fluxionis ordinata adauxionem inmmae, seu ratisia ad Mik eaque verinsinuo

aimilitudinem triangulorum a P, P, , erit mr ad Pin, eum, ut Pi iam T. Saa ai indidente Puneis P eum D tangen P ovadat abscissae Λ E parallela et proindam Pflat maxima via minima ordinatam D, in a. puri 1' et ' punctum T in infinitum his, at ideo eatis P, Q, T seu ratiosis ad M, nulla es Contri vero si coloridente reum Rinnarensi reum ordinata maxima e minima D E eonveniat ut in figuram et . ovanescit in Nangenam ret ratio Pi ad Ma, sive praam in infinita evadit. v nihil aequanda est, aut quod idem eae saevi, Wm eo tanto fluxio ordinata via infinito via illo aequalia supponenda. s. s. s. 1 quantitas variabilis Qua

maximum ad minimum qumitur non ait caedinata e vae, Potest illa a poni aequalia ori uin evast alicujus in datam quantitatem duetae, utis pro in mare quantita variabilia a x in qua a data est, cindeterminata, Ponereturax - 3-hbri quae est aequatio ad eumvam eum insessa eat , et ominata F, et hinc. sumptis fluxionibus, foret sandx--Sx da

adiaque ax - ππ-o et x ααδα si itaque leo x instituatur in quantitata proposita obtinebitur maximum ejus 34 3 64 3 - o a'. Idem inventum filiam is rius a nulla facti suppositione fluxio variabilis proposita videlicet 2 ax dx-3x dx, nihilo cuimet aequata.

24쪽

Corporis, em missisur in ratione vel uatia, rosta ex resissenti amisa ex is spatium movendo Orfectum. Nam cum motus singulis temporis particulis aequalibus amissus sit ut velocitas, hoc ' est, ut itineris consecti particula erit, O onendo, in tu toto tempore amissus ut iter totum Q. e. d. ores. Quare si corpus, gravitate omni destitutum, in atiis liberis sola vi insitu moveatur ac detur tum motus totus sub initio, tum etiam minus reliquus post spatium aliquod confectum: 'hdabitur spatium t tum quod corpus infinito tempore describere potest. Hi enim spatium illud ad spatium jam descriptum, ut motus totus sub initio ad motus illius

partem amissam.

Quantitares differentiis suis proportionati sun continue proportionales. Sit A ad x But Bad B - et Cad C D,inc et convertendo

Si e pori resistitur in ratione velocitatis, et idem sola vi insud per mera similare moneatur, sumantur autem tempora aequalia velocitates in in tapetis in Q um temporum sunt in progressione geometrita, et spatia singulis te rei a descripta sunt ut velocitates. s. I. Dividatur tempus in particulas aequales et si ipsis a ticularum mitiis agat vis resistentiae impinu inico, quae sit ut velocia

me eae, vi uineris Onfecti peretistita ratione vel istis. Cam ergo motus ad M IM datum temporis momentum ex hyp. stinetionem usque amissus, sit ipse motus torua, In intiis liberis, id est, in quibus nae et motus amisa sint ut spatia movendo consecta Ium est laeulum praeter medii resistem per Theor. erit motus totus ad motiis partemtiam velocitati proportionalem amissam post datum spatium deseriptum, ut Diabitur spatium totum quod corpus in spatium ad exstinctionem Nu motus descri suis tempore describere poleae, hoc est, usque ad tum ad illud datum spatium. Unde liquot v motus Exstinctionem. Ostendetur autem infra, sum quod corpus ad motus usque extincti6nem in mota L, infinitum tempus requiri ut motus describit finitum esse, eam datam habeat rati inmus Extinguatur, quando resistitur motui in nem ad spatium finitum.

25쪽

tas: q) erit decrementum velocitatis singulis temporis particulis ut eadem velocitas. Sunt ergo velocitates disserentiis suis proportionales, et prointerea per Lem. I. Lib. II. continu proportionales. ' Ρroinde si en

aequali particularum numero componantur tempora uuaelibet aequalia, erunt velocitates ipsis temporum initiis, ut termini in progressione continua, qui per saltum capiuntur omisso passim aequali terminorum inis mediorum numero. Componuntur autem horum terminorum rationes ex rationibus inter se iisdem terminorum intermediorum aequaliter repetitis, et propterea es quoque rationes compositae inter se eaedem sunt. Igitur velocitates, his terminis proportionales, sunt in progressione geometrica.Μinuantur jam aequales illae temporum particulae et augeatur earum numerus in infinitum, eo ut resistentis impulsus reddatur continuus et Velocitates in principiis aequalium temporum, semper continue Pr o tionales, erunt in hoc etiam casu cintinue proportionales. Q. e. d. Cas. 2. Et divisim velocitatum disserentiae, hoc est, ea iam partes singulis temporibus amissae sunt ut totae spatia autem singulis temporibus descripta sunt ut velocitatum partes amissae per Prop. I. Lib. II. et Propterea etiam ut totae Q. e. d.

Coro Hinc si asymptotis rectangulis Α , C H describatur hyperbola BG, sintque Α B, D G ad asymptotonis C perpendiculares, et

Oxponatur tum corporis Velocitas tum resistentia medii ipso motus initio,

resistentia ob datum teinporta momentum, idem

que per hyp. Lut velocitas. ' m. Proinde si eae requia in Linea meis Z in particulas aequales Λ B, B C, C , α

divisa, exponat tempus, et perpendicula A L, Bi Cm, Ac exponant velocitatis ipsis ing lorum temporiim A B, B C, C Wine initiis; erunt ex Dem. velocitates illae in eontinua Progrestione geometrica decrescente. Proinde inc esse togarithmicam. si ex aequia particularum numero componantur tempora quaelibat aequalia, ut E. E M, HI, α runt vel lintes II S,Sc.. pias temporum initiis ut termini qui e

progression geometrica per malium lapiuntur, omisso Pasiam aequali is minorum intermediorum B M

numero. Componuntur autem horum terminorum ML E RHAE, α rationes ex aequalthua rationibus terminoriam interrum diorum aequaliter repetitis; nu

nitudine, tum numero a valea

mn rationibus E P ad m, Q ad G R, Ae ex Mitiua componitur ratio E P ad Si, et ita porro uar ratio Amadi P aequalis eat rationi E P ad Bra, et timinaequalis rationi H S ad K manifestum a tem est 33 curvam im S , ad quam te minantur perpendicula omnia Λ L, B, C R

26쪽

per lineam quamvis datam A C, elapso a tem tempore aliquo per laneam indefinitam C: Sinoni potest tempus Per Rream, o D, et spatium eo tempore deseriptum per lineam A D. Imam si area issa per m tum punctis augeatur uniformiter ad modum temporis, decrescet rectam C in ratione gemmetrica ad modum velocitatis et partes rectae A C aequalibus temporibus descriptae deermeent in eadem ratione.

Corporis, cui, dum in medio similari recia ascendit vel descendis, resistit ire in ratione vel uviis, quodque ab uniformi gravitate urgetur, de ire motum.

Corpore ascendente, exponatur gravitas per datum quodvis rectangulum

B et restatentia medii initio ascensus Perrectangulum B A D sumptum ad contrarias partes rectae AB. Asymptotis rectangulis AC, CH, per Punctum B describam ' rem si ore in m motum timeti nave ordinataei, augeatur aenis miser ad mo--n temporis, Exhibeatque Proind/ tempus, a errare recin Di, in ratione geometrita smiax I. hora --- uelocitatis, et ideo velocitatem minxit Exponere Per Cas. I. Dem. et quia recta A, Exponit velocitatem ipso motus inutio, et Di, velocitatem reaiduam elapso tant-

potes B Gi erit A D ut velocitas amissa. aum ido ut spatium deseriptum per Prop. I. hujus Quis vero minorientibus unetia D a C axe Ara Si infinita vadit, manu Meum est tempore infinito finitum spatium C d mihi. paries recto A C aequalibus ι-

ristic scri in decremen in ea in ratione,

crescunt ergo parte rectae A C in ratione vel

Exponent igitur reetae E , D, α, patia temporibus RE ULAE, descripta, et tota recta D spatium toto tempore Ararum descrip-

27쪽

tur hyperbola secans Pe

pendiculam Ε, di in G,

g et corpus ascendendo

tempore D G descrubet spatium E Gge, tempore Dira A spatium RScensus totius m B; tempore A BAEd spatium descens atquelampore I aci spatium

scensus a fk; et velocitates corporis resistentiae medii proporti' les in horum temporum

periodis erunt A BAE D, A B ei, nulla, A B FH, Α Β Di respective;

atque maxima Velocitas, quam corpus descendendo potest acquirere, erit

Resolvatur enim rectangulum B A C H in rectanges innumera l um, Μὰ, c. quae sint ut incrementa velaritatum aequalibus totidem temporibus facta et erunt nihil, Aa, Ad, A, A minc ut, locitates totae, atque ideo per hypothesin ut resistentiae medii principio singulorum temporum aequalium. Fiat AC ad AK vel ABHC ad Bl Κ ut vis gravitatis ad resistentiam in principio temporis secundi, deque vi gravitatis subducantur resistensiae, et manebunt Aram , KkHC LlHC Μm H C, c. ut vires absolutae quibus corpus in principio singulorum temporum urgetur, atqua ideo per otiis Legem II. ut incrementa velocitatum, id est, ut rectangula x , t Lm, i, &c. et propterea per Lem. I. Lib. ΙΙ. in progressione geometrica. Quare si recta ΚΔ, Ut, Μ, Ν Rc productae occurrant merbiam in q, , , t M. erunt areae ABqI Kqr L Lxs Μ, Μ stri M. aequales, ideoque tum temporibus tum viribus gravitatis semper equalibus analogae Est autem area Amri K per Corol. 3. Lem. VII.

Resoluatur enim e Demonstratis quae sequitur est pro corporia deseensu. Fia Aiad A IT,&e. Cum enim ait Ama , proportionalis resistentiae principio terivoris secundi, fiat KkB ad ABHC seu A, ad A C, ut resistentia illa ad gravit tem rectangulum Ara exponet vim gravitatis datam et simili modo, cum sic I ad Aa, ut resistentia initio tomporis tertii ad resistentiam initio temporis Mundi erit, ex aequo portur ia

Lad Am, seu A L ad Λ , ut resistentia in principio temporis tertii ad gravitatem, et ia

deinceps. Quomam vero inritas modiam eo poris eadentia a vierat quem resist-tin reta dat, de vi gravitatis auferenda est vis resisteritam ut habeatur vis absoluta quae οππι deorsum IN getur.

28쪽

λα sunt ad areassidi, disra,sm ut vires gravitatis ad resistentias in medio temporis secundi, tertii, quarthinc Pr inde cum areas aequales Ba ΚΦ

ste sint viribus gravitati an

logae, erunt areae BE AELI KL Morrima, amni, M. resistentiis in mediis singulorum temporum, hoe est per hypothesin velocitatibus, atque ' ideo descriptis spatiis analogae.

Mnantur analogarum summae, et erunt area Bhi Bir Bms,Bnt,

ac latiis toti descriptis analogae; necnon areae Amri , .m L, Ams in Bam, ain temporibus Corpus igitur inter descendendum, tempore quovis Amisi, deseribit spatium cli, et tempore Lirim

Etenim per Ea Lemmatalia areas P, reet eis umi posse constat, erigatur in medio partis A

prependiculari ais ad hypeiholam uaque finiis e stabit ex elementis trapestium Arari, soroast triangulum Bari ut tota ea perpendicularia a spm quam sumi poterit ad portionem ius Ne intri trianguium comprehensam, qua erit ex otiat. et μὰ i Elem. - est οὐ ex natura hyperbolae a perpendicularia a c

dividendo, est a Perpendicularis ara ad Me - sive Ne quae est lhq ut AC ad C

mutuis gramurti quam exponit rectang. Had ν--ntiam in medio temporis primi quam e ponit rectang. Ain, ceu enim ait A, ut 3 locitas toto Primo tempore aequisita erit L Κut velimina in aedio tomporis primi aequisita; resistentim autom sunt velocitatibus anais a. 'DE .imili argumento eriae. Sumptis enim istis arris pro tramalis rectilineis ducantur PEN

diculares in medio partium Α, Κ L, L . , ad hyperbolam usque, et ex Et mentis faciis constabit quod area tota inguli imperii v. gr. T L, s est ad eius areae Pomtionem inpen mi itam nempe I mis ut lina tota, di per malium inmerii ducta ad eius Partem a rara aram, sed in natura hyperhesis est ea perpendicularis ad A B sive x x, ut C ad abscissam Cri illi perpendiculariis spondentem quas est C L-ΨLΜ, et divudendo, eat ea perpendicularis a ad eius partem y supra B H, ut A C ad xx portionem a ammae inter A et eam perpendicularem hoc est. in exempla assumpto, ut AC ad AL - - ῆκ Μ . Em area tota singuli t regi ad uua

areae portionem supra BR AC ad Ax portionem abscissae inter A et medium partis eritis. Vis assuinptio, sive assumpta communi altis diuo A Bhut rectangulum VH ad rectangulum sub Ara et Iinea inter A et medium partis arsumptae comprehensa; sed illud est ut visar vitatis, hoe ut vel ita a pruinde ut resistentia in medio temporis eui respondet pars assumma, ergo alismando, area singuli trapellii est ad vim gravatatis ut portio trapeati sum B H ad resi tentiam eis ad velocitatem in medio temporismi respondet impellium, in areae totae trapelli Tum sunt ubiquo aequaus, et vis invitatis em Per eadem, eo tam ergo est eomm ratio emo, portiones trapeatorum super B H, ut DLm sunt sicut resistentiae sive ut vicitates, adeo oui apatia singulis tempus' qui a respondent deseripta. ' ' Anti Me aeseripeis apst. an mam alis enim singulis temporibus deseripis uni ut vicitates per P . II. hujus di . L. II.

29쪽

spatium ' na Q. e. d. Et P). similis est demonstratio motos expositi

in ascensu. M. e. d.

' E similis est demonstraιio. ResolvatuΤenim rectangulum Di in rectangula innumera Dra, i, L m,m n,inc quae alat ut decreme in velocitatum aequadibus totidam temporibus is, et erunt, hes, a Di D, D,

ut velocitates totae amissae in primipro singulo-- temporum aequalium. Quia igitur totum rectangulum D B, exponit per hyp. velocit tem eo oris et Matentiam medii velocitati proin portionalem initio Mensus, rectangula A RA', AI Α, Α n, α exponent velocitat residuas, revstantiasque medii initio singulorum temporum aequalium. Fiat A C ad A K, sive rectang. Α, ad rectang. Aa, ut vis gravitatis ad resistentiam principio temporia secundi, Et vigravitatis addatur resistentia quod gravitas et resistentia corporis ascendentia motum retardoni

Μ, H δεα , ut vires arioluta quibus eo usin principio singulorum temporum retardatur, atqu i o parmoti Leg. 2. vel per noti I 8. ut decrementa velocitatum, id est, ut rectangula

si recta Κ LLMm Nn,ine. -- currant hyperbola in q, , , , α erunt area D GAh, Eqr L Lia WM aequales, id que tum temporibus, tum viribus gravitatis aemper aequalibus analogae. Erigatur in modio partis D, perpendicularis usque ad Era, erit area

D in K ad aream G Eari ut pars

Hus perpendicularis ad hyperbolam ordinata ad eius partem in iram, que ad Era, in per Thoor. IV. da Hyperbola, ea ordinata ad hypem Iam es ad Ara sive ad totam perpendicularem, ut A C ad ejus ordinata a cimam id quo duvidendo, eat ea ordinata ad perpendicularis partem reliquam usque ad lineam Era, sive est

Portionem abaeima inter A et perpendicularem, et Maumpta conmiunt alii tudines B, ut re gulum VH ad retriangulum subis B in por tione abscissae interis et perpendicularem, ideoquo area ad aream ut vis gravitatis ad registentiam sive velocitatem residuam in medio temporis primi, citatque via gravitati sit ubique eadem et areae DGqRqKLr, ubique aequales, areae Ehq hqri,&α runt semper ut maiatentiae in singuli temporutius ive ut velocitates, ideoque ut spatia singulis tempusculis descripta, ac Per consequena areae tota GAE erunt ut spatia toto tempore Gim t aeripis, dum areas Λ B, n erunt ut velocitatis in fine eorum temporum

reaiduae.

Iogarithmica quaevis L Sa ad asymin totum vernus vae dens, et ominata L exponat velocitatem eo oris initio mouis, abscissaeque Λ Η, Λ Κ, exponant tempora erunt m ordinata H ut vel uates residuae elapsis temporibus is, Κ, et ideo ducta per punctum L recta M. ymptoto Ara parallela et ordinatas productas

velocitates amissae, atque etiam ut spatia descripta, temporibus Am Α, ve L P L Q. Ducta ordinata, his, alterim S infinii propinqua, spatium velocitate uniformi Λ , -- sevio m descriptum in vacuo, erit ad sp sum eodem tempore cum velocitatem S, eo sectum in medio resistente, ut rectanguium H Pκν', ad rectangulum S H, H h, seu aream II S, Is et ideo si totum tempus A H in

particula innumera ut hi divisum ait, orit spatium cum velocitates L, in aeuo descriptum toto tempore Am, ad spatium eodem tempore percursum in medio retinent in rec-

tangulum Aiad aream logarithmieam A US H; sed area A LAE H, aequalis eat rectangulo sub tangentis logarithmicae in P S, 39 incido ai

30쪽

C res. I. Igitur velocitas maxima, quam corpus cadendo potest acquia rere, est ad velocitatem dato quovis tempore acquisitam, ut vis data gravitatis, qua corpus illud per uis magetur, ad vim resistentiae, qua ' in fine temporis illius impeditur.

MOLAE Tempore autem aucto in progressione arithmetica, summav eitatis illius maximae ac velocitatis in ascensu, atque etiam earundem disserentia in descensu decrescit in progressione geometrica. Corol. 3. Sed et disserentia spatiorum, quae in aequalibus temporum disserentiis describuntur, decrescunt in eodem progressione geometrica.

- ea sit A L subtangenti aequalia est area aqualis rectangulo S; Quar in hac hypothesi erit vatium prius ad posterius uti P ad P S. ' Inf- emporis si a impe--. Est oesim Elocitas dato tempore, Amisi acquirata, ad velocitatem alio quoWis tempore Ararim aequisitam, ut rectangulum Q ad rectangulum

dem. , Et ideo velocitas orporis cadentis cum area Amam, seu cum tempore continuo crescit. Sed eoincidentibus punctom cum puncto C et ordinatam i cum asymptoto C H, area Aia Ninfinita vadit, hoc est, tempus fit infinitum in velocitas maxima Quare velocitas maxima quae etiam terminatis dicitur, est ad Hoeitatem dato quovis Em re ΑΒ ri acquisitam ut A C ad L, seu in rectangulum VH ad rectangulum At hoc Est, ex dem. ut vis gravitatis ad vim resistentiae in fine temporis A Bis L. Decrescis in progressume geomes d. nasians corporis temporibus D GqΚ, D r D G ὐκ-e in arithmetica prooemione cres-eentibus, abscissae C D, C , C L,inc in Pr gressionE geometrita decrescunt 38O. Lib. I. sed rangulae abscissae illae sunt ex dem. ut summa velocitatis maximae quam exponit linea Cis, Et velocitatis residuae quam exponit linea K vo Ai, vel Am, c. in fine temporis

Quaia tempora aucto in progressione arithmetica, summa velocitatis maximae ae velocitase in asce in residuas Merescit in progre one geometri Simili modo in des nau eo oria patet quod erescentibus temporibus vid fig. notae super. ABqR AB rL AB a Minc. in Prome aion arithmetica, insessas Cis, C, &α decrescunt in prooemion geomet mia 38 Lib. I. scissae illa sunt ut dinserentiae velocitatis maximae quam exhibet linea A C et velocitatis aequisita quam exponit linea A , ve voL Μ,&m, emacente igitur tempore in Prose aione arithmetica, disserentia velocitatis maximae, et velocitatis dato quovis tam re in descensu acquisitae, aerescit in Progressione geometrica. Mine si summa tua in Mansu et disterentia in dea naunumeris exprimantur erunt tempora ut eorum numerorum Iogaritimii. Sed et disserenti spatio m. Nam si in ascensu corporis capiantur

KL DE DGqΚ, et ita de caeteris. Quare disserentia spatiorum primo et secundo tempore descriptorum eat ut DA, DAE R L, D E id est, ob datam Dra, uti R K L; et simili argumento disterentia spati rem secundi et terti temporis est ut in. L, disserentia spatioriun tertii et quarti temporis ut Lm ., N. Erunt igitur dissere tiae spatiorum quae in aequalibus temporum differentiis deseribuntur ut disserantia D Κ KL, KL - Μ, Μ - ΜΝ, c., aed

&α decrescunt ut termini progressionis geomm

Μ N,-α, seu ut termini progressionis geom tries D , Κ C, Μ C. & Eadem αdemonstratio pro descens