Philosophiæ naturalis principia mathematica

31쪽

Comes. . Spatium oro a corpore descriptum disserenua est duo nspatioriun quorum alteriam est ut tempus sumptum ab initio descensus, et

haltem ut velocitas, quae etiam ipso e des natis initio aequanine inter

52. Sohositium Ex demonstraus non oliuncorpori pendentia aut e quisis Maeandentis motua deis inatur, sed etiam motu evadem data eum velocitatae Morsum presset eum inmmei potasti Nam velocitas moiectionis vel aequalismiueloestati maximae, quam in figuris superioribus inponit linea re tangulum AB, aut aloestata maxima minor eat, aut ea, ior a P - motus orporis deorsum verti liis proiectia inhilia est, ob re tentiam invisas aequatim et eonu alam. Si 2η ' inclina A C

ta C, ut velocita prelootlanti datandis amam, me ut malatentia ad inritatem, et tempora quovis Lr N eor adem et v trum I rti, et in ena illius in orichahetat, laetis em I, R eodam modo e iis ciuiete dando tempore Α aequisivisset datam Projectioma velocitatem A BII et delud in

motu perae eramati

s . Veram si cloelia pro aetiam major ait velocitato maxima quam eo us cadendo acquuxore potest, mutanda erit Nemum eo truetio. ateris enim mane bus ut is eo tructione pro emporum deaeensu producantur rectae A C, et B H. ad a ech, ut sit melanguium Α Β N ad rem ulum C Hi a in malatantia tota initio motus ad vim gravitatis vel iis pro actionis uxponi minit per re naulum Ara bis, ei resistentia it ipsi semper proportionalia, Et compus Macendendo tempora quovis Ararim, d

νι n, et velocit tem ha bit , hin, et tempore infinito deseribat spatium infinitum, velocitatemque habebit aequalem terminali sive inaram VH nati quam corpus a lateis cadendo aequirere potin Maolvatur enim ectangulum VH in retangula innumem xv K l, L m, Mi λει quae in v decrementa vel vatum, aequalibus totidem temporibus lacta. ctim enim malarunila gravitatarumperet, vel ina Merearit et erunt, nihil, Ah, ΑΙ,-- n. Ac ut vis. Iocitates amissae, et idia rectangula a B, ah, a inc. ut velocitate residuae resistentiis proportionales, principa Mnguiorum temporum aequalium. Quonias vero invita motum a uti erat quem reaistentio tetradat, das malatentiae

a dueatur gravitas C H Na, et manebunt rem

Μ m H ut lam haesutae quibus eo uari principio ingulorum temporum a vallum tardatur, atque ideo ut decrementa viaestatum,

corpori velocitas residua erit ut rectangulum N, Na, sive ut rectam a sed spatia sunt ut vetitata et tempus coueunctim ergo intia iangulis tempus lis Maeripta sunt ut ea velocitan

N a ducta in lampus , t N, id est ut Ν ,

is A B, C Λ, per Theor. IV. de HyP. Quar ebmponendo spatium totum tem re

32쪽

Potito quod vis gravisatis in medio aliquo similari in m- sit, a tendat perpendior riter ad planum M is sis Agnire a m vectilis in e dem, resistentiam Deitati proportionalempatientia. E loco quovis D egrediatur projectile secundum lineam quamvis re rami R et per longitudinem Di exponatur eiusdem velocita sub inutio motus puncto P ad lineam horisontalem hdemittatur perpendiculam PC, et se turmae in A,

ut ν sit D A ad Ax ut resistentia

media, ex motu in altitudinem sub initio meta et vim aravitatis; vel

quod perind est ut sit rectam lam sub D A et Di ad rectangulum sub A C et i ut resistentia tota sub initio motus ad vim gravitatis Asy totis rideseribatur hyperbola quaeris o mi secans perpendicula G, A B in G et B; et compleatur parasselogrammum cujus latus , secet Ara in Q Capiatur linea N in ratione ad in quam vi ad C P et ad rectae DG punctum quodvisis erecto perpendicula R T, quod hyperbolis in T, et rectis ΕΗ, G DP in I, t et V oecurrat in

e Cape V, aequalem vel ' Quod perindyest, caperuis sequvim

vetaeitatem rimarimam M terminalem.

aperivis me ut sit reviano e. - - in D P a C P in Q eitas to- Meetionis ad vincitatem articalam, a proindὲ ex Dige resistentia ut resistentia tota adiis initio ad rea entiam ex motu in astutudinemo eam fit D A ad A c ut resistantia modii ex motu in altitudinam ad vim invitatis pochypothesim , erit per ompositionam rationum et

33쪽

id ; et projectilo temporem perveniet ad punctum , describens cum a lineam Dias, quam punctum semper imgit, PerVeniens autem ad marimam altitudinem a in perpendiculo A B, et postea Semper appropinquans ad asymptoton P . Estque velocitas ejus in puncto

quoris r ut curvae tangens Q. e. i.

natur jam tempus per aream; DG , et per Legum Corol. 2. distinguatur

motus corporis in duos, unum asce

Sus, alterum ad latus ri cum resis tentia sit ut motus, distinguetur etiam haec in partes duas partibus motus proportionales et contrarias ideoque longitudo, a motu ad

latus descripta, erit per Prop. II. hujus q ut linea DAE, ' altitudo vero per Prop. III. hujush ut area DR, AB AED GT,

erit

-R ri DiMinguetur inam Me Ac. In ea, quam tractamus, resistentia hypothesi motus componere ac dividera limi odem modo quoeomponuntur et dividuntur in vacuo quod in aliis resistentiae hypothesibus fieri non potest. Cum enim resistentia velocitati proportioniata est, spatia velocitatibus separatis et conjui a eodem temporis momento describenda vi resi tentiae minuuntur in eadem quam h hnt interae ration inlinati I R. Exponitur enim C Nporia velocitas horizontatis in motas initio poetineam D C. Unde tempus exponi poterit Per

aream hyperholi mi ot spatium Oetempore deseriptum per lineam a per Cor. p. II. hujus. ' uirido seia, & Ciun enim sui Aa ut resistantia verticalis ad gravitatom per hyp. parea, Tam se ei a ualis D Rς B in D, T erit ut altitudo motu verticali descripta per Prop. III. huius De quia

ideoque ob datum N Rr DRN AB R D, T erit aliitudo ut in.

34쪽

iam, id est, ut C radix atque ideo ut motus in altitudinem ad in tum in lanitudinem sub inito. Cum igitur 4 semper sit ut altitudo, ac D R semper ut longitudo, atque x ad Dra sub initio ut altitudo ad longitudinem necesse est ut Ris semper sit ad Dra ut altitudo ad longitudinem, et propterea ut corpus moveatur in linea si a F, quam punctum perpetuo tangit. M. e. d.' γ' --licere raetimo in Nam minridenis punctori eum in evanescit a respectu ν - Α , fitqua area evanes narum, aequalis DGt seu DRNA M M. Ferpetuo tangst. Quoniam autem D A est adisi ut resistentia ex motu verticali sub initio orta ad vim invitatis, tempus totius aseensu eo oris erit D A B G por Prop. III. huius , quo etiam te cum percurrit cor ador situ emi Α, et ideo ad maximam suam auri nem a perveniet ubi erit in perpendi lo ua, et postea semper appropinquat ad Myministon per Cor. Prop. II. Par punctum quodvis trajectoriae r agatura a sontatim C mnes et verticalix 'occumtens in T, vertueatis, m ipsi is infinit propinqua aecae r

inis et tangentem in seu curvam in m et quoniam motu corporis indoma per areum mdiuidi potest in motum horigontalem' me vertu lami, Erit velocitas horizontalis ad vertie lam ut m ad n m et ad obliquam Mundum tangentem curvae tam ad rim. Sed ob innitru tudinem triangulorum rim, TL, est rn: mn vel RCrT L. Bern: rmum

in x L. Quare eum M ait ut velocit Melao alia orpori in lae ramidua ex ves iutarum C quam sis initio motus habe t in loco D per Cor. Prop. II.); erit m ut velocitas vertinatis eo ori residua ex velocitato initian P, - ut velocitas obliqua in are e m ex duabus T L eomposita. Est itaque vis. ocitas et rinnde resistentia eo oria in puncto quovis ira moriae r ut curva tange a L.M. Hinc per datum trajectoriae punctum duci potest tangens DL. Nam velocita vertiaealis L T in loco' est ad velocitatem verti tim P in loco D, ut rectangulum AE ad metam

CPQR AD A

55. Ex superiori constructione Resu deduintia aequatio re trajectoriami r a F. Positis enim DP-b, C re, CP - Ασ-

m ch. S. - Praeterea per constr. est

constri mu e -- g ad Λ C aeua ut reiasten tia medii ex motu in altitudium ad vim gravitatis et ideo per Cor. I. Prop. III. ut elocu

35쪽

Coro I. Est igitur is sequiari u

Ideoque R., Amsi pretaeas m Tad X h)ut ait RX aequalis et id est, si compleatur par elogrammum A C Uxum turma secans C Uma, et producatur Rrdonec occurrat De Propterea tempori proportionalis.

e producatur Rrdonec occurrat urinaverit is aequalis

verticulis, quam exponis meis C Umis ad tis. lacuatem terminalem et ideo si vel tactarintinalis exponatur per lineam a babebitur a ra

noe enim saevi intra X ad D Rit data Amad datam N, ideoque lacu punctorum X latea

qua evanea mea, evaneseu quoque , -- tur eo tana Q - - a L. , et hinc ν - -

36쪽

Lima acuun.J PRINCIPIA MATHEMATICA.

CO GL 2. Unde si capiantur innumera C R es, quod Perinde est, innami inram in progressione geometriea erunt totidem hin et gressione arithmetica. Et hinc curvam per tabulam logarit, morum facile delineatur.

gremionae ritiam ita emaeentibus, ahacis a Gis p gremione geometrica Memaeum et vim vera. -- verticali a xis, quae sunt uta a R I - , in progremion arithmetieaeras nubuti, Coraespondentes abscissae R C d erea in ira Progressione geometrita et contra.

Sed ob tristamiorum D MX, D a similitudinem, est DC ad D Z ut DR ad D X et divisim ut ni ad Z X quam ob datas Dae et D Z est Tm ad R C in data ratione, et ideo

αν- X K, at parietum e erit in in amaria quamita Di a F. Nam si ex puncto, dueatur

et hine Κ-Rx-Rr-Xri ... d. M. Haec construetio hoc etiam ommodi habet, quod statim inveniantur altitudo maxima Λ ae horisontalis amplitudo D F. Est enim A areae a et ali puncto G interemtionis Iog

ais Iogax inmus ratiorus D C ad cin 1 virithmica cinus subtangen esta aium Pra dicendo ut ubtangens

lis Maumptras ad eiusdem quantuatas Irim Mnaera ita I arithmis euis a tangens a P .

Inveniatur Itaque Para . um ope tabuisvulgaris Iogarissimorum, et inde obtinebitur Rioeclinata ad trajectoriam Di a F, e ala Pun trandi movimet an illa daterminabitur. 59. Ex hia simplicissima deducitura octoriae me a tera arithmicam constructio. Iisdemenam Pomtia quae in Corollariora diuua prae--rima arant, symptoto a et a tangonis Pa scri trar per punctum D log uti ea DA EG- - in Capiatur 4 dirarum, seu tum meat, Invenitur, aliariatur Maequalis en iungatur WH logarissi eam Mean in , et expuneis' demittatur ad D C perpendiculum Kra, quod lineam D e Meahit th puncto quamitor erit enun Κ CH seu gemae De Deae X E e idiaque is aer v K. 61. Quoniam velocitas preeectionis eat ad, laritatem terminalem, quae data est, uti P ad Pa 38 si manet,locitas proiectionis in linea P, manebit quoque I arithmi eae a tangina Pa; at ideo una eademquo iugarithmicae sp eias des hendae t retoriae Di a Vindiciet u cumque mutetur proiectionis angulus Pi C.

37쪽

C res. S. Si verticem diametro D G deorsum producta, et latere recto quod sit ad 2 Di ut resistentia tota ipso motus initio ad vim gravitatis,

parabola construatur Vel citas quacum corpus exire

debet de loco D secundum Tectam DP, ut in medio unia mi resistentes describat curvam ora F, ea ipsa erit quacum exire debet de e dem doces m secundum eandem rectam Di, ut in spatio non resistente de cribat sarabolam. Nam e latus rectum parabolae hujus ipso motus initio est V quad.

. Re

sis. Tatus rectum prerabine vitis, M. Est enim Vis spatium infinite parvum quod eo us vi gravitatis descendendodescribit in modio seu Vis aequatur quadrato ordinatae is seu I Quam latus rectum parabolae hujus ipso D a

amariaen ipsi DK, o K - D G, et subtangentem hyperholae aequalem a cisam D C per Theor. I. do Hyp. Lib. I. . Cum autem evan est Tt, si Ttadis seu DR ut ordinata Si seu C, ad subtangentem alvo

per . tri Quare si loco et ' hi valores a stituantur in quantitate

38쪽

ad C P, A C; ρὶ hoc est, ut resilatentia ad gravitat- Q. C. d. Como 4. Unde si orpus de loco

quovis D, data cum Gestate, secum dum rectam quamvis positione datam

DF projiciatur; et resistentia medii ipso motus initio detur inveniri potest eum Dis a F, quam corpus idem deseri t. Nam ex data via uatui' datur latus rectum parabolae, uti tum est Et sumendo 2 D Uad latus illud Tectum, ut est vis gravitatis ad vim resistentiae datur Di Dein s

eando D, in A, ut sit 3 ad D P, D A in eadem illa ratione

gravitatis ad resistentiam, dabitur pun tum A. Et inde datur curvam, a RCO M. 5. Et contra, si datur curva D r a F, dabitur et velocitas corporisa resistentia medii indoeis singulis r.

AC, Maesto o Noe eae, in resinentia ad gravis em per eonstrum. Proia. II. tirare tis rectum parabia in Data velo latae saecundum directionem tangentiam P, datu tuin spatium finitum in medio non rear tentae inin re dato aequabiliter deseriptum, tum ex inεcto Cognito gravitatis in tempore dato,

habetur spatium verticale finitum Vis eodem tempore vi gravitatis Maeriptum, id est dantur ordinata et a cisa parabolae, quibus datis datur illius latus rectum par Theor. I. de P Iudi ina, Φων - a DraF, non a Ium eo tructione per hyperholam, ed etiam eonstruetion ilia quae paruo rithmieam absolvitur 5s. Nam inventam P. sumenda ea lo-garissimi eae subtangens Pa ad D P in rations Ravitatis adis istantiam is initio motiis et adeo marithmicae inhianse erit etiam ad DP ut 2DP ad tua actum paris

39쪽

23 PHILOSOPHIAE NATURALIS et n. Conma.

A, datur tum retistentia medii sub initio motus, tum latus re tum parabolae et inde datur etiam velocitas sub initio motus. Deinde ex longitudine tangentis Lia datur et huic proportionalis velocitas, et velocitati proportionalis resistentia in loco quo

vis riores. 6. Cum autem longitudos κD P sit ad latus rectum parabolae ut gravitas ad resistentiam in D; et ex aucta velocitate augeatur resistentia in eadem ratione, phat latus rectum P rabolae augeatur in ratione illa duplu

cata: patet longitudinem 2 D augeri in ratione illa simplici, ideoque

velocitati semper proportionalem esse, neque ex angulo mi mutato augeri vel minui,niei mutetur quoque Velocitas,

sistantiam totam inh motus initio, dabitur real

tentia, ob datam gravitatem per Hyp. ; et quia CPκ AC est ad DPκDAvis DP ad

quam gravo in medio noo M vertiein i mitralia et parallela et offa natalis etiam aequalis et parallela tangenti undatur tum voloestas quam eo ut gram . puncto V adendo per altitudinem darum V rhino in , tum tempus quo altitudinem ilhun deseritat, et hine datur tempus idem quo motin uniformi deseribit spatium datum D V 4ο. Lib. I. x id edatur vallacita unishmas perminor tem Di qum est ipsa velocitas pmiectionis in D. 'h hutia rerum para is umorum Nam cum velocitas secundum tangentem, unis, s supponatur 4c Lib. t. si dato tempore quo Maeritatur D v, velocitas illa ere cat, crescet D V in eadem ratione, manente spatio verticali , hoe eodem tempore dato descripto; sod larua metum parabolas 4 Z est

Vis, rescit uti Quam latus metu-rabola D ra augetur in rationa dupli a va

citati

rectum Parabolae, ut 1 ra,

ho est, datis V ret O, DPeatu ---, et quia Reat ut velocitas, seu ut D V, erit etiam

40쪽

Comia. . Unde liquet methodus determinandi curvam strina ex phaenomenis quamproxime, et inde colligendi resistentiam et velocitatem quaeum corpus prescitur. Projiciantur eo ora duo similia et aequalia eadem c- velocitate, de loco D, secundum angulos diversos C D Remi et cognoscantur locas, s ubi incidunt in horizontale planum D C. Tum, assumma quacunque longitudine pro Di vel Di, fingatur quod resistentia in D sit ad gravitatem in ratione qualibet, et exponatur ratio illa pis langitudinem quamvis S . ' Deinde per computationem, ex longitudine illa assumpta Di inveniantur longitudines Di, D L, ac deum P ut 3I V. Ga ut velocitas perperiorem . D M. De aper eo, sagionem. Dat enim D P nitidane et positiona, cumine, P et D et clata ratione resistentim in D ad gravitatem dantur D A et A C per eonstruetionem Mematia istius: His autem datis eum astris figuras superiores describi missi. et hinc invenitur amplitudo horizontalis D eonstruetion per hyperholam a me togaritia 59. Si autem rem voluerimu calculo

uariare, ut poterimus aequatione 1 - -

u-, ex qua Per remm serierum, Q periatas approximatio es invenietur x Per g et M