Philosophiæ naturalis principia mathematica

51쪽

Comia. 5. Ei vice versa, si datur Proportio resistentiae ad datam quamvis vim centripetam: ' datur tempus AC, quo vis cantripeta sistentiae aequalia generare possit velocitatem quamvis Ara et inde datur punctum B Per quod hype

bola asymptotis GH, GD, descrubi debet; λὶ ut et spatium ABGD,

quod eo ua incipiendo motum suum cum velocitate illa A B, tempore quovis A D, in medio testi AKLM Daimilari resistento describere linquas dato tempore redueunt 13. Lib. L et

Me erit resistentia prima ad gravitatem ut v Iocitas quam producit vis centripeta uniformis eae resistentia illa aequalia supponi potest ad, Iocitatem quam vis raritatis eodam tempore generat. ' Ῥαι- tempus A quo νων istentis est' figamerare mas vincassem A B. Si enim d tu ris quaedam centripeta, dabitur tempus quo velocitatem genarare Potest tempora autem quibus diversae vires centripetae eamdem velocitatem generare possunt sunt invers. ut illa vires ergo si datur ratio vis entripetae cuiae latentia est aequalis ad aliam vim datam, d hitur ratio temporis ouo haec ris velocitatem Wwerare potest in tempus quo via cui mis tantia est aequalia eam velocitatem generat,

Me eat datur tempus Λα et patrum A B G D. His enim datis, datur litin area Α Β ω 'μ rectangulum A B, A D, tam spatium quod corpus temporis A ri eum data velocitata uniformi A B, describeret in medio non resistente, ideoque eum sit ramini, ad A ut apatium tempore V et velocitato Α B in medio non resistente deseriptum ad spatium eodem tempore deseriptum in medio resistento per Cor. s. hoc spatium datatur. 8I. Suhs--. Hustus propositionis eo tru tio ad I arith eam reduci Maldio et, ad id relinquimus laetoris artatrio generari probi mali quod sequitur, solutionem analyti in te dituri ut inventionis lana ipsa 'pariatur.

PROBLEMA.82. Definire motum eo oris in vi insita lati in medio quod resistit in ratione eomposita ex simplici ratione densitatis modii, et quavis, tione multiplieata meritatis mobilis. Ioeo A egrediatur corpus cum volocitat data e et tempore describat rectam Α, - , aitque eius velocitas in Μ - densitas medii in eodam Ioeo, k, et resistentia r erit 17. x Ma

Per punctum, erigatur ad A, perpendiculum, P quod exponat medii densitatem cinlaeo, atque D Pi eurva quam unottina perpetuo tangit, et eremo altero permnlieulami priori, P infinit propinquo ut ais, in rem dis, erit elementum, Ppm-hda -

neseente area MD P M, evanescit quouu. s. et

52쪽

intinguitur, spatio etiam finito descripto 37 tis Montibus, si R Si, est unitati anualis a ipsa major, Moest

53쪽

C FO a s Merica homogenea et aequadia, resistentiis in duplicald rationem locitatum impedita, et solis viribus insitis incitata, temporibus quae sunt reciproce, velocitates sub initio, des ibunt sempe aequalis variis, et amittunt partes velaritatum p portionales totis.

Asymptotis rectangulis CG, GH descripta hyperbola quavis B NE secante perpendicula A B, a , WE, di, in B, b Ε, Mi hexponam

tu velocitatos initiales per Pe emdicula A B, D R et tempora per lineas A a D d. st ergo ut Ma

ad si ita per hypothesin D E

ad A B, et ita ex natura hype bolsaxo ad OD; et componendo, ita C a ad C d. ' Ergo areae

ABba, D Eed hoc est, spatia descripta sequantur inter se, et Ves ,-tates primae A B, D E sunt ultimis ab d e, et propterea dividendo partiabus etiam suis amissis AB--- ab DK de proportionales. Q. e. d.

Corpora s Erica quibus resistitur in duplicata ratione velocitatim te ribus, me sunt ut motus primi Grecte et resistentiae primae inverse, mi tent partes moturam mos tionales totis, et spatia describent te oribus istis et velocitatibus rimis c junctim pro Himalia. Namque motuum partes amissae sunt ut resistentiae et temPora comjunctim. Igitur ut partes illae sint totis Oroportionales, debebit resistemtia et tempus conjunctim esse ut motus Proinde tempus erit ut motus

Exponamur velocitate inuis Mise. Clim enim corpora duo similia homogenea Et

aequali is onantur, oriam motus considerari Possunt tanquam motus unius ejusdemque com

poris variis celeritatis gradibus acti ut in Prop. V. ideoque per Coro I. Prop. V. velociutates initiale exponi possunt per lineas Λ B, Dai, tempora per linea d, velocitat in fine illorum temporum residuae Perclinea ah, di, et vatis his temporibus descript PQ amaa hyperbolima ABb DEed.

54쪽

Lima Minu PRINCIPIA MATHEMATICA. 4s

direct et resistentia inverat. Quare temporum particulis in ea ratione sumptri corpora amittent semper particulas motuum prisortionales totis,' ide ueretinebunt velocitates velocitatibus suis primis semper Prom tionales. Et ob datam velocitatum rationem, describent semper spatia, quae sunt ut velocitates primae et tempora comunctam. Q. e. d. res. I. Igitur si aequivelocibus corporibus resistitur in duplicata ratione diametrorum globi homogenei qui Munque eum velocitatibus moti, deseribendo spatia diametris suis proportionalia, amittent partes motuum proportionales totis. Motu enim globi cujusque erit ut ejus v locitas et massa conjunctim, id est, ut velocitius et cubus diametri resi

tentia per hypothesin erit ut quadratum diametri et quadratum velocia latis conjunctim et tempus per hanc Propositionem est in ratione priore direcia et ratione posteriore inversi, id eat, ut diameter directe et velocitas inverse; ideoque spatium, tempori et velocitati proportionale est

ut diameter.

' Cores. 2. Si aequivelocibus emporibus resistitur in ratione sesquipliacata diametrorum globi homogenei quibuscunque cum Velocitatibus moti, deseribendo spatia in sesquiplicata ratione diametrorum, amittent partes

motuum Proportionales totis.

D -- retinebunt, euasea in ration. -- m v et eo osita se m , ut m - - , prima oti data corporum mamaa 6 Lib. I. id est, motu amimus ut motus Pria datam elaeuarum rationem 12. et hinc ob datam massam , erit 89. Tota Propositionis hujus demonstratio per tiam , ut e - , id est, velatata amissa - , analysim hoc modo exponitur Sit globi cujus ut velocita prima a iud etiam erit e, ad eis cris massa , velocita data initio motus e in gno , ae ' hoc eat vel ita prima , ad reai- temporis i ait ' eruatentia data initio motiis , duam ' in ration data. Iam a spatium tem- et quia ejusdem corporis retiatentias in divinis poma deseriptum dieaturis, erit II)dae v d locis sunt ut vel linium quadrata per Hyp. et quia Heat ut tam , erit dis ut erit ei, ad V V, ut , ad resistentiam elapso tem sumptisque Mentibus ob datam e fiet a ut e L

Poreri, quae Proinde erit - Sad 2hresiste e v v m. Quoniam spatium a est ut ea, edit ut , -- est ut movis Merementum --- d, di

ti me data velocitat e resistentia r est ut diametrii, turl - , .esset adeoque -- , dignitas erius indexis, hoc est et m ese m es Proinde Velocitate non data, resistentis , ut quo Hore suistituto fit --. Do re D e erit aut in m. seu uti Ex Pinin tempus t ut motu primus m e directa a in e quabus Patent Corinaria quae sequuntur.

55쪽

m . s. Et universaliter inaequivelocibus orpori s resistatu in m. ne dignitatis cujuscunque diametrorum mitia quibus globi homogendi, quibuscunque eum velocitatibus moti, amittent paris mutuum rivor, tionales totis, erunt ut cubi diametrorum ad dignitatem illam applicati. Sunto diametri Wo E; et si resistentam, hi velocitates aequales ponum turi sint in D ' et E spatia quibus globi, quibuscunque eum velocitatubus moti, amittent partes motuum proportionales viri erunt uti et pro area globi homogenei deseribendo spatia pals D. Ret Ε δ' proportionalia, retinebunt velocitates in eadem ratione ad invicem a sub initio. 73 Comia. . Quod si sebi non sint homogenei, spatium a globo de flore deseriptum augeri debet in ratione densitatis. Motus enim, sub pari velocitate, major est in ratione densitatis, et tempus per hanc Pro aistionem augetur in ratione motus direcia, ac spatium descriptum in ratione

ψ Craria. s. Et si globi moveantur in mediis diverata spatium in m dio, quod materis paribu magis malint, diminuendum erit in ration majoris resistentiae. Tempus enim per hanc Propositionem diminuetur in

ratione resistentiae auctae, et spatium in rationa temporis.

---- geniti aequatur numentis Murum singularum generantium iue Mndem talarum indices dignitatum e eos cientia eontinia taeeis. Genitam voco quantitatem omnem, quae ex lateribus vel terminis quia scunque in ari neuca per multiplicationem, divisionem, et extractionem radicum in geometria per inventionem vel contentorum Et laterum, vesextremarum et mediamn proportionalium, sine additione et subductione generatur. Rusmodi quantitates sunt acti, quos radices, rectangula, quadrata, ubi latera quadrata. latera cubica, et similes. Mas quantitates,

D ' ei, erit aut hoc est, Patium , i in diminuendum ea in ratione maiori mai ouod data densitatara erat uti augin tanti m. hat in ratione demutatis am. II. Totum istud eminin maerem. R o s. Re sis lai qum ana erat ut fri et aequenti a Lib. ultra expositum videat D ee augeatur in ratione quavis amisit, timor.

56쪽

L- Meound PRINCIPIA MATHEMATICA s

ut in temni stra et inat ilea, et quasi mo tamve perpetuo crementes video mente duc eo adam et Earim merementa es decrementa in sinuarina ala notatae momentorim intelligo ita ut indi ementa pro in mentia aeddititiis ae ammatim, ac decrementaleo Eubductitiis se Iim tiris habeantur. Cave tamen antestimeris particula festas Particino istae non sunt momenta, ad quantitates ipsae ex momentis genitae. I laiugenda sunt principia jamjam nascentia inarem magnitudinum. Nevis enim a reatur in hoc Lemmata magnitudo mo torum aedmina naacentium proportio. Eodem recidit si loco mominiorum usu pentur a vel tales lacrementorum ac decrementoriam quas etiam, v mutationes et fluxiones quantitatum nominare licet via finita quaevis quantitatos velocitatibus hisce proportionales. ' Lateris autem c jusque generantia messiciens eat quantitas, quae oritur applicando genitam ad elatim. Igitur sena Ἀεὶ Lemmatis est, ut, si Fantitatum quarumcunque e petuo motu crescentium vel decrescentium A, B, C, e momenta, vel his proportionale mutationum volocitates dicantu a, b, c, M. momentum

vi mutatio geniti rectanguli A B sierit a B AE A, et geniti eontenti Am C inomentum fuerit a BQΦb AC c AB et genitarem dim

et sic in caeteris. Demonstratur ex Lemma in hunc modum. Cas. I. Rectangulum quodvis motu perpetuo auctum A B, ubi deda

57쪽

teribus A et B deerant momentorum dimidia L et 4 b, fuit in B seu AB - . a B 4b lab et quam primum latera A et B alteris momentorum dimidiis aucta sunt, evadit A .a in B lbseu ΑΒΦ aB Ib Hiab. De hoc rectangulo subducatur rectangulum prius, hyet manebit excessus A. Igitur laterum

x Et marictu exemissi B-Fb A. momentis linearum Ο Α, Ο Β proportionales, I'' Custis. Si rectangulum in B hoc est, p portionales vicitatibus quibus lineae duabus variabilibus in ora continu eres O A, OB crescunt, sive, quod idom est, celari-eentibus; sumantur mines indo partes tatibus quibus, dum rectangulum Baequales is ML et a B partes aequales Bi, crescit, nemo C, B C antrorsum seruntur. Bi, ita ut, si a ti sint quantitates momen rectangula A CNoret BCκgh, erunt ut iis linearum Ο Α, in proportioniae sit ea linea illae A C, B C et eariim velocitates comet et ch - compleantur rectangula junctim. Μutatio autem geniti rectanguli O A CAE

...... . .

O AE o, a Fri, ducatur WE, quae transibit

per C punctum concursus linearii. C, B C ob parallelas, et lineas ea et in similiter, nempe bifariam, sectas inis et B Dieo quod summa trapeatorum E Ffe et E Fh g aequalia erit momonto rectanguli in C B; obtinetur vero trapelliorum summa, sumendo differentiam rectangulorum 4 EM, O PF H, qua osti e N

Proportionalis est ausa quae eam Producit, nautem causa est motus linearum variabilium C, B C quo antrorsum seruntur dum lineae Ο Α, Ο Β crescunt, et quamvis dum illas lineas C, B C moventur, interim linea Ο Α, Ο Β crescant, incrementi hujus nulla habenda estis ti dum rectanguli fluxionem sive incrementum scens consi ramus, etenim in ipso hujus imeremanti nascentia ortu illa produetionea sine rum in Oi nihil plana sunt, et cum Primum sunt aliquid jam alia Α C, B, prioribun maj res Mumuntur, ergo momentum rectanguli in C B sive ejus mutationis momentanea CR in ex lineis x et B C et velocitati a quihu eum feruntur, determinanda, Sint vero rectangula, is , misi, quorum lineae, N, Pra sint aequales, concipiantur alia lineae hisce etiam aequales quae ab Μm oti prosectae motu uniforini et Parati

Ut vero probetur summam tr periorum Feret EF gh

aequalem esse momento rectangu

i in C B, observandum primo. Quod si linea quaevis S V V X, utcumque inaequales, in lineam S V sint perpendiculares jung turque et in medio lineae SV erigatur perpendicularisara,

rectangulo S V, Y.Z: itaque telo secundum lineas, m et riserantur, ita ut eodem tempore ad mi et Pater Britant, manis tum est per I si Elem. areas , Pisore ut linea M Pp, et Pariter velocitates linearum et M prosectarum in eadam fore ration ideoqua arma Mi Pi sore in x tione earum velocitatum. Quod a linam N,' sint inaequales, areae erunt ut linea inae et earum locitates conjunctim. Et quaevis incrementa rectangulorum N, in n. P aequali tempore facta in eadem rationo erunt, ideoque et nascentia incrementa Erunt in ea ratione. Unde tandem sequitur quo inc-- traperiimi mi aequale rectangulo Α dimia Lia1 a

e et rapemum g aequa rectangulo mentum rectanguli in C mox motu Iinorius a b Praetare quoniam tela' sunt in C natum est ut illa linea A C Et ejus ves

58쪽

incrementus totis a eti generatur rectanguli incrementum a B AE A. Q. e. d.

Cas. 2. Ponatur A B semper aequale G, et contenti A B, seu G momentium per Cas. 1.herita C - - G, id est si pro G et g scribantur B, Ahara C , A B. Et par est ratio comaenii sub lateribus quotcunque Q. e. d. Cas. s. onatur latera A, B, C sibi mutuo semper aequalia et ipsius Α' id est rectanguli A B, momentum a B erit mala, ipsius a tem Ad, id est contenti momentum a BCΦb AC, AB erit 3 a A . Et eodem argumento momentum dignitatis cujuscunque x est Q. e. d. Cas. 4. Unde cum Gin A sit 1 momentum ipsius ductum in A,

una cum ducto in heri momentum ipsius I, id est, nihil. Proinde momentum ipsius -- seu ipsius est Tu at generaliter cum in si I, momentum ipsius ductum in una cum in

a erit nihil. Et propterea momentum ipsius seu A

ritas eonisnetim, et quod incrementum eius χ - 1, sed momenium metanguli a Brectanguli in C B ex motu lineae Bae natum. per Cas. I. et momentum eonstantis est utilla linea B C est eius vel ita conjunctim, nullum est; quar erit a B, b Αααλ etiamque totum momentum rectanguli O ACB. est summa factorum Iinoatam Amisi Bitor im/A B----, unde momentum velocitates quibus seruntur respective ductarum, aideoque ut summa rectangularum A C, o fit b ipsius B seu λ est' - - - - B C, gi, sive denique ut summa trapeziorum 1 IEF te, E Fh g. Q. e. d. Similiter a ponatum m in B, et ideo πικ2 stis. Facit haec applicantur ad eos '

59쪽

. PHILOSOPHIAE NATURALIS 4Mori Conm .

momento ipsius AT e. d. Caa. 6. Igitur gerulae et eamque A m' momentum est momentum ipsi ductum in Bri una cum momento ipsius B ' ducto in Α', id est ma A B Φnbi' ' A idque sive dignitatiun indices meti sint integri muneri velare astrinativi vel 1egativi. Et par est ratio contenti sub pluribus dignitatibus. Q. e.

Coro 1. Hinc in continue proportionalibus, si terminus unus datur, e momenta terminorum reliquorum erunt ut iidem termini multiplicauper numerum intervallorum inter ipsos et terminum datum. Sunto A, B, C, D, E, F continu&proportionales et si detur terminus , momenta res uorum terminorum erunt inter se ut AE A, B, D, 2 E s R. in Corol. 2. Et si in quatuor proportionalibus duae mediae dentur m minis eXtremarum erunt ut eaedem extremae. Idem intelligendum est de lateribus rectanguli cujuscunque dati. Cores. s. t si summa vel disserentia duorum quadratorum detur, momenta laterum erunt reciproce ut latera. Sehesium. In epistola quadam ad D. I. Collinium nostratem 1 Decem. Is 2. data, cum descripsissem methodum tangmtium quam suspicabar eandem

' -- αι--- -- - - emt-2Α - Β, s E, F F. Eat automniam enim .i, F, - eontinua 2 numerus intervallorum inter terminum A, e terminum datum C, sicut et interitiatorum istae proportionales erit D c 'IT R E M intervallum inter B et C aestator C etcs D, et 3 numerus intervallorum inter C et F. C C D - o similiter inve----iliam Quarὲ patet veritas Corollarib

ob datum C, curus nullum est momentum, quo a - - d - D.

60쪽

Messe cum messiodo Husii tum nondum commmcata subjumsi me uinum partim re a Corinarium potius methodi generalis, piae extendit se estra molestum Eum eat dum non modo ' ad ducendum tangentes aditia res curvas sive geometricas sive mechanicas've quomodocunque rectas lineas inarae curvas respicientes, verum etiam ad resolvendum odia abstrusiora probi

matum genera de ' curvitatibus, phareis longitudinibus, ' centris gravia salis curvarum, d . neque quemadmodum H densi methodus de maximis et innimio ad solas restringitur aequationes tuas quae quantitaribus surdis sunt immunes. Hanc methodum interiem alteri isti qua aequationum exegesin institus reducendo eas ad series infinitas. Hactenus epistola. Et haec ultima verba spectant ad tractatum quem anno 16 1. de his rebus scripseram Mathodi vero hujus generalis sundamentum continetur in Lemmate praecedente. '

Si e pus in medio uniformi, gravitate uniformiter agente, reces ascendat vel descendat, et pratum totum descriptum distinguatur in partes aequales, inque Frincipiis singi m- partium saddendo resistentiam medii aci vim gravitatis, quanta corpus ascendit, vel subducendo Osam quando corpus desee Κυ investigentur vires alsolutae die giad vires illae Maotiuae sunt in progressione geometrita. Ponatur enim vis graminiis per datam ianeam AC; resistentia per

lineam indefinitam AAE;

vis absoluta in deseensu emporis per disserentiam K C; velocitas corporis per lineam Α Ρ, quae sit media Proportionalis im

e -- ω emtes Iso. 56. Lib. I. vi marctioma Hospital Mabsim instata parvorinn, ubi methodus tua tangentium tis et PQ --δ exponitur. rmeatianis. 216 Lib. I. reis, ton tradisi a Se Hare plurimis memplis, tum 1ς tum M libro eontentia manuhαώ. -- Vide tractatum Nemtoni de .a-M II. centris eminatis. 66 Lib. I. In pras entibus evitionibus istud acti lium hoc modo se habebat. In litteris qua mihi eum: geometra peritissimo S. G. Lethnitio annis inhinc Meam intercod hant, elim ignis rem m. ompotem eam, thodi deterininandi maxima et minima, ducendi tangentes, et similia peragendi, quae in tinianis surdia aeque ac in rationalibus procederet, et