Philosophiæ naturalis principia mathematica

41쪽

ratione 61 per calculum inventa, auferatur ratio eadem per experiamentum inventa, et exponatur disserentia per perpendiculum M. Idem fac iterum ac tertio, assumendo semper novam resistentiae ad raritatem rationem S , et colligendo novam differentiam, N. Ducantur autem differentis affirmativae ad unam partem recta S, et negativae ad alteram; et per punctam, agatur curva regularis secans rectam

S in et erit S x vera ratio resistentiae ad graritatem,

M. Auferaturratis eadem per experimentum Aiseria et, hi est reaedui recte assumpta fuit ratio resistentia ad gravitatem; m quid resudin fiamri eam adirecti eremtia per MN. Nam a recte assumpis fuit ratio resistentiae ad graviatatem, eum Dis a Fier eo tractionem vel per computationem deseripta similis est trajectorim quam e pus in medio resistento revera deserihi et in homologarum in illis curvis linearum debet esse ratio data. Determinatur enim o jectoria vem ex Velocitato et angulos jectionis aequali velim C, atque ex rationeis sistentiae ad grariistem datam et curva per eo structionem delineata determinatur per longitudinem assumptam D P vel Di, quae velocit tem datam semper potest exhibere. Per angulum P D C vel pi , et per rationem linearum

D A A C, seu rationem revistentiae ad gravit tem si meis assumpta fuit quare disserentia toltimis veram trajectoriam et curvam hoc modo reonstructionem descriptam est in magnitudiri limarum homologarum, quarum ratio est eadem in utraque curva Curvae igitur illae similes sunt. 'h66. Et erit a vera ratio resistensis aασαν tem. Nam ubi Μm seu disserentia M. Frumum diu, quae Per computationem et Erexperimentum inventae sunt, num eat, ratio m

42쪽

quam invenire oportuiti Ex hac ratione colligenda est longitudo DF per calculum; et longitudo quae sit ad assumptam longitudinem D P, ut longitudo in per experimentum cognita ad longitudinem Da modo

inventam, erit vera longitudo D R Qua inventa, habetur tum curva lunea 'quam corpus describit, tum corporis velacitas et resistentia in locis singulis. Sehesium. Caeserum, resistentiam corporum esse in ratione velocitatis, ' hyp

thesis est magis mathematica quam naturalis. In mediis, quae rigore omni vacant, resistentiae corporum sunt in duplicata ratione vel itatum. ' AEtenim actione corporis velocioris conisiunicatur eidem medii quantitati, temPore minore, motus major in ratione majoris velocitatis; ideoque tempore aequali ob majorem medii quantitatem perturbatam, conununticatur motus in duplicata ratione major; estque resistentia permotus, ad gravitarem dicis amampis fuit 65 . Quare eum S, assumptam Illam rationem exisponat, Et evanescat Μ, ubi si sit S X. palae

in hoc ens rationem resistentiae ad gravitatem meis exponi per lineam Itaque ni innumera abscissa Si assumptae fuissent, et innumerae ordinarae N M per experimenta deis unatae, Cum quam punctum N perpetuo tangit, rationem accuratam erasisntiae ad gravitatem

determinaret Per ejus intersectionem x eum li- ideoque si multa sunt tentamina, simu Piram obtineantur punein N, Et per ea du-eatur crao regularis N illa quam Woxime Punctum X quaesitum determinabit; methodum autem ducendi curvam regularem perplura puncta data mox in Scholio sumus tradituri. v .Ex hac ratione colligenda est, e sit, exempli causa, raetio assumpta reaistentiae ad

gravitatem I ad Io, eum, vim ab invenis

sistentia ad graviistem ut 1 ad 5. Ex hae ratiora et Maumpta longitudinem Pisolligenda

et quoniam inventa vera ratione malaisntiae ammtarum, trHectoria per calculum vel per eo struinionem invenis simiIis eat trajectoriae quam

eo ras in medio recisis e revora deseribit 6s , erit ammitu per ealculum invenis ad amplitudinem Da per experimentum cognitam, ut assumptri longitudo D P ad veram longitudia ne i P pro trajectoria in massio mai--χ amota Hac autem ti itudine inventa, his tur p.r Cor. tum curva lineam cas quam mus νῶμα deseribit, tum eo oris velocitas et

resistentia in loci singulis per Cor. 5. ' - . Ex supra demonstratis datorminaripomen motus eo oria in medio quod malati paristim uniformitari partim in rationa velocitatis. Et quidem si eo ua sola vi insita in hoc mediori

rarur para illa resistentiae quae est uniformis, tanquam a consens graviuitis qua orporis cendentia motus retardatur, eo ideranda ea et in superioribus eo tructionibus in corporia ascensu, non gravitas, sed ea misis i uniformis Mis per lineam vel per rectangulum H exponi debeti Si veru eorpus in praedicto medio vi gravistis etiam urgeatur, linea VCgravitarum et restarentiae partem uniformem sumul junctas, si eo us ascendit, et excessum M viistis supra eam re isntiae partem uniformem, si e pus descendat, exponet. - ration caeteris manentibus, determinabuntur motus coris

in tum sola vi ininta moti, tum vi graviistis urgent ascendentis et deseendentis in medio quod resistit partim in ratione data, partim In ration velocitatis, tum etiam eo oria r

68. Scholium. Ex aequatione ad curvam Dis a F. quam 57 invenimus, deducitur huius eurva per Iogarissimicam satis elegans -- structio qua usi sunt arimonius et Hermannus. Eam his exponemus breviter. Dein eum in supari asin altionis Comitario ultimo et alibi postea descitiuenda sit eurva regularia quae per dam uncis transeat, hoc protilem

quod επtonus in Episto ad lambargum anno 1676 data unum sero in inerrimis dieit quod sinere desidamverit, vivemuru

43쪽

PHILOSOPHIAE NATURALIS s Nov. Conma.

Log. II. et III. ut motus communicatus Videamus Igitur quales oriam tu m0tus ex hac lege resistentiae.

L. - -- - - Vr via asymptoto P σε subtangente a describatust per punctum D logaritiante WH o, cuius D Z erit tangens, et per punctum quodvis V in lineam P agatur Vm parallela P, logarit, Meae occurrens in His tangenti Dra in L e Piaturque verticalia AE para Vis aequalis H L. Funerum x erit in trajectoria quaesita F. Nam dueto a B ad P, perpendiculam X, erit per construet. Pera H e b-' PZ

b . in Coro I. per punctum Λ Newtonimnstructione determinatum erigatur verticalis Am secans D P in B, et per B erigatur ad D P perpendiculum B G secans D Z in E et log rithmicam in G, capiaturque ma aequalis G E eritis a maximaaltitudo Dinis. I. Coria. 2. Punctum quo traject m metam me e D ductam a P C, secat, invenitur, in in lineae G capiatur inaequalis re, iungaturi Q log rithmicam secans in H, demittatur ex Hadi Ρ, perpendiculum H V, et ex Vadiae perpendiculum Vra, quod re tam D e Mahit in puncto quaesito , a quo hine deterinisatur etiam horizontalis amplitudo D , capiendo amualem re, et reliqua perfieiendo ut modo dixti, mus. Nam ob paralleliis Vis et re, HVM P, est Pe: Vr-PDr

- H L, ideoque punctum P est in v jectoria DraF 69. 72. Ex demonstratis inveniri potest angulus Hevationis PM C, sub quo eo pus data vel itatem P projectum transiuit per punctuma in verticidiora da tum Dicantur Rr - , D Z - L, DL - , HL Vr V R - - - a et ob triangula

ob angulum Dras rectum D V 4-

o , aequatio ad hyperi olam, Qua

diameter transversa - - , diameter

eonjugata me abscissa a centro sum et Ndinata rae. - - , ut calcula inito liquet. Inde autem deducitur haec constructio. Per punctum

neam P parsim aequalis Dra, et per pun tum N erigatur ad D P perpendieulum N T,PZ a - DX v seram ΕΚ in Tet D Z in erit DP ad DE

44쪽

-- -- inum anguli elevationis P Qxisignis radio seu sinu toto D Rotiae minradum Pino est, quod si in his con--π-rtiomihus hyperbola logarithmicam nus--mara tingat, I AElema est imposiabile, - - - bis secet, anguli duo satias Gravit Patet quoquo datam semper esse η---- diametrorum hyperbolin, ubicumquaminin nit unctum , velis est enim AE ad

in ratisne data Di ad Da. τε Anguis Havationisii Cariae nium amputuales horizontal eonventina iis a terminatur. Par punctum D dueaturi Mim Di perpendie uis quae sit ad D P ut est D Padi a jungatura amarithmicam mea In H, et ex D pari ducatur meta in mea in Q; erit a sinus anguli quatasti, mi tenta in inini P. Sit enim D nim nudo horia tot maximarum mae , V V, - , et erit in angulum D a metum a 2-e a sumptis fluxionssiua a vi,

tum H per aequationem all-hh hv deis minatum perpetuo tangit lineam rectam ME; eumquo idem punctum in Ioa in ea misoporteat ut delerminetur maxuna amplitudo

Dra, si par intersectionem Hierem Xa et Im inmissa D mo duratur recta D Q Meana O in Q ha bitur in sinu anguli mi 73 maxima amplitudini AE conveniantis.

e. d. s. Iam si operisat eurvam regula n Maeruisse par data quotlib. puncta transsuntem, uti mumua generali mathodo quam Nemtonua in

45쪽

PHILOSOPHIAE NATURALIS mT. ConPoll.

inumblematis 5 58 et t. adhibuit. Haec sunt ipsius verba: Cum curva non datur specie, sed determinanda proponitur, Posiasque Pro ambitrio aequationem fingere quae naturam eius generaliter contineat, is hanc pro ea designanda tanquam si daretur assumere, ut ex ejus -- eumptione quomodocumque Perveniatur ad aequationes ex quibus assumpta tandem determunetur. Si itaque curva generis dati per data puncta delineanda sit, assumatur generalis ad curvam illam aequatio eum terminorum co-- cientibus indeterminatis, et eurva ad rectam alia quam positione datam relata, ex singulis punctis datis in rectam ilhun demittantur emendiculam aut rectae aliae inter se parallelae, quae datae erunt ut et earum abscissa a dato in recta ira Puncto eo utatae deinde in assumpta aequatione loco Meissa variabilia x et ordinatae etiam variabilis 1 scribantur abscissa et ordinata per puncta data determinatae, et tot inde obtinebum tu sequationes quot sunt puncta data Per quae eum transire debet, atque ex illis aequationibus, generalis sequationis assumpta coincientestam terminabuntur. Hujus methodi exemplum sit

solutio Lemmatis V. Lib. III. Principiorum, quod ita propositum est invenire eum Vam generis paraboli quae per data quotcumque puncta transibit cujus Lemmatis a Iulionam dedit ibidem Nomionus, sed sine demonstratione quae tamen ex ejusdem

auetoris disserentiali methodo collegi potest. 76. I. Sunto puncta illa A, B, C, D, E, F,&e et ab iisdem ad rectam quamvis positione datam H, demi

tantur perpendicula quotcum

et ordinata R S, B Mau- matur generalis ad parabolam

Subducantur aequationes insariores ex sup rioribus, nimiriam secunda ex prima, tertia ex. secunda, et ita deinceps Differentia primae

lumina divisa dicaturi, id est, - - saeeundae ac tertiae differentia per secundum intervallum divisa dicatur 2 h. id est,

Harum sequationum disserentia per interviata trium ordinatarum H L, Ii, divisae di metitueri 2 4 et erunt aequationes.

46쪽

Harum tandem aequationum disserentia perint vallum quatuor ordinatarum II, divisa dicatur, Et erit Si vium saramni puncta data, plumaque ideosuissent aequationea, eodem modo pergendum esset usque ad ditirentiam ultimam qum hic est differantia quarta, et si tandem pervenitur ad Horem miselantia ultimi termini aequis. nis generalis Maumptae, et deinde retrogr diendo inveniuntur valorea alta um messicientium D, C, B, et Λ hoo modo. VII. Quoniam e - , et V dum D EL Em - En erit Deum d el-E-- en Et quia IV. est eram in

aequatiora Putet terminorum Progressus, et quomodo data hae a m aeuo inveniri eompendioso P ait correspondens in dinatam aera m Nam si dicantur seu . HAE

&e ubi observandum eat, Praeponenda esse signa maliva terminis WS, I S, a qui jacent ad partes puncti S versus Α, et signa inmativa terminis S , Si δα qui jacent ad altar Parte puncti S. X. Per hane igitur regulam assumpta uti libet haesis His, Invenietur valor ordinatis raespondentis S; singulaque para laesun in datarininahuntur Si vero in aequatione P natura et deinde quaeratur valor abscissae H N interae LX co oscetur punctum X quo Parabola metam

C, aequalia sunt intervallam LI RAE L. &αa aeteris ut supra I nominubus aeristia, potitoque intervallo Ha - 1 - 1, erunt Kerum es, HL an me in Μαα - ,δεα et perpendiculorum disserentiae per intervalla, per intervalla bina tema quaterna, et divisae erunt III. IV. V. VI. quae a

euntur.

Differentis secunda per intervalla bina divi-

48쪽

De motu corporum vita resistitur in duplisas ratione e .locitatum.

Si corpori resisti, in velocitatis ratione dreplicata, et idem soldii insita per medium similare movetur tem σα vero sumantur in progressione geometrice a minoribus terminis ad majores pergenter dic quod velocis tes initio singularum temporem sunt in ediam progressione geometrice imneria et quod spatia sunt equalia, quae singulis temporibus descri-

Nam quomam quadrato velocitatis proportionalis est resistentia medii, e et resistentiae proportionale est decrementin velocitatis si tempus in particulas innumeras a uales disti datur, quadrata velocitatum sing lis temporum initus erunt velocitatum earundem differentiis proportionalia. Sunto temporis particulae

D sumptae, et erigantur Perpem

descrimae, occurrentia in B, h, ι

49쪽

argumento erunt a id, d - ,, c. ut a quad. V quad.&c linearum igitur A B, ΚΔ, Ut, Μ, quadrata sunt ut ea demdisserentiae; et idcirco cum quadrata velocitatum fuerint etiam ut ipsarum disserentis similis erit ambarum progressis Quo demo

Strato, Consequens est etiam ut

areae his lineis descriptae sint in Progressione consimili cum spatiis quam velocitatibus describuntur. Ergo si velocitas initio primi tempori exponatur per lineam B. et velocitas initio secundi

cuper lineam a et longitudo

primo tempore descripta per aream A a B velocitates Omnes Subsequentes e cponentur per lineas subsequentes Ul, Μ, &c et longitudines descriptae per areas Q, L m, c. Et composite, si tempus totume Onatur Per Summam partium suarum A, longitudo tota descripta exponetur Per summam partium suarum A, mi Concipe jam tem

pus A, ita dividi in partes A Κ, Κ L, L , c. ut sint C A CAE,

CAE, C , c. in progressione geometrica et erunt partes illae in eadem progressione, et velocitates A RAE Ut wm M. in progressione eadem inversa, ' atque spatia descripta Aa, a, i, c.

aequalia. Q. e. d. Corol. I. ate ergo quod, si tempus exponatur per asymptoti partem quamvis Am et velocitas in principio temporis per ordinatim applicatam B velocitas in fine temporis exponetur per ordinatam D G, et spa

tium totum descriptum per aream hyperbolicam adjacentem A B G D; AKLM

L M, A quae sunt diuerentiae linearim Cis, K, C L, i, α in eadem pro Tessione. Disserentiae enim cujusvis progression S geometricae sunt in adam progressione geometrica. Nam eum sit Cisci Cm in C, ii Ἀα C Μ, Να, erit auferendo antecedentia ex

antecedentibus et consequentia ex consequenti

50쪽

necnon spatium, quod corpus aliquod eodem tempore Am, veloeitatemn A B, in medio non resistent deseribere posset, rectangu

Comes. 2. Unde datur spatium in medio resistent descriptum, capiem do illud ad spatium quod velocitate uniformi A B in medio non resistente simul describi posset, ut est area hyperbolica Ara Gm ad rectangulum

Como S. Datur etiam resistentia medii, statuendo eam ipso motus inutio aequalem esse vi uniformi centripetae, quae in cadente eo ore, tempore A C, in medio non resistente, generare posset velocitatem A B.

Nam si ducatur B T quae tangat hyperbolam in B, et occurrat asymptoto in T; ' recta Aa aequalis erit ipsi ' et tempus exponet, quo msistentia prima uniformiter continuata tollere posset velocitatem totam A RC P Et inde datur etiam proportio hujus resistentiae ad vim M vitatis, aliamve quamvis datam vim centripetam.

s. in rectanguium A B, A D. Si enim velocitasse , manet eadem, tempore Κ, describet orpus spatium Α Β, Α Κ, dum in medio rogistante describit vatimn BAI, tempore, uvalacitates B deseri tspatium A B, ML diu in medio resistente deseritii vatimn ad L, si ita deinceps 14. Lib. I quam tempore Α, velocitato prima B in medio non resistente describet corpus

A D. Et quoniam ipso moti initio est area A Ba , malis rectangulo Amram Matque patia in medio rasistento et in medio non resistent descripta temporia momento Α Κ, sunt etiam aequalia liquet spatium in medio r sistent descriptum tempore quovis ae ad spatium eodem tempore in medio non resistenta deseriptum velocitates B, ut est area hyperbo.

M. Ex Corollario primo aequitur tempore invito M tium infinitum deseribi in medio quod resistit In intione quadrati velocitatis. Non enim evanescae G D, hoc est velocitas tota extincta non erit, nisi infinita evadat recta MD, hoc est nisi temotis motus ait infinitum, tunequa infinita fit area A B, D, seu vatium descriptum est infinitum.

umetrus expones ordinata K h. VI, Μ, &α rectae B T, occurrant in Mi hcte. Ex unctis , h, i demissa sint ad A B, K h. L. Linc perpendicula, o h L, i Dinc et amomis temPoribus quam minimis ΑΚ, KL, L M, equesibus erunt me, in L ha aequales, sed resastentia prima temporis momento A , tollit velocitatem B-Κk, seu Be, et e

dem uniformiter eontinuata temporia momento L. ive Α Κ, tolleret etiam velocitatem se in m et temporis momento , seu Α Κ, velocitatiam in in B , atqu/ ita deinceps; quam resistentia Prima uniformiter eontinuata tempore Λ tolleret velocitatem totam Ain, quia A B aequalia mi omnibus disserentiis me, Lah, Sc usque ad T vis autem centripeta quae tempore Α Κ, produeit velocitatam me,

aequalia est vi quae eodem temporis momento eandem velocitatem με extingui . seu aequalis eat resistentiae primae, at illa vis entripeta unuformia manen toto tempore Ara totam velocitate. B. Produceret, quam resistentia prima uniformis manen eodem tempore extingueret; ergo resistentia prima aequalis est vi uniformi centripetas quae in cadente corpore, tempore Λ sius A C, in medio non resistente generaresso

se velocitatem A R invi datis etiam inportio. Sunt enun vires centripeta unilamina ut velocitates