장음표시 사용
111쪽
Hi ERONYMI CARDANI proxima qJqdrari p: 3 cubis aequalium 3 oo,haec, et & si uelles, postes alternatis operationibus quantumlibet Propius accedere. Quod si quadratum N ao , aequentur 3 o rebus, tunc si res es, set ν, haberemus quadratum p: ao,aequale rebus 9 & s res esset 8, haberemus quadratum p:ao,Nquale rebus robigitur ut prius, in uentum primum est , productum primum' minuentum secundum 8, productum secun dum i o L differentia maior A differentia pri. ma disterentia secunda , diuidemus igitur disterentiam primam, per maiorem disterenotiam exibit L & addemus hoc ad τ, inuentum primum,fiet aestimatio imperfecta τ bcuius quadratum p: ao, est a
quale s rebus & tu ,ideo quia hoc insensibiliter dissert seris , a 3 o.
numero rerum,ideo non utimur alia Operatione,sed dicemus astimationem propinquam esse
Sit etiam cubus aequalis 6 rebus p: 1o, dicemus,si 3 essent res,sres & ao et quarentur ν Η cubi,& si res essent 4,essent 6 res & ao,o qtes cubi,igitur inuentum primum est 3 , & productum primumr inuentum secundum erit ψ , produ ctum secundum i ,disserentia prima , dissierentia secunda differentia maior, cum qua diuide dimerentia minore, erit , quam adde ad 3,fiet aestimatio imperfecta 3 4 4 , se ere aequationem, scilicet assiimendo G res p: ΣΟ, 8c eruntl3b, ut sis sui cubi, hoc autem est pro ximum ad B, ab hoc detrahemus produdium secundum,& relinquetur Sc L, similiter subtraho 3 iES, aestimationem imperia a 4 inuento secundo,relinquitur.ἰ ,hoc duco in et g disterentiam secunda,ut etiam in primo exemplo,fit ,divide per disterentiam produehi secundi, & produc hi aestimationis, &est rei, exit η 'φ , detrahe a secundo inuento,ut prius, relinquitur rei aestim tio 3 , & hoc est proximum ad 3 - , R ideo ad 3 P, R Gres p:2o unt ' ,&cubus si est 39 M. &si uelles proximius postes operari tertio,sicut primo fecisti, & proculdubio peruenires ad insensibilem disserentiam. ratio haec uniuersalis est, nec indiget
Et similiter operaberis,ubi essent tres denominationes aequales duabus
112쪽
duabus aliis,aut tribus,sed cum duplici ingressit,uel triplici potes e tiam deducere ad numeros omnia,ut in primo exemplo, & operationes in eo casu sunt longe faciliores, uelut si dicam qd'qdratum & 6qdrata & aoo,aequantur ι o cubis & a rebus, erit primu inuentum', & productu m: r sa, disserentia quia r o cubi& ra res superant qsqdratu σ qd.& 2oo,& secundum inuentum erit ro,&productum secundum erit 6So p: quo qd'qdratum Se F quadra ta & aoo,superant i o cubos & I a res,& tunc differentia prima, a qualis est producto primo,& differentia secunda,producto secudo,& maior disserentia est aggregatum ex utro*, & tunc sussiciet pro prima operatione,diuidere ut prius,dimerentiam prima per disserenistiam maiore,& quod exit,& est . addemus primo inuento, & fiet aestimatio imperfecta ' deinde si uis proximius accedere,prodiices hanc aestimationem ad suas denominationes utrin*,& collige disserentiam quae uocetur A. quam multiplica per differentiam aestismationis imperfectae & secundi inuenti,& productum diuide dentio per maiorem differentiam,& quod erit,adde aut minue, secundum quod oportet,& habebis intentum,& hoc modo liceret etiam operari in secundo & tertio exemplo,sed nos uoluimus declarare utrumcdmodum,ad maiorem in occasionibus facilitatem,idem dic de radiciis bus extrahendis.
De regula Magna. Caput XXXI. Aec regula est pro magnis quaestionibus soluendis,*ex
ea inuentae sunt regulae auri & argenti consolandi, Acuiti ingenium, & fit per demonstrationes, exigitqr hominem expertum,docetur per quaestiones,quoniam est multis formis,ta fundamentum regulae est commutatio.
Fac de 3 duas partes,ex quarum cubis inuicem ductis,fiat 3 6. Dites igitur,ex una in aliam fiet in cubita a Qui uide 8 in duas partes,ex quarum ductu invicem fiat Rr cubica erunt qp: in v. 36m: Ricubica 3-- m:N v: 36 m: Rr cubica s.
Fac de 8 tres partes proportionales,quarum quadratum primorsit aequale reliquis,igitur fient primaeduae partes,quarum uniuS quadratum,sit aequale alteri,deinde maiorem diuidemus in duas partes O a exisi
113쪽
Hi TRONYMI CARDANI existentes in continua proportione cum minore, & erunt. Q V s T I orie ex 8 tres partes proportionales, quarum quadratum maioris, sit proportionale inter cubuia triusq; partis,dices igitur,cubus minoris est in cubica cubi maioris.& hoc,quia proportio cubi maioris,ad suum quadratum,est ipsa irrator,& haec eadem est quadrati maioris,ad cubum minoris, igitur cuibus minoris,est in Orati maioris,& aequalis ipsi maiori, quare 8 con stat ex minore S suo cubo,igitur 3 cub. p: r re,s qualis est 3,&sstimatio rei est minor pars. Q V AESTIO 1 i I I. Fac ex 8 duas partes,ita quod septuplum maioris,sit proportio nate inter quadratum masoris,& cubum minoris,sit Amaior,& c quadratum eius,& B minor,& D cubus eistis,sit etiam E septuplum A,cum igitur ex Α in A fiat c,& ex A in E,erit A ad 7,ut c ad B,quare ex II ' ς ut E ad D,igitur ex Α in D,fit septuplum E, at B est septuplum A , igitur ex A in D,fit A gitur D est q9,quadratum 7,quare cubus B mino ris est ,ε est Rr cubica s,dc A residuum.
Fac ex 8 duas partes,ita quod septuplum maioris, sit proportio nate,inter cubum maioris & quadratum minoris,sit A maior,& c cuishus A,& B minor,& D quadratum B,8c E prodiretiam in A, quia igitur ex A in quadratum A, fit c, &in ,fit E erit quadrati A ad 7,ut c ad E,quare ut E ad D, proportio autem quadrati A,ad quadratum B,componitur ex proportione quadrati A ad 7,&τ ad quadratum B,quare in proportione E ad D,& τ ad quadratum B,sed D est quadratum n,igi tur proportio quadrati A ad quadratum B omponitur exproportione septupli a ,& est v ad D,& ad ipsum D. proportio igitur quadra ii A ad D,componitur ex proportione E ad DA ad D , igitur ex re gula sex quantitatum,seu ex proportionii compositione,ex τ in vi quadratum A in D, sed i est septuplum A,igitur ex D in Assit quadra tum A in D,igitur ex A in D,seu in quadratum B,fit qo,quare ex capis
Fac ex 8 duas partes,quaru productu totius in minor sit propor rionale inter producta maioris in totum, & maioris in minorem,quia
114쪽
proportio,ut totius ad maiore,item quia totum ducitur in maiore &' minore,erit producstorum,ut maioris ad minore, sed producta sunt proportionalia,igitur.ex II 'ς elementorum, totius ad maiorem partem,ut maioris ad minorem gitur 3 diuisum erit secundum proporationem habentem medium & duo extrema,quare partes sunt manifestae,m8o m: q& ram So.
Fac de 3 duas partes,ita quod produetiam maioris in minorem, sit proportionale inter quadr*tum minoris & decuplum eiusdem minoris, dices igitur,quia minor est illa,quae multiplicatur in se,in maiorem,&in i o,quod maior est proportionalis inter minorem & i o, igitur quadratum maioris,aequatur decuplo minoris,& res nota est, namaior erit ni ros ira: s,& minor 33 m: Rr Ios.
Fac de 3 duas partes,quarum quadratum maioris ci proportis nate inter quadratum minoris,& prodiretium ex toto in maiorem,posne maiorem A,& B minorem,quia igitur quod si ex s8 in A, proportionale est inter quadratum ARX c A ademonstratis in secundo super Euclidem, erit 6 quarta quantitas proportionalis,cum illis tribus producitis,quare ad quadratum A,ut quadrati A ad quadratu a duplicata, igitur 3 ad A,ut A ad B duplicata, es elementorum, nam utrasy est media proportionum suorum quadratorum,quare cubus A aequalis est producto ex 8 in quadratum B, hoc enim in septimo libro demonstratum est, quare ponemus A quadratum,erit cubus eius, cubus quadrati ne A,quae sit c,igitair quadratum B,est aequale quadrati cubi c,igitur aest,mου quadrati cubi cs quare cum in cubi quadrati sit cubus, erit a aequalis cubi c parti m cum A sit quadratum c, erit ldratum p: cub. πτ, aequale 8,& ideo multiplicando omnia per Rr 8, erit citobus p: qam 8,aequalis in s ra, lue igitur per capitulum νς', ut innumeris rationalibus operando per regulas tertii libri.
Fac ex 8 tres partes proportionales, quarum aggregatum pismae & secundae,& aggregatum secundae & tertis,& ipsum 8,sint proportionalia,ssico,inuenies primo proportionem illarum quantitatu proportionalium,quarum aggregatum secundae & tertiae est proportionale inter aggregatum prims & secundae, & aggregatum omnii sint igitur tales quantitates A B cδε quia proportio A B c,ad B Gest ut
115쪽
HrERONYMI CARDANIE c,ad A B,ex supposito quaestionis δε B c ad A B,ut c ad A E c DB,ex ι χ' quinti elementorum,erit A B Gad B c , ut B ad c ex ii ' eiusdem,sed ex proportione ina fit c,igitur ex proportione in B c,fit,A B c,sit igitur,ut ex proportione in Q fiat D um igitur ex proportione in B fiat c,& ex eadem in c fiat D , igitur ex proportione in B c fit c D,& ex eadem in B c fiebat etiam A B c,igitur A B c, aequatur c D,abiecto autem c relinquetur A B , aequalis D , est autem D quarta quantitas proportionalis,igituroportebit inuenire quatuor quantis rates,continue Proportionales, quarum quarta sit aequalis duabus primis,posita igitur μ' x, χ' a re, 3' r quadratu, M I cub. erit cubus
aequalis 3 rei p:3 ,& nota est ex capitulo,quantitas rei,qus est proportio,divides igitur 8 in quatuor quantitates sub ea proportione conci nuatas,ut in sexto libro docetur, luimus & aliter hanc quaestionem in quarto libro.
Fac ex s duas partes,quarum septuplum maioris,proportionale fit inter cubum minoris,& productum maioris in minorem. Sit A misnor,eius cubus C B autem maior,& productum B in A sit E,& septu plum a sit D, quia igitur ex B in Α , fit E, & B in γfit D,erit A ad 7,ut E ad D,quare A ad 7,ut D ad c,igitur ex Ain c, fit septuplum D, sed D est septuplum B ,igitur ψo B,aequalia sunt quadrato quadrati Α, igitur B est aequale A qa iurati Α , quia loriar A cum Bo qd qdrari a,igitur A cum is qd qdrati sui,aequatur 8, quare rendi .. qa adrati aequatur 8,igitur qd qdratum P:q9 rebus, aequatur quamuis huius non sit capitulum generale , pulchrum tamen fuerit hucusq; perduxisse quaestionem. Deprehenditur &quando impossibilitas eodem modo pro positarum quaestionum,ut facile est uidere.
est 8, & a est De regula aequalis positionis. Cap. XXXII.
regula, est utilior positione simpli ci,in omnibus quaestionibus ubi partes aequaliter multiplicantur , secus ubi inaequaliter, nam in his simplex facilior est,ut si dicam,di uide 8 in duas partes,quarum una ducta in quadratum alterius,uel in cubum,fiat ao,per simplicem positionem peruenies ad Squadrata ira: r cubo,aequalia 2o,uel ad 8 cub. m: r 'd'cldrato,aequaistia ro in secunda quaestione,sed ponendo q P: a positione. & m: a positi
116쪽
res. in politione etiam simplici, uenimus prima operatione,rei aestismationem in aequali dimerentiam,quae addita dimidio diuidendi. &detracta, ostendit numeros quaesitos, qui uere sunt aestimatio rei, quativi potuerimus rem esse differentiam,voco aute positionem simoplicem, in dico,divide x o in duas partes,producentes ro, tunc PO.nimus partem unam rem,asiam 3 o mἰre,sed squalem,cum pono partem unam s p.re,& aliam,s m: re, ideo cum simplex iam per se nota Iat,de aequali per quaestiones & exempla dicendum erit, cum certe irequentissimus sit eius usus ac utiles.
Est trigonus, cuius laterum distorentia primi ad secundum, est 3,&iterum secundi ad tertium, est etiam 1, Narea est,pones secundum igitur pomtionem,& primum erit positiona: a ,&tertium positio P: ε , sequere trigonoruregulam,datam in libro sequente,&fietis: Vis qdqdrati m. tqdrati uniuersali, ter suinpta,aequalis 3, quare πυqJqd' aequabitur ι quadrati p:9,ideoq; 3 qaqdratum,aequatur 4 quadratis P:ψ8,6cres erit per capitulum derivativorum, in Ur Rr sa p: a,& hoc est latus secundum,adde igitur,& minue illi bes reliqua latcra,ut in figura uides.
qoo, pones prima Partem s p: r pomtione, R secundam Parte s m: r positione,sequere probleoma,reducendo par -
tes ad cubum,& ad quadratum,colliges tandem cadentibus uicissim partibus,3 a quadrata p: 3oo,aequalia qoo,quare quadratum aequaa
117쪽
Fac ex ε duas partes, quarum quadratorum aggregatum, sit ae quale disserentiae cuborum Pones maiorem D: a positione,& minorem 3 m: positione, sequere quaestionem, habebis aggregatum
Fac ex 8 duas partes , quarum produehim maioris in minois rem,proportionale fit,inter nonuplum maioris, & ipsam minorem. Pone partem primam q P: 3 Positioneδε minore Φ m: a positione,is quere propositu,habebis pro. lduetiim maioris , in ' , esse 36P:9 positionibus,& maioris in minorem 36 m: a quadrato, &minoremqm: a positione, Rhaec sunt proportionalia,igitur ducto 3 6 p:y positionibus, in --m: i positione,fit quadratu 36m: r quadrato, ducito igitur inuice; 6p:ypositionibus,& 4 m: a positione,& cadent positiones propter mutuam proportionem,quare Producetur, 3- D: 9 quadratis Schoc est aequale quadrato 36 m: i quadrato, quod est, et ς6 p: 3 qaqdrato m: 3 a quadratis,quare reddendo m: Parti aduersae, ria p: aqdqdrato,aequabuntur a 3 quadratis,habebis aestimationem rei, iuv:ν λ m: Rr ao . id est Rr , quam adde & minue i q, erunt partes quaesitae,q P:m I,&4 m: Rr τ,& quamuis potuisses soluere per simplicem,ueniens ad capitulum cubi & rerum,aequalium quadratis & nt mero,suisset tamen negocium inexplicabili Mne ulla comparatione, nam plu decem es is indiges operationibus , ante peruenias aclueram aestimationem,quae semper est in natura Binomii,uel recisi ii Ti,non improprii.
118쪽
e QN AESTIO V. Divide ro in duas partes,quarum quadrato primae detracto exa oo,N quadrato secundae detracto ex ' residuorum tu iunctae, constituant i . Si libet ad uitandu laborem,primo uidebis uia tentativa, an casus possibilis sit,hoc igitur cognito,pone primum partem P:r positione,&reliquam fm: r positione,duc partes in se,&quati
residua,ut in figura,quo rum in itineiae , debent aequari r , igitur m: una illarum radicum aes quatur reliquae,quare ducemus in se, m N Uzγς m: r quadrato in ropositionibus ,& habebis
nati rς6 qdratis ira: ν ν rebus,quare ducendo denuo partes in se, habebis 86 oo m: si s 6 qdratis na: 33s 6o positionib', aeqlia 8ς et p: 4oo qdratis ira: ri 68o rebus,duc ad aequationem reducendo ad i adratu habebis rei aestimatione esse in p: LA , sed nis VII
est lἶ', igitur additis fient in n. igitur res est ι ,& partes
Est etiam,tibi positio aequalis,non soluit omnino quaestionem, S simplex soluit. Exemplum,fac de s duas partes,quarum quadratum maioris, sit proportionale inter producimin maioris in minorem, Scdecuplum totius,ut pote 6o,posita itaq; maiore i positione, habebis 6o dc i quadratum & 8 positiones m: a quadrato Proportionalia,quare ductia media in se. ς p: 3 pos. m: a posas p:3 qd.p: Io POL i Ioo
119쪽
Hi ERONYMI CARDANI ipsam,habebimus 3 qdqdratum squale q8o positionibus m: quadratis,deprime,& fiet cubus 5c res,aequalia Uo, & ideo res nota est,per positionem autem squalem,peruenies ad capitulum constans ex quino denominationibus,posset autem solui,&per regulam magnam,sed hoc ad rem nihil pertinet. De remia inaequaliter ponendi,seu proportionis.
l Ac regula nos docet,ut positis numeris inaequalibus , positiones pariter aequales annectamus, sic ut in multiplic tione,uicissim similes excidat partes. Docebo autem hoc per exempla,quamuis quaestiones quae per hac soluuntur, etiam per regulam retro agendi positionem,de qua in capitulo quinto dustum est, dissolui possint. VnsTIO I. Exemplum. Sunt duo numeri,quorum disserentia est , 8c quis dratum minoris cum quadrato dimidi j maioris,& Rr aggregati ipso
rum quadratorum,constituit Ir o,posses hanc retro agendo dicere,. igitur νι o componitur ex aggregato quadratorum,& in aggregare, igitur posito aggregato quadrato,erit Iro aequale quadrato Sc uniret,quare res est 1 o,aggregatum roo, ideo facies ex Ioo duas paristes,quaru duplum Rr unius,excedat aliam in in q, 8c solutio clara est, uerum hoc modo nos sic ponemus,sit primus numerus minor a Po
tem secundi, qus est in se ducenda,& este, erit igitur pars multiplicanda r post tiop:2,&primus numerus ut dii id est, a politiones,hoc habito, situm est, nopermutata quaestionis natura,partes nu meri ita aptare cum rebus, ut in quadrutis res ex toto excidant, sic igitur facies, considera secundum numerum in se duocendum,qualis pars sit primi, ut in exemplo, 3 politio p:a,quae pars est a positio. num, inuenies quod est P: a , duc igitur J -- denominatorem Sc numeratore fracti in se,& producta iunge, & ha hebis ς,pro diuisore,deinde duc numeratorem in se , 5c produltu iri numerum differentiae,qui in q, fit etiam 4,pro diuidendo, diuide igitur
120쪽
Da Amri ΜΕ τ te A Lia. πι sstur ψper ς,exiti hoc auseres ex a positionibusicilicet malare parte. habebis a poLm: Adeinde diuidepperi partem, exit , hoc addes ad x positionem, habebis r DC p: v,ecce uides, quoniam habes a positiones ira: Sc i positione p: proportio ad A est ut x positi nes ad 3 politionem,& si sumpseris duplum maioris,scilicet a pocp:3 superabit minorem scilicet a pos. m: in ad unguem, hoc peroacto,ex regula uniuersali,duc partes in se, habebis 4 quadrata p:m: , positionibus,& i qdratum p:zΗp: v positionibus, iunge, habebis ς qdrata p:3 Phaec cum radice aequantur o,igitur Rr squatur ia o m: hoc aggregato,igitur ro 6 m: s quadratis,aequatur Rr V:s quadratis p: 3 duc partes ii Me,habebis S quadrata p: 3 - , aequaliari oo 5 p: qd' idratis m: i o 68 qdratis, redde reddenda ira: altori parti,& diuide per numerum qd'qdratorum,qui est as, habebis aqd idratum p: ςσα , aequalia Αχqdratis, ideo res ualet in ve
haec est , igitur res fuit bsed prima pars seu maior,fuit a positiones ira: τ,igitur ipsa fuit 8,& minor fuit i positio p: 3,igitur fuit α&eius duplum fuit ra,qui excedit 8 in q,& hoc est quod uoluimus.
inde diuide A per proportionem quae es Dexit l, , pars addenda uni rei, erit igitur BD r positio p:R,&cD,4 post tiones m: ire, duc partes in se, habebis
quadrata cD&BD pariter accepta, Rex consequenti, quadratum B c,ine I qdrata p: 3 R ,sequere ut in praecedente,addendo ei lariis B c, erit m V: ἔγ