장음표시 사용
21쪽
Hr ERONYMI CARDANI Nummis &positio,& ignota quantitas. Numerus & qciatu positionis,& ignota quantitas, seu numerus& qd ' quantitatis ignotar& positio,seu numerus cu qae' positionis quantitatis ignotae,seu numerus & productum ex positione in quan
titatem ignotam,cum altera earum,uel cum qdrato unius earum.
22쪽
arilia rebus aeq' secul. t- Nw dc cu'qs & cu'cu' aeql ' aeq' sec. De aequationibus capitulorum simplicium. Cap. III. Stimatio rei,est quantitas,in qua ueritate experimur prc positorum in capitulo Sc quaestione. Exemplum est, cum quis dixit, feci ex r o duas partes,& duxi earum singulas in se,& fuit produdiorum disserentia μ. quia igitur nesi positio
Om: scimus quae quantitas sit maior aut minor. Ponemus minore esse rem ignotam,quam vocamus positionem, erit igitur pars maior residuuad ι o, scilicet I O m: rpositione,tunc sequemur quod est propositu,& ducemus par res in se, R fiet qdraim minoris I 'ldratu
& maioris a qdratu p: roo m: ro pos μ',adde quod est ira: alteri parti. fiet a qd' p: roo ex una parte, 6c 3 qd p: ao pos', horum differen, tia fuit Fo ex supposito,addemus igitur minori parti,& tunc fients iles 3 qd'p: roo,5 r 'd' pzao pos ,p: ,ab iciemus 3 qd Sc ex utram parte,remanebiit igitur zo pos aeqles M,sa si ab ae libus s ilia aurerant,qus relinquunt senis ilia,diuidendo igitur ψo, per ronumerum politionum,exibit a stimatio positionis,in hoc ita ν 2,ueritatem proposits quaestionis experimur, nam si eius quadratu quod est ,ex o id rato 8 residui a Scro ab iciatur,relinquetur propositus Numerus. Est etiam uerum de a,quod proponitur in capitulo, scilicet quod qdratum eius quod est 4. cum ι Oo,aeritur quadrato po
23쪽
HrERONYMt CARDANI nam utro modo colliguntur x o dicemus igitur merito, propter duo,quod a est rei aestimatio,& cum recte operatus fueris, in aestimastione seu aequatione,utra experientia succedit.
Vt uero rei ueritas apertius deprehendat,at cum ea ratio,scire enim est per demonstrationem,ut dicunt, intelligere,sint gratia Exempli, bi tres aequales a ,8c ponatur A c latus unius cubi,& c D alte rius, &, DB tertη, qa igitur cubi sunt , aequales, inuicem,erunt & lineae A c, A qc D, D B aequales,cum igitur secundum numerum, secundum quem
A c est in A B,qui est 3, diuiditur a , & cuborum quantitas fiet exi ' quinti uel 3 τ' septimi elementorum, & 3i'. 3 3 eiusdem, cu hus A c aequalis 8,igitur A c latus,erit a,aestimatio rei,ex quo colligitur generalis regula. R ac VL A.
3 Deprime propositas duas denominationes ad numerum, si nuumerus non adsit,aequaliter deducendo,cun altera fuerit denominatio,altera numeruS,divide numerum per numerum denominationis,
exiens est aestimatio denominationis, lux denominatio si positio es positionis habes aestimationem. si alia denominatio,sume latus seu ra dice illius numeri pro denomniasionis qualitate, si qdratu, qdratum, si cubus,latus cubicum,si qd' id' ,radice radicis,atq; ita deinceps,& latus illud seu radix,est positionis uera aestimatio. Exemplum, cubi zoaequantur 38o relatis primis, quia igitur no est hic numerus. Infimam denominationem cuborum,pones pro simplici numero, scilicet ao.& maiorem seu altiorem relatorum,per cubos deprimes,& fient Isoqdrati,divide igitur zo numerum,per 38o numerum qdratom, erit -aestimatioqdrati. Verum nos querimus positionis aestimatione,
non qdrati,sume igitiirradicem qdratam . 8c est - ,pro uera aestismatione. Aliud Exemplum, γ qdrare aequentur ar cub qd',deprime ad numerum aequaliter,fient lia ar qdAd'divide τ per ar. exieri , quae est latus qd' ad ', est rei aestimatio. Aliud. a cubiaequentur zo qd qd ,deducitis cubis ad numerum, qd qd' pertieniet ad pos ,igitur zo post aequantur 2,divide a per ao, exitis, & quia diuisisti cum numero positionum,erit positionis aestimario -. Aliud. ao aequantur cldratis,divide ao per ς,exit ε, aestimatio qdrati, igi tur rei aestimatio est a. AE Et ut omnibus eciam capitulis futuris satisfaciam,maioris denoaminationis numero reliquos omnes ac numerum diiudes, maiorem
24쪽
tur denominationes,ldeom aestimationes habet in radicibus,quarum in falsa positione nullus omnino est usus. Quod uero pertinet ad n merum positionibus aequalem adhuc utracp falsa positione generaliaus est, ut in primo Exemplo patuit, nulla enim falsa positione licet uenari,quae nam partes decem qdrata uariant,quorum disterentia sit
De subiectis aequationibus generalibus & sin gularibus. Cap. IIII.
Inpulares dicuntur aequationes,in quibus nullum captivi a tum persedie potest absolui,&tales sunt numerus integer, i uel fractus latus etiam omne numeri, seu quadratum seu
cubicum uel alterius generis,at ut ita dicam,omnis simo Plex quantitas,item constantes ex duabus radicibus omnes, quarum altera sit qdrata,vel runt. Ecgeneraliter radix par, unde qus ex dum bus constant nominibus,& apotome seu ut dicunt recisa tertii ac te tieteneris,non apta sunt aequationi generui' . A, Omne etiam capitulum,quod ex numero qdrato, bo, ex poli. ationibus constat,eas habet generales aequationeS,quae ex capitulo,ad quod deducuntur,derii is sunt,addita uel detracta tercia quadratoaium numeri parte,ut suo loco ostendetur . . .. Generales autem aestimationes, sunt, in capitulis qdrari aequalis 3 rebus & numero,secundi generis,constans ex nominibus duobus, ut inron: a ,capituli autem qdrati & rerum aequalium numero,secunda
inoton ut . 39 m: 3,capituli autem quadratorum & numeri aequa
Iium rebus,apotome,& constans ex duobus nominibus prim genes ris,ut et priu 2,& 3 m: Rr 2. Vbi aut primu genus dico, quartu etiam intelligo,sic & ubi secundum,etiam quintum,tam in apotome quam ἐκ duobus nominibus constante. . At unius radicis uniuersalis aequatio, derivativis conuenit capi Φ
25쪽
suliς,seu cubica seu qdrata,hisq; quorum principalibus quadratum aut cubus radicis pro aequatione fuerat,velut si qdrato aequali rebit S numero aestimatio lisc conueniebat,im 3 9 P:3 ,capitulo cubqdrati aequalis cubis 8c numero sub eadem quantitate existentibus, squalio erit,ire V cubica Re 3 9 p: 3.ς Et sicut radix quadrata, nulli pi sterilli numero iungi potest, ut aequationem ericiat generalem,sic e diuerso,cubica cubicar iudia, emcere potest numero non potest. Cum igitur iungitur cubi aequalis rebus 8c numero,aequationem producit, non integram tamen, at deti cis inuicem,essicii int aequationem capituli cubi& rerum aequaliun Mumero, tielut Rr cubica ψ p: Rr cubica a,esi aequatio capituli, cubi a qualis rebus Sc numero,& Rr cubica ψ m: Rr cubica a, est aequatio cis pituli cubi & rerum aequalium numero. 6 ' At capitulum cubi aequalis quadratis 5c numero,habet aequationem constantem ex tribus quantitatibus proportionalibus, quarum duae extreme sunt radices cubicae,media est numerus,ut ire cubica is p: a prim cubica . . sed capitulum cubi Sc quadratorum aequalium numero, habet similem in omnibus praecedenti aequationem, excepto quod numerus est na: uelut im cubica 36 m: a p: Rr cubica ψ.st Illud etiam intelligendum est,radices simplices pro generalibus aequationibus haberi, ut tamen etiam simplicia sint capitula, uelut ira cubica inseruit capitulo numeri aequalis cubo,& fidi ata,numeri squalis qdrato,cc relata, pitulo relati aequalis numero,& sicut hae simplices compositis capitulis conuenire nequeunt, sic nec ullum composio tu ex pluribus radicibus incommensurabilibus capitulo simplici potest conuenire. V vostendit aestunationem capitularum compositorum minorum, quae sunt qdratorum,numeri,S rerum. Cap. V.
quadratum Eo Sc 6 res gratia exempli equale ' I ,tunci faciam DB&DG cum fuerint produeis esse 3, dimidium
iaci licet o, numeri rerum,&complebo quadratum D GBc,
indeq3 P duetis c G&c B quadratum A p E c,prout ii quarta secundi elementorii si, quia igitur D B dueta in A B ex dissinis
tione secudi clementorum producit A D super finem, & ex numerquolibet in rei aestimationem producitur aestimatio illarum rerum,ilut si res est Με& sint quinq; res,erunt quin res ro,& tantum Pro
26쪽
citur aestimatioe rei in s numerum remi, ut ostendimus in capitulo tertio, igitur cum BD sit 3,& AB aestimatio rei, erit superficies A D tribus rebus aequalis,seu aestimatio trium rerum, at superficies D E aequalis est A D, exprimi elementorum,igitur Sc ipsa est aestimatio trium aliarum rerum, duae igitur superficies, AD&DE, sunt aequales 6 rebus, qua re ipse cum quadrato F D sunt 'r , at quadratum, c D est y, quia B D est 3, igitur A c quadratum est 3 oo,quare lastus eius A c est i o,cum igitur B cst 3,detracta Ac ex A c , relinquiua B latus D p I. ALIA DEMONs TR ΑτIo. Sit modo A B numerus rerum quarundam,aequalium c numero& quadrato D, & faciam quadratum n G dimidi j A B, quod sit GE,
a quo auseram cnumerum,ut E F superficies aequalis sit numero c,&ponam latus quadratu, p v supersciet,quod sit a A, lico lineas Bu&M A esse utrasci; lateora quadrati D, unde sequitur duas sore uerras aestimationes huius capituli,quarum ara gregatum est aequale numero rerum,uideliscet A B, constat enim quod rectangulum ex A H in H B, una cum cldrato u G est aequale quadrato B G,ex ς' a' elementorum . quadratum autem H G aequalisuit p s superficiei ,rectangulum igitur ex A H in H B, aequale est E P, quare & c numero,quod aulcm fit ex A B in il B,ex a elemcntorii, aequale est quadrato H BR rectangulo A ia in H B , igitur quod fit ex numero rerum A B in aestimationem rei qus est H B, aequale est nuna c,& quadrato is B, quod est probandum .Et similiter eadem ratione rectangulum ex Α B in Α Η, equale est quadrato A Η,& ducitui A uita Η Β, sed ex A Η in H B,ut probatum est,fit c numerus,igitur recitangulum ex A B in Α Η,scilicet ex numero rerum in rerum aestimatione, aequatur quadrato rei & numero proposito.
Ex hoc patet,quod illi falluntur qui dicunt quod si v Η , gratia
exempli sit aestimatio rei, S G p 3, quod rectangulum ex B H in a perit 3 G H seu triplum G Η,laoc enim esse non potest,scilicet quod superficies contineat lineam aliquam,neq; numero, nec alia proportione, cum infiniis lineae possint esse insuperficie, quantitas enim continua nullum sus diuisionis recipit terminum,sed ueritas est,quod si G F cootineat tres unitates gratia exempli id est partes tres lineae 3 1s,divise
27쪽
H iERONYMI CARDA Ni in tot partes,quot unitates sunt in numero quem dicitur continere,ueluti quod B Η ponatur 3a,erit a P 3 ,ubi G F sit quarta pars B Η,& tunc uerum est,quod ex B Η in GF fit superficies continens 36 superficies quadratas,quarum uniuscuiusq; tetragonicum Iatus est unitas, id est una ex partibus illis,secundum quas B H est diuisa in ra, & G p in 3, hoc autem tam in rationalibus,quam in irrationalibus pulchre osten dit Plato in Memnone. Nec admireris,hanc secundam demonstrationem, aliter*a M humete, explicata, nam ille immutata figura magis ex re ostendit,sed tamen obscurius,nec nisi unam partem,em p pluribus,unde nos fa cilitati & breuitati consulentes, tum ut utri aestimationi una demonstratione satisfaceremus,hac utimur. AL 1 A DEMONSTRATIO.
3 Sit modo quadratum A c in tertia figura, aequale s rebus & 36 numero,& ponatur Α D numerus rerum, stilicet 6, igitur superficies A M est 6 positiones,quare D c residuit erit precise iri diuidatur A Dper aequalia in G, & fiant quadrata G B & a D , quae sint cx & G v. Quia igitur B c squalis est B A,& B K aequalis
B G , erit Κ c aequalis G A, quare etiam G D dc F L,& quia D E & D G sunt aequales, item D PS B G, erit F E aequalis D B,quare etiam squalis p K, duae igitur lineae F K Sc p M , aequales sunt FL& F E,& anguli A D F recti,igitur F csuperficies aequalis est L E,sed F c cum p n fuit 36, igitur L E cum F B suit r6, addito quadrato G E quod est y,nam a D fuit 3, erit G κ quadratum a s,igitur latus a B s,addita igitur a A,quae est 3, fiet a stola 8,rei aestimatio.
6 Secundum haec formabimus regulas tres , pro quarum memoria subiungemus Carmen hoc, Querna,dabis. Nuquer, admi. Requis,Minue dami.
Est autem unicuim horum capitulorum commune,ut dimidium numeri rerum in seducatur. Quando igitur quadratum aequatur re bus 8c numero,quod significatur per Quema siue primam tantum intelligas literam seu adnumeres sequentes a prima uocali cosonantes, ut Querna,quadratu aequale rebus & numero significet,& Nuquer, Numerum quadrato ac rebus aequalem,& Requata, res quadrato Scnumero aequales.In hoc Quema igitur,seu capitulo quadrati aequa lis
28쪽
DE ARiτΠMArre A Lin. α astis rebus & numero,addes quadrato dimidii rerum numerum aequationis,& totius accipe radicem quadratam, i adde dimidium numeri rerum,& aggregatum est rei aestimatio. Exemplum. sit i qd squale r o rebus p: ι-,duc s in se,fit as quadratum dimidii rerum,addes fit a D, cuius Rr est 3 7,huic adde s dimidium numeri rerum, fit 38, aestimatio rei. Rursus fit 3 qd' aequale - reip: νι ,duc 1 dimisdium numeri rerum in se,fit adde ei 3 3,fit ri J-,accipe in quae est 3-r,cui adde π- dimidium numeri rerum,fit 3 - ,rei aestimatio. Rursus, sit a qd' aequale r o rebus p: 6, duc ς in se dimidium numeri reis rum,fit as,adde ei 6 fit 3 ι ,huius Rr adde s,dimidium numeri rerum erit rei aestimatio,in 3 3 p: s. Rursus sit 3 qd' aequale rebus Rr ra praet,duc Rr 3 in se fit 3,quadratum dimidi j numeri rerum, adde ei Ea fit as,huius ni est s,cui adde m 3 ,quod est dimidium numeri rerum, fiet rei aestimatio ς p: nt 3 ,& si in hoc casu numerus fuisset 'ro, esset rei aestimatio ne a 3 p: Rr 3,&si fuisset numerus 9 , esset aestimatio rei m ra p: Rr 3,quod est dicere,in a ,&si fuisset 1 qdratum ae ite rebus
Rr la p: Rr cub. I o numeri,duc ut prius Rr 3, dimidium numeri reruin se, fit 3. adde ei Rr cub. io, fit 3 p: Rr cub. 3 o, huius accipe radiocem,quae est Rr V: 3 p: Rr cub. ro,cui adde dimidium numeri rerum& fiet aestimatio rei Rr 3 p: Rr v: 3 p: Rr cub. 3 o. & hac uarietate exsemplorum hic usi su mus,ut in reliquis idem fieri posse intelligas,tum etiam eadem in duabus sequetibus regulis experire, quandoquidem nos duplici exemplo contenti erimus. Manifestum est igitur, quod
hic bis addimus,scilicet numerum qdrato dimidii rerum, & dimidiurerum radici aggregati,& hoc est,quod in carmine diximus, da, bis, quasi, bis iunge.
Si autem numerus quadrato &rebus aequalis sit, qdrato dimidii snumeri rerum adiicies numerum aequationis,& totius aggregati accipe radicem, i qua minue dimidium numeri rerum,& residuum est rei aestimatio.Exemplum, rq ,aequatur r o rebus & 3 qd', duc ς, dimidium io numeri rerum,Hse,fit as, huic adde 3 4 fit 169, huius imest 3 3,a qua abiice ς,dimidium numeri rerum,relinquetur rei aestimatio 8. Rursus,fit 6 aequalis r o rebus p: r qdrato, ducto ς dimidio rerum in se fit Σς,adde 6 fit 3 3 ,ex huius radice abiice s , dimidium nus
Ex hoc patet,quod haec regula a praecedenti solum dissere, quod Cor . minuat dimidium numeri rerum. Ab aggregati radice,ubi illa iungebat,& hoc est,quod in carmine diximus, Ad, mi, quasi, adde primo,
29쪽
ti HrERONYMI CARDAMideinde minue,scilicet,adde numerum quadrato, & minue dimidium numeri rerum postmodum ab aggregati radice. Cor . Ex quo pate quod disserentia aestimationis quadrati,aequalis rebus Sc numero,& numeri,aequalis rebus Sc quadrato,est numerus rerum ad unguem,ubi in eisdem rebus & numeris statuantur,uelut aestimatio qdrati aequalis io rebus p: i est is, & aetiimatio ι- aequalis quadrato & i o rebus est S,N dii serentia 38 8c 8 est i o.
6 Si uero res aequales sint quadratis & numero,ducto,ut prius, dis missio numeri rerum in se,& ab eo detracto numero arquationis,radicem residui minue ex dimidio numeri rerum, aut adde,& tam aggreagatum,quam residuum est rei aestimatio. Exemplum. 3 qdratum pra is,aequatur I o rebus,ducto ς in se fit as,ut prius, deinde minue i 6 ex as relinquitur 9,cuius linqus est y, addita uel detracta a s dimidio numeri rerum,ostendit rei aestimationes,8 addita,& a detracta si igi
tur 3 o res sumantur quae sint 2,erunt 2o & tantum erit udratu a cum a F,item si sumantur 1 o res quae sint 8, erunt 8o, & tantum est quaadratum 8,addito et i 6. Rursus si dicam, i o res, aequantur ι 'li' pr6,ducto s dimidio numeri rerum in se, fit aς,detractio autem 6 relinquitur 3 9,cuius Rr addita uel detracta ex s,ostendit rei aestimatiocs, maiorem quidem sp Rr i 9,minorem uero m. Rr 9.
Not . Quod si detraetio ipsa numeri,a qdrato dimid 3 numeri rerum fieri nequit,questio ipsa est falsa,nectae potest quod proponitur,semper autem pro regula uniuersali in hoc tradiatu toto est obseruandri, quod cum ea quae praecipiuntur fieri non possunt,nec illud quod proponebatur fuit, nec esse potuit. Nunc autem subiungemus aliquas quςstiones, duas ex Mahumete,reliquas nostras,ex omnibus his, quς nec multiplici positione, rec particulari utuntur regula, difficillimas.
Qusst. Est numerus, a cuius quadrato si abieceris ipsius qua
prima. drati, atin insuper ψ,residuum autem in se duxeris, fiet produimimaequale quadrato illius numeri, R etiam 1a. Pones ita quadratum numeri incogniti quem queris,este i rem,abiice -S eius& insuper ψ, fiet rei na: ,duc in se fit τὼ id' p: i 6 m: rebus ,&hoc est aequale uni rei, R ir,abrice similia, fiet i res aequalis α. 'd'' P: qin: 3 - rebus,redde quod est minus,alteri parti,pro uniuersali remota, erui res r aequales eri qdrati prin, quare per quartam regulam tertri capituli, deuidi numerum rerum & in per numerum qdrati,& fici res is quales 2 3 - p. qdrato, quare per tertiam regula,du; D ces
30쪽
quam adde ad ιχ - dimidium numeri rerum,fiet aestimatio rei qussita a ,scilicet quadrati huius radix,est numerus ille qui quaeritur. Ex hoc docemur per principalia capitula uitare derivativa, nam in posmtione rei pro primo numero,suisset quadratum eius operationis funis tamentum,& peruenisses ad i qdqd p: a 3 aequalia a 'qd quare haec sit tibi pro exemplo,nunc sequamur secundam illius.
Duo duces diuiserunt militibus suis aureos q8 singuli, Porro O ues . unus ex his habuit milites duos plus altero , & illi qui milites haρ seeuda
huit duos minus, contigit ut aureos quatuor plus singulis militibus daret,queritur quot uniculo milites fuerint et Pone numerii militum minorem I rem,maior erit 3 pos' p: a, quia igitur summa distribuenda aequalis fuit,manifestum est,quod quantitates erunt proportione similes est aut duodecima pars V, multiplica igitur L in ι pos p: a. fit που pos'p:d hoc multiplica per numerum priorum hornionum, fit fi ld pzz-pos'',duc uero omnia ad i qd', fiet a qd'p: apos ,aequalia 2ψ,accipe dimidium numeri rerum & est a , duc in se, fit i ,adde ad rq,fit as,ab huius tu minue a dimidium numeri rerum, fit ψ,numerus hominum minor,& 6 maior,& primis obtigerunt auarii 1 a pro singulo,alqs 8 pro singulo. multiplicatio autem illa , quanis do reducitur quadrati pars ad integrum fit per excessiam hominum,
scilicet ra per 2. Et causa in hoc est, quod proportio differentiar se, cundae ad primam,eli ut aggregati quod diuidi debet ad productum
ex numero hominum inuicem,uelut proportio q8 ad as,productilinex in 6,eii uelut 4 differentis aureorum ad a disterentiam hominu . N per hanc docuit modum operandi in quaestionibus proportionii, sed magis praecipue quando uolumus numerum integrum , ut in hos minum numero,in quibus perabsurdum esset intelligere medium hominem,nedum quantitatem aliquam irrationalem uel radicem. P
Nunc autem proponamus quaestiones nostras, quarum prima est O upst. similis praecedenti. Duae societates hominu, quarum una continebat tertia. 3 homines plus ij altera ,diuiserunt aequales aureorum numeros, qui tamen erant 93 plus aggregato hominum, in ambabus societatibus existentium,& pro singulis hominibus societatis minoris, contigerulaurei 6 plus,quam hominibus singulis maioris societatis. Pones nuis merum primae societatis rem unam, habebit igitur secunda societas rem&3 p: quare summa aureorum,quae est,ip: utracpsocietate,est