장음표시 사용
41쪽
A c,est ut trium superficierum D c,D A D r,ad D E stipersesem , ut trium quantitatum proportionalium in proportam A a ad B c,m me diam ipsarum,ac multa alia quae breuitatis musa Omitto.
De capitulorum transmutatione. Cap. VII. Vm fuerit numerus & denominatio media, extremae πιQualis, conuertetur capitulum in duas denominationes easdem,& sub eadem magnitudine numero aequales, ue lut si dicam,quadratum aequatur o radicibus S 6, clices mus igitur etiam,quadratum N 6 radices quantur I 6, manetl conuersa ratio,inde habita prima aequauone,detralaemus numerum radicum & est habebimus secundam,uel secunda habita,addemus σnumerum radicum,& fiet aequatio prima,uerum in caeteris denomi nationibus regula generalis dari non potest. Verum generalis est regula,ciim media denominatio, mero Oeextremae denominationi aequatur, tunc conuertetur in aliam mediam denominationem,tantundem a numero distantem,quantum prior media ab extrema denominatione distabat. Sic pro exemplo,li cutius ocnumerus aequales sint rebus, cubus cum eodem numero , quadratis etiam squabitur,sed non sub rerum numero existentibus.Ratio uero habendi mediam denominationem est,deprime maiorem denomina tionem ex med 3s,per minorem,& radicem numeri aequationis, stim piam secundum naturam denominationis extremae,reduces ad denominationem quae exiit,& cum eo numero,multiplicabis numerum denominationis mediae proximioris molinae denominationi extremae, aut diuides numerum proximioris numero,& qui exit, numerus est denominationis mediae, uelut si cubus & 36 aequentur 6 quadratis, erit ex dicitis cubus & i 6,aequalia rebus. harum numerum sic uenabimur,deprime qdratum per res,exeunt res, accipe N cub: Io, nam cubus est extrema denominatio, & eam reduc ad naturam rei, cum ressit id quod prouenit,diuiso quadrato per rem, fiet igitur Rr cub. 36,
quoniam res non auget nec minuit,igitur ducemus in cub. 36 in F numerum quadratorum,qui sunt proximiores cubo,quam numero, Sciant res Rr cub. aequales 3 cub. p: 36. Exemplum aliud, mobus & S aequantur 38 rebus,dices igitur,cubus & 8, aequantur quadratis,divide igitur quadratum per rem exit res,accipe Rr cubicam s. quia cubus est maxima denominatio,& est a,ea non est deducenda aliter,cum res sit denominatio exiens,fiet igitur a diuisor 18 numeri re
42쪽
Da ARirn Marte A L B. m. t rum,quia res sunt proximiores numero,quam cubo, & exibit 9, nu merus quadratorum aequalium cubop: 8, eodem modo, si dicamus a qd'qd' p: s itur 3 o cubis,cadet transmutatio rebus in a qd' id P squale rebus,divide igitur cubii 'Per rem exit quadratum, duc im'M quae est ex natura qd qd' ,& est in 8, ad naturam quadrati,scilicet denomio nationis exeuntis, fit 8,que duc in io,
numerum cuborum, quia sunt proxis miores maximae denominationis, & fiunt res 8o,cotra diuide res εο per 3 ad habendum numerum cuborum. Eadem ratio tenet,ubi denominatio media cum numero, aequas tur extremae,seu duae denominationes extremae,numero aequales fuerint,nam eadem regula unam aequationem in aliam transinutabimus.
Vt pro exemplo, cubus squetur 9 rebus p: io, dicemus igitur,cubus P:qdrato Rr cubicae a L aequantur 3 o,& si cubus squatur 6 qdratis P: ν6,erit cubus & res ira cub. 3 ς6, aequalis r 6.Et si cubus p: r 8 rebus,aequatur 8,erit cubus aequalis se qdratis & 8 numero. Et cum reolatum primum p: 6 cubis aequatur So,erit relatum primu aequale quadratis p: So. diuide igitur cubum per quadratum,exit res,sume N αν lati 8o, & eam reducito ad naturam rei remanet Rr relati 8o , quam ducito in G numerum cuborum, fit in relati 522oso,numerus quadratorum, in tur R' p aequatur qdratis ire relati Garoso p 8o numero, eade ratione,
si R p p: 3o rebus, aequale sit 3 a numero, tunc erit R p aequale id qdrato& 32 numero,divide qd' id per rem,exit cubus,reducito a Rr relati 32 ad cubum, fit 8,divide ΣΦ numerum rerum per 8,exit 3 numerus qd'qdratorum,qui cum 3 2 aequantur relato primo. Sed pro habenda aestimatione in singulis, diuides qdratum radicis numeri tationis,sumpta ipsa radice,secundum naturam maxime deis nominationis,per aestimationem quam habes, quod exit est aestima. tio conuersi capituli. Exemplum,dictum est,quod si cubus 8c 8 aequatur a 8 rebus,cubus & 8 aequabitur 9 qdratis. In prima aulcm aequastione res ualet ,uel Rr 6m: a,dico, quod si acceperis Rr cubica 8, quae est Σ,& duxeris eam in se fit ε& diuiseris per priores aestimationes, scilicet uel tuom: a,exibunt ι ,uel Rr 2 m: ,pstimationes cubi p: s
43쪽
mentorum & i , erit G H ad A c,ut M Dad Η Κ,utraq; cnim duplis .cata et,quae est FH,ad AD, quare quod ex D n quinta in A c quadra tum secundae,aequale est et,quod ex K H prima in G H quadratu quar tae. Igitur corpus K o est numerus propositus,& cum cubo B G aequas tur rebus totidem, quot sunt in superficie G K,at G K aequalis est super sciet ex c in A M,est autem E radix cubica numeri D B , propositi, ex 3 ' ri elementorum,& A Μ numerus quadratorum, ut propositum est,igitur numerus rerum G Κ fit ex radice cubica numeri aequatioriis in numerum quadratoru, & numerus squationis manet idem scilicet corpus K o & B D,quorum unum alteri squale esse demonstrauimus. . Superest ita*, ut ostendamus cstimationem rei, qus est A D in uno,&F G,in altero esse,quales proponuntur,cadit enim inter eas proportionalis media E radix cubica numeri propositi,igitur ex io' o' elemen. torum diuiso quadrato E per unam earum exibit reliqua .Eodem modo probaremus reliquam partem reguis,& generaliter,sed breuitati consulendum est,in his quae ordinem habent eum,ut unum eX altero cognoscatur. REGULA. Est 8c alius transmutandi modus,manente quidem denominatio stium numerinuariato autem squationis numero,ucru in reliquis eanodem habet rationem,regula igitur est. Accipe radicem numeri aequastionis,secundum naturam denominationis mediae,qua habcs,-cam reduces multiplicando ad naturam denominationis mediae,quam uis aequari extremis in conuersione,& hic est numerus in secunda aequaotione. Exemplum,si dico,cubus 8c 8 aequatur is rebus, tu scis ex tarbula supraposita,quae huic seruit regulae,quod transnutatur in cubu& numerum Hlualia quadratis,at ex hac regula liquet,quod minaeo
rus quadratorum aequarilr numero rerum, erunt igitur cubus 8c nusmerus aequales 38 quadratis,pro numero igitur squationis accipe 8, quia res non habent radicem,& duc in se,set 6ψ, numerus aequatior nis,duxisti autem in se,quia denominatio media in quam fienda est transmutatio,est quadratum. Eadem ratione,si dicatur, ι 'id qdratup 8,aequatur raxebus,traducetur in qd'qdratum Sc numerum aequalia cubis,quare reducemus S ad cubum Sc fiet a Jd' idratum p sia, aequale ra cubis. Et ira,si dicatur, 3 p R p 8,aequatur s cubis, transmutatio fiet in R p p numero,aequale s quadratis,ex tabula uel remula,igitur pro numero quia denominatio media in proposito cli cu'bus sumemus N cub. 8,quae est 2,8ceam deduccinus ad natura quas
44쪽
Hi ERONYnt CARDANIdrati,quia quadratum est denominatio media in transmutatione, fiet igitur quare erit QC P: aequale s quadratis.
Eadem ratio tenet,cum numerus & media denominatio extremia quantur,ut transmutetur in capitulum denominationum aequalium numero. Exemplum,si dicamus, i p Q p: cub. aequatur σε, accis piemus propter cubum Rr cubicam est ,& eam reducemus ad quadratum denominationem mediam, inquam fienda est transmutas
R p: ψ rebus aequatur s,quia res non habet radice, reducito ς ad naturam quadratiquadrati,& fit 6as, ideo dicemus, quod a R p inquatur quadratisquadrati P: sas. Aestimationis ratio sic habetur in media denominatione aequali
extremae & numero. Reducito arquationem quam habes in naturam denominationis medim,in quam fienda est tra simulatio , & hoc ab aceex numero denominationis medis,& R, residui, sumpta secundum naturam dcnominarionis mediae,ex qua fit transmutatio,est rei aestimas
ipsum ex ra numero cuborum, fit 8,residuum cuius sumemus in s cundum naturam denominationis mediae,ex qua fit transmutatio, &est cubus.iginir Rr cub. 8,quae est et erit etiam aestimatio rei in se noda aequatione. Aliud Exemplum,s p R p: μ, squatur 24 qdratis, tu scis,quod transnutatur in P R p: si 2 aequale a4 cithis, aequatio autem primi propositi fuit 2,cubus fit 8, nam media denominatio sciscunda est cubus,ab ace 8 ex a ,numero la p' R pr e qd.qdratorum relinquitur 16 cuius m qua i r p R p: a m. drata id est sumpta secundum naturam denominationis mediae, prismae aequationis, quae est ψ,est aestimatio . R p: s ra lis is cubis.
Sed ubi intermedia denominatio iungitur numero uel extreinae denominationi facto transitu in comparem, ex τ' regula, reduces ut prius aestimationem quam habes in naturam denominationis medie, cuius quaeris aestimationem,& ei adde numerum denominationis mediae,si media denominatio cuius aestimatio quaeritur,luncita fuerit numero,uel minuemus,li iuncita fuerit extremae denominationi, Reius
aggregati uel residui Rr sumpta,ex natura denominaiionis mediae, cuius aestimam cognita est, erit aequatio secundae quaestionis quaesita. Exemplum. sit R p aequin 3 cubis P: 8, Sc aestimatio rei cognita a, iatranse
45쪽
ec transmutatur ex regula septima in R' p p: 3 quadratas aequalia vi reduco igitur a ad naturam quadrati mediae t R' p 3 cub. prs denominaciois citius qus ritur aestimatio. Sit i R p p: 3 id.
,ex hoc abhcio 3 numerum quadratorum, quia quadrata sunt iumeta R' p',λ non numero, relinquitur ι ,huius tu cub. quae est 3 ,est rei aestimatio,est autem cubus denominatio media aequationis iam cognitae. Rursus sit R p squale qdratis prq,S sit transmutatio in R p p bis aequales,ex τ' regula,& sit huius co i R p p: cub. 8
duco i ad qdratum,mediam denominationem ignotam,& fit 3,huic addemus τ numerus qdratorum, quia media denominatio ignota, quae est qdratum,iungitur numero,scilicet & habebimus 8 , huius Iu cubica sumpta ex natura mediae denominationis cognitae, & est a. talis tu cubita,est rei aestimatio,quando p R aequatur qu. p q. Ex hoc paret,quod semper,habito uno capitulo, per secundam, Cor clertiam & quartam regulam,uel per sextam,septima,octauam, & iacis nam, habebimus aliud generaliter,si generaliter, uel particulatim, si particulatim. Excmplis igitur tale sit,cognito capitulo cubi & rerum aequalium numero,proponatur cubus aequalis p quadratis Sc x o nua mero,habebimus igitur ex septima regula cubum & p res aequales Mao,aequatio huius est Ret V cub. Rr 3l P: N a m in V: cub. Rr 33m:rua L huius igitur quadratum, addito φ numero quadratorum,quia quadrata iunguntur numero,erit aestimatio cubi aequalis 3 qdratis& io numero,& hoc est,quia denominatio media cognita,quae est res,non habet ex se radicem, & sic primo generaliter capitulum cubi aequalis dratis & numero,aliaq3 multa capitula inuetas,duplici uia.
Et ne hoc uoluntarium uideatur, demonstratio huius adiicienda , oest, in uno pro omnibus, sit cubus D F,
cum A B numero,equalis D G numero rerum,id est corpori D G,sit autem H L,nuo
merias rerum, aequalis D G superficiei, innumero,& sit quod ex Η Κ in K M,equale.A c numero,& quadrato A B, crit ipse tur quod ex A L in K M, equale A c & cubo x L,& smiliter,quod ex D E in D G,
te est latus D F,& x L latus x ra,sed ML aequalis est D G,cum igitur ex M K in T al fiat A e,&ex D E in FN, A η,
46쪽
Hi ERONYMI CARDANI posita N F radice K Μ,& D E radice Η Κ, nescio si ex DB in FN, fit AB, ex M K in K n fit A c,na hoc a Theone in Euclidis comentario est demonstratum,igitur cum aestimatio rei in uno fit K L,in altero D E,sea quitur ut sublata F Daequali HK utra em in aequatur quadrato D EJex Η L, relinquatur K L,rei aestimatio,quod est propositum. 33 Est& genus transmutationis in dissimile, ut cum qd'qd aequa/ tur rebus & numero,& res est Rr ς p: a,gratia exempli,erit qd lae peteisdem rebus aequale eidem numero,& res erit eius apotonie, uidelis
t a Transmutantur & ea,quae constant ex quatuor nominibus, cum suerint tres partes continue proportionales, & aequales rebus uel iobis,dico autem,numerus & qdratum & qd'qd', nam diuiso numero
rerum per Rr numeri,exit numerus cuborum, multiplicato uero nusmero cuborum,Per in numeri,producitur numerus rerum aequalium
sq,aequantur a o cubis,igitur ducto 8 in σε, in s o numerum cuboru, erit a qd' id'p:8 qdratis p: 6 , aequale so rebus. Habita autem una aequatione,divide cum ea Rr numeri,quod exit, est reliqua aequatio,
pex a priorem aequationem, exit 4,secunda aequatio, qdqdrati P:3qciatis p: sq,aequalium T cubis. i , Est etiam transmutatio capitulorum ex tribus constantium, in capitula ex quatuor,& pro exemplo,regulam unam exponam, si sit caspitulum cubi & numeri aequalium qdratis, conuertetur in capitulum cubi & reriim,aequalium qdratis & numero,hoc modo, manente nua mero qdratorum,duc dimidium numeri qdratorum in se, & prodictu est numerus rem,quae sunt cu cubo, & Octava pars prioris num ri est semper numerus,qui est cum qdratis,& aequatio semper manet eadem.Exemplum, bus p: νε aequatur 3 4 udratis,duc τ dimidium
a in se,fit 9,accipeὲ de 36,quod est a , habebis 3 cub. p: 9 rebus aequale i4 quadratis p:2. Aliud, bus & , aequatur 3 quadratis, duc in dimidium 8 in se,fit 3 6,numerus rerum, accipe τ de s quod in q,igitur cubus & 36 res aequantur 3 quadraris p: ς, & aequatione una inuenta,habes reliquam vi sint eaedem, demonstratio huius non
47쪽
DE NONsa ATIO. It inquam,cubus quadrati & numerus p aequalis aliquibus rebus, & sit numerus rerum A D,& sit B D portio, ex qua sumpto latere,quale relati primi E,S ducto in A si reliquunumeri rerum, fiat F numerus aequationis, dico E esse rei aestimationem, nam quia ex supposito, ex Bin A G,fitr,&eXE in BD,fit cub. E, eo quod Ε suit latus relatum,B D, & productum ex Ela A G,& in B D,aequale est producto ex E in A D,sequitur cum A D,sit numerus reRr,quod o Dres aequantur cubo quadrato, & numero P, existente aestimatione ipsiuS E. - in REGvLA. A s ης Secundum hoc sormabitur regula, cum suerint denominatio media & numerus,aequales mediae,& ex numero mediae denominationis,feceris duas partes,ex quarum una in radicem alterius,sumptam secundum naturam denominationis, prouenisentis ex diuisione extremae per mediam,& deductam ad naturam ii issius mediae denominationis,fiat numerus aequationis,tunc radix ipsa anteq; deducetur ad naturam denominationis mediae, est rei aestima. tio. Exemplum, I o res,aequantur quadrato & a x, tunc quia res sunt immediate quadrato & nutriero,susscit facere de r o duas partes, ex quarum una in aliam fiat a i ,δc erunt & 3, Sc utraq; est rei aestim tio. Aliud, ro res,aeqv antur cubo Sc 3,hic res est coniuncta numero, sed non cubo,cum intermediet quadratum. Ideo diuidemus cubum per rem, exit quadratum, dicemus igitur fac ex I o,duas partes, ex quarum una in quadratam alterius radicem,fiat 3 ,& erunt i R 9, naex i in ; ruo fit 3, ideo talis ire scilicet 3,est rei sstimatio. Aliud, ro cubi aequales hint qd' idrati,& is ,iam hic cubus haeret qd' adrato, S: a numero distat intermediantibus qdrato 5c re, dices igitur, fac de i oduas partes,ex quarum una in alterius cubit,producatur c ,& erunt
partes 8 R et,qui ad cubum deducendus est,igitur a est rei sstimatio, scilicet quod oporteat semper numerum cum quo operamur, esse rei aequationem. Aliud,&est quarti modi exemplum, 3 o cubi aequanatur p' R' R 48,tuc iam cubus distat a R' p', intermedio qdqdrati, Ra numero interpositis quadrato & re,divide igitur Q p per cubum,
48쪽
HIERONYni CARDANI exit quadranim,dicemus, fac de r o numero mediae denominationis d ras partes, eX quarum una,in cubum radicis quadratae alterius pro ducatur 48 numerus aequationis, & erunt partes 5 & ψ, nam ex o in 8 cubum 2radicis quadratς fit 48,ideo ipsium a radix quadrata vi est rei aestimatio. Manifestum est igitur,quod semper sumimus racliscem ex natura denominationis secundum quam media in maiore continetur,& deducimus eam ad naturam ipsius mediae, & qui scit hoc facere,nouit capitulum,& qui nouit capitulum,scit etiam hoc tacere. Est uero manifestum,quod cum media denominatio, tremae Ocnumero aequalis est,tunc in omnibus, Praeter In maximo numer duas aestimationes necessario habet. De secunda incognita quantitate non multiplicata. Cap. IX. Eneraliter hucusq; nova inuenta tractauimus, nunc Verode singulis dicendum speciebus est,nam saepius illud occurrit,ut quaestionem propositam,duplici positione soluat i mus .Eiusmodi autem est exemptu,quando aliter uix rem hanc possumus explicare. Tres erant uiri pecunias habentes, Primus in dimidio reliquorum habuit aureos 3 a. Secundus cu reliquom tertia parte 28. Tertius cu reliquorum Parte quarta 33 ,quaeritur quan tum quisq; habuic Statuemus primo rem ignotam primam, secundo Pii: Secund: Terti: res quaia: 33 m: Quarta parte reliqiu primus et p: post ira: - quaia: aequalia
positioni primaea posse p:4 qum ae P
Secundus a Tip: ab quaia: m: polo ae llia quantitati secundς τά quam p . Possi a qualiae 3 secundam rem ignotam, tertio igitur 3 i ausTei,minus quarta parte rei, ac quarta parte quantitatis relicti sunt,iam igitur uide, quantum habet primus, equidem si illi dimidium secundi &teriti ad icias,habiturus est aureos 3 2,habet igitur per se aureos 3 et ira: P quan :
sit squale uni positioni,erit ἰ poss&ἰ quant: aequale 36l, quare deducendo ad integra Posi& 3 quant: aequabuntur 33 a. Rursus uideamus,quantum habeat fecitndus habet hicas, si ei tertia pars primi ac terim addatur, ea est postp:1oτm: post m: A quant: hoc est igitur .pos: P: olim; quant: abrice ex as relinquitur, i pr u quant: m: . post& tantum habuit secundus. suppositum est autem habere illum quantitatem,quantitas igitur secunda,aequi ualetetet suis
49쪽
denominatorem,inde duces quamuis earum ad aequalitatem alterius, in positionum aut quantitatum numero,utpote dicendo, 3 post p: ιν quata: aequantur ara,volo modo ut sint γPolitiones,& erunt per regulam quatuor quantitatum proportiona
tur,sicut in positione simplici,per capitu
lum tertium,362- , per 22- , exit Iri
a stimatio quantitatis, & tan um habuix ii , quan aequales 3 oz: secundus. Rursus ponamus primo esse i
rem,secundo iam erant I 6,tertio sit secunda quantitas,cum secun dus cum tertia parte primi & terti j, habeat 18,ipse autem habeat rerit4-pos p: - quantitatis squalis ra,residuo 16 28, deo x postp:ι quantitate aequabuntur 36,at uero primus,cum dimidio reliquo
tatis,quare Per modum capituli tertii, liuiso a 2 per ' , exit 2 ,aestimatio quantitatis, seu numerus ali reoru tersti j,iam igitur constat secundu habuisse is, tertium 2 , primus autem eum dimidio secundi & tertri habet 3 2,detracto ao dimidio secundi& tertist,ex φ a,relinquitur ra numerus primi, habuit igitur primus aurcos la, secundus I 6,tertius 24. Operatio prolixa,&clara tame ac facilis,semper autem reducenda est denominatio una ad eundem nusmerum, de tunc differentia numerorum aequalis necessario erit diis rentiae alterius denominationis,ut uidisti bis in hoc exemplo
Exemplum aliud. Dixit primus secundo,da mihi tertiam partem tuorum,& 3 p:& habebo triplum residui tui. At secundus primo,da dimidium,& 2 p: tuorum,& quod tibi relinquetur erit nona parS omniu quae ego habebo. Dabimus primo rem, secundo quantitate, quia
50쪽
Primus Secundus 3 POs. 3 quan :
igitur dando t& 3 p: secundi, primo, relinquitur secundo 1 quan :m: 3, 8c hoc est tertia pars aggregati primi quod est 3 positio p: τ quantitatis p: 3,igitur triplaio 3 qum: m. 3 ,'fit a quan . m: es, erit hoc aequale POL P: τ quan ' P: 3, quare reddendo quod est minus, alteri paroti, het i positio P. 32 , aequalis quan .
Rursus quia dictu est, quod si primus det
dimidium p: a, secundo, erit reliduum scilicci POL in a, nona pars aggregati, quod est a quan :p: pos p:a,igitur multiplicando tale residuum pers, fiet pos. m. ι8,aequales 3 quan :p: zpos p: a, reddendo minus alo teri parti,& auferendo similia diabebimus pos. aequales 1 quan preto, habebas etiam 3 pos. P: ra aequalem 3.τ quan ', ducito paries ad squalitate unius denominationis,& primo multiplicando I pos P: et,sqlem 3 1 quan per ψ,ficiu*pocp: 8 squales 6T, quan ,&hoe comparabis, ut uides in figura,cum Apos μ' aequalibus i quan p aol qua: P: T POL P: a no nuptum T POL m: a
8c limiliter eadem ratione reducendo numerum quantitatu ad aequalitate,
habebis ς quan' ' aequales 3 6 p:3 positionibus , & s quantitates P: O,aeulcs 2o pos , in utroin casu trans feres uicissim,per regulam, si aequa/libus squalia addas, tota quo* fient
r quan aeqles 4 pos p: 64 quan inde abiectis similibus, relinquentur quaia: aequales 68 , igitur diuiso os,per set exit ιχ sstimatio quantitatis,& id quod habuit secundus. Eadem ratione,transferes in secunda aequatione, partes dissimiles, dicetido, si s cluan: aequantur *6p:3 poD',&s quaia: p.roo, aequantura o pos',igitur quan ' p: ro poD',aequantur s quan p:3 pos ' p:ι 36, inde abiectis similibus relinquuntur ιτ posv aequales 3 36, qu re diuiso i 36 per i exibit 8,positionis aestimatio, seu numerus priomi, habuit ita* primus s , fecitndus 32,&quamuis aliter hec etia si ui possint, hoc tamen proprium est magis Zc purum, ut uno eodem mimpetu tota quaestio absoluatur,& si etiam primum exemplum per solum rem oliendi queat.