장음표시 사용
51쪽
DE Axtru METIca LIB. π.De secunda quantitate incognita multiplicata. Cap. X. Vna uero duae quantitates incognitae multiplicantur, aut in se ducantur, quatuor fient modi, quorum maior pars
tria habet membra. DEMONsTRATIO. Primus est, cum quadratum unius,& quantitates ipsae comparan
& quintuplo E,gratia exempli,igitur posita B D aes quali numero rerum,scilicet a, erit Α D aequale duo , Plo A B , igit c F aequatur quintuplo E,quare ex I s sexti elementorum,A B ad E,ut s ad c D , est autem A B positio,& c D positio m: a,& s numerus cognis
REGULA. Posita re quantalibet,duc eam in se,detracsto nu g. mero rerum,& quod exit,divide per numeru ignotae quantitatis, exibit aestimatio ignote quantitatis. Exemplum,ponas turres γ,ducatur in a in se,quia positum fuit, ut aequaretur duabus rebus,&quinq; quantitatibus, fiet 3 s,divide 3 s, per ς numeru quantitatum,exit quan etiam ,& si ponatur res Io, ducemus eam in a ira: id est in8,S fiet 8o,unde diuiso 8o per Rexit 36,quantitas a Quod si quantitas a' ponatur cognita,multiplicabimus eam per suum numerum,& producto addemus quadratum dimid 3 ipsius numeri rerum,& radix totius, addito dimidio numeri rerum,es aestimatio rei. Ex, emptuira, sit a' quantitas 3 c ducemus in s fit 8o,adde 3, quadratum dimidi j numeri rerum, fit 8ι , huius-est ψ,cui addito dimidio num ri rerum fit I o,quantitas ipsius rei. DEMONsTRATIO. Rursus,fit decuplum A B,aequale quadrato AB Sc septuplo E, gratia exempli, sc sit quadratum A B perficies A c S B D sit x o,igitur septuplu E aequasle est F D superficet,& ut in prscedenti, A B ad E,sic ad c D,quare regula est,cum res aequantur quadrato rei δc quantitatibus. REGULA. Positam rem quantam n P libuerit,minuemus ex numero rerum,& ducemus eam in residuum,pro duetum diuidemus cum numero quantitatum,quod exit est quantita
52쪽
HIERONYM1 CARDANItis aestimatio. Exemplum, natur hoc in casu res 8, minue ex r o nu mero rerum,relinquuntur 2,quos duc in f, fit 36, diuide per τ numerum quantitatu,exit 2 Δ aestimatio quantitatis,quod si secunda quan titas cognita sit,ducemus eam innumerum seu, & quod producitur, a quadrato dimidη numeri rerum minuemus,& radix readui, addita uel detracta,a numeri rerum dimidio,ostendit aestimationem rei. Ex emplum, natur quantitas secunda a Φ,ducatur in numerum quantitatum, fit o,abηce hunc numerum ex a s,quadrato dimidii Io numeri rerum,& relinquitur 9,cuius radix addita uel detracta a s, dinis dio ι o numeri rerum,ostendit 8 uel a,aestimationes ipsius rei.
3 Sit etiam E numerus,aequalis quadrato A s,quod est A c, & ni mero a B qui est superficies r D,posita igitur Α Β prima, numero a s
cuda, E tertia, B D quarta,erit proportio A B ad E,ut numeri E ad B D, quare regula erit, cum quantitates aequantur rebus & quadrato reorum. REGULA.
Posita rem quantamcun* libuerit, ducemus in aggregatum ex ipsa & suo numero,& productum diuidemus per numerum quantitatum,& quod exit est aestimatio quantitatis. Exemplum, s quantitates aequatur 7 rebus,& quadrato rei,& res est 3, dicemus igitur, duc 3 inro,aggregatum 3 aestimationis rei & numeri rerum, fit 3o, diuide Per ς,numerum quantitatum, it 6,aestimatio quantitatis. Quod si quantitas secunda sit cognita,ducemus eam in suum numerum,& producto addemus quadratum dimidη numeri rerum,& radix totius,detracto dimidio numeri rerum,est aestimatio rei. Exemplum, ponatur quantitatis aestimatio,quando s quantitates aequales sunt rebus.& quadrato rei,duc igitur 6 aestimationem quantitatum in f,numeruquantitatum, fit 3o , adde his quadratum 3 T dimidii numeri rerii,
scilicet ψ2 ,ab huius radice,quae est 6l,si auferas 3 --,dimidium numeri rerum ,relinquetur 3 aestimatio rei. Not . Solemus autem his uti positionibus, cum duorum numerorum, qui ab initio ponuntur,nulla exprimitur comparatio, nec in aggregato,nec in dimerentia,nee in multiplicatione nec in diuisone, seu prosportione,nec in radice,his enim quin modis comparantur numeri,
quare si unus consistat,nulla est secundae quantitatis utilitas, sed una positione quaestio soluitur.
Quod si productum,ex re in quantitatem,quantitatibus & rebus
comparetur,consurgent duo modi tantum, aut enim tale productu,
53쪽
quantitatibus,sita res A B, quantitas A c, numerus quantitatum A D, numerus rerum A E, erunt igitur ex supposito,duae superficies D cssic B E,aequales A F,est autem A F squalis quatuor superficiebus, G A, G B, G c, GF, igitur hae quatuor esuperficies,aequales sunt superliciebus D c&BE, detractis itaq; aequaliter tribus supficicbus G A, G B, G c, relinquetur altera a A,aequalis G F, quare ex x ς' sexti elementorum, A D ad D B,ut c Eut RE A,proportio igitur numeri quantitatum,ad reo siduum ex re,ut residui quantitatis, ablato nume avo rerum, ad numerum rerum, secundum hoc erit regula. REGULA. Si nota fuerit res,abiiciemus ex ea numerum quantitatu, 5c cum residuo diuidemus productum,ex numero rerum in numerum quantitatum,quod exit,est addendum numero rerum, & totum est quanstitas. Exemplum,sint i o res & i et quantitates, aequales producto rei inquantitatem,S sit quantitas i 8,tunc ab acies econtra, O numerum rerum, Ι 8 quantitate,& relinquitur 8,cum quo diuide reto,productum ex x o rerum numero,in i a quantitatum numerum, & exit 3 ς, quem adde,ad 12 numerum quantitatum,fit Στ,rei aestimatio, under o reS,sunt 2 o,& Ia quantitates sunt 21 o,quae iuncta faciunt q8 productum is quantitatis in aτ rem,& ita posuimus exemplum, re guis conuersum,ut liuelligas unam & eandem esse rationem. Quod si productum ipsum cognitum sit,divide ipsum productit in Per num
rum quantitarum,si sit minor numero rerum,aut per numerum reru,
si ille sit minor numero quantitatum,& dimidium exeuntis, duc in se, a quo abiice illud, luod prouenit,diuiso producto ex numero malos re in produ stum quantitatis,in rem, per numerum minorem , seu nus merus rerum sit maior,seu minor,& Rr residui,addita uel detraeta,abeo quod in se duxeras,ostendit aestimationem quantitatis, aut rei scilicet,que minore numero descibitur,inde ldiuiso per eam producito, exit illa, quae est maiore numero definita. Exempluma res & 6 quantitates,s quales sunt quantitati rei,quae est,gratia exempli σε, disuido per 2,minore quam 5, exit 32, critiis dimidiu i 6,in se duco, & fit aso,abhcio ex hoc, ista, qui prouenit,diuiso
54쪽
Hi ERONYMI CARDANI 38 producti in per a,relinquuntur is cuius radix in f, ρον addita uel detraha a 36 numero,quem in se duxisti,ostendit rei Nisemationem 8,uel a quare si res ualet 8,quantitas etiam erit 3, diutio enim M per 8,exit 8,&si res ualet a ,quantitas est et i,diuiso 'avi& in utroq; casu, a res &6quatitares,s quantur 6 quantitati rei.
Quod si latus unum,aequatur producto unius in alterum, oc reliquo lateri,sit latus illud A B,& reliquum A E,numerus uero lateris Anest A c superficies,igitur E F,fit ex supposito,ex A E in suum numerus eadem autem fit ex A B in E c,proportio igitur A B ad A E , ut numer A E ad E c,est aut E c residuum A E quantitatis,& A c numeri rerum, quare regula erit. REGULA. Cum fuerint res aequales quantitati res,& quantitatibus,& nota suerit quantitas,minuemus eam ex numero rerum, deinde ducemus quantitatem in suum numerum,& productum diuidemus per tale reosidi na,quod exit,in aestimatio rei. Exemptu, I o res quantur quantitati rei,& quatuor quantitatibus,&quantitas ipsa est 8, aufero 8 ex ε o,relinquitur 2,duco etiam 8 quantitatem,in numerum ipsius, fit 3 2,quem diuido per 2,residuum relictum,exit 36, aestimatio rei, &ubi prima detractio nequiret fieri,casus non potest in ueris numeris
esse. Si uero no quantitas,sed ipsa res,sit cognita,quia ex A B , in A C, si, quantu ex A E in aggregatum ex A B et numero A E,diuidemus productum ex numero rerum in aestimationem rei,per aggregatum ex re& numero quantitatum,quod exit,est quantitatis aestimatio. Exem. Plum, I o res aequantur quantitati rci,& ψ quantitatibus,& res cst iri duco is rem in x o numerum rerum, fit 3 , diuido per zo aggregatum ex ψ numero quantitatum & 36 rei aestimatione , exit 8, aestimario quantitatis,si uero quantitas res cognita esset, duces talem quantitatem rei,in numerum quantitatum,&productum diuides pernumcrum rerum,cui exeunti,adde quadratu dimidi j eius, quod exit. diuisa quantitate rei per numerum rerum,& radix aggregati, addito
dimidio,quod prius in se duxeras,est rei aestimatio. Exemplum, sinto res aequales s quantitatibus,& quantitati res,qus sit qs,ducam qς,
Per s numerum quantitatum, fit aas,divido per ψ numerum rerum,
exit sol, i addo 3 3 v quadratum s ἔ,dimidi j prouentus ς diuisiper , & fit totum ετ f , ius radici quae est y l,si addantur s Di
midium prouentus diuisionis, fiet ις res.
6 Cum uero quadratum res,& quantitas rei,& res,inuicem compa
55쪽
DE ARiτΗMEτ te A LIB. π.rantur, fiunt modi tres,primus est,cum quadratu rei,squale est quantitatibus rerum 8c rebus,& sit A B res, ius quadratum A c, & sit B pquantitas,& A D quantitates rerum,& erit,ut quoties B p in a D continetur,totus sit numerus quantitatis rei, D cigitur erit rerum numerus , quia igitur B caequalis est A B,& c D est numerus rerum,erit ut detracto numero rerum ex re,relinquatur B D,productum ex numero quantitatis res,inquantitatem. unde regula. RE GvLA.
Cum quadratum rei aequatur rebus, &quanditatibus rerum,si res est cognita, auferemus ex ea numerum res rum,residuum diuidemus per numerum quantitatis rei, 8c prodibit quantitas. Exemplum, I o res cum ψ quantitatibus rerum, aequantur quadrato rei,& res est 3o,ausero ro ex 3o,relinquitur ao,quem diuido per ψ,numerum quantitatis rei, & exit ς, aestimatio quantitatis. Quod si quantitas nota sit,ducemus eam in numerum quantitatis rei,& producto addemus numerum rerum,& conflabitur rei aestimatio. Exemplu,r o res & quantitates rei,squantur quadrato rei, Sc quantitas est γ,ducemus T in numerum quantitatis, & fiet 18 , cui addes mus o numerum rerum,fiet aestimatio rei 38. Si uero productum ex re in quantitatem cognitum fuerit,ducemus ipsum in numerum quantitatum rerum,S ei addemus quadratum dimidii numeri rerum, &radix totius cum dimidio numeri rerum superaddito, est aestimatio rei .Exemplu,qdratu rei squatur I o rebus, & quatuor quantitatibus rerum,& quantitas rei est so,ducemus so in numerum suum, id est quantitatum reru, & fit 1oo,cui addemus as, i dratum di/midi j io numeri rerum,fit ars,cuius radici addo s, dimi dium numeri rerum,& fit Σo,rei aestimatio,unde diuiso soproducto rei, in quantitatem exit al, aestimatio quantita
Quod si quantitas rei,aequalis fit quadratis rei & nu εmero rerum,Ponemus rem A B,8c quantitatem B c,8c quantitas rei A c,ea causa necessario erit&Dc numerus rerum,
dc AD erit aggregatum quadratorum, igitur detractia D cex B c,relinquetur B D,qua diuisa per numerum quadrato rum,prodibit B p aequalis A B. regula igitur est.
Cum fuerit quantitas ret,et quesis quadratis rei & nu
56쪽
mero renim,& suerit nota res,ducemus eam innumerum quadrat rum,& producto addemus numerum rerum ,& conflabitur quanti ias. Exemplum,quantitas rei aequatur 5 quadratis rei,& 3 o rebus, de res est 4,ducq in s numerum quadratorum,fit 2 ,adde ei 3 o,nume rum rerum,fit 3ψ,aestimatio quantitatis. Q uod si quantitas cognita sit,auferemus ex ea numerum rerum,& residuum diuidemus per nu merum quadratorum rerum,quod exit,est aestimatio rei. Exemplum, quantitas rei aequatur 6 quadratis rei,& r o rebus, & quantitas ipsa est 3 aufero ro de 3 ,relinquitur 26,quem diuido per F,numerum quadratorum,exit sitimatio rei. Si uero quantitas rei cognita sit,diuidemus eam per numerum quadratorum , 5c prodeunti addemus quadratum dimi eius,quod exit diuiso numero rerum per nume rum quadratorum rerum,& radix totius,cum detractum fuerit idem dimidium, erit rei aestimatio. Exemplum. Quantitas rei aequatur 6 quadratis rei,& rebus,& quantitas rei est 32oo,divide raoo pero numerum quadratorum rei,exit 2oo, cui addo as, quadratum ς, dimid a prouentus 6o numeri rerum,divisi per 5 numerum quadra torum,fit 22 a cuius radice, quae est raufero ς dimidium ipsius prouentuS,8c relinquetur 3 o,rei aestimatio,inde diuiso letoo, qui est quantitas res,prodit reto aestimatio quantitatis.
s Quod si numerus rerum,sit aequalis quadrato rei Sc quantitatis bus rerum cetenim ad unum quadratum,uel ad unam quantitate rei. per comunem diuisione, semper,ut in uniuersis di stu est
capitulis,reducere licet ponemus A B rem,qdratum eius A c,numem reru B D,erit igitur E D numerus quantitatis
rei,& c D numerus Productus ex numero quantitatu inquantitatem,que sit c F,quia igitur c D, est residuum A adc a D,erit regula haec. REGULA. LCum fuerit numerus rerum, aequalis quantitatibus rerum,Sc quadrato rei,dc suerit res cognita, auseremus eam ex suo numero,& residuum diuidemus per quanti. μtatis rei numerum,quod exit, est quantitatis aestimatio. Exemplum, a o res squantur quadrato rei,& tribus quantitatibus rei,& res est auseremus 4 ex IO,relinquuntur is,divido per 3,numerum quantita tum res,exit 2,aestimatio quantitatis. Si uero quantitas cognita sit, ducemus eam in numerum quantitatis rei,& productitim auferemus ex numero rerum,residuum est rei aestimatio. Exemplum, x o res aequan
tur quadrato rei,& produino rei in quantitate ter, & quantitas est et,
57쪽
ducemus igitur a aestimationem quantitatis,in 3, numerum quantita tis rei,& producitur 6,quem aufero ex r o,numero rerum , relinquitur ψ,aestimatio rei.Si uero productum ex re,in quantitatem, cognis tum fuerit,ducemus illud in numerum suum, & productum aufer mus a quadrato dimidii numeri rerum,& radix residui addita uel dea tracta,ab ipse dimidio numeri rerum,ostendit aestimationern rei. Exoemplum, o res,aequantur quadrato rei,& 3 quantitatibus rerum, &quantitas rei est 3,ducam 8 in 3 ,numerum quantitatis rei,st 24,hunc ab iciemus ex as, quadrato s dimidii r o, relinquitur 3, cuius N, quae est a ,addita uel detracta ex ς,ostendit 6,uel ψ,aestimationes rei,unde diuiso 8 quantitate rei,per 6,uel per ψ,exit 3 ι uel a,aestimatio quin
Quod si quadratum rei,& quantitas rei, & quantitas, inuicem
comparentur,consurgunt tres alii modi, sit igitur primo quadratum rei,aequale quantitatibus rerum,& numero quantitatum, & ponaturA B res ipsa, ius quadratum A c,aequale sit quantitatibus rem quae sint A D,ita ut D E,sit quantitas & numero quantitatum DE, qui sit E Η,eriti superficies G F,ae lolis ex supposito , superficiei ---- cc x,quare ex rees elemento G. rum A B,ad D E, uelut M p, ad u lD c,est aut A B res, D E quantitas, H F numerus quantitatu,
ex numero quantitatis rei, in ipsum quantitatem,quare res
gula est. REGvLλ. Cum quadratum rei,aequale fuerit productis, ex quantitate Inrem&innumerum,fuerit res ipsa cognita,ducemus rem in numeorum quantitatum rerum,& producto addemus numerum quantitas tum,& cum aggregato diuidemus quadratum rei,prouentus est aestimatio quantitatis. Exemplum,quadratum rei,aequale sit sex quantitatibus rerum,& ao quantitatibus,& ipsa res sit 3 2,duco 2,lia 6 numerum quantitatis rei,fit a,cui addo ao numerum quantitatum, fit sta, cum hoc diuido i 4 quadratum rei, it I , quantitas ipsa, si uero quantitas cognita sit,ducemus eam in numerum suum, &seruabimus productum,deinde ducemus eandem in numerum quantitatis reru,
huius cp producti dimidium,in seductum,addemus priori producto& radici,ipsius aggregati, adiiciemus dimidium quod in seduxera.
58쪽
Hi ERONYMi CARDANImus,& totum est aestimatio rei. Exemplum, Quadratum res, aequale sit ret quantitatibus,& ς quantitatibus rei,& quantitas ipsa est et,duacam a quantitatem,in I a numerum suum, fit a , deinde ducam ean. dem quantitatem Σ,in s numerum quantitatis rei,& fit 3 o, huius dismidium quod est s,duco in se, si as,addo ad rq,iam seruatu, fit 49, huius radici quae est γ,addo idem dimidium quod est ς,fit ret,aestimatio rei. Vbi autem nota esset quantitas rei 5c est in figura superficies E x ducemus eam in suum numerum,& producti tertiam partem,adcubum reducemus,ducemus & quantitatem rei in numerum quantistatum,& dimidium producti in se multiplicabimus, & ab hoc auseromus Partem,quam ad cubum duxeramus, id est cubum ipsum,tertiae partis,primi producti, quem seruasti,& radicem huius residui, addes mus & minuemus,a dimidio secundi produciti,& radices cubicae ago gregati, & residui simul iunistae, sunt aestimatio rei. Exemplum. Quadratum res,tequale est i a quantitatibus, & a quantitatibus rei,& quantitas rei est et , ducam et, in a , fit q8, huius tertiam par Quad. rei. Quan: rei Quan:
3- m: Rr 36 otem, quae est is, ducam ad c bum,fit 96, ducam etiam 24 in ra,fit 288 , cuius medietate in se duco,& fit a medietas, & eius quadratum, eto 36,3b hoc aufero Mo6, relinquitur 36 o, euius radicem addo & minuo a
m: N I 6 o, horum radices cusbicae iunctae, sunt rei aestimatio. Quod si ex numero,per aequalia diuidendo,sumpta medietas,no producat quadratum aequale,aut maius cubo tertiae partis primi prodiis sti,operaberis per residuum regulae capituli, cubi aequalis rebus &numero,nam facta multiplicati5e per productum,ut in exemplo pera qui numerus est quantitas res,erit cubus aequalis rebus & num ro,rebus quidem productis ex quantitate rei in numerum suum, nusmero autem producto ex quantitate rei in numerum quantitatum, ut
in exemplo metiam est,quod quadratum rei aequale fuit a quantitatiobus rei,& ia & quantitatibus,& quod quantitas rei est Μ , dicemus igitur cubus aequatur U rebus,p: 288 numero, Sc 48 Producitur exa in a,& 288 ex 2- in ret,ergo ponamus quod quadratum rei,squale sit a quantitatibus rei & 3 quantitatibus,ta quantitas rei sit 8,duceo mus 8 in a,& 3,& producentur a 6 & a igitur cubus aequabitur Isrebus
59쪽
& est 3,cuius duplum est 3 6,& tres quantitates lunt,ira m: a, quae iuncte eum ro,duplo quantitatis rei,faciunt 14 P: Rr sa,qdratum rei. Nota quod in hac regula,semper res est media proportionalis, Not' i inter quantitatem & aggregatum ex numero quantitatum,& produs fio rei in numerum quantitatis rei,ut in exemplo,rit ιδ p. ι , quae est res,est proportionalis inter Rr ς zm: l,quae est quantitas, & Rr sa p:s, qui constat ex 3,numero quantitatum,& producto ex Rr I 3 pz r ,re ipse,in a,numerum quantitatis rei. Nota etiam,quod regula haec pendet ex capitulo cubi aequalis re Not bus&numero,uelut sequens,ex capitulo cubi & numeri aequalium secud. rebus,& ultima,ex capitulo cubi & rerum aequalium numero. Nota etiam,quod res est eade,quae qurritur in capitulo clibi sq. Not lis rebus & numero,sed quantitas,est numerus, qui prouenit diuiso teritu, qtIocunq; numero,per rem ipsam,nam eidem capitillo, cubi aequalis rebus &numero,competit una solares,sed infinitae quantitates , uestutdiistum est hic,quod res est re a 3 p: ν ,& diuisimus 8, quantitatem rei,si autem ponatur cubus aequalis 36 rebus & 24 numero, erit res semper Rr i 3 p: r ,sed posita quantitate rei erit numerus quantitatis Se quantitatis rei ε& quantitas Rr m: δ.
Quod si quantitas res,aequalis sit quadratis rei,& quantitatibus, toponcmus A B rem,& quantitatem B c,8c numerum quadratorum, seocundum quem B G,aequalis A B,continetur in B D, R eriint quadrata A D,iunesta, & E c residuum, aequale numero quantita tum,& sit numerus quantitatu F c,erit igitur F B, equastis A c, quare B c quantitatis, ad A B rem, ut D c residui rei, ductae in numerum quadratorum, a quantitate ad c F numerum quantitatum, erit etiam ex hoc E B resis duum,aequale A F residuo, quare A B media proporti natis inter A R&B c,divisam secundum numeru, secum dum quem B G.continetur in B D. ANota igitur,quod in hac tota regula,res media pro portionalis est,inter quantitatem diuisam, per numerum quadrato, Nox' rum,&residuum rei & numeri quantitatum.
60쪽
Regula igitur est,cu quantitas res,aequalis fuerit quadrasis rei &quantitatibus,dc res nota fuerit,ducemus eam in se, deinde in numeorum quadratorum,& productum diuidemus, per residuum rei a nu. mero quantitatum,& quod exit,est quantitas .Exemplum,Qum: rei aequatur tribus quadratis rei,& ra quantitatibus, & sit res ΣΟ, Π tia exempli,duco ao in se fit Mo,duco Mo in 3 numerum quadrato rum,fit raoo, diuido a zoo,per 8,dimerentiam rei & numeri quantistatum .exit o,quantitas ipsa. Si uero quantitas ipsa cognita sit, non res,duc eam in numerum quantitatum,& productum diuide per ni merum quadramrum,quod exit,a ce ex quadrato dimid' prouen
tus quantitatis diuisae per numerum quadratorum, & radix residui, addita uel detracta,a dimidio eiusdem prouentus,ostendit aestimationem rei. Exemplum,Quantitas rei,aequalis est 4 quadratis rei,&3 quantitatibus,& quantitas ipsa est so,duc so in 3 numerum quantitatum,fit 3 so,divide I so,per ψ numerum quadratorum, it 37 l,de inde divide so,per scilicet quantitatem per numerum quadrato rum,exit εχ huius dimidium,quod est 6 ,duc in se,fit 39 -ma quo abiice 3τ relinquuntur 3 cuius radix est i siquae addita uel deo tracta a 6 ,ostendit aestimationes rei, duci s. Si autem productum
seu quantitas rei cognita sit,ducemus quantitate rei in numeru quam litatum,& productum diuidemus per numerum quadratorum, exies est numerus,qui cu cubo squatur tot rebus, quotus est numerus qui prouenit diuisa quantitate rei per numerum quadratORa.Exemplum, Quantitas rei,quae sit a soo,aequalis est 4 quadratis rei,& o quantitatibus,ducemus igiturWin i soo,iat 9ooo,divide per ψ numerum qua
qui cum cubo aequatur 3 s re hus, est autem numerus, qui prouenit, diuiso Isoo nusmero quantitatis rei, Per ψ nu'merum quadratorum,per capitulum autem suum ,res tialet I o, uel N3 oo m: ς',& uter istorum numerorum,potest esse rei aestimatio, in casu isto,quando quant ret,quae est 3 ςoo, uatur A quadratis rei, R is quantitatibus,& aestimatio quantitatis habetur,diuiso 3 soo qui est aestimatio quantitatis rei per alteram aestimationem rei.
at Cum uero quantitates c D, in numero c F, aequales fuerint qua dratis A a rei,& quantitati rei D E,reducendo ad unam quantitate rei, erit Quan: rei 3soo