장음표시 사용
31쪽
96 p: duabus rebus,proportio aut excessus x posaureoru 6 qui contingunt societati minori, pos. P: 3. ad ekcessum hominum, scilicet ad 3 , est ux 83 summe aureom,ad productum eXnumero a poLp:96. hominum prime societatis, in numerum ho minu secundae societatis, proportio autem 1 pos p:
fit ,huius radix est γ,a qua minue i dimidium numeri post' ,habebis aestimationem pos',& numerum primae societatis G, ideo nume. rus hominum secunds societatis,est 3,p: stilicet, horum si fiat colle. Rio,addanturi insupers 3, fiet numerus aureorum Ios,primis igi. tur aurei 38,secundis Ia,per capita coligere. Aliter & iacilius experiis in operationibus positio fiat ut prius, erit summa aureorum aposvp:96. diuide per positione& positionem p: 3, habebis .
aequalem 6p:-,igitur detracto ex , relinquis
tur 6,at ex tali detractione fit i igitur hoc est oecile ridivisis igitur 6pos' pra88. per σ,exiuit 3 id p:3 pG '' , nam si diuiso io per a exit s,diviso ro per s exibit a, igitur diuisis 6 pos p: Σ88 per Mexit a positio p: 8,& haec aequalia sunt i quadrato p: 3 positionis
Qugst. Est numerus,cui si addantur duae radices, aggregato uero iterum uuasia addantur duae radices ipsius aggregati,fiet totum I o,tunc dices, io squalis est secundo numero & duabus eius radicibus, ponemus igit numerum aggregatu secundum,3 ad' , Rhic,cu duabus radicibus, squalis est 1 o,igit rei sitimatio per secudam regula,est Rr 13 m: r . igitur abrice duplum huius ex x o, relinquetur aggregatu 32 m. Re H, hoc autem ex supposito constat ex qdrato & duabus radicibus, igis tur 3 qd' p: apos aequatur ra ira: iuq , ducito 3, dimidium numeri rerum in se fit i ,adde ei numerum fit 33 in m H, accipe radicem,& ex ea minue i dimidium numeri rerum, habebis Rr V: 33 mrim qni: r ,hanc igitur duplicatam, si detraxeris ex aggregato, relinquetur numerus primus propositus, rq in ἡψ m: R: v. sa m. Rr τυ, & ita
32쪽
DE. ARiTHMETIc Apostes regrediendo quan tumlibet procedere,ab ulti,
no. semper inchoando teramino. Prolixior autem ero
L i p. ' π. 4m: in m. NU: a m in o duc radices eius in V:ς 2 m: in 7 m: a aggregatum I 2 naz tu duc radices huius in m: a aggregatum Ioxime conueniunt,tum quia tyrones in his introducuntur,uelut& paruos pueros solent magistri diligentius minuta quaeq; docere, tum uero quod eadem in reliquis post nodum fabricare possumns.
. Inuenias numerum, a quo detracta in cubica, residuo addita sua Qiissi. quadrata radi ce,perficiatur primus numerus. Pones itaq; residuum it quinta. ludi quo detraxisti radicem cubicam este 3 q. ratum, addemus itacpei radicem quadratam Sc fiet a qdratum p: 3 pos' , Sc hoc aequale estr cubo, nam ex eo quod addito ad r qdratum tantum fit quantum erat prius,igitur quod additur aequale eli ei quod minuitur, minui. tur autem N cubica totius quantitatis,igitur pos' est radix cubica agnegati,quare aggregatum est cubus,& hic squalis est i qd''p: a corcubus in s p : a admi i P: inpos. N 4 P: T deprime per s.co: habebis a qd' squale a pos . P: ι ,positio igitur est ru 3 p: -P, at numerus primus fuit cubus positionis, igitur primus numerus est iu ς p:2. Q VAESTIO, VI. Quidam ter ivit ad nundinas, in primo itinere retulit duplum eius quod attulerat,in secundo cum detulisset tale duplum secum, rex Ouest. diit cum eisdem pecuniis,& radice earum Sc duobus aureis plus,hoc si ra.
totum autem seruauit,red Jtq; cum eo ad nundinas tertio,& superius cratus est tantiim,quantum esset illud quod produceretur ex pecurius quas secu attulerat in se duistis,ac etia quatuor aureos plus, reuersus est autem cum ἶ i o aureis,qupro igitur,quantum attulit secum pecuniarum,in primo itinerer ces retulit aureos rio&hoc suit aequale
pecuniis secundi itineris 8c quadrato earum & p: igitiir pecuniae
quas attulit secum in 3' itinere, qdratum earum aequantur so6auσreis,abieliocomuniter numero ψ,ponemus igitur pecunias quas se
cum attulit 3 pos' ',6t habebimus a qd' p:i post aequale ipitur ex secunda regula,res ualet in d-m: F,quod est dicere 1τ Sc tot aureos detulit secum tertio itinere, tot habuerat in secundo itinere suos seruauerat,dietum est autem,quod in secundo itinere lucratus est radicem eorum quos attulerat & a p: & retulit i ,igitur si lucr tus fuisset radicem tantum,retulisset ις, igitur positis pecunηs quas
33쪽
Hi ERONYMI CARDANI secum attulit 3 qdratum,habebimus 3 qd' p: a post aequalia 3ς, io, tur ex secunda regula,res ualet Ri I s . hoc est quod lucr tus est in secundo itinere,& cum hoc etiam lucratus est aureos a. Ius crum igitur totum fuit eius itineris in i s . p: r autem retulit domum aureos i ,igitur ivit cum aureis m: tu mnis sunt quas in primo itinere seruauerat,& fuerant duplurius quod attulerat,primo igitur itinere attulit ad nundinas dimidium a ς-dm: tu i s - M aureorum, quod est QP m: Rr 3 aureorum.
Ovest Quidam rex proconsuli ducenti exercitum aureos misit 328ooo. septim ut τοoo equitum & Tooo Peditum coduceret,ea erat stipendii ratio, ut pro singulis ioo aureis,semper 38 pedites pluscν equites conduceret, uenit tribunus quidam militum ad proconsulem cum ιτoo pedistibus & roo equitibus,quΠntur stipendii ratio. Haec tertiae quaestioni affinis est,considera quod ra8ooo, sunt raso centena,quia didiu est quod pro singulis cetum aureis disserentia numeri peditum a numero equitum sit 38,divide igitur ra8o in duas partes,quarum una ducta per unam quantitate producat ooo,&similiter reliqua ducta st ean dem quantitate P: 8 , Producat etiam τοoo,igitur posita quantitate equitum pro re, erit quantitas peditu res & 38 p: diuisis igitur το per harum singulas,prouenient aggregata I 28o, nam si ex partibus
quad. P: IS POL 118o ductis in re,& rem p. 38, fiunt o oo&τooo , igitur diuisis το- per rem, & ooo per rem P: 8 , exeuntia iuncta fa cient a 28o,ex talium igitur diuisione agis gregantur sit aequale 328o, igitur diuiso numeratore
ducet,& pedites as, igitur pro ντ oo peditibus ilipendium debuit esse 58oo aurei,& pro zoo equitibus aurei 28s Φ .
O uest. Fac de ao,tres quantitates proportionales,quarum secunda mu octava lis sit radicibus primae 8c tertiae simul iunctis,pone secundam esse post tionem,reliquum erit ao m: a pos '',quia igitur ex hoc facere oportet Pinea 3 qd. p. seposition: aequalia o8 b
34쪽
DE ARiτΠMEvrea LIB. X. partes duas,inter quas positio cadat proportionalis,erit ex is es elementoru,ut ex una in aliam fiat qdratu pos , quare per ς' a elementorum, seu ex regulis sexti libri, ducemus dimidium a o m: r pos' in se,& fiet roo m: r o posv P: qd , a quo auferemus quadratum positionis,& fiet roo m: r o po ' m: ἐ- qd ' huius radicem adde,&minue a medietate ao p: 3 pos L& habebis partes quas uides, ut igio
produm radix 3 pos. duplum radicis a posiaggregatum ex quantitatibus 8c produeta rop: 3 pos cuius radix est aequalis positioni. uniuersales ham, fac ut in 3' libro te docui,iunge primo quantitates R& habebis 2o m: r pos ', deinde multiplica quantiis
R iunge ciim ag gregato quantita. tum earum duplum, & fit totum χο P: 1 pos ', huius radix aequatura pos ,igitur i qd' aequatur ao P: Poc ',quare per primam regustam ducemus P dimidium numeri rerum in se,& fit. , adde ad ao,fitro . , accipe radicem quae est ΦΨ, & ei addet dimidium numeri reis rum fit ς,rei aestimatio, quantitas scilicet media, quare faciemus ex residuo ad 2o,duas partes inter quas cadat s , & erunt alia positione
rum radices simul iunetae sunt s.
Fae de ro duas partes,quarum maior,detractis duabus suis r Qusst. dicibus aequalis sit minori,additis duabus suis radicibus,constat isti, nona. tur quod disserentia maioris & minoris est, duae radices maioris duae minoris,ponatur igitur disserentia haec radix in pos' , 5c ponao tur pars una ς pzm post alia Sm: Rr post sumatur aggregatum,radicum harum partium,& est ex libro quarto, ni uniuersalissisma r o p: in V: Ioo πi: POD'δε hoc aequatur duplicatum ut pos' , quare dimidium dimidio scilicet,Rr a post ,huic Rr ultimi, quare quaσdratu quadrato,scilicet 3 pos' aequabitur rop: Nu: roo m: ψ pos igitur 3 poLm: I o aequatur Rr U: oo ira: ψ pos , quare qdrata quaodratis,quae sunt, s qdratum p: roo m: ao pos , & Ioo m. ψ pos. igis tur a qdratum est aequale 36 pos'',igitur pos' aequalis 36, eu nos ito luimus disserentia partium essent ψ post',igitur disserentia partium
35쪽
O uest Fuerunt homines in tribus societatibus, & numeri illorum proodecima portionales,dueto p numero secundae societatis,in numerum tertiae,' consurgit aggregatum omnium,cum cubo numeri primae. Debes in hoc considerare,quod perabsurdum est, ut tales numeri sint irrati nates,aut fracti,nam non conuenit ponere hominis partem, uide igio tur in qua proportione quadratu dimidi producti ex secunda in terotiam superat aggregatum omnium in numero aliquo qdrato,& inuenies quod in dupla,capiendo, i, a, 4. productum ex dimidio 8,qui fit ex x in R est 4 in se,excedit aggregatum in ' numero qdrato,& hoc uenaberis ex alia positione simplici. Pones igitur totidem res pro his numcris, scilicet x pos', a posin, pos harum aggregatuest pos , adde his cubum 1 pos',8 fiet i cubus p: τ pos hoc squatur Sqdratis,producto secundae in tertiam, deprime partes per
re per tertiam regulam, duc ψ dimidiunumeri pos'' in se,fit I 6, abflce I nu amerum, relinquitur 9, huius n= addita uel detracta a dimidio ni meri rerum ostendit γ,& a aestimationes rei. sed quia r non est numerus societatis ideo dicemus quod res suit τ,& hic est numerus hornis num primae societatis,fecuda igitur habebit homines quatuordecim, tertia 28 , constat autem quod cubus, cum aggregato numerorum est 392,α tantum producitur ex rq secundo numero in a8 tertium. De modis inueniendi capitula noua. Cap. VI. Vin uero diligenter considerassem in his, uisum est mihi, ut etiam ultra transgredi liceret, itaq; exemplo deriuatiatiorum,quae iam inuenta fuerant,qd'qdrati& qd' aequa. Iium numero,tum etiam cub' idrati & cubi aequalium ni mero,ac reliquorum quamor,capitulum constituerem qd id qd', &qJqd S numeri,inuicem aequalium, indet aestimatio rei Rrim est. aestimationis principalium eis correspondentium,uelut si r qdratum
36쪽
DE ARiτΗMETrca LIB. N. νς&apotomae primae sic enim recisum vocamus originem intuerer, uisum est,ut in his duae essent diuersorum generum quantitates , nu/merus,& irrationalis pars,seu radix,porro cum ad qdratum deduci. tur,numerus quidem fit ex quadratis partium in se, res a p. Rr 3 radix ex ductu unius partis in alteram bis, cubus qd. p: πψs uero constituitur in parte irrationali, ex triplo quaσ m. 26 P:Rt6 ςdrati numeri,cum quadrato radicis in radicem. Igitur proportio partis irrationalis in cubo,ad partem irrationalem in qdrato,est uelut tripli quadrati partis,quae est mimerus,cum quadrato partis quae est radix,ad duplum numeri. at proportio tripli qdrati numeri,ad duplum numeri,est ipse numerus cum dimidio . proportio etiam qdrati radi
cis, ad duplum numeri,est quae prouenit diuiso tali qdrato per idem duplum,igitur ipsa proportio,est numerus ipse cum dimidio sui, dc
tali prouentis,quare assumptis totidem qdratis,erunt partes irrationales aequales,quare tot qdrata aequabuntur cubo 8c numero, uelut
in hoc casu, livido 3 quadratu radicis,per ψ,exit l, cui addo φ, u est squalis numero Sc Sinidio fit 3 i,dico igitur quod in hac sitimatioe; λ qdrati aequabuntur cubo 8c alicui numero,& est numerus ipse
Demum uolens diligentius rem perscrutari,posui roqdrata aeo qualia cubo,& alicui numero,& posui partem primam binomu sie enim usus gratia appellabo coniunctum esse,gratia exempli, 3, 8c co
εο pos. a cu. aeqlis 3 pos.stitui partem secundam a pos' , 5c haec est in dix. quadratum igitur,est ' p: i qdrato,&hoc totum est numcrus & 6 pos', 8c hoc est radix, at in cubo ut dictum est fit pars irrationalis ex triplo qdrati 3,&est Στ,& qdrato a pos' id est i qdratum,in partem quae est irrationalis, id est in i pos ', igitur Στ pos' p: i cubo, squatur i o qdratis, in parte irrationali, id est decuplo 6 pos' ,quod est pos , igit dicemus, quod cubus aequatur 3 3 post,igitur deprimendo per pos qdratuaequatur 3 3,igitur res est in 3 δ. R a GVL A. Ex his tandem haec formatur regula breuissima. Adde primo nil mero dimidium sui,& totum abiice ex numero qdratorum, residuuduces in duplum prioris numeri,& producti in est secunda pars cono iunciti.Exemplum, est cubus Cui cum numero squalis est 32 qdratis,& prima binomin pars est s,acide dimidium s ad s,fit 7 et, asilice exra,fit ψ -,duc qi in i o duplum s prioris numeri, fit qs, cuius in est secunda pars coniuncti,igitur ra qdrata Sc s priς ψ squalia sunt cit
37쪽
res p: Rr sqd. p. Rr 2ociib. I 6 P:R ao Hi ERONYMi CARDANIM & o. Eadem ratione inueni, quod numerus aequationis, scilicet o produciti ex disserentia primi numeri,& numeri quadratorum,inqdratum primi numeri, Nproducti tripli primi numeri, & numeri quadratorum in quadratum radicis,est disterentia. Post haec deuolui consilium ad explorandum qualitatem capitu lorum cub qdrati,rerum & numeri,uidit,quod si dixero,cubus Se 3 qdrata, aequalia sunt νψ resbus, & ao nuinem,S ponatur quantitas quaedaintellectia, aestimatio rei,cuius prima pars sit numerus ,secunda uero quantitas, alia pars irratios natis. Et sit gratia exempli, hic ν Π: Rr s, stat autem quod coniungendo partes irrationales clibiti clurati,quod illae fiunt ex duplo numeri qua/dratorum, in primam numeri partem, seu ex nus mero quadratorum,in duplum numeri, item lex triplo qdrati numeri , Sc qdrato irrationalis partis,hoc est autem aequale,in capitulo cubηdrati,& numeri, etiam numerum rerum conuenit,igitur ut in utroq; pars rationalis talis sit. ut si iungantur,duplum numeri qdratorum,S etiam triplum sui quadrati,cum quadrato alterius partis,constituat numerum rerum. Et si pars rationalis uel numerus esset minus,oporteret ut esset disterentia
dupli numeri qdrati,& tripli quadrati partis quς est in cum quadrato
partis quae est numerus,ipse numerus rerum. Exemplum, si a cubus pro qdratis p: numero,aequentur 3 o rebus,& pars una apolomae, lam: a,tunc ducemus Gnumerum qdratorum, in in duplum a & fiet a huic addemus Io numerum rerum,& fiet s ,& hoc debet aequari trisplo quadrati, quod est ra, & quadrato alterius partis, igitur abi cito ra ex sq relinquitur ψa,Sc N ψa est pars prima apolomae,quare
Est & modus alius,qui similitudinis dicitur,at hic quadruplex.
A natura aequationis,uelut cum capitulum cubi aequalis rebus Zc nu mero,extrahitur ex capitulo cubi 8c rerum aequalium numero. Ab augmentis aequationum, sic capitulo non uniuersalia inuenimus qJqdrati ,rerum, ac numeri. A conuersione aequationum in naturam es aequivalente, ut exponemus inta. A modo pro sdendi ad aequalides per cuborum uel quadratorum generationem,aut per proportionem ut dupli uel dimidη,aut per additionem uel diminutionem,tres enim sunt modi uariandi in uniuersiim. Est etiam transmutationis uia, qua ante demonstrationem uniuer
38쪽
numero,& embi cum qdratis,aequalis numero,uelut cu conamur hanc soluere quaestionem, duos inuenias numeros, quorum aggregatum aequale sit alterius qdrato,&ex uno in alterum ducto, producatur 8, una enim uia peruenies ad I cubum aequalem qdrato p 8,alia, ad acubum p:8 rebus,aequalem σψ,hac igitur inuenta aestimatione,si diuiseris 3 per eam, prodibit reliqua squalio,ex qua in capituli illius cogitationem perueni .Quaestiones igitur alio ingenio cognitas ad ignootas transfer positiones,nec capitulom inuentio finem est habitura, notamen extra haec,ex una quaeitione,generalia poteris assequi.
Cum autem intellexissem capitulum,quod Nicolaus Tartalea mi shi tradiderat,ab eo fuisse demonstratione inuentum Geometrica,cos gitaui eam uiam esse regia,ad omnia capitula uenanda. Itam ad eam tria supposita maxime utilia 'smittere institui,quorum dilucida deis claratione, reliqua,qus & ipsa demonstrabuntur,facile erit intellige, Te,est autem horum hoc primum. Si quantitas in duas partes diuidatur, cubus totius aequalis est, P bis ambarum partium,triploi Productorum, uniuscuiuscν earu, uicissim in alterius qdratu. Quamuis hoc & reliqua duo quae sequuntur in τ' nostro super Euclidem libro ostensa sint, ne tamen huic operi quiccb deesset,placuit hic denuo demonstrare. Sit igitur A c, diuisa in punctio B, & sit cubus totius A E, sint etiasn basi eius supficies distinctae, DA, Dc, DF,
D E . manifestum est autem ex ς χ' elemento, rum,c D esse quadratum ac,& D F quadrao
ex A B in B c,singula,cubus autem totus constat ex A c linea, in qdratum A E, quare ex A c,in superficies D A, D c, D E, D F,compo nentes A E, quare cum A c constet ex a B &a c constabit cubus A E,ex octo corporibus,quorum quatuor comstant ex A B linea in superficies DA, Dc, DE, DF, reliqua quatuor, ex B c linea,in easdem quatuor superficies. At ex A B in F D , fit cubus A B,8c ex B cin C D, cubus B c,constat igitur cubus A E, ex cubis A a& B c,& ex eo quod fit ex A E in D A, D c,D E, & eo quod fit ex c B in D DF&DE, at quod fit ex a B in c D, aequale est ei qd fit ex Bc in D Α,&quod fit ex scin D p,squale es,quod fit ex A Bin AD,eo quod altitudines & bases eaedem sunt,parallelepipeda etiam ex A B in A D, uel D E aequalia sunt inuicem,similiter ex a cis a Di,uel D E, inuicem
39쪽
priinutequalia,eo quod DAN DE sunt aequales superficies,ex ; 'primi clementorum,igitur cubus A c conflat ex cu bis ABN B c, 8c triplo A ain quadratu B c,8c triplo B cin quadratu A B, quod erat probandu. Ex hoc patet secundum, scilicet, quod cubus A B,cum triplo A nin quadratum B c,superat cubum B ccum tripla B c in quadratu A B,
in cubo disserentiae A B N B c,sit igitur A G aequalis E c, R erit disse
rentia AB&B c,linea G B, constat autem ex precedente cubum ΑΗ,
aequalem esse cubis AG&GES triplo A G in quadratum G B, 8c tri plo a B in quadratum A G, quare cubus A B cum triplo A B in quadratum B c,aequalis est albis A G R G B,8c triplo A B in quadratum G B, & triplo G B in quadratum A G, & triplo A B, in quadratum B c, uerucubus A G aequalis est cubo B c, 8c triplum B G in quadratum A G, ae quale est triplo B G in quadratum B c , 8c triplum A G in quadratum cI B , aequale est triplo B c in quadratum B G , eo quod B c aequalis est A G,cubus igitur A B, 8c triplum A B in quadratum B c. , aequalia sunt cubo B c,8c B G ,8c triplo B G in quadratum B c, 8c triplo B c in qua
dratum B G,8c triplo A B in quadratum B c , at ex B G in quadratu B c, fit quantum ex B c in rectangulum ex B G in B c ter, igitur ex B G in quadratum B c,aequale ei quod fit ex B c in recitangulu ex B c in B Grer,eadem rari , quod ex A B in B c quadratum ter, aequale ei quod ex B c in rectangulum ex A B in B c ter, cubus igitur a B , 8c triplum A B in quadratum B c aequalis est cubis B G 8c B c,8c triplo E c in reoctangulum B c in A B, 8c triplo B c in re frangulum ex B c in B G, 8c triplo B c in quadratum B G, at ex ς χ' elementorum, rectangulum exv c in BA, Sc B cin B G,cum quadrato B G aequantur quadrato A B, igitur cubus B G cum cubo B c,sc triplo B c in quadratum A B aequa lia sunt cubo Α Β , Sc triplo A B in quadratum B c , quare cubuS A B, cum triplo A E in quadratum B c, cedunt cubum B c,cum triplo B Cin quadratum A B,in cubo disterentiae B G.
Ex hoc patet,quod si B c ponatur na: quod cubus Α Β constabit ex cubo A c Sc triplo A cin quadratum B c, addito per ira: cubo B c, Sc triplo B c in quadratum A c , nam si B c fuisset p: disterentia cubi A c cum triplo A c in quadratum B c, i cubo B c 8c triplo B c in quadratum A c, isset cubus A B,ex demonstratis. Sed polita B c m: tan
tum est quod aggregatur, quanta est differentia posita B c pr igitur
cubus A B,est aggregatum cubi A c 8c tripli A c, in quadratu B c,8c tripli a c in quadratum A c ira: Sc cubi B c ira: Et eodem modo, si A B p neretur m cubus B c constaret ex cubo Ac , 8c triplo A c in quadratu A B,8c triplo A B,in quadratum A c per mzdccubo Α Β per m.
40쪽
triplo B c in quadratum A c, & cubo A c per ira: Sc triplo A c secud
in quadratum B c per m: nam ut dictum est, cubus A B , est disserenatia talium partium per se: ex primo corrotario, igitur detracto malos re ex minore,fiet tantundem m: sed cubus ABm: est aequalis cubo A a
P: in numero,ut em et p: est cubus 3 pcita a m: est cubus 3 m: igitur cubus A a m: est aequalis cubo B e & triplo B c in quadratum A G&cubo A c m:& triplo A c in quadratum B c m: Ex primo autem supposito,ostenditur etiam hoc tertium, quod sest, proportionem aggregati ex cubis A B & E c ad triplum produ,
istorum A B in quadratum B c, Sc B c in quadratum A B esse, ut trium linearum in proportione continua, A B 8c B c existentium aggregati primae 5c tertiae,detracta secunda,ad triplum secundae. constat em ex 3 α' ιν elementorum, quod proportio cubi A B ad corpus exi A c in quadratum A B,est ut quadrati A B ad A D superficiem, quare ex p'. 6 .
elementorum, ut A B ad B c, eadem ratione parallelepipedi ex B cinquadratum A Bad parallelepipedum ex A B in quadratim B c , prosportio,ut A B ad B c, atq; rursus parallelepipedi, κ A B in quadratum B c ad cubum B c,ut A B ad B c. Quatuor igitur corpora, scilicet cushus A B,parallelepipedum, ex B c in quadratum A B, parallelepipeduex A B in quadratum B c,& cubus B c sunt in continua proportione lis arum A B& B c. Statuamur ita haec corpora breuitatis causa inquatuor literis Η, Κ, L, Μ, ita ut A sit cubus A B,& x parallelepipedum ex B c in quadratum AB Scti parallelepipedu ex A B in quadratum B c,& n sit
cubus B c,igitur cum ratio M ad L sit ea quae L ad x,ut item x ad L,ut A ad K,erit ex 2 ' elementorum, K M ad L,ut H L ad K,quare ex ra' eiusdem, Η Κ L M , ad K L, ut M L,ad K, quare ex r 9 eiusdem, M M ad K L,ut Η L detracto x,ad x, quare ex aa' eiusdem, M M ad triplum x L,ut Η L dempto T ad triplum Κ, at cum H x L , sint in proportione A B ad B c,ut probatu est,erit ex ii ' eiusde ς' elementorum,cuborum A B N B c,simul iunctoru,ad triplum A B in quadrastum B c, & B c in quadratum A B,uelut primae Sc tertis trium linearuproportionalium,in proportione A B & B c,detrassita media ipsariim,
ad triplum ipsius mediae. Ex hoc paret,quod proportio tripli B c in quadratum A B,ad tris Corriplum A B in quadratum B c,est ut A Bad B c,ex I a' s cl. tertiti. At etiam, quod proportio cuborum AB&B c, in duplo B c Cor . in quadratum A B,& A B in quadratum B c, ad residuum totius cubi quartu