장음표시 사용
21쪽
Sehon r. Aliqua adhue additionis exempla adjles Iabet, in quibus Tirones se se exereere queant Addendi
SchoI. a. Examen rite peractae additionis inferiua ope subtractionis dabimus: methodum autem addendi numeros heterogeneos reducibiles, e. g. somnos grossos, emclseroa, trademus cap. sto. 31. Subtractio numerica Est unius numeri ab altero homogeneo ablatio, ni residuus numerua innotescat. Numerus, a quo ala r subtrahitur, voe tur totum, ves merus minuendus; is vero, qui subtrahitur, subtrahendus audit et denique numerus ille . qui iacta subtractione remanet, appellatur residuum, veri differentia. e. g. Si numerus S a numero u subtrahi debeat; 9 est Deum, seu minuendus, s autem est Jhινahendus; id denique . quod facta sibtractione remanet, nimirum4 est residuum , seu diserentia. 32. CORom. Igitur subtrahendus nequit eta major minuendo; quomodo enim seeus posset ab isto ausarrit Item: minuendus, & subtrahendus numeti homogenei, vel saltem ad homogeneltatem roducibiles sint, OpOr-- tet γ noque enim possunt e. g. tres urnae vini a quinquae. Orgyis lignorum subtrahi.33. PROBLEMA III. Numeros subtrahere. ΗEsoLUT. Imo. Subtrahenηus numerus feribatur intra minuendum ita, ut unitates respondeant unitati-hus, decades deradibus &e. quemadmodum in additio- dictum est; tum numeri hi sie eoli eati linen . abducantur, ne confundantur eum re uo.
22쪽
gdo. Inehoetur subtractio ab unitatibus; tum transeatur ad decades. centunarum. & sic porro e residua autem finguia scribantur sub linea infra illum numerum. cujus residua sunt et id est, residuum musatum' stribatur infra unitates , decadum infra decades &c Atio. Si numerus subtrahendus aequalis fuerit sup riori, aut si Zerua a etero subtrahi debeat; scribatur pro residuo Zerus. Utroque enim hoe casu residuum utile nihilo aequale est. Quod si autem miuuendas suo-tit numerus signifieans, subtrahendus Vero fuerit aerua; pro reliduo ponatur totus numerus minuendus. cum enim gelus secundum se nihil senificet; a quocunquo
numero subtrahatur Zerus, perspicuum est, numerum illum remansurum intum.
hendo remanent 3 ; quem proinde numerum per. ree. 2. colloco infra tineam sub unitatibus. 7 a I sistrahendo remanet per reg. 3.J zerus, infra decades collocandus. Zerum a zero subtrahendo remanet Perus. per ree. 3. pro residuo collocandus. aa 6 subtrahendo remanent 4. Si oram a subtraham , remanet integer numerus Α, per reg. 3. pro residuo habendus. Denique si ausubtraham. remanent a. Consequenter totum residuum V - 24ψGQ3 to. Si nota inferior maior a superiore minore. Vesa raro veniat subtrahenda ἔ ad minorem illum supe-
Tiorem numerum, vel Eerum trausseratur, seu concedatur unitas e nota sinisteriore. Hoc pacto minor ille numerus superior, vel gerus decade augebitur: quaelibet enim unitas loci proximo sinisterioris deeu-plo plus Valet, quam valeat quaelibet unitas hoci dexterioris 17 . Post hane concessionem poterit jam inlarior numerus subtrahi a nu muro superiore. vel Zerodam decade aucto. Interim nota illa sinisterior, ex qua uia,
23쪽
unltas translata est, signetur puncto. quod in me-riam revocet, eam notam unitate suisse mulctatam. . e. g. Sit minuendus 7. Ο Subtrah ndus a 6 q;
erit Residuum 48 6. Sic enim procedendum est: 4 a zero non pos 3 Dbtrahere; ergo ex nota finisterio e s transfero unitatem id est, reapse decadem) tum ex Io Db:rahendo r manent 6 r quem numerum infra rinitates scribo. Porro notam 5 Mi vi puum, quoa indicat, eam notam unitate mulctatam Use: hine 6 non iam a s . sed a 4 veniunt subtrahenda. Oiue subtractio cum impo=bilis sit, rursus ex nota sinisteriore 7 traiis sero unitatem. atque ita Mumerum 4 decade augeo .' quo famo 6 ex a 4 sub tr
hct , remanentque 8. Denique cum Mumerus , unitatemtilctatus fit; a non ex 7 . sed ex 6 subtrahi debent,
remanentque A. Hoc est, re fanum e t m 486. , to. Si in casu nunc expolitae regulae quartae sinisterior illa nota. ex qua unuas transferenda esset, Zerus fuerit; unitas illa e nota eterum praecedente debebiteoncedi: quo facto Zerus ille abibit in numerum 9. e. g. Sit Minuendus A. O. a
erit Resduum 326. Nempe quoniam 6 a a subtrahere nequeo , numsrUmque a praeeedit Zerus; ex numero 4 transsero unitatem, & dextimum numerum et augeo de de. dicoquer6 a ia si sub ranam, remanent 6; quem numerum ii ratiuitates serjbo. Prosequor: 117a0 nam gerus abit in .numerum 9 subtraham, remaneve a. Devique quoniam Numerus 4 unitate mulcratus es , 3 depono, acquiroque totum restaum - 326. Porro Zerum, qui transsilitur. debere abire in numerum se, sic declaro: Unitas illa. qua
numerus 4 in astumpto exemplo mulatatur, reapse transfertur ad Zerum, adeoque Zerus augetur deeade, sauabit in numerum IO. Porro ex hoc numero Io, Unitas ultra transfertur ad numerum dextimum a , quae unitas hunc numerum decade auget. Itaque in loco geri re
24쪽
monent ψ unitates . & nn merus dextimus 2 auctua de-cade abit in numerum tet. Hinc ea unitatis trum latio,
seu conres la inicit imprimis, ut jam 6 a ra , & 7 a s
subtrahi debeant; esseti dein do. ut numerus ψ unita e mulctatus in numerum X abeat. 6to. Si, dum concedenda est unitas, versus sinistram plures continenter Zeri sequantur; omnes transiliendi sunt, dum perveniatur ad numErum significantem : porro singuli Zeri, qui transiliuntur, abeunt in
Sit Minuendus A. Ο Ο Σ. 1 - Subtrahendus 7 6; erit Residuum 39z6. Dum enim a numero 4 unitas concpditur, reapse idem sit, ac si unitas illa traiis serretur immediate ad primum Eerum, qui dextram versus proxime sequi ur; qui
proinde Terua decade augetur , adeoque abit in num rum Io. Ab hoc numero Io tacite ad alterum Zerum dexteriorem transfertur unitas: quo pacto in loco pri ris geri remanent 9. α alter Zerias abit in numerum Io. Deniquo ex hoc numero Io, rursus unitas ultra promo- Vetur ad dextimum numerum 2; atque ita in alteri quoque aeri loco nonniit 9 remanent, & dextimus numerus a auctus decade in numerum Iet abit. Hinc in
allato edi emplo sic procedendum est : Quoniam 6 a et si Θtrahere nequeo. G pos numerum a Distram versus duo eteri se untur, hos tranquieudo, unitatem ex nume-- 4. qui idcirco puncto flavandus es. concedo. Quo facto acri abeunt in 9 , S ultimus numerias tu numerum I a. Itaque 6 a xa subtrahendo remaneut 6 ; a 9 subtraheudo remanent a ; demum numeri 9 NA, cum urillus iam supersi numerus subtrahenditis, ordine siιo infra lineam scribendi sunt, estque totale res um - 39a6.34. DEΜONAT RATIO. Subtinetio numerica est unius numeri ab altero homogeneo ablatio, ut residuus mun rus innotescat 3i r atqui per has regulas singulae pamtes numeri subtrahendi, scilicet unitates, decades &α usseriantur a singulis partibus numeri minuendi, & innotescit singularum partium residuum,uti patet eas regulas expendenti: ergo per ruis regulas subtractio rite perargitur. Sehot
25쪽
Schil I. En alia adhuc exempla subtractionis. Minuendus l
Minuendus l0o osciti Subtrahendus
Schol. a. Methodum&btrahendi numeroa heterogeneos reducibiles; e. g. compleNum florenorum, gron . rum. cruel rorum ab alio compleXO florenorum, gros- sirum, eruciserorum, Cap. Sto dabimus.
33. AXIOMA. Totum es aquais omnibus partibus suis sinius sumptis.
36. Corto Lr. . I. Quod si ergo totum quodpiam constet e. g. tribus partibus A. B, C a imprimia sublata so- a parte A remanere debet complexum partium B &Crdeinde sublatis duabus partibus Α & B remanere debet pars Cr denique sublatis omnibus partibus A. B, C, ex eo toto prorsus-nihil remaneat, oportet. 37. COROLL. II. Quoviam totum vocemus A. Si. postquam eo hoe toto Α sublata est para B, remaneat C; residua haec pars C addita parti subtractae B debet adaequare totum A. id est. debet esse B -C - Α. Secus enim non esset totum aequale omnibus partibus suis simul sumptis. g. PROBLEMA IU. Examinare, num rite peracta sit additio numerica.REsoLu T. Ex summa subtrahe unam addendorum seriem; ex residuo hujus stabtractionis subtrahe alteram seriem addendorum; rursus ex residuo hujus seeundae subtractionis subtrahe tertiam addendorum seriem, &sic porro: si demum ex summa nibit remanserit. id erit indietum evidena legitimas additionis. e. g. In exemplo Idae Regulae n. 29, si ex summa 6979 subtrahas primam addendorum seriem, quae est 64oa; residuum erit 577. Si ab hoc residuo subtrahas alteram seriem Ss ;rasit
26쪽
residuum est m 23, seu remanet ipsa tertia addendorum series : qua proinde subtracta nihil amplius remanet ex summa. ΕVidenti sane argumento rite pera me additionis. 3DΕΜONsTRATIO continetur in Coroll. T. n. 36. . Schoι J. Non desunt, qui putent, additionem examinari posse hoc modo: numerum 9 Vel' toties, quoties pollunt, abjiciunt tam ex addendis, quam ex summa; & si idem demum residuum maneat in summa, quod in addendis. concundunt legitimam pile additio' g. Si in exemplo adae regulae n. 29 . ex addendis abiiciatur numerus o toties, quoties abiici potest.
demum remanet numerus 4; idem remanet ex summa:
unde inserunt, legitimam esse additionem. At hoc examen esse sallax, ac erroneum, facile patet, si Vel sola loci permutatio sat in numeris summam constituentibus. Nam ii cui per errorem haec prodivisset summa : 9697; etiam tum facta numeri ci abiectionis
demum residuum utrobique esset 4. lol. a. Praeterea circa additionem haec duo notare Juverit. I Si nimis longa series occurrat addendarum unitatum, decadum &c. tutius institutitur operat lo , si addendi numeri cudiis lineis tr nsversis in aliquot partes divisi fuerint , & cujuslibet. id genus
partis additio separatim sat, tum summae particulares in unam totalem summam colligantur/: M ibi. dum e. g. unitatra in unam summam collectae fuerunt, dditio. earundem peracta est sursum eundo ner ipse rum seriem; repetatur additio eundo deorsum. e. g. Si in EXemplo reg. 3tias n. 20. unitates hoc modo Follegisti:
G V sunt 8, additis 5 funt 13; repete operationem descendendo hoc modo: 5 9 6sunt xx, adii tis etfunt
Σ3. Si enim summae duplici hac operatione a qui sitae eongru'nt, Valde probabile est, non esse commissum errorem in additione.
Ap. PROBLEMA U. Examinare, num rite peracta
sit jubtraditio numerica.REsoLUT. Residuum subtractionis inde numero Dotrahendo e si Iumina fuerit aequalis numero minuen do . id erit signum evidens rite peraetam subtraetionis.
27쪽
e. g. In exemplo regulae Alae n. 33. si residuum 4 86 addas subtrahendo 264; lamna erit m 75o. Quaecum aequalis sit minuendo, legitimam suisse subtractionem evincit. DΕΜoNsTRATro elare eontinetur in Coroll. a. n. 37. - . 4o. COROLL. Igitur examen additionis per subtractionem ; sustractionis vero per additionem obtinetur.
4r. n ultiplicatio numerica est unius numeri toties 'ad is ipsum facta additio, quot alter mame- us. per quem ille multiplicari dicitur, unitates in se continet. e. g. A multiplicare per et, est numerum 4bis sumere. Numerus, qui multiplicatur. multiplicandus; alter vero ille, per quem multiplicandus multiplicatur, multiplicator dicitur. Summa ex mu Itiplicatione re sult=ns solet factum, vel productum nuncupari. Multiplicator, & multiplieandus vocantur etiam factores. Denique numerus, qui multiplieatur per alterum, dieitur duci in alterum illum; ut adeo e. g. 3 ducere in 4 tantundem sit, a 3 multiplicare per Α.4α. cono ML. Igitur in facto toties continetur muru. siplicandus, quoties unitas in multiplicatore. e. g. Si qmultiplieetitur per 3; in facto Ia, mustiplicandus 4 debet ter contineri. Quippe factum nihil aliud est, ouam fotalis illa summa. quae enascitur ex mustiplicans toties ad se ipsum facta additione, quot uuitates multiplicator continet 41 .
idem factum prodit, sive primus ducatur in secundum , siue seeundus in primum. DEMONST. Resolvantur factoris. e. g. g. & 4. in suas unitates, & eo ordine collocentur, quem eXhibet figura haec:
28쪽
Iam dueere numerum 3 In 4 idem est, ae unitatum s riem A C ouater sumere. S 4 in 3 ducere idem est, aeunitatum seriem AB ter sumere 4i e atqui utroquain eam idem numerus unitatum acquiritur, is sellicet, qui spatio A B D c continetur, estque m Ia: ergo idem est factum, sive 3 in Α, sive 4 in 3 ducas. Idem eodem modo de quibuscunque aliis duobus factoribus demonis strari potest. 44. COROLL. Igitur perinde est, uterlibet factorsit muItiplicandus, aut multiplicator. Hinc, quoniam semper muIt Iicandus toties continetur in facto. quotienunitas in multiplicatore i a ; generatim factor quilibet toties eontinetur infacto. quoties unitas in factore altero. 4s. Quoniam in actuali multiplicatione, necessaria est promptitudo inveniendi facta partientaria numero rum simplicium, e. g. quot sint seeties noVem , aut Octies octo , eaque promptitudine Tironea carere solent; iis vel addiscenda est Regula Pigri, quae hoc loco oretenus doceri poterit, quamve nos in Algebra exponemus, vel in promptu habenda Tabula Pythagorica, quam isthic adJecimus. D
29쪽
mmenta .. . Ope huius tabellae factum quorumvis duorum num rorum smplienim hoc modo invenitur. Sit e. g. numerus 8 multiplicandus per T. Quaeratur in serie A Bnumerus 8, & in seria AC numerus 7, aut contra ἔtum a numero 8 proeedatur per seriem D E, S a numero 7 per seriem F G. usque dum perveniatur ad quadratulum, in quo coneurrunt duae illae series: numerus 56 illi quadratulo insertus est sactum quaesitum. Eodem modo invenitur, octies novem esse m pa, nOVies novem m SI &c.
6. PROBLEMA UL Numeros quosvis mustipli
REsoLo T. CAsus I. Si multipIicator nonnis unica nota numerica conseL Imo. Seribatur numerus multiplieandus. & infra ejus dextimam notam seribatur murutiplimior e tum subducantur linea. et . A dextris inchoando multiplieentur per mu tipIicatorem omnes notae mustiplicandi, id est, impriamis unitates, deinde decades, tum centenarii &c. δε- Era autem particularia seribantur infra Iineam, ita ut facta unitatum unitatibus respondeant, decadum deeadibus &c. suo. Si quodpiam particulare factum exerestat ulistra 9. adeosue si excroseat in ejusmodi numerum, qui duabus notia exprimendus foret; nonnisi dextima nota seribatur uti in additione n. 29. reg. alia dictum est altera vero finistima retineatur mente , ac deinde addatur novo facto, orto ex multiplicatione notae se
Multiplicator - - - 4- erit Factum - - 3 6 ao 88. Sellicet a dextris inchoando dicor quater a sunt 8 quod particulare factum scribo infra unitates. Quater Tiunt aης numerum 8 scribo infra deeades, alterum a sperreg. 3. mente retineo. Quater o sunt a , additis a, qua mente retinui, funi aD; 6 depono, a iterum mente retineo. Quater Zerus est denique eterus, additis a mente retentis sunt a, qua depono. Quater 9 sunt 36, cujus
30쪽
ribus uotis. Imo. Multiplicator subscribatur multipli- eando ea lege. qua subscribendus esset, si eidem multipli eando adda deberet as , ac proinde ita, ut unitates multiplicatoris unitatibus multiplicandi, decades deeadibus &c. respondeant; tum subducantur linea. ado. Per unitates multiplicatoris multiplicetur totus multiplicandus, ut in Casu I. Tum per deeades multiplicatoris rursus eodem modo multiplicetur totus multiplicandus; hoc solum notato, quod alterum hoc particulare saetum ita deboat scribi, ut ejus dextima nota non jam unitatibus, sed decadibus multiplicatoris respondeat. Pariter, si multiplicator tribus, aut pluribus notis constiterit, etiam per centenarios. millenarios &o. multiplicatoris multiplicetur successive totus multiplicandus: ita tamen. ut semper dextima lacti particularis nota sub ea multiplicatoris nota scribatur, per
quam fit multiplicatio ; uti in subjecto exemplo vid
3tio. Peracta multiplicatione addantur facta partialia in unam summam: atque summa haec orit ipsum t tale factum.
e. g. Sit Multiplicandus 4so a Multiplicator as 3;
& factum totale m II 39O 6. Scilicet per g multiplicando totum multiplicandum, ae-ὶ uiritur primum lactum partiale XasO6; quod ita
eribitur infra lineam. ut ejus dextima nota 6 respondeat unitatibus multiplieatoris. Deinde per g multiplicando totum multiplieantiam, acquiritur alterum factum partiale a as Io, ita seribendum, ut ejus dextima nota o respondeat d adibus multiplicatoris. D