장음표시 사용
51쪽
Schol. a. Si numeros mixtos heterogeneos red cibiles per datum numerum disidere cupis; singulas speetes majores reduc ad speciem minimam. totumque in unam summam collige. Deinde summam hanc per datum numerum divide. Denique quotum ex hae divisione enascentem rursus ad species major redue.
e. g. Sint 37 florent. 13 grossi, & I crueiser dividendi
in 4 partes. Reducantur omnes speties ad cruciferos: erit summa totalis truci serorum m 226o; quae summa
per 4 divisa dat quotum 65 cruciferis. Hi erueiseri ad majores species reducti aequivalent soronis 0, grossis R. & crucifero T. Ceterum hoc etiam modo potest institui divisio: Imprimis divide 37 florenos perq; pro quoto aeqnires o florenos. & 1 florenus erit reficuus r deinde residuum hunc florenum in sto gronsos resolutum adde is grossis, & summam grossorum 33 divide per ψ; pro quoto altero aequires 8 grotasos. & residuus erit 1 grossus. Denique residuum
hunc grossum in 3 cruriferos resolutum adda x crucifero, & summam cruciferorum 4 divide per 4; pro qχ to Oiseniet crucifer unus. Atque .ita obtine bis quotum totalem 9 floreuis, 8 grossis, I crucifero, mi prius. Schol. 3. His pertractatis agendum jam esset de fractionibus Vulgaribus: at quia earum theoria longe faciliore methodo demonstratur in Algebra , eorum consilium sequimur. qui fractionum pertractatio-i nem ad Algebram rejiciendam
FINIS ELEMENTORUM ARITHMETICAE
52쪽
SECTIO PRIMA. DE PRIMIS CALCULIS ALGEBRAICIS. CAPUT PRIMUM.
Definitiones, U Hypotheses in Algebram
universiam. ' , Algebra est seientia, quae ope literarum alphabeti
secundum certas regulas inquirit in quantitates. &veritates ignotas, easque ex datis quibusdam cognitis infallibiliter eruit, ac determinat. Quid autem veniat quantitatis nomine, Arith. n. 1. dictum est. a. Quantitates, quemadmodum in Arithmetiea liteis ris arabicis I, 2.3 &c. ita in Algebra minusculis alphabeti latini literis solent designari r & cognitae quidem quantitates primoribus alphabeti literis a, b, c, d; incognitae autem postremis x, y, et designantur. Saepe tamen memoriae adjuvandae causia adhibentur primaeliterae earum Vocum . quae ipsas quantitates significant. e. n. Tempus repraesentari istet litera t, celeritas liter si spatium litera S, &c. Sehos. In Arithmetica, quaelibet nota numerica cerinto loeo scripta fixam habet lignificationem: e. g. nota
3 semper tantum tria significat Arith. 36. . At in Algebra, literarum significatio non aeque fixa est , sea
eadem litera e . g. litera a pro signo cujuscunque quantitatis utcunque magnae, aut parvae assumi potest. e. g. Dentur duo numeri, 37, & a3 cum certo quaestionis statu. ex quibus tertius nun rus incognitus, qui satissa elat positae quaestioni, erui debeat: Algebraicus num oro 37 literam a, & numero M literam b, aut aliam in stitueta
53쪽
siluet, tertium vero illum incognitum numerum lit ra x designabit; atque cum literis his per notas sibi r sulas operationem instituet, quae ipsum in notitiam ineogniti illius numeri deducet. Dentur deinde alii duo numeri. e. g. 342, & 4 cum alio quaestionis statu, ex quibus numeris itidem tertius aliquis numerus inrognitus sit eruendus: Algebrateus rursus iisdem literis utetur; e. g. numerum 342 litera G, & numerummo litora b ipsi design it, litera Vero x tertium illum incognitum. Schol. Quantitatibus literas substituendo , atque ita auxia regulas algebrae operando dissicillimae quaestiones, quas ope numericae Arithmeticae vix, ac ne vix quidem enodaveris unquam , admirando compendio, Deilitateque solvuntur: prolandissimae veritates e tenebris eruuntur , & in plena luce collocantur. Hinc Algebra egregios omnino habet usus in omnibus iis disciplinis. in quibus certae quantitatum specieS. e. s. numeri. lineae, spatia, tempora, CeleritateS, Vires, pondera &e. pertractantHr; quaslibet enim quantitates literis designare. & ad calculum revocare potest e qua-qropter etiam Calculus universalis nnncupatur. Sed 'iro, priusquam praestantillimos Algebrae fructus deli-het, primos calculos algebraicos rite condiscendos habet.
3. Quaelibet quantitas vel est positiva, seu major nihilo, vel est negativa. seu nihilo minor; ut adeo nihilum sit quasi limes quidam quantitatum positivarum.& negativarum. e. g. I) Possideat quispiam Io flore- nos, nec ulli debeat quidquam: hi ro noIani relate ad eum possessorem sunt quantitas positiva, seu nihilo maior; cum possessor ille plus habeat. quam nihil. a Possideat quispiam io liorenos, sed alteri cuipiam tantundem debeat: dicetur is habere nihil, cum omnis illa pecunia, quam possidet, ab aequali debito veluti exstinguatur. 3) Possideat quispiam Io floronos, sed alteri euipiam debeat Iet florenos di iste habet quantitatem negativam, seu nihilo minorem duorum florenorum, id est, habet a fore nos negati vos. Tametsi enim omnes suos io florenos Creditori mo tradiderit, adhuc eidem
debebit a norenos; ae proinde minus habet nihilo, it
54쪽
nt ad hoe, ut pure nihil habere intelligatur, indigeat
adhuc et florenis, quibus debitum suum expungar. 4. COROLL. Id, quod desideratur d hoc, ut is, quInihilo minus habet . ad eum reponatur statum, in quo pure nihil habeat. est vera quantitas, & non merum nishilum. Sic in allato superius exemplo, et illi florem, qui memorato Possessori necessarii essent ad hoc, ut iacenseatur habere pure nihiI, utique vera quantitas sunt, sed quae quantitas comparate ad eum possessorem negativa sit, non positiva. Id ergo, quod negati an quantitatem appellamus, re vera est quantitas. & non merum nihilum ; ita ut nonnisi comparate ad certa rarum adjuncta dicatur negatιva. Aliqua de quantitate neg tiva adserentur etiam num . seqv. in Scholio. s. Positiva quantitas designatur signo -- praeΠNOδnegativa autem figno - praefixo. Quum aliqua literapolitivam quantitatem designans solitaria ponitur, non
praefigitur ipsi signum --. sed istud subintelligitur: pariter, quum plures literae interpositis lignis conjunguntur, primae literae, si ea politivam quantitatem delignet, , nullum solet praefigi signum, sed ei signum subin telligitur esse praefixum. At negativae quantitati uinnum - semper expresse praefigitur. e. g. Sit tam a. quam b quantitas positiva ; hoc modo seribendae erunt: a- b. Si a fuerit quantitas positiva, b negativa; ite easdem scribes : a - b. Scilicet utroque casu positivas quantitati a. quia primum in serie locum obtinet, nullum signum praefigitur, sed praefixum esse intelligitur signum --. Quod si autem utraque fuerit quantitas negativa; hoc modo seributitur: -- a - b. Porro
ejusmodi signa, ut jam in Arithmetica 4 indicatum
Schol. Natura quantitatis positivae, & negativae solet etiam exemplo motus progressivi declarari. e. g. Si motum tuum Versus orientem referas; passus, suos versus orientem sacis. postivi sunt. quia versus Orientem re ipsa progrederis: at s volens versus orientem progredi, Versus Decasum regrediaris; regressus in occasum comparate ad motum versus orientem laetum negativus eli. Immo quascunque duas quantitates di
55쪽
recte oppositas inter se conferamus, e. g. luerum &damnum, incrementum & decrementum,. motum sursum, & moraim de rium &c. semper una quantitas relate ad alteram sibi oppositam quantitas negativa est ; . R. damnum respectu lucri, de rementum respectu incrementi, motus deorsum respectu motus sursum, &vieissim. Unde etiam si signum - significet lucrum, incrementum, motum sursum &c. signum - designabit damnum, decrementum . motum deorsum &c. Si autem signum -- postrema haec denotet, signum - pruora illa designabit. 6. Signum rata designat aequalitatem earum quantitatum , inter quas inseritur. Sic si velimus exprimere, quantitatem a esse aequalem quantitati b, hoc modo scribimus: a h; sic autem enunciamus: a aquais h.
7. Dum quaepiam quantitas signo interjecto adjungitur a fieri. in Algebra, non secus ae in Arithmetiea Arith. 4. fgnificatur . eam quantitatem, cui id fgnum praefixum est . altori addi: si autem quantitas una signo - interjedio jungatur alteri. significatur, eam quantitatem . cui signum illud praefixum est , ab altera tolli, seu subtrahi. e. g. a --b significat, quantitatem b ad a addi; a - b autem significat, quantitatem b ab a subtrahi, seu quantitatem a quantitate b muructari.
8. COROLL. Quoniam addi, & subtrahi contraria
sunt, perspicuum est, quantitatem positivam adjuncta aequali negativa reddi aequalem nihilo. E. g. a - a, Vel 4 - 4 aequantur nihilo. Hinc si duae inaequales quantitates, quarum altera positiva sit, altera negativa, conjungantur; minore majore semper tantum destruit, quanta est ipsa minor. Sic 6 - 4 m 2; 3 - 8 S. 0. Signum multiplicationis est crux decussata A , aut punctum inter factores interjectum. e. q. a A 3,
vel 2. 3 designat a multiplicari per q. estque m 6. Est etiam signum multiplicationis , si factores absque ullo interjecto signo conjungantur. e. g. ab significat a multiplicatum per b; et a significat a multiplicatum pera. Usitatisiimum divisionis signum est, si indicetur per modum fratrimis, id est, si dividendas subducatur linea,
56쪽
& infra lineam scribatur divisor. e. g. Si quantitatis a
per quantitatem b divisio indicanda est, scribitur sic: π& enuntiatur sic: a divisum per h. Deinde divisionis senum sunt etiam duo puncta : ) interjecta inter dividendum, S divisorem. Sic a --θ divisum per
c - d) nonnunquam sic exprimitur, a -- b): c-d . 1o. Signum indicat quantitatem anteriorem esse majorem posteriore: at signum V significat. anteri rem quantitatem posteriore minorem esse. Hinc a bsgnificat. quantitatem a esse majorem quantitate θ; at a ς 3 indicat, numerum a numerci 3 esse minorem. D. Signum CC est signum quantitatis infinitae. Ηine OC significat, quantitatem a esse ins nitam. Signum autem o, seu Zerus est signum nihili; ita ut e. g. 3 - 3 mo tantumdem significet, ae, 3 minus 3 aequari nihilo. aa. Quantitas dividitur in complexam, &in om- pleXam. Quantitas complexa, seu polyuomia constat Epluribus quantitatibus signo - - Vel -junetis. e. g. a b -- ac -- d est quantitas complexa. Quantitas incomplexa. seu monomia est, quae non constat e pluribus quantitatibus signo -- vel - conjunctis. e. g. a est quantitas incomplexa, item ab c. vel tab&c. Porro in quantitate complexa quantitates illae, quae signo vel -- conjunguntur , eJusdem quantitatis complexae termini nuncupantur: ut adeo totidem terminis constet quantitas complexa, quot in ea reperiuntur quantit tes signo - - Vel - conjunctae. Sic quantitas complexa ab H ac ,-d tribus terminis constat: primus est ab , alter- ac, tertius - d. . Quantitas complexa duobus terminis constans vocatur binomia; tribus terminis constans trinomia. & sic porro.
Ig. In Algebra literis numeri quoque saepissime adjunguntur. Istud autem tripliciter fleri potest. Nempe
vel 1 inter literas & numeros interjicitur signum Vel -, ut in hac quantitate complexa. a b --c - 3 3 vel et numeri praesiguntur literis signo -- vel ,- non interjecto, ut 3 ab; vel denique q) numeri litoris a dextris sursum versus adduntur, ut in hac quantitate: a .
57쪽
x4. Numeri literis non interiecto signo H- vel , praefixi vocantur earum coupcientes, assiciuntque totum terminum, cui praefiguntur, ac indicant, quoties terminus ille cum suo ligno positus sit. Sic 3 ab significat terminum ab ter esse positum; hoc est, 3 abest ab - - ab - - ab. Unde patet, expressionem per coefficientes esse methodum compendiariam scribendi eosdem terminos aliquoties cum suo signo positos. Quod si autem cuipiam termino nullus praefigatur coeffciens; illic. unitas praefixa intelligitur: quod evenit tunc, quum terminus cum suo signo semel tantum positus est. sie loco tab solet omissa unitate scribi a b. I s. Numeri, qui literis a dextris sursum versus adseribuntur, vocantur earundem literarum exponentes.
Jam exponens indicat, eam literam, cui ipse a dextris adscriptus est, toties esse multiplicatione positam. quot ipse exponens unitates in se continet. Sie a 3 significat, quantitatem a ter esse multiplicatione positam. Probe autem advertendum est, quid sit, aliquam quantitatem aliquoties esse multiplicatione positam. Nimirum quantitas a bis multiplicatione polita, seu a est ma a; eadem quantitas ter multiplicatione posita, seuas est m a Aa Ma; quater multiplicatione posita, seu rq est j a a A a Aa, & sic porro. Consequenter tunc aliqua quantitas ponitur bis multiplipatione, quum semel per se ipsam multiplieatur; tunc ponitur ter multiplicatione. quum bis per se ipsam multiplicatur, & se
porro. Unde patet, expauentes non es e confunden- .dos cum coe sitientibus, longeque aliud esse e. g. a , Rest eta. Quippe aa signisi eat quantitatem a bis additione esse politam , seu est aa a -- a; at a' signifieat quantitatem a bis este multiplicatione positam, seu est a zm a A a. Hinc si ponatur a 3; est za 6. & a u. Porro exponens eam solum literam assicit, eui a dextris jungitur. Sic in quantitate ala d. exponens a solam literam c indicat bis esse multiplicatione positam. Contraria est eoesicientium natura . uti num. praec. e posuimus Denique sicubi desit eNponens, illic unitas, intelligitur esse exponens. e. g. Estam a . Senol. I. Interdum pro exponentibus adhibentur liis terae minustulae loeo numerorum. e. g. iam significat,
58쪽
suantitatem a tolles esse multielieatione positam, quot
in quantitate m unitates continentur. Nonnunquam. Pro exponentibus adhibentur literae numeris permistae s
Sches. a. Valor te nihi, quantitatem complexam eonstituentis. in Algebra prorsus non depeddet a loco, quem is terminus comparate ad reliquos terminos o eupati Hinc valor quantitatis complexae non mutatur, quo demum eunque ordine scribantur termini eandem componentes. e. g. Est a b c - um. c. . a b - s ah - - d -- ab &αx6. Quantitates monomiae , seu termini dividuntur in homogeneos, & heterogeneos. Duo termini tune dicuntur homogenei, quum iisdem accurate literis constant, & quidem ita, ut eadem litera eundem habeat in utroque termino exponentem; neque tamen ossiciet
homogeneitati, si termini illi diversa signa sibi praefixa,
aut diversos coefficientes habuerint. advorso duo termini sunt heterogenei, si non iisdem aeeurate literis constent, aut si aliqua litera alium in uno, alium in altero termino exponentem habeat; sive deinde termini illi iisdem gaudeant signis, & coemeientibus, sive di versis. Sie x ahe & abc sunt termini homogenei, quia iisdem aeeurate literis eonstant, & quaelibet litera eundem habet exponentem tromo termino, quem hahet in altero. α Eandem indaussam homogenei sunt termini a a b& - b, tametsi diversis signis, & eoineffitientibus gaudeant. At 3 termini ab e & ab het rogenei sunt; quia prior terminus habet aliquam lit ram. 2ilicet e , qua terminus alter caret, ae proind. non constat uterque terminus iisdem aceurate literis. vi Pariter heterogenei sunt termini abe, & a h e; quia tametsi uterque iisdem eonstet literis. attamen litera a non habet eundem exponentem in uno termino, quem habet in altero. s) potiori iure heterogenei sunt te mini abe & a es; qnia neque constant iisdem accu
rate literis, neque habent eosdem exponentes ibterae a & e in uno termino, quos habent in alter .
59쪽
De Additione, Subtractio te, ει Multiplicatione
Algebraica quantitatum integrarum. I . DR OB LEMA I. Quantitates algebraicas adis
ΗΕsoLUT. Imo Partes addendae retentis singularum signis seribantur infra eas, ad quas addendae sunt, tum linea transversa subducantur. ado. Dispiciatur, quinam partium addendarum te mini sint inter se homogenei, & num termini homoge net iisdem gaudeant signis, an contrariis. Quod si ter mini homogenei eodem signo gaudeant; coem cientea iis praefixi addantur in unam summam, haecque summa retento communi signo praefigatur communibus terminorum literis, quin earum literarum exponentes immutentur. e. g. Si in una parte addenda reperiatur terminus --3a b, in altera terminus - - aa h; quoniam hi termini sunt homogenei, eodemque signo -- affecti, eorum coemcientes & a in unam summam colligantur , eaque summa m s praefigatur literis utrique illi. termino communibus, literis a b , quin earundem exponentes immutentu duorum illorum homogeneorum summa, infra lineam transversam seisbenda, erituto. Si Vero termini homogenei contrariis signis assiciantur; minor coeffciens subtrahatur a majore, &residuum, quod ex hac subtractione manet, cum signo majoris coeffcientis praefigatur communibus terminorum literis. e. g. Si in una parte addenda reperiatur terminus -- 3a b, in altera autem terminus - 2 a b; quoniam hi termini sunt homogenei. contrariis signis affecti, eoessiciens minor a subtrahatur a majore 3, &residuum I cum majoris roessicientis signo -- praefigatur eommunibus literis a h, quin earundem exponentes immutentur: duorum illorum terminorum summa erit m Ia kb, seu quoniam X pro coinciente non solet
60쪽
solet expresse poni, sed subintellio cro, dicta summa
erit m a b. to. Si termini homogenei contrariis signis affecti. aequales habuerint eoemientes; si termini penitus
sto. Denique termini heterogenei conjungantur eum suis signis absque ulla mutatione.
Erit Summa saxo . ab λ -- acd -- V. Nam a sinistris inchoando, termini 3a b & dia bsunt homogenei, eodem signo subinteiledio affecti; eorum ergo summa per Reg. adam est M sa br quae seribatur infra lineam. Terminus aby cnm nullo alio termino est homogeneus I6 ; iste ergo cum suo signo per Reg. stam absque ulla mutatione seribatur infra lineam. Porro terminἱ acd, m 3ed , & - ed sunt homogenei, sed non eodem omnes signo affecti: quia vero summa duorum terminorum - d & - cd, eo dem signo affectorum est per Reg. adam πι -- 4ed; tres illi termini aequivalent his duobus: - 2ed - cd. Horum autem duorum summa per Rex. 3tiam est m- ata; quae Proinde summa scribatur infra lineam. Deinde -δε & - fg sunt termini homogenei eontrariis signis affecti, & aequalibus coemeientibus gaudentes : ii ergo per Reg. 4tam penitus omittamur. De- eique terminus d f eum nullo allo termino convenitae rate in suis literis. & eoessicientibus. adeoque pro heterogeneo est habendus: adjiciatur ergo per Reg. 5tam summae reliquae absque ulla mutatione. 28. DRΜONATR. Ratio adae regulae ex n. 14 patet δhaee enim regula non aliud existit, quam compendiariam methodum seribendi terminos, eum suo signo alia quoties positos. Ratio reg. 3tiae, & 4tae n. 8 eontianentur. Ratio denique reg. 5tae est; quia heterogeneae quantitates additione temere eonfundi non pomini. Reeole Araia. u. 28,