장음표시 사용
181쪽
continebunt transformationes ex plurium proportici
erit etiam, ae: V N: D. DEMONsTR. Nam in proportione, quae ex ejusmodi multiplicatione enascitur, semper sinum extremorum est aequale facto mediorum. Sic in assumpto exemplo
esse aedli Uin, sic ostendo. Cum ex hypothesi fit I a: h - e: d, E e: f g .h; erit T ad he, fica eh fg i 6s). Itaque aequalia per aequalia mnltipliacando . est quoque ad Ara - be fg 119 ; seu est aera Q. Schol. Dum dicto modo anteeedentes inter se, Meonsequentes inter se multiplicantur; rationes componi,& nova proportio compositis rationibus oriri dicitur. 1go. ΤΗΚΟREMA XXIV. Si cujuspiam proporti
vis antecedentes per alterius antecedentes ipsis correiso dentes, consequentes autem per consequentes dividantur; quoti erunt proporιionaisS. Hoc est: . Si sit a: b m erc
DEMONsT . Nam in proportione, quam quotl illi constituunt, est semper farium extremorum aequale facto mediorum: ergo 171 . Sic in assumpto exemplo ad Messe ,-- - sie ostendo. cum ex hypothesi sit i
182쪽
quae duos terminos sibi communes habeant: una harum proportionum subseribatur alteri: tum termiui utrique proportioni communes ducttis duabus linediis conjungantur, ut in Jbjems exemplis videro es. Jam r) s lineat illa fuerint aequidistantes, seu paralleIα, smuiquestum obliquum habuerint; reliqua quatuor termini erunt ex aero ordinato, seu direne proportionales, ita ut re uiuo termini proporιiouis unius snt in nova proportione meri antecedentes, alterius autem proportionis restat duo termini sia meri consequentes. e. g. Si sit a: brae: d
simulque stum erectum habuerint, sed tamen ita. ut vetfolas antecedentes, uri solos consequentes connectant; re dui termini rursus erum ex aequo ordinato proportiona
A Si dicta sinere fuerint quidem parallelae, fluaue
erecto, sed ves solas extremos terminos. ves solos mesos coamexuerint; reliqui termini erunt ex aequo perturbato, seu reciproce proportionales, ita ut res i rio termini proportionis unius t in noua proportione extremi, duo autem residui termini proportionis alterius esse debeans medii, aut vicissem. e. g. Si sit a: bπα. er d
fursum, sive Morsum; reliqui termini pariter eκ aequo perturbato proportionaIra erunt. e. g.
183쪽
utramque proportionem alternando, prima abit in hanc, a: c - h: d, altera autem in hanc, b:d-s: g i s . Itaque rationes ar e &s: g sunt uni tertiae hi aequales, ac proinde est a: c -: g, & alternaydo est a zfm et g. DEMONsTR. adiae partιs Si sit a: bra et c
184쪽
rationes aquales; erit summa omnium antecede rum
fore aequale facto mediorum, periclitanti patebit Uentas ergo theorematis generatim' patet.
185쪽
De AEqualitate Geometrica, seu Rationis.
333 i duae quaecunque variabiles quantitates s dieita sint inter se connexae, ut dum quantitas e duplo major fit, ac prius fuerit, eo ipso etiam s fiat duplci major. triplicata quantitate e triplicetur etiam s. & ita porro; rationem id genus quantitatum saepissime per aequationem exprimunt Mathematici, & Physici, e. g. scribundo s e. CuiusmodI formula non volunt illi designare arithmoticam aequalitatem inter s & e, qualia est e. g. inter bis duo & quatuor, sed geometr eam duntaxat, & ratfonis. Hoc est, non aliud volnnt designare. quam s constanter esse, ut est si seu s esse in ratione ipsius si ita ut duplieato e debeat etiam s duplieari, triplicato c, s quoque triplicetur &e. Eodem modo, si d Exationis aequalitate loquendo si s m ei; istud tandundem est . ac s semper esse in rationE facti illius, quod
prodit, si e ducatur in ι; seu duplicato hoe facto dupli
eari s , triplicato triplicari &e. Denique c - tdenotat e esse constanter, ut est quotus, qui prodit, sis dividatur per t. I 8 . COROLL. I. Si ergo sit universes m si & duo diversi status , seu magnitudines quantitatis s exprimantur literis S tis, status autem quantitatis e illis r spondentes, literis C&c; stabit haee proportio, S: C
m s: c. Secus enim non esset verum, s constanter esse
ut est e. Hine alternando stabit etiam haec proportio, lS: s m C: c. 18s. COROLL. II. Vicissim si suerit S: C ste, seu alternando, S: s C: c; poni potest s - e, semper intelligendo rationis aectualitatem. Quippe nequit dicta proportio stare, nisi sit s in ratione e. Pariter si sit S: s CT: e t; Est s - c i, &c. Schoι. Si quaecunque quantitas s sit in ratione cu-luseunque alterius σὴ dieitur 3 esse proportionaris ipsi c,
186쪽
duae quviam variabiles quantitates c & t. ut una er Reute, altera decrescat, es quidem eadem prorsus ratione decrescat, qua prior crescit. ita ut dum ist duplo mayoriae prius fuerιt, eo ipso e sat duplo minor; loquendo darationis aequalitate es c - A
x DEMONgTn. Valor fractionis 'heius numeraritor semper maneat idem ea ratione crescit. qua decre- scit ejus denominator l, & ea rati ne cecrescit. qDa crescit idem denominator i 3a : quodsi ergo etiam e semper ea ipsa ratione crescat, qua decrescit t. & ea ratione decrescat, qua idem e crescit; c prorsus eadem ratione crescit, aut decrescit, qua ratione crescit, aut decrescit x
actio Igitur de rationis aequalitate n. Iri explicata loquendo, est in assumpta hypothesi e
IV. Si quaecunque quantitas c ea ratione crescat,
qua deerescit altera, ita ut sit e m ' duoque diversistatus quantitatis e exprimantur Iiteris C & si status vero quantitaxis e, illis respondentes de lignentur lireris T& t; quatuor hi termini possunt in hanc Ordinari proportionem, C: c t: T. Ita nimirum. ut duo hetero- .genei termini. sed sibi correspondentes C & T pro eritremis assumantur, alii vero duo heterogenei, pariter sibi correspondentes edet pro mediis. Cum enim sit e I 1 I- est in e --: - I84 . Une adam rationem pae
187쪽
fit e m - & quatuor termini C, si T, G in proportio-
nem ordinari debeant; perinde est, sive unum, sive alterum par heterogeneorum. simulque sibi respondentium terminorum accipiatur pro extremis, aut mediis proportionis terminis. Nempe si e . . C assumatur pro uno extremo, alter eNtremus debet esse Τ; si autem e fuerit unus extremus, alter extremus nonnisi i esse poterit.
189. Si quantitas quaepiam sit in ratione alterius; ea vel est in ratione simplici. vel composta. Scilicet si quantitas quaepiam sit tantum in ratione unius cujuspiam alterius quantitatis; ea dicitur esse in illius ratione plui. e. g. Si sit c M s; est e in ratione sinplici i sus s. At si quantitas quaepiam sit in ratione cu uspiam facti, ex multiplicatione duarum, aut plurium quantitatum in se ductarum enascentis; id genus quantitas dieitur esse in ratione composita. e. g. Si sit s et, dicitur s esse in ratione composita quantitatum e & t. 19o. Quodsi quantitas una sit ut quadratum alterius; dieitur esse in ratione duplicata ejusdem: si antem sit ut cubus alterius, dicitur esse in ratione tripIicata ejusdem,& sie porro. e. g. Si sit s m c , dicitur s esse in rati ne duplicata ipsius er si autem sit s es; est c in ratione triplicata ipsius e. Si quantitas quaepiam sit ut radix quadrata alterius; id genus quantitas dicitur esse in ratione subduplicata alterius: u sit ut radix cubim alte rins, est in rationesubtriplicata ejusdem . & se porro. e. g. Si sit s m V e, est s in ratione subduplicata ipsius er
s sit s V e, est s in ratione subtriplicata ejusdem c. SchoI. Itaque ea vendum est , ne Vocabula duplic tum, tripsicatum &c. cum duplo, triplo & c. & Isbaupliaeatum, subtriplicatum &c. cum subduplo, jubtriplo &c. confundantur. Nam tunc quaepiam quantitas s dicitur dupla alterius c, quando est duplo major quantitate e ;& tune s est subdupla quantitatis c, quando s est αα ἰparti ejusdem c. 10I. Quantitas, quae est in ratione alterius, sive duis plieata, sive simplici, vel est in ratione directa ejusdem. vel in ratione reciproca, seu inversa. Nimirum si quae
188쪽
plam quantitas s ea ratione ereseat, aut decrescat, quaerescit, aut decrescit altera si hoc est, si sits me cr83ὶ; dieitue s esse in ratione directa ipsius e.. Si autem quapiam quantitate e crescente, altera i eadem rationse d .
- crescat, & contra, hoc est, si sit e m- 186J; dieitur e tesse in ratione reciproca, seu inversa ipsius ι. 192. Ex his jam intelligi potest ratio sequentium apud Mathematicos.& Physicos usitatarum loquendi so mularum. Nempe Imo. Si fuerit e; dicitur s eta in ratione simplici directa ipsus c. Sie in summa pecuniae, numerus grosiorum semper est in ratione simplici' directa numeri 1 orenorum. Cum enim duplicato so- renarrem numero duplicetur etiam numerus grotarum. triplieato triplicetur, & sic porro; si numerus grosso rum dicatur si, & numerus florenorum dicatur I, loquendo de rationis aequalitate est semper g f. xudo. Si fit e m T i 86 ὶ; dicitur e esse in rationesmpliei reciproca, seu inversa ipsius i. Sie si aliqua lunea in partes aequales dividenda sit; quoniam eo mi nores esse debent singulae partes aequales, quo plures in 'r partes linea illa divisa fuerit, ita ut e. g. duplicato partium numero, magnitudo singularum partium duplo minor esse debeat; magnitudo partium est in rationa inversa numeri earundemstio. Si sit a m ei; est s in ratione composita directarnantitatum e & r. Sic spatium, quod a quopiam curore conficitur, est in ratione composita directa celeriatatis, qua cursor ille praeditus est, & temporis, quo spatium illud conficit.
to. Si fit s ata e ; est s in ratione directa duplicata
quantitatis c. Isto. Si sit v - ὸζ est v in ratione reciproca duplicata quantitatis d.
189쪽
recta subduplicata ipsius e. & inversa subduplicata ipsius
d. Si autem esset ι - - esset e in ratione composita
ex directa dupIicata quantitatis e , & inversa subdupliacata quantitatas d &e. . e Schol. Si dieatur aliqua quantitas esse in ratione alterius, quin exprimatur, num sit in ratione simplici, an duplicata, aut triplicata &c. semper intelligi solet ratio simplex: si autem non exprimatur, sitne in ratione directa, an inversa; ratio φrecta designatur. 193. Si in quapiam formula geometricam aequalitatem exprimente reperiatur id genus quantitas. quae variata ea quantitate, cujus valorem exprimit sormula, vel per se non varietur, vel saltem ponatur non Variari ἔquantitas illa solet vocari consa P e. g. Si sit s et, &Varia a quantitate s. vel per se maneat eadem magnitudo quantitatis e cuti saepe evenit) vel saltem ponatur non variari; erit in ea formula e quantitas constans.
194. ΤΗΕOREM A XXVIII. Si in formula quapiam
CT: et 184 . Jam s praeterea sit Τα t; adam rationem per haec aequalia dividendo, est Sr sm C: e saga et
190쪽
nem per haec aequalia dividendo c: ο m T eon-
sequenter est e m T1sq. ΤΗΕΟREMA XXIX. In formula aequalitatem
rationis exprimente, potes utrumque membrum per idem muItiplicari, aut dividi, quin rationis aequalitas mutetur. E. g. Si sit imprimis s-c, utrumque per a multi plic. est ae: deinde si sit s ci; utrumque per
DκMorusTR Nam imprimis si sit i c; . Est Se s -- C: e. Porro licet utramque rationem per idem multi-Plieare, E. R per et, quin turbetur proportio I73 r est ergo aS : as m ac : ete; ac proinde est as ae O83). Deinde si sit s m c t ε, est S: C T M s: e t. Porro liueet primam rationem per T, Mam Vero ,per i dri idere, quin turbetur proportio: quo facto est et C m--:c; eonsequenter est cra
I96. ConoLL. Simili ratiocinandi methodo patet. etiam tum manere geometricam aequalitatem, si quae .geometrice aequalia sunt, per ea multiplicentur, aut dividantur, quae nonnisi geometrice sunt aequalia. e. g. Si loquendo de geometrica aequalitate sit s m c, & ν-.s ct; est imprimis sv m et, est deinde - - - Nam tab