장음표시 사용
51쪽
Quare s ducta per tentrum C qualibet recta NM , agantur ab eius terminis ordinatae N F , MP. ipse abscindent ex diametro aequales par
Producta ordinata N F in G, sectuales erunt a & parallela: P M , F G, atque adeo juncta M G y aequalis erit sa), & parallela ipsi PF.
Si ergo per centrum C agatur B D parallela ad ordinatas P M , F G, hi secabit ipsa rectam tb per MG in E . Nam, quia est C E parallela lateri
hane pr. ut M C ad C N , ergo cum sint sc aequales MC, CN, etiam aequabuntur ME, E G.
Cum simili modo constet, eandem B D etiam hi care in R rectam Io, jungcntem terminos aequalium ordinatarum KI, SO, patet BD esse diametrum, cui ordinantur MG, IO, & aliae rectae omnes, quae jungunt terminos aequalium δὲ per ordinatarum, quaeque proinde sunt d) paralle-
Diameter haec BD dicitur Conjugata diametri transversae A . At si prima ad rectos angulos asiam secet, vocatur illa Axis conjugatus
' alterius axis transversi Ao.
Pactyos o XXVIII. TA 3. UII Si ex terminis rectar NM trajectar per centrum G t. C, agantur tangentes MT, NH, quae dἰametro occurrant in T & H, ipsie aequales erunt, & mutuo parallelae.
O Uia M T curvam tangit in M, quadratum C A aequale e ὶ urit rectangulo P C. T .
L J Pari modo constabit, quadratum etiam Ca
52쪽
aequari redhangulo FCH. Sunt vero aequalia quadrata CA , C ; ergo & tectangulum P C Τ aequabitur FCH. Verum est CP ipsi a) CF aequalis 3 ogo & aequabuntur C Τ, tu, νερC H . Latera itaque M C, C T trianguli M C T cor. i. pri
P a o p o s 1 Q o xx In Diameter conjugata BD in ellips est media T st. proportionalis inter transversuim A cti vIL& parametrum ejus A v. Fig. D .REctangulum ACQ , sive AC quadratum
est se) ad ordinatae CD quadratum, ut t. Α Q ad Α v , ergo & quadruplum quadrat; eor 3 - Pr A C erit ad quadruplum quadrati C D In e ''dem ratione A ad A V. Verum Aa quadra- 'tum est quadruplum quadrati AC, & quadratum BD quadruplum quadrati CD; ergo &Α quadratum erit ad quadratum B D , ut AO ad A V, ideoque A , BD, AV erunt s) continue proportionales , & BD media In. f pre
Quamvis longitudo diametri conjugatae sit determinata in ellipsi ab eius perimetro, non ita tamen accidit έn hypeihola, in qua est prorastis indefinita. Ut vero etiam ipsa determine rur, per hyperbolae centrum C ducenda est BD vIL quae sit media proportionalis inter diametrum Fig. s. transversam A Q S: parametrum ejus A v que ita disponi debet, ut sit parallela ordinatis D a di
53쪽
diametro transverse: A , & bifariam secta incentio C. COROLLARIUM I.
Igitur in ellipsi & in hyperbola quadratum diametri conjugatae BD aequabitur rectangulo . , , ex latere transverso A in rectum A V sa); pr. 1 .Lε. & quadratum semidiametri conjugatae C D erit pars quarta rectanguli ex latere transverso Aa in rectum A V.
In hyperbola igitur aequilatera diameter coni gata est lateri transverso aequalis . Nam si hyta, νε perbola AMI fuerit aequilatera, erit A )eor. D. pr. Ipsi AV aequalis , unde rectangulum ex Ain in AV aequabitur quadrato At ideoque BD et . a per quadratum sc) aequabitur quadrato A in, &sor. a. BD ipsi A . PROPOs Ixio XXX. T a. In ellipsi & hyperbola quodvis rectangulum VII. A P in est ad ordinatae P M quadratum, ut Fg quadratum semidiametri transversae C A ad illud semidiametri conjugatae CD.
d per D Ectangulum APQ est d) ad ordinatae cor N - PM quadratum, ut Aa ad A V. Sed ι per quia A Q. est ad B D, ut BD ad ΑV se) , tristia erit Ain ad ΑV, ut V) quadratum Aci ad
f) per quadratum BD , ergo etiam rectangulum AP cor Pr erit ad quadratum ordinatae P M , ut quadra- φ' 'γ' tum A in ad quadratum B D, sive ut quarta pars quadrati A Q. ad quartam partem quadra
54쪽
PROPos ITIO XX XI. Quadrata rectarum ME, IR quae Ordinantur γλαdiametro conjugatae BD, sunt in hyperbola, VII. ut summa quadratorum CE, CD ad sum- Fig. i. mam quadratorum C R, C D .
REctangulum Q PA est sa) ad quadrarum sis per
ordinatae P M aut b) CE, ut quadra- ῖς tum C A ad quadratum CD; igitur summa re. M. antecedentium, nempe rectanguli QPA & C A quadrati, erit sc) ad summam consequentium preseu quadratorum CE, CD, ut unum antece dens ad suum consequens , sive ut quadratum C A ad quadratum CD. Sed cum Ahis, riam secta sit in C, eique addita sit ΑΡ , ' .
ordinatae M E quadratum erit ad summam qua- Pr.Wi. dratorum CE, C D , ut quadratum C A ad , .g. IV quadratum CD . Simili modo ostendam , esse ordinatae IR quadratum ad summam quadratorum CR , CD, ut idem quadratum C A ad quadratum C D , ergo ordinatae M E quadra- f) perrum erit f) ad summam quadratorum, C Ε, Π 33. - s. C D, ut ordinatae ΙR quadratum ad summam quadratorum C R, CD, &s. ) permutando , cr) per quadrata ordinatarum ME, IR inter se erunt, N. εο l. I ut summa quadratorum CE, C D ad summam quadratorum C R, C D .. U . I
55쪽
Tia. Quadrata rectarum ME, IR, quae ordinantur VII. diametro conjugatae B D , sunt in ellipsi, Fig. r. 'ut rectangulum BED ad rectan
gulum BR D. QVoniam est A bisecta in centro C , &
non bifariam secta in P, erit quadratum . per V A aequale sa) quadrato C P una cum rectanis p i guio AP . Simili modo constat, esse CD quadratum aequale quadrato CE una cum rectangulo BED. Hoc autem posito , sic osten-
ώ perditur propositio . Quadratum C A est b) ad py 3φ' quadrarum CD , ut rectangulum A P in ad . 3 is, quadratum P M vel sc ) C E, & d) permu-Pr. 36. I a. tando , quadratum C A erit ad rectangulumi A P Q, ut quadratum C D ad quadratum C E; .) per igitur se) convertendo, quadratum C A erit ad Cor Pr 33, reliquum quadratum PC vel f) ME, ut qua cfγ pe, drarum CD ad reliquum rectangulum BED, ἔ) iterum permutando, quadratum C Αμα erit ad quadratum CD, ut quadratum M E ad 'θ' rectangulum BED. Pari modo constabit, quadratum C A esse ad quadratum C D, ut quadratum IR ad rectangulum BR D, ergo M E 3 p., quadrarum erit ad rectangulum BED so), ut Pt M.Ls, IR quadratum ad rectangulum BR D, & si permutando, quadrata ordinatarum ME, IR 'Τ'1nter se erunt , ut rectangulum BED ad rectangulum BR D.
Quia ut in diametro transversa Ain, ita &in esus conjugata BD quadrata ordinatarum sunt in ellipsi , ut rectangula , quae diametri conjugatae partibus continentur 3 patet, ea omnia quae circa parametrum in tranIversa diametro
56쪽
demonstravi , posse etiam conjugatae diametro applicari. Itaque si fiat, ut rectangulum BEDiu ordinat e M E quadratum, ita diameter coninngata BD ad quartam proportionalem BL 3laec erit sa) parameter diametri conjugatae B D. per
P R o P Ο a I T r o XXXIII. ' Diameter transuevi A n ellipsi est media Τλη. proportionalis inter con)ugatam BD & pM VII. rametrum hujus BL. r.
OUadratum C A est b) ad quadratum tb per
C D, ut quadratum M E ad rectangulum P PED, & sc) invertendo, quadratum CD ad e' permadratum C A erit, ut rectangulum BED ad 4 P 'cuadratum ME. Sed quadratum CD est ad madratum C A, ut quadratum BD ad quadra-
continua proportione, atque adeo A O. inedia iv Pς eit proportionalis inter BD & BL. '' .
. Ergo sicut BD est ) media proportionalis ty per, an cr A & AV, ita etiam Α in media st yy ' est inter BD & BL; unde suemadmodum est D IJ BD diameter h) conjugata ipsius Α , ita & Fripsa A erit diameter conjugata ipsius BD. θ' US veluti si) in ellipsi, ita & in hyperbola ἐγ per post rectas BD, A in inveniatur tertia propor-Π' γ' tioniis B L, indeque hac veluti recto latere, D', 'rraniarso autem BD describantur ) hype holae 3 Z, DX ; hae dicentur prioribus conju- ἔ p egatae . Quippe BD, quae est diameter conjuga-p 'ra rebectu hyperbolarum ΑM , QN, trans-D versa
57쪽
CAPUT VII. 'De ellipsis diametris secundariis.
SI parallelae G Κ, DC ita sint sectae in F& E, ut G Κ sit ad D C in ratione GH ad DE, rectae autem illas jungentes G D, conveniant mutuo ad punctum A; etiam jincta E H transbit per punctum A. Iungatur AH. Quia GK est a) ad D c, ut GH ad DE, etiam sb) permutando, eitGK ad GH, ut DC ad DE, & sc) divide do, Κ H ad HG, ut C E ad ED, & d) iis vertendo, G H ad H Κ, ut D E ad E C. Suievero G Κ , D C mutuo parallelae ; ergo A qproducta secabit se) rectam DC in Ε, ideι-que E H vicissim transibit per punctum A.
Si parallelae A E, B F ita sint sectae in C MD, ut A E sit ad B F in ratione AC ad BI, inde vero per C & D ductae sint parallelae C H, DK, quae ipsi AB occurrant in H & Κ; eram junctae EH, FK erunt invicem parallelae. Quia sunt parallelae AC, B D , angit CA f) aequabitur DBK. Sed propteI p rallelas C H, D Κ, ctiam angulus C H A aqua
ad BF. Vidimus autem angulum E AH aequari alteri F Η Κ , ergo etiam triangulum A E Herit
58쪽
Unde triangulum C E H erit simile DF Κ. Nam ob parallelas EH, FK, anguIus E HAse) aequabitur FKB, & ob parallelas CH, est per DK, angulus CHA aequabitur id) DKB; I er o & reliquus E H C erit aequalis reliquo eand. p FKD. Sunt vero aequales se) anguli E & F,. m
ergo triangulum C Ehi erit simile DF Κ . ' s, .
Omnis recta, ut HG, parallela tangenti EF, Τιαδc ellipsi utrinque terminata, bifariam in K VII. secatur ab alia recta E T trajecta per tactum E & centrum C. TAB.
SUper axem AB velut diametrum descripto 'o' 'circulo A P BI, ex punctis Η, Ε, G d mittantur axi norinales HO, EM, GN, ei Culo occurrentes in R, Ρ, a. . Iungatur deinde FP quae cr) circulum in P tanget, & du ra percta R conveniente cum radio CP in S , pr. 36. Cum axe autem in L, jungatur S K. . Quia
sunt parallelae hὶ RO, CN, estque siὶ RO οὶ praad ON, ut OH ad N G, utique cum Occurrat ipsi ON in L , etiam H G inph. 1.
transibit per punctum L, unde ob parallelas rer
ad L F. Quia pariter parallela: P M , QN p. sunt inter se, ut nὶ ME ad N G, atque ex E .: tyr& G ductae sunt parallelae E F; GL , etiam iis, νεξ parallelae crunt soὶ Ρ F, Q L, sive P F, S L, Pr
mus autem etiam C Κ esse ad K E , in eadem pra
59쪽
.a per S P, ut C K ad K E, ideoque S K erit sa) pa. Π i G rallela ipsi ΡE , ac proinde re rectis RH, ολ rQG, unde ΗΚ erit b ad ΚG, ut RS ad 2 νῆ, S Q. Sed quia est CP perpendicularis sei tam Π. 16-b3- genti P F, ac proinde etiam sal chordae R εχ ir quam sibi vidimus parallelam, utique aequabun- , pertur e) RS, S in ergo aequales erunt quoquo
In ellipsi itaque AHBT quaelibet recta E Ttraducta per cuntrum C, cst diameter Secund nam eui ordinabuntur lineae recta omnes temminatae utrinque a curva, ut parallelae tangen- u curvam in puncto E .
Iisdem positis quae in praecedcnti propositione, si per ellipseos centrum C agatur C V parabin γῆ tela ipsi KL, sive tangenti s F . crit S ad - ' ΚG, ut CP ad C V.
ORdinata axi V Y quae circulo occurrat in puncto Z, jungatur CZ. Cum sint pa
W- ιε ut KL ad GL, & hὶ dividendo in figura eo a. prima, & in altera componendo, erit Sinada ΚG ad GL , dc i) permutando, G, ut in ad G L. Rursus quia per parallelae QN, ZY sunt inter se, ut GNW- ο i-s ad UY, estque C V parallela ipsi GL , etiam. CZ parallela si) erit in , unde triangulum G per C V Z erit m) simile G L , 5e C Z ad CV, ut OL ad G L. Vidimus autem, etiam S Q. Coe.Iem.1. esse ad K G, ut QI ad G L 3 ergo S Q erit pqr n) ad K G, ut CZ ad CV, sive ut CP ad
60쪽
Iisdem manentibus , rectangulum EΚT, a di metri partibus comprehenium , erit ad ordiis natae Κ G quadratum , ut quadratum C E ad quadratum CV.
QVis est ET bifariam secta in C, & non
bifariam in X , erit quadratum C E aequa. Ie bὶ quadrato CΚ una cum rectangulo tώ eEΚT. Eandem ob causam , quadratum CP pr s-i Laequabitur quadrato CS una cum rectangulo P S I. Hoc autem posito, sic ostenditur propo
tum CE e) ad quadratum C Κ, ut quadra. cor. m. tum CP ad quadratum CS; igitur con- ''l . h. vertendo, quadratum C E erit ad reliquum re- pr. 11. M. ctangulum EΚT, ut quadratum CP ad reli- ifin P quum rectangulum PSI, & gὶ invertendo . R ' 'rectangulum EΚT ad quadratum CE, ut re o tiangulum P SI ad quadratum CP, & hJ IL, Τ' permutando, rcctangulum EΚT erit ad rectan- ris gulum PSI sive ad quadratum Sin r) , ut quadratum C E ad quadratum C P. Sed qua- eor. Idratum S O est ) ad quadratum K G , ut 17. l. 'V quadratum P ad quadratum C V ; ergo cxaequo ιὶ rectangulum EΚT erit ad quadra- ι Perxum ΚG , ut quadratum CE ad quadrarum Π i DCV. J . iii d