장음표시 사용
61쪽
. In ellipsi qualibet AVE quadrata rectarum G Κ, O F, quae ordinantur diametro secundariae EA, sunt inter se, ut rectangulum ΕΚΑ ad aliud E F A.
DUcta ex centro C recta C V parallela omdinatis G Κ, Ο F, rectangulum ΕΚΑ erit sa ) ad ordinatae GK quadratum, ut quadratum CE ad quadratum CV. Simili modo constat, in eadem quoque ratione esse rectanis gulum E F A ad ordinatae o F quadratum ; e go rectangulum ΕΚΑ erit b) ad ordinatae GK quadratum , ut rectangulum EF A ad odidinatae o F quadratum , & sc) invertendo, quadratum ordinatae GK ad rectangulum ΕΚΑ, ut quadratum ordinatae OF ad rectangulum E F A, & su permutando , quadratum ordinatae G Κ erit ad quadratum ordinatae O F, ut rectangulum E K A ad rectangulum E F A. et
Quia sicut in diametro primigenia , ita &in qualibet secundaria quadrata ordinatarum sunt ut rectangula quae dia;Detri partibus continentur 3 patet, ea omnia , quae circa param truin & tangentem Ostensa sunt in diametro pG migenia, etiam habere locum in qualibet secundaria. Si ergo fiat, ut rectangulum ΕΚΑ ad ordinatae G Κ quadratum, ita E A ad quam tam proportionalem E L e, haec erit se) parameter diamem secundariae EA. Et si ex termino G cujusvis ordinatae GK agatur tangens GD, quae diametro secundariae occurrat in puncto D;
62쪽
P Ropos ITIO XXXVIII. Iisdem positis, si V C producatur donec occumrat denuo curvae in X erit V X media proportionalis inter diametrum secundariam ΕΑ, & parametrum ejus E L.
Itaque recta V X erit diameter d) conjuga. ἀὶ perta ipsius EA . . pr. 29. COROLLARIUM II.
Quia quadratum E C est ad quadratum C V, ut rectangulum EΚΑ ad ordinatae GK qu dratum , etiam quadratum semidiametri tran versae erit ad illud semidiametri conjugatae, ut rectangulum ΕΚΑ ad ordinatae GK quadra
De asymptotorum Uperboia proprietatibus.
SI ex vertice N axis transversi QN agatur J δ' . tangens E F , quae sit aequalis conjugato . 'axi Bb, & divisa bifariam in puncto N; jun- δ'
63쪽
Quoniam recta EF hyperbolam tangit in a m vertice axis N, parallela ta utique erit ad or' ' Η' ordinatas ciciem mi, atque adeo etiam b) con- ώ per jugato mi B b.
38 Si hyperbola INL fuerit aequilatera , rectus crit asymptoticus angulus E U F. Cum enim ., per in hoc casu scin aequentur Na, Bb , etiam cor a Pr, aequales d) erunt N EF, & earum semi νω ses NC, NE, NF; unde si centro N & in-hyp. tervallo NE circulus describatur, transibit ipse . per etiam per C & F, rectiusque prodibit se in in
N. semicirculo angulus ECF. COROLLARIUM III.
Si rectae CE, CF productae fuerint versus C, asymptoti quoque evadent hyperbolae oppositae QD. Per verticem enim C ducta tan3en si per re TH, quae sf) parallela erit ipsi EF, trian- pr. a , gulum E CN erit fg simile C QD, & NEν, . erit ad Q H, ut N C ad C in ergo cum sint aequales N C, C Q. , etiam aequabuntur NE, Q H. Simili modo liquet, aequales esse N F , T, ergo etiam ΤH aeuualis erit ipsi EF vel B b, ideoque C H, C T asymptoti quoque εὶ pererunt th) hyperbolae QD.
64쪽
Si per quodlibet punctum o hyperbolae INLtraducia sit recta G S paralicia tangenti E F
vel coniugato axi B b , quae asymptotos secet in G & S, hyperbolam vero in Ο & R, reelae Go, RS curva 8c asymptoto interceptae, mutuo aequabuntur.
Iisdem positis quae in praecedenti propositione, quadratum EN aequabitur rectangulo GOS.
ordinata erit conjugaro axi B b, quadratum OA vel te Κ C erit ad summam quadratorum C B, C A, ut si quadratum N Cad quadratum CB, sue si in ut quadratum NC ad quadratum N E. Sed ob parallelas N E , Κ G, est sh ΚC ad K G, ut N C ad NE, Ee si) quadratum KC ad quadratum K G, ut quadratum N C ad quadratum N E , ergo etiam XC quadratum erit ) ad summam quadratorum CB, C A, ut idem KC quadratum adruadratum K G , unde sum ma quadratorum B, C A aequabitur ΚG quadrato, & propi
65쪽
rea si utrinque auferantur quadrata aequalia CA, ta per KO, reliquum quadratum CB vel EN a Pr, I l aequabitur reliquo rectangulo G O S.
Etiam rectangulum G RS aequale erit qua-ia a per drato NE. Ouippe cum sitnt aequales d)GO,Pr. 3s, R S, addita utrinque OR, aequabuntur quoque G R , OS, atque rectangulum G O Saequabitur alteri GRS, ideoque hoc etiam aequa- t. i per bitur se) quadrato N E.
Ducta qualibet alia MIL V parallela ipsi EF vel Bb , rectangulum M IV aequabitur si pei G O S, utrumque enim ) aequatur quadrato N E.
st i per Ergo MI erit fg ad Go, ut OS ait IV. ρο- ο i 6 Sed quia est KS minor ZV, & OK minor IZ, etiam OS minor erit IV ; igitur & MI minor erit GO, ideoque si hyperbola dc asymptoti producantur , semper accedent propius ad se ipsas.
Taa. Asymptoti & hyperbola productae in infinitum, m- accedent propius ad se ipsas, quam pro inter 3' vallo quolibet dato P , quin tamen unquam conveniant inter se.
66쪽
CN , aut ut b . NE ad Pi ergo etiam IV ς' Pr erit ad N F in majori ratione quam NE ad P. i, p. Sed quia rectangulum M IV aequatur scin qua- ς- drato N E aut rectangulo EN F, erit: d) i v s in P rad N F, ut NE ad MI; ergo & N E ciit ad per MI in majori ratione quam eadem NE ad P, P l, i. ac proinde MI minor se in est ipsa P , unde l. γ refasymptotus CE accedet propius ad hyperbolam pr. rol. . quam pro intervallo quolibet dato P. Non potest tamen cum hyperbola convenire, quippe inter utramque est temper aliqua recta MI, quae continet cum IV rectangulum M IV aequale
Hinc nulla est recta linea ita parva , ut ne-Tueat assignari altera minor ipsa, ideoque quae- Iibet data recta dividi potest in infinitum.
Si ex quolibet puncto D intra asymptoticum ΤAR. angulum ECF agatur quUibet recta DA pD VIII. rallela asymptoto uni CF, eadem versus A pr 'ducta, hyperbolae occurret in aliquo puncto P. Nam intervallum parallelarum D A, C F remanet semper idem , dum e contrario interva Ium hyperbolae N RL ab asymptoto CF minuita) semper debet. i p.,
67쪽
' .i τεὰ COROLLA IUM.rr. I6. l.ε. Hinc cuma & asymptoto interceptae HI, R T, semper mutuo sunt aequales . Nam cum
hine pr. dividendo , erit IR ad HI, ut eadem IR ω
lelae coniugato axi Bb, quae erunt 3 pr. o. I. munis paralIelae , unde angulus HGΟ Ut in P aequab1tur FMI. Verum ob parallelas I) H o , O mi FI, etiam angulus G H O aequalis 'in est ab hyp. teri MFI, ergo triangulum H GO erit n m
68쪽
R a oly o s i et i o IRRecta H P asymptotis intercepta , & layperbo. lam tangens in puncto O , bifariam divusa erit in eodem puncto coni ctus OaSInt si fieri potest, inaequales o A, o P, inque ex majori OP auseratur portio AP aequalis ipsi O H . Ducta deinde ex A tecta AD parallela asymptoto CV, quae curvae sa)occurret in puncto D , agatur per D recta F ly T dirallela tangenti H P . Quia sunt parallelae ib) tam rect e A P, DT, quam rectae AD, PT , patallelogiaminum ei it DAPT,
T , ergo aequabuntur quoque Hos p Ii quod est abnadum. Itaque ipsa H P bifariam secta erit in puncto O.
Uncta OR quae asymptotos secet in C &
S, erunt se aequales GO, Rs; atque adeo etiain G R , O S , unde G R etit ad G o , ut
69쪽
ta, per Atqui rectangulum AR T aequatur sa) steri AF Τ; ergo etiam rectangulum AF T aequabitur quadrato HO. ' . . LCAPUT IX. De Operbola diametris fecundariis.
PRO Possτio XLVI. T a.Im omnis recta, ut F R, parallela tangenti H P, Fig. r. 8c utrinque hyperbola terminata, bifariam in E secatur ab alia recta C E , ducta per cen-- trum C & contactum Ο.REcta FR producta asymptotos secet in A& T. Cum parallelae AT, H P sint f ctae a recta CE in E & Ο , erit bὶ AE adi ET, ut HO ad O P. Sunt vero scin aequales
e per ΗΟ, ΟΡ, ergo & aequabuntur A E, ET PI ΑΑ Porro sunt dὶ quoque aequales AF, RT; e cor. n. go & aequabuntur FE, ER, ideoque FR h1-- Uriam erit secta in puncto E.
., M, Producta ergo CE in D, erit se) DO di tot' deLε. meter Secundaria, cui ordinabuntur lineae re-ri , ctae omnes, parallelae tangenti H P , & utrimque hyperbol terminatae.
70쪽
PRO Pos 1 TI o. XLVII. Si recta N L utrinque hyperbola terminata, si- τ,h. 1 secetur in puncto E, & ducta ex E per cen- Fia. 3.trum C tecta ED, utrique hyperbolae occurrente in O & D , agatur H P quae curvam
tangat in puncto O 3 erit NL parallela ipsi H P. rs I recta Ni non est parallela tangenti H P, agatur per E huic parallela F R, asymptin .Q tos secans in A & Τ, quae erit bifariam sectas a) ah ipsa C E in Ε, unde cum sint b aequa- a M. Ics AF, R T, etiam aequabuntur A E, ET . in .. Pariter quia IN aequalis scin est ipsi & est. pr. a. NE d) ipsi E L, etiam aequabuntur 1E , E M. ea P Sed etiam angulus I EA aequatur se in alteri T E M ; ergo triangulum AIE aequabitur ρὶ hyp. ET M, dc angulus I AE vel C ΑΕ aut CAT aequalis erit Uteri E T M vel ATM, unde V fiἔn triangulo A C Τ angulus internus erit ex- r terno aequalis, quod est absurdum. Itaque non
Quia est N L parallela tangenti H p, etiam aliae rectae omnes hyperbola pariter terminata s& parallelae ipsi NL, erunt similitor Lὶ p i) merallelae eidem tangenti H P, ideoque bifariam Pr, Io I x chin secabuntur a recta CE vel DO, qui h p. proinde erit diameter earundem. Π
Quoniam dum aquaniux EN, EL, necessa- .c Pς rio sunt ιὶ in aliquales EA, ET, sive EF, R PI E R i, patet, duas rectas N L, F Rue nitinque hyperbola terminatas, & per ejusdem centrum non Transeuntes, se is bifariam non secare.