Elementa sectionum conicarum conscripta ad usum Faustinae Pignatelli ... auctore Nicolao De Martino ... tom. 1. 2.

61쪽

41 SECTIO NuM CONICARUM quadratum cujusvis ordinatae excedit θmperrectangulum , quod fit ex parametro in abscisin fam correspondentem. Excessus porro est rectangillum aliud. quod insistetis eidem abscissae , eth simile, similiterque positum et , quod diametri figuram constituit. Nam , ducta OS ipsi FG parallela, erit relate ad quadratum ipsius DK rectangi

tum OSR isti usinodi excessus : quod quidem ipsi OS, seu FK iii sistit, & est simile, similiterque positum ei, quod fit ex Fo in FG; quum

sint circa eandem diagonalem ejus rectanguli, quod sub ipsis GΚ , Κ R. continetur. IV. Caeterum etiam in hyperbola ratio, quam habet parameter ad diametrum, potes per rems,in cono ductus acili vegotio de iri. ΡΟ- sitis enim omnibus , ut supra . si ducatur ex vertice coni A recta AX , ἰpsi FG parallela, quae conveniat cum BC in X ue erit , ut para meter FO ad diametrum FG , ita rectangulum B XC ad A X quadratum . Nam rectangui uni BKC , vel ei aequale quadratum ex DK , est ad rectangulum FKGin ratione composita ex BK ad FK . & ex CK

ad GK. Sed BK est ad FK , ut B X ad A X;

. itemque CK est ad GK , ut CX ad AX . Itaque erit DK quadratum ad rectangulum FΚGia ratione composita ex BX ad AX, & ex Cxad AX,

Jam duae istae rationes componunt par Iterrationem , quam habet rectangulum B XC aa ΑΚ quadratum . Et igitur erit ex aequali . ut

rectangulum BXC ad A X quadratum, ita DK quadratum ad rectangulum FΚG. Sed DK

quain

62쪽

Ε L E M E N T R. quadratum est ad rectangulum FKG , ut Foad FG . Quare erit rursus ex aequali, ut Foaci FG, ita rectangulum BXC ad A X quadratum a

V. Atque hinc modo facile erit , secto ex cono triangulo per axem, eruere,ope ejus,hyper-oolam ex ipsa cono, in qua parameter ad diametram datam habeat rationem. Sit enim BACtriangtilum,per axem sectum,cuius ope hyper-hola ex cono est eruenda . Ducatur in plano

ejus recta AX,quae conveniat cum BC ita quiadem in X , ut rectangulum B XC ad A X quadratum sit in data illa ratione . Et quaelibet hyperbola, quae per itiangulum BAC subinde

Eruitur ex cono, ut diameter eius parallela fiat ipsi Ax , quaesitae conditionem adimple hit . Neque vero difficile erit, adhibito triai gulo BAC , talem ex cono hyperbolam erue re, quae diametrum habeat, rectae Ax parallelam . Ducatur ii quidem in plano fas trianguli recta quaevis FG . aequid istans ipsi Ax , SConveniens cum BC in Κ . Agatur postea per punctum istud κ in fano eireuli BCD tina DE , eidem BC perpendicularis . Et planum, transiens per rems FG, DE, hyperbolam,

quam quaerimus , in cono producet. Hinc etiam . si hyperbolam, ex cUno eruendam , talem esse oporteat, ut data sit in ea , tam ratio parametri ad diametrum , quam

ipsius diametri Digitari; solvetur problema,s ducta , ut prius , recta A X ea lege , ut re ctangulum BXC ad A X quadratnm sit in data ratione ἔ agatur deinde ita quidem FG , ut

63쪽

4 SECTIO NuM CONICA Ru Mnon modo sit parallela ipsi AX , sed etiam , ueportio ejus , trianguli lateribus comprehensas datam diametri longitudinem adaequet. VI. Sed, ad lemmaticum illad problema solis vendum, nimirum ad ducendam in plano trianguli BAC rectam illam A X; neque etiam magna animi solertia opus est. Producatur enim trianis, guli latus unum AC adeo quidem in M , ut C M ad AC datam illum rationem obtineat a Agatur postea per punctum M recta MN , ipsi BC parallela, quae conveniat in N cum circum ferentia circuli, triangulum ambientis . Et punctum istud N definiet positionem ipsius A X. Nam , propter circulum . rectanguluiri

BXC est aequale rectangulo AX N. Sed rectan gulum AX N est ad A X quadratum , ut NX ad A X, sive, ut C M ad AC. Quare ipsum quoque rectangulum B XC ad A X quadratum erit, ut C M ad AC: S propterea , quum C Mst ad AC in data ratione;erit pariter in eadem data ratione rectangulum BXC ad Ax quadratum.

Sive autem data rat Io sit minoris ad maruius , sive majoris ad minus , recta illa AX non semper duci poterit. Hic enim punctum Mnumquam reperitur inter alia duo A, & C; sed semper ad partem alteram ipsius C i proindoiaque, quaecumque sit ratio ipsius C M ad AC . semper fieri potest , ut recta MN, quae ducitur per punctum M ipsi BC aequidistanter,

circuli circumstrentiam non secet. Unde etiam , si ex cono triangulum per axem secetur,& eruenda sit,ope ejus,hyperbola ex ipso connin qua Parameter ad diametrum' da

64쪽

ELEMENTA. ὸς datam habeat rationem : problema poterit esse solutu impossibile , non modo , quum rati data est majoris ad minus; verum etiam, quum eadem illa ratio est vicissim minoris ad majus.

VII. Etiam in hyperbola magnitudo,quam Babet diametri figura, per rectas,in cono ductar, nullo negotio potest definiri. Manentibus namque omnibus , ut supra , ducantur ex utroque

diametri vertice rectae FR, GS, ipsi BC paralleloe, quae conveniant in punctis R,& S cum lateribus trianguli. Et rectangulum , sub his . recti a comprohensum , diametri figuram adaequabit . Nam rectangulum ΒΚC, vel ei aequale quadratum ex DK , est ad rectangulum FKGin ratione compossita ex BK ad FK . S ex CK

ad GK . Sed BK est ad FK , ut GS ad FG ; itemque C Κ est ad GK , ut FR ad FG. Itaque

erit DK quadratum ad rectangulum FKG in ratἰone composita ex GS ad FG, R ex FR ad FG.

Et quoniam duae istae rationes componunt quoque rationem , quam habet redi an

gulum sub ipsis FR , GS ad FG quadratum I

erit ex aequali , ut DK quadratum ad rectangulum FKG, ita rectangulum ex FR in GSad FG quadratum . Unde , sicuti DK quadratum cst ad rectangulum FΚG , ut FO ad FG, sic erit rursus ex aequali, ut FO ad FG , ita rectangulum ex FR in GS ad FG quadratum. Jam , assumpta communi altitudine FG, ut est FO ad FG, ita est rectangulum ex Fo in FG ad idem FG quadratum . Et igitur rectangulum ex FR in CS aequale erit rectangulo ex

65쪽

4ε SECTIONUM CONICA Ru MFo in FG . Sed figura diametri constituitur per rectangulum ex Fo in FG. Quare aliud ita lud rectangulum ex FR in CS praefatam diametri figuram adaequabit. VIII. VIII. Ex eo autem, quod rectanguIum sub ipsis FR , GS adaequet diametri figuram. constituitur per rectangulum ex Fo in FG , plura nobis derivantur theoremata, quo- ignorata diametri singitudia ἡ ... ne, definiri poterit parameter ejus in cono. FIG. Io. Nimirum primo Fo erit ad FR , ut est

BX ad AX . Nam, quum rectangulum ex FRin GS sit aequale rectangulo ex FΟ in FG ierit, ut m ad FR , ita GS ad FG . Sed G S. est ad FG , ut B X ad Ax . Itaque erit ex aeis quali. ut FO ad FR , ita BX ad AX. Secundo FO erit ad GS , ut est CX ad

A X. Nam , ob eandem eorum rectangulorum

aequalitatem , erit, ut FO ad GS , ita FR ad FG . Sed FR est ad FG in eadem ratione , quam habet CX ad A X . Quare erit ex aequali , ut FO ad GS , ita CX ad AX . Tettio FO erit ad AF , ut est rectangulum CBX ad rectangulum BAX . Nam FO ad AF rationem habet compostam ex Fo ad FR , S ex FR ad AF ; sive etiam ex BX ad AX , S ex BC ad AB . Sed duae istae rationes

componunt quoque rationem , quam habet

tectangulum CB X ad rectangulum BAX. Daque erit ex aequali, ut FO ad AF . ita rectangulum CB X ad rectangulum B AX . Denique Fo erit ad AG , ut est rectangulum BCX ad rectanguliιm CAX. Nam Foad AG rationem habet compositam ex Fo ad

66쪽

Gs , & ex GS ad AG ; sive etiam ex CX ad AX , & ex BC ad AC . Sed duae istae rationes

compotiunt quoque rationem , quam habet rectangulum BCX ad rectangulum CAX . Quare erit ex aequali, ut FO ad AG, ita reis di angulum BCX ad rectangulum CAX. IX. IX. Unoquoque horum theorematum δε- terminabitur parameter in cono , etiam diameistri longistidine non cognita. Sed determinain aia . citionem omnium simplicissimam suppetit nobis ipsa illa proprietaS , unde recensita fluunt uepondeus. theoremata . Fiat enim anguIus F RV aequalis FιG. ι Q. angulo A FG . Et portio FU , abscissa ex diametro FG per rectam RV , erit quaesita para- metti longitudo . Nam , ob aequalitatem eorum angulorum, erit, ut FR ad FU . ita FG ad GS. Unde rectangulum ex FR in CS aequale erit rectangulo ex FV in FG . Sed rectangulum ex FR in GS adaequat diametri figuram. Quocirca eidem figurae erit etiam aequale rectanguolum ex FU in FG : adeoque , quemadmo dum unum ejus latus FG est ipsa diameter , ita latus alterum FV diametri parametrum adaequabit. X. X. Idem problema de determinanda parametro in cono , num habita ratione longitu- αεεν aeteν-dinis diametra, potest etiam resolvi in hunc

Ex vertice coni A ducatur, tum recta ΛΚ perpendicularis ipsi BC , cum recta AH, FIG. IO. perpendicularis diametro FG . Abscindatur deinde ex priore AK portio AI,aequalis alteri

AH . Et recta MN , ducta per plinctum I ae

quiis

67쪽

EcTI NuM CONICA Ru Mquidistanter ipsi BC , longitudinem parametri exhibebit. Demissa etenim super A X perpendicula. ti BL , erit ΑΚ ad BL in ratione composita

ex AK ad AI. R ex AI , seu AH ad BL . Sed ΑΚ est ad AI , ut BC ad MN , itemque AH est ad BL, ut AF ad AB , sive, ut FR ad BC.

Itaque erit AK ad BL in ratione composita ex FR ad BC, & ex BC ad MNi proindeque, quum duat istae rationes componant pariter rationem , quam habet FR ad MN ; erit exaequali, ut AK ad BL, ita FR ad MN. Et quoniam ΑΚ est ad BL , ut A X ad BX , sive etiam , ut FG ad GS ; erit rursus exaequali, ut FR ad MN, ita FG ad GS . Unde rectangulum ex FR in GS aequale erit rectangulo ex MN in FG. Sed rectangulum ex FRin sis adaequat diametri figuram . Quare eidem figurae erit etiam aequale rectangulum ex MN in FG: & propterea, sicuti unum ejus latus FG est ipsa diameter, ita latus alterum MN diametri parametrum adaequabit.

C A P. VI.st sit parabolae relate ad diametrum natura, aperitur. I. D Eliquum iam est , ut paraboIae ro

late ad diametrum naturam spe riamus . Primo igitur in ea, si Binae ad diametram ordinatae ducontur , erunt eorum quadra ta

68쪽

ELEMENTA. 49ta inter se , quemadmodνm Iunt abscissa , quae iis ordinatis correspondent. Fiat enim in cono ABC sectio parabolica Fici. s. DFE , & ad diametrum eius FG , quae uni laterum trianguli, per axem secti, debet esse parallela , ducantur duae ordinatae DΚ , HL. Oste cidendum est , DK quadratum esse ad HL quadratum , quemadmodum cst abscissa FK ad abscissani FL. In eodem cono sani et Iam circuli duo BCD, MN H per plana, basi aequid istantia . Et qrioniam eorum diametris BC , MN insistunt ad rectos angulos recta: DΚ , HL ; erunt istarum quadrata aequalia rectangulis BKC, MLN. Itaque erit, ut DK quadratum ad HL quadratum , ita rectangulum ΒΚC ad rectanguintum ML N. Jam , propter parallelas AC , FG , latera torum rectangulorum CK , NL aequalia sunt inter se . Quare ratio ipsorum aequalis erit ei,

quam habet latus ΒΚ ad latus ML . Sed ΒΚ est ad ML , ut FK ad FL . Et igitur erit ex te quali, ut DK quadratum ad HL quadratum, ita FK ad FL.

II. Hinc ,si ex vertice F ducatur recta FO, ordinatis parallela , quae sit taliS longitudiniS, se unda. ex. Ut quadratum unius ordinatae DK sit aequale rectano ulo correspondenti OFΚς erit quadratum cuiusvis alterius ordinatae HL aequale pariter rectangulo OFL , quod ei correspondet.

Ostensum est enim , Dic quadratum est o Fio. ad HL quadratum , ut est FK ad FL . Sed in

hac eadem ratione est etiam rectangulum OFΚ

69쪽

το SECTIO NuM C NICA Ru Mut DK quadratum ad HL quadratum , ita re. Et angulum OFK ad rudia ligulum OFL: &propterea , sicuti ponitur DK quadratum aequale rectangulo ΟFΚ , itu HL quadratum rectangulo OFL pariter aequale erit. Redia ista Fo, quum nobis usui erit, diametri parameter appellabitur, quae quidem

in ea semper positione relate ad diametrum inistelligi debet, ut sit ejus ordinatis parallela. Ipsius autem habita ratione , perspicuum est, id quidem parabolae contingere, ut quadratum cujusvis ordinata sit aquale rectangulo , ρ dsit ex parametro in abscissam' correspondentι m. Neh sane alia de causa , quam ob aqualitatemisiam , sortita est haec conica sedlio parabolae

nomen .

, ad determinandam in ipso

Ana, μνα- cono parametri longitudinem , uiui nobis esto possunt theoremata duo , quae sequuntur. Param ενι Primum est, quod, si ex vertice diametri

x I F ducatur recta FR, ipsi BC parallela , FO se

' ' ad FR , ut est FR ad AR , sive etiam , ut est BC ad AC . Nam idem DK quadratum aequale est, tum rectangulo BΚC, propter circulum, cum rectangulo OF Κ , propter parabolam. Quare duo ista rectangula BKC , OFK aequalia erunt inter se i ct propterea erit, ut ΒΚ ad

FΚ, ut FR ad A R. sve, ut BC ad AC. Itaque erit ex aequali, ut FO ad FR , ita FR ad AR, vel ita BC ad AC. Alterum theorema cst , quod Fo se ad AF, ut est BC quadratum ad rectangulum BAC. Nam FΟ est ad AF in ratione compo. sta

70쪽

ELEMENTA.

ita ex FO ad FR,& cx FR ad AF; sive etiam ex BC ad AC , ct ex BC ad AB . Sed duae istae

rationcs coinponimi quoque rationem , quam

habui BC quadratum ad rectangulum BAC. Itaque erit ex aequali , ut FO ad AF , ita BC

quadratum ad rectanguli im BAC. IV. Utroque horum theorematum deteris 'minuhitur in ipso cono longitudo parametri. Speciatim vero ex theoremate primo subori-amis'

tur nobis determinatio ista , valde simplex, ac ta elegans. Nimirum ad punctum R sat angulusFRV , aequalia angulo BFG, sive BAC. Et: ' 'portio FV , abicissa ex diametro FG per re-FIG. 12.ciam RV , erit quaesita parametri longitudo. Nam , Ob angulos illos aequales , erit, ut FV ad FR . ita BC ad AC . Sed ex primotheoremate BC est ad AC, ut FO ad F R. Itaque erit ex aequali, ut FV ad FR , ita Foad eandem FR : S propterea FV ipsi FO aequalis erit. V. idem problema , de determinanda in v. cono singitudine parametri , resolvi quoque

potest in hunc modum . A eu cons

Ex vertice coni A ducatur , tum rc ista AK, perpendicularis ipsi BC , cum recta AH, perpendicularis diametro FG . Ab indatur deinde ex priore ΑΚ portio AI, aequalis alteri AH. Et recta MN,duota per pundium I aequid istanter ipsi BC , longitudinem parametri exhibebit. Demissa enim super AC perpendiculari BL , erit AK ad BL in ratione composita ex

AK ad AI, & ex AI , seu AH ad B L . Sed ΑΚ est ad AI, ut BC ad MN ; itqmque AH D a est