장음표시 사용
271쪽
- quadrato est aequale duobus i quadratis ΑΚ, ΑΕ. Quare erunt 'tria quadrata ΛΚ,
MN. ΕΚ aequalia duobus quadratia ΑΚ, ΑΕ,
adeoque, dempto communi quadrato ex ΑΚ, remanebunt quadrata duo MN , ΕΚ aequalia quadrato ex AE : Unde quadratum diametri, AE superabit quadratum suae parametri ΕΚ' per MN quadratum , quod ex constructione datam disserentiam adaequat. s6. Quantum ad secundum casum , solutio' problematis fiet hoc pacto . Extendatur rursus tangens BH ad partem alteram versus Mi. Ita, ut fiat B M aequalis ipsi AB. Tum , iuncta AM , erigatur super ea perpendicularis Mestalis longitudinis , ut quadratum ejus datam differentiam adaequet . Jungatur deinde AmJamque , si in angulo ABH applicemus reactam AK aequalem ipsi AN,erit AE diameter
Quum enim AM quadratum sit aequaIeduplo quadrati ex AB , sive etiam duplo retactanguli EAR : apposito communi quadrato ex MN; erit AN , sive AK quadratum aequa Ie duplo rectanguli EAR una cum MN quadrato e S propterea , addito rursus communi quadrato ex AEleiunt duo quadrata ΑΚ, AEaequalis duplo rectanguli EAK una cum duo is hiis quadratis AE, MN. IEt quoniam duo quadrata ΑΚ, ΑΕ sunt aequalia quoque duplo rectanguli EAΚ unx cum ΕΚ quadrato; erit ΕΚ quadratum ae- quala duobux quadratis A Ε, MN. Unde quadratum diametri AE superabitur a quadrat sum
272쪽
suae parametri EΚ per MN quadratum, quod ex constructione datam disserentiam adaeis
XII. In ultimo problemate docebimus , XII. euomodo , datis. oribus ellipsis, inseniri possiaiameter talis, ut data sit summa quadrato - inuenis. rum, qua ni ex lateribus suae figurae. Hune
in finem, manentibus omnibus,ut supra, pona- βε ωumamus rectam PQ esse ejus longitudinis, ut duplum rectanguli cx AB in P δdatam illam,summam exhibeat. Tum , descripta super ea circuli portione PSQ, quae suscipiat angulum Fi . . SI serni rectum , erigatur perpendicularis PT , aequalis dimidio ipsius AB . Et per punctum T ducatur recta ra,eidem PQ parallela, quas circuli portionem secet in S. Sit deinde E punctum , quod hiseeae' '-portionem CED . Et quoniam , demisso perpendiculo EG , sunt duae EG , PT aequales.snter se 3 poterit triangulum PS ta quidem aptari super AB, ut punctum S cadat in E. . Aptetur itaque triangulum illud super AB ea - lege, sitque OER . Erigatur porro perpendiacularis ON. Et juncta AN , dabit ista diametrum quaesitam. . Extendatur enim AN usque donec tangenti BH occurrat in M . Et quoniam anguis
lus OER , velut aequalis angulo PSQ , est aequalis angulo BAE ; per ea , quae ostensa sunt in calce capitis praecedentiS , erit summa qua- .dratorum AN , NM aequalis duplo rectangu- Ii , quod fit ex AB in OR . Sed ex constru- . Etione OR est aequalis ipsi PQ. Quare eadem .summa quadr4torum. AN , NM aequalis etit
273쪽
duplo rectanguli, quod fit eη AB in PQ a M.que adeo data erit. Non esse autem problema istud continuo solutionis capax I iam abunde Ptet ex
iis , quae in fine capitis praecedentis ostensa sunt. sed exinde facili quoque negotio intelia ligere licet, quid utique requiratur, quo ponsi problema resolvi. Unde , ne diutius in eo exisicando haereamus, sussiciat illud indicas. se, Sc ad alia progrediamur. XIII. Apollonius in solutione horum problematum aliam methodum paulo distic liorem usur vit . Sed ea mediante exhibuit quoque positionem diametri relato ad dat
aκea ellipsis. Unde . ne ex hoc capite methodui a nobia adhibita manca existimetur; ostendemus modo, ratione datis axibus
tu is diametri datae. Sint itaque AB , KL axet ellipsis , hoc
est AB axis major, S KL axis minor. Sit amtem EF aliqua ejusdem ellipsis diameter data. Iam innotescet diametri huius positio , si demissa ad axem majorem AB ordinata EG , n ta sit longitudo portionis CG. Unde, eo res redit , ut inquiramus quo γcto Ipsius CG longitudo possit des niri. Et sane,propter ellipsim, CA quadratum est ad CX quadratum , ut rectangulum AGBad EG quadratum. Sed EG quadratum aequa te est disserentiae quadratorum CE,CG, S rectangulum ACB aequale est disserentiae quadratorum CA, CG. Itaque erit, ut CA quadratum ad CΚ quadratum , ita differentia
274쪽
quadratorum CA , CG ad differentum qu dratorum CE, CG. , Hinc , quum convertendo sit, ut CA quadratum ad disserentiam quadratorum C A, CK, ita differentia quadratorum C A , CG ad differentiam quadratorum CA, CE r erit, peris mutando , ut CA quadratum ad differentiam quadratorum CA , CG . ita disserentia quadratorum CA , CK ad differentiam quadratorum C A , CE. Unde, rursus convertendo, erit, ut CA quadratum ad CG quadratnm, ita differentia quadratorum CA , CK ad disseis rentiam quadratorum CE, CR . Deseribantur jam super ipsis CA , CE semieitcilli AMC , ENC; ct aptentur in iis rectae CM , CN , quarum utraque sit aequalis
Ipsi CK. Jamque, junctis rectis AM, EN ; erit
AM quadratum aequale differentiae quadrato. aeum C A , CK ν & EN quadratum loquale dis. ferentiae quadratorum CE, CK. Unde erit,ut CA quadratum ad CG quadratum , ita AM quadratum ad EN quadratum et Sc propterea, quum proportionales sine quatuor rectae
AM , BN , CA . CG ; invenietur CG, si fiat, ut A M ad EN, ita CΑ ad ipsam CG.
XIV. Ne aliquid hic omittamus , ostendemus denique, ratione in ipsa ellipsi, da . ta parametro unius diametri, i veniri possit par amet er cujusvis Ostorius diametri.Sint igitur AB , BF duae quaevis diametri ellipsisAEF . Et data parametro unius diametri AB, oporteat, invenire parametriini alterius diametri EF.
Sit AD parameter diametri Ad , quae
275쪽
cum Ipsa AB ponatur in directum . Tum , se Eta AD bifariam in puncto M . describatur per tris puncta A , E , M circulus AEM , occurrens ipsi EF productae in puncto N . Extendatur porro EN usque ad punctum H: ita, ut sit EH dupla ipsius EN. Et erit EH para-
meter diametri EF. Est enim, propter circuIum,rectangulum
ACM aequale rectangulo ECN. Sed rectangulum ABD est quadruplum rectanguli ACM . & rectangulum EFH est qtiadruplum rectanguli ACM , Si rectangulum EFH est
quadruplum rectanguli ΕCN . Quare duo rectangula ABD , EFH etiam aequalia erunt: S propterea erit . ut diameter EF ad diame,
Jam per ea , quae superius ostensa sunt,dἰametri EF , AB sunt reciproce proportiona les summis laterum suarum figurarum. Quare erit ex aequali, ut BD ad FH, ita summa laterum figurae diametri AB ad summam laterum figurae diametri EF: R propterea, quemadm dum prior summa est aequalis ipsi BD; it quoque summa posterior aequalis erit ipsi FH.
Unde erit Ela parameter diametri EF. P.
276쪽
CAP. mperbolae diametri omnes imter se mutuo comparantur.
I. sit pertus ostensis , in qualibet hyperbola extaro diameis πινενιο trum unam , quae cum suis ordinatis rectos 2-- angulos constituat. Diametrum istam vocavimus axem ipsius hyperbolae . Et facile erit ostendere , omnium operθυω diametrorum minimam esse illam, quae axis appellatur. Sit enim AB axis hyperbolarum oppositarum , sitque EF alia quaevis diameter earundem. Dico, diametrum istam EF maiorem esse axe AB.Dem Itiatur squidem ad axem AB ordinata EG . Et quia ista cadit infra verticem A; erit portio CG maior semiaxe CA . Sed , ob angulum rectum C GΕ , sumidiameter C E major est portione CG . Gre eadem semidia me. ter C E multo major erat semiaxe CA : Sc propterea diameter tota EF major erit axe integro AB. II. Nullo itidem negotio ostendi potest, quod omnium aliarum diametrorum illa qui ia tem tta - demst minor, quae minus disat ab axe. Manentibus namque omnibus , ut supra, perspicuum est , CE quadratum aequale ulla duobus quadratis CG , EG . Sed CG quadratum est aequale CA quadrato una cum ruri Tom. I. R ctan
277쪽
x S SECTIONUM CONICARUM ctangulo AGB . diare erit idem CE quadratum aequale duobus quadratis in , EG una cum recta lagulo AGB. Id quum ita sit, liquet, excessum , quo CE quadratum superat CA quadratum , esse EG quadratum una cum rectangulo AGB. Sed , tam EG quadratum, quam rectangulum AGB , eo quidem fit minus , quo magis punctum E accedit ad punctum A . Itaque exces.sus , quo CE quadratum superat CA quadratum , eo etiam m nor erit, quo minus distanta se invicem puncta duo A, & E. Minuitur ergo CE quadratum , dum punctum E accedit ad punctum A. Unde ipsa CE etiam ii minutionem patitur. Est autem diameter EF dupla ipsius CE . Quare minue
tur quoque diameter EF : & propterea ominnium aliarum diametrotum hyperbolae illa quidem minor erit, quae minias distat ab axe. IlI. Hyperbol ar igitur diametri in recensu ab axe majores evadunt. Sed, iis crescentibus , augentur etiam ipsarum conjugatae. Ouod ut liquido constet, ostendendum est
ι um, di' Nimirum,quod si eapia ηtur in Θperbola binae quavis conjugata diametri, eae dividantur u in eadem ratione ab ordinatis , quae super iis demittuntur ex Perticibus duarum quarumvis aliarum similiter conjugatarum diametrorum. Neque vero disiicile erit , theorema istud Ostendere, si eorum recordemur, quae superius ostensa sunt. Capiantur en m in hyperbola duae quaevis conjugatae diametri AB, I L. De mittantur ad eas ordinatae EG , PQ ex vertia
278쪽
ELEMENTA. ας lcibus duarum quarumvis aliarum similiter iconjugatarum diametrorum EF , PR . Dico, llare, ut BG ad AG, ita LQ ad K Ducatur si quidem ad diametrum EF oris νdinata AO. Tum per punctum o agatur recta OS , ipsi EG parallula . Et jam CK ad Cu rationem habebit compositam ex CK ad CP . Scex CP ad C), Sed CK est ad CP , ut KL ad fBR, sive etiam , ut ΕG ad AO ; itemque CP est ad CR, ut AO ad OS. Itaque erit CK ad CQ in ratione composita ex EG ad AO, Scex AO ad OS.
Et quoniam duae istae rationes componunt pariter rationem , quam habet EG ad OS, sive etiam CE ad Co ; erit ex aequali, ut CK ad C . ita CE ad Coa& subducendo,
antecedentes ex consequentibuS, erit quoque .
ut CK ad KO , ita CE ad Eo . Sed , lumptis antecedentium duplis , KL est ad KQ, uc EF ad EO. Quare, componendo , erit, ut LQ. ad KQ, ita Fo ad ΕΟ:S propterea, quum Fo siead EO, ut est BG ad AG ; erit rursus ex ae- quali, ut BG ad AG, ita LQ ad ΚQ.
IV. Ex isto autem theoremate a L IV. et eo fuit, quadratum quidem ordinatae EG et, se aequale rectangulo ΚQL ς quadratum vero et I o
ordinatae Pinequale esse rectangulo AGB. 'O uim enim BG sit ad AG , ut est L. ad
Κὶ ἔ erat dividendo, ut AB ad AG s ita ..tasiam.
KL ad KQ. Unde, quia permutando AB est FIG. O. ad KL . tam ut AG ad K in quant ut BG ad LQ ς compositis rationibus, erit, ut AB quadratum ad KL quadratum , ita rectangulum
279쪽
aso SECTIONUM CONICARUM Jam,propter hyperbolam, AB quadratum est ad KL quadratum , tam ut rectangulum AGBad EG quadratum , quam ut PQ quadratum ad rectangulum KQ L . Quare ex aequali, primo quidem erit, ut rectangulum AGB ad rectangultim ΚQL, ita idem reditangulum AGBad EG quadratum . Deinde vero , ut rectanis
gulum AGB ad rectangulum KQL , ita PQ
quadratum ad idem rectangulum ΚQL r &Propterea rectangulo quidem KQ L aequato erit EG quadratum ; rectangulo vero AGBerit aequale PQ quadratum. V. Supponamus modo AB, KL esse axesa/ιud rinia conjugatos hyperbolae t adeo nempe, ut ordi.
z. . . o natae EG , PQ rectos angulos cum iis constituant. Et nullo etiam negotio ostendemus, dinvia serentiam quadratorum EF, AB aequalem esses disserentiae quadratorum PR, XL. τι ὸ 4Q' Ut enim vidimus paulo ante , eXcessu quo CE quadratum superat CA quadratum , est EG quadratum una cum rectangulo AGB . Sed tectanstulo AGB ostensum est aequale PQ quadratum. Quare excessuS, qu CE quadratum superat CA quadratum , erit summa quadratorum EG , PQ, Eadem ra Ione excessus , quo CP quadratum superat CK quadratum , est PQ quadratum lana cum rectangulo KQL . Sed rectangulo Κ ostensum est aequale EG quadratum. inare excessus , quo CP quadratum superat CK quadratum, erit pariter summa quadratorum EG, PQ Id quum ita sit, erit disserentia quadratorum CB, CA aequalis disserentiae quadrato
280쪽
differentia quadratorum EF , AB differentiae quadratorum PR, KL etiam aequalis erit. VI. Atque hinc modo facile erit osten- Vsdere id , quod ab initio nobis proposummus rnimirum, quod ,cresceutibus Operbolae diameis primor is , tris primariis , augeri debeant quoque ipseram
Maneant enim omnia . ut supra i adeo Fici. o.
nempe, ut AB sit axis hyperbolae, KL ejus coniugatus 3 EF diameter quaevis primaria, Sc PR ipsius eonjugata . Dico, non posse diametrum EF maiorem fieri , nisi etiam augeatur ejus coniugata PR. ostensum est namque,excesilam, quo EP quadratum superat AB quadratum, esse qualem excessui, quo P R quadratum superat KL quadratum . Quare nequit augeri prioe excessus, nisi etiam excessus secundus major
Jam , ubi per recessum ab axe AB maior evadit diameter EF , tunc augetur excessus , quo EF quadratum superat AB quadratum. Itaque in eodem recella necesse est, ut augeatur etiam excessus, quo PR quadratum superat RL quadratum: R. propterea ipsa PRmajor itidem evadet. VII. Sed ex eo, quod differentia quadratorum EF, AB sit aequalis differentiae quadra -- estorum PR, KL, colligi ulterius potest, diame. , ita ititrum EF esse aequalem , maiorem, vel mino- ia rem conjugata sua PR, prout axis AB est aequalis, major, vel minor conjugato suo KL. . FIG. o.