Nova Acta Academiae Scientiarum Imperialis Petropolitanae

251쪽

valore substituto, actaque divisione per ' , oritur aequatiomere algebraica ista scilicet:

ex qua ergo tot valore Pr littera' erui poterunt , quoli ordinis fuerit aequatio disserentialis AEU Valores si fuerint a b, c, d, e etc. hinc adeo integrale Completum X hiberi poterit,

ita Xprcssum As Be' -- eς - - De etc. ubili tera A, B, C, D etc. sunt Constantzs arbitrariae per inte grationes ingreSSdC. f. a. Pro altero casu, quo aequatio Vadit homogenea; eam semper ad an formam rediicere licet:

CUrrere solent, quas Uidem resolvere seu integrare liceat, mi sorte data operae a posteriori labricentiar. Interim tamen ab acutissimis Geometris Gallis non ita pridem insignia sti,sidia circa tales aequationes ingeniosissime An oXCogitata, qUae tam perlustrassem in observa ionem Uanctam Prorsus singularem incidi, quae mihi quidem in hoc genere maXimi momenti videtur, et quam propterea hic in medium Proserre Constitui.

252쪽

f. s. Proposita autem tali forma generali r

RURO S itue ad Vari tam gradUm FSUrgat, Uandoquidem deinceps calculum ad quosvis alios gradia BCCommodare fa- Cile erit, Uaero ejosmodi Unctionem ipsius , in quam si ista forma ducatur, integrabilis evadat. Sit igitur iste multi-Plicator zzz m, ita mi integrabilis esse debeat haec forma:

atque duplici modo ad integrale perveniri Potest, protili vel a Primo termino vel ab Ultimo integratio inchoetor tibi quidem

253쪽

multiplicatoris quaesiti m investigari opoxtet, quippe quo

deducitur secunda integralis pars a fili ι - 1 myb Jam

hujus disterentiale ablatum relinquet dugsmm sm -- fmρ - 3d tu g. Hinc igitur nascitur tertia integralis pars det Imr-Dmq--δεν ρ , liti-jus porro differentiale ablatum relinquet i)z mS-fm lim nil id et Unde postrema integralis pars Colligitur

oportet.

254쪽

inventrim.

f. et Quodsi ergo hanc postremam aequationem I solvere, vel alte iam Uodpiam integrale particulare eruere licuerit, talis alor ipsius m si in aequationem primo Propositam multiplicetur, eam integrabilem reddet, ita ut hoc modo Per Unam integrationem ad gradum inferiorem dissere imitalitatis reducatur. Hanc ob rationem aequalionem Ultimo mventam Voc imUS aequationem reSokentem formae Piopositae

255쪽

I id. CVjus relationis ope Pro UoVis casu aequatio resolvens nubio labore exhiberi soterit. f. a. Quodsi aeqUationem esBlventem tanquam datam spectare Velinatas , ex ea Vicissim ipsa aequatio prior. cujus est re IVens, Xhiberi poterit Per seqcientes relationes, quibus litterae minUscula P q, et Per maiusculas P, Q, R etc. determinantur:

Unde patet ditteras attinusChalas eadem roris ege a majusculis endere, qua liae ab illis pendere sunt inventae. I uaelibet igitur Iaujusmodi aequali disserentialis cum sua resolvente tali reCiproCo neXU Conjugatur, Ut II una fuerit resolvens alterius, Vicissim quoque hae res obvens sit illius. Cum igitur hujusmodi binae aequationestam insigni vinculo sint inter se connexae, ea inter se conjugata appellfinus, ita ut quaeli det aequatio hujus indolis suam habeat conjugatam, at ille Utraque ope alterius resolvi Possit. Quodsi enim alterutra resolutionem admittat simulqrioque alterius resolutio semper et in potestate, atque in hoc consistit observatio illa singularis, quae mihi quidem

maxillae notatu digna videtur , neque enim memini eam a quoqUam alio faCtam vidisse. NovaArea Acac IN S.ioit. m. XIV. II S. 13.

256쪽

9. 15 Scribamus nunc uniformitatis gratia litteram loco , atque binae hujusmodi meqUaliones Conjugatae, u-juscunque fuerint ordinis, seqUenti modo rePraesententur :

terius vero

257쪽

conjugata habebimus

Unde patet aeqUationem Conj sagatam etiam esse homogeneam. I. I . Uodsi ergo binarum tali iam aeqUationum conjugatarum alterutra res Isationem admittat, tam altera quo- qtie saltem seriael, integrari poterit quo facto, si insuper δε-jus aequationis integratae ConjUgata resolutionem adnaittat, denuo integratio succedet ut tu ita porro, in Iae methodUS Uti Ille foret non partam operosa Versam i imprimis obse Vandiam CCArrit, Ioties cun ita integrale Complet Um aequationis resolventis innotuerit, tum ope acilis Perationis non itum ipsius aequationis propositae

integrale completum, sed etiam integrale it tis aequalionis

exhiberi posse, denotante v cinctionemri UamCUnqtae ipsis is , id scilicet integrale, quod absolutis tot integrationibUS , t loti gradus fuerit differentialitas, tandem reperiretor, idque adeo Ope Unicae tantiam integrationis, Uod , tam JUrim iam in recessu habere possit, hic data opera explicabo. , 8. Sufficiet autem aequatienem disserentialem te iii tantum gradus sumsisse, ita Ut resol 'eΓda PIOsonat Ir

258쪽

cujus integrale completum, qUOniam tres constantes arbitrarias involvere debet . ita repraesentari poterit ZzΑ - Βν Co ubi ergo litterae , certae erunt sunCl1ones ipsius , qua singulae idoneos militiplicatores pro aequatione proposita praebebunt: multiplicatione autem per O facta et integratione instituta ponam Us Iesultare hanc aequationem: hz- det . . 'dd zzz IX Odae. Simili vero modo sumto O pro multiplicatore prodeat haec aeqUatio :ν - Α - - s ddet et J X, x. Eodemque modo ex multiplicatore V prodeat f ddet IIII XO dae. Ubi hae tres integrationes instar unicae spectari possunt. F. 19 Totum negotium ergo PerduXimus ad has tres

259쪽

tem arbitrariam.

260쪽

DE INTEGRATIONIBUS DIFFICILLIMIS

QUARUM IΝTEGRALIA TAME ALIUΝDE EXHIBERI POSSU T.

AUCTORE

Cum hodie itidem nemo Geometram in amplius dubitet, quin omnia imaginari , unde uia ita Originem trahant, ad hanc formam A -- α - 1 reduci Ulant, Uanquam a CC veritas nondum satis firmis et clari rationibus est demonstrata Coritas etiam erit omnem sormulam integralem ΖΘ et, quaecunque L fuerit unctio ipsius , si iii ea loco g scribatur forinula imaginaria D cos - - - 1 m S , IC IVLI OSSctin duas hi j os modi sol molas integi ales: μι υ - , - 1.1δεῖν, ita ut litterae sint unctiones reale is sitis D. f. Ho equidem nuper iusius ostendi circa sormulas integrales Unde posito

Cos, sinb ortae sunt ejusmodi ornaratae integral OS, Varum evo ilio plura ara Contemnenda calculi artificia requirebat. Ex quo intelligitur, si hujusmodi tot millae magis suerint complicatae , atque de quantit dies irrationales in se involvant, iam formulas inde derivatas Jρὰν et qὰ ita prodituras esse Perplexas, Ut nemo faCile