Nova Acta Academiae Scientiarum Imperialis Petropolitanae

261쪽

eartim integrationem scisci pore atus a scierit, cum tamen, si formulae principalis L Θ integrale Nerit cognitum, X inde Valores ori nutant in derivatarum haud dissiculte deduci queant. . . Ad hoc claritas explicandum Considerabo hic sor

facile patet, facta hac obstitiatione resoltationem formulae interialis haud Xiguas ambages Post talare. Ttim enim denominator induet hanc Ormam: DDico ab L 1 sin ab); Unde ante omnia imaginaria elidere oportet, quod quidem

fieret si numerator et denominator multiplicare nitar per formulam e 1 - 1 D os et 8 in .Θὶ tum enim denominator Prodiret reali et D ins et QA A VOI numerator fieret aeque inllic attas, siquidem signum radicate etiam nun involveret ana realia Uam imaginaria, quae tamen a se invicem separari necesse est. f. . . Hanc ob rem ipsum denominatorem ante omnia in binas partes separatas, alteram realem nil eram simpliciter imaginariam resolvi conveniet, id tio se icienti modo commodissime Praestabitur. Introd AC attar Uantitas , Ut sit D Cos a b - 1 et quaerat ar angOIUS , Ut sit cos et id est si s et in ωα Om enim denomina

tor noster induet hanc sormam meos et 6 s in , quae Iorma jam sponte transit in hanc: Cosω- - a Sinae S. I. s. Unc igitur si actionem nostram multiplico

262쪽

Partes requisitas Blvitur, quae sunt 1 - - is

263쪽

Unde etiam Per8Picuum est, totum laborem ad iotegra. tionem duarum tantum formularum in 1egralium esse eo ductum, quae autem ita sunt complicatau, ut vix quisquam Iaborem sit SUSCOPtUr . g. . o magis igitur sit mirandum, si haec ipsa integralia acti assignari poterunt. Cum enim iis unctim sumit e rimatur arCU Circu Ii, cujus sinus estv cos Θ - ν- sin Θ), si litan arcum designemus Per --θ' - , ita ut x Xhibeat integrale binatum illarum Brutularum red-lium, at a/- integrale binarum formularum imaginariarum, erit vicissim vicos i - sinci h in X - - Sin X COS W cosae sina -- 1. Cum jam constet CSSe

f. . Substituantur igitur isti valores, ac prodibit ista

aequatio:

'bi partes reales et imaginarias seorsim aequari oportet, inmde duae sequentes determinationes emergunt v eos Θ I sinu se e et i sin cosa se -e '. Neque jam adeo erit dissicile hinc binas quantitates et X

determinare. Nova Acta Acad. IN. Scient Tom. XIV. 1 f. o.

264쪽

Valorum quadrata invicem adstit ProdUCentha rae alionem:

ideoque - ῆγα t J t - . Quoniam igitur quantitateiaret Peri desinivimus Iogarithmis sumendis erit X bl t-- it quae ergo formula aequatur binis Posterioribus sormulis in, tegralibus , imaginario j - misto I. 12. Deinde Vero, Um sit er γ έ ad . . a te e nil at et Pro quantitate ae invenienda geminam habebimus aequationem, sed sinae l . et cos II lf--- Sicque ipsa quantitas ae erit m A sin G, atque hic ipse arcus circularis aequabitur summae binarum Priorum sorι Iarum integralium realium. f. ra Postquam igitur posuerimus brevitatis gratiae M; Os 4 ), Valores integratiam supra

265쪽

gr1Ventorum ita se habebunt:

Similique modo erit

f. 1 . Hos autem Valore integrale sero X pressos penitius Perscrutari operae erit Pretium. Cum enim sit

His igitur valoribus substitutis pro priores integratione siet

s. 13. Haud incommode a Utem ipsos hos valores inimgrales elim per sol milias integrales exprimere licet. Cum enim sit

Priori integratio nunc erit ta scilicet ti binae

266쪽

binae formulae integrales priores aequabuntur huic unicae binae posteriores vero, quae aequale Crant bl -- it Io, aequabuntur huic Ormulae integrali: Is: T, . 6. Quantumvis autem hae sormulae integrales di sciles videbantur , tamen, quia earum integralia Constant, at trie adeo per togarithmos et arcus Circulares XPrimi OD sunt non amplitas tantopere dissicile erit in methodum in. quirere hae ipsa integralia eruendi, id quod sequenti modo commodissime Xpediri posse Videtur. Integrati formularum

s. I . Hi ante omnia opus est formulam radicalem, et cos et b X calculo expellere, quod ptissime siet doco introducendo ipsum quantitatem i, Ude rat

atque hinc habebimus I et vincos 29 -υ Deinde vero erit - cos a b 'in TEM'. 8. is jam valoribus substitutis nostrae Drmulae integrales sequentes induent sormas

267쪽

transibunt in has

f. et ' Tantum igitur superest , ut loco v astor debitus substituatur Cum igitur sit et I. - , erit differentiando

hocque Valore introducto fiet

mulae ita prodibunt rationaliter expressae;

quarum ergo integratio per regulas notissimas facile expe-

268쪽

s M. Quoniam denominator Uobus constat sactoribus, Pro priores formula statuamus

FT 1 tom ero reperitur Posito tires iu9 -COSI 'TO, sive usin Θ' - cos,' Unde sit meos 9'. minora in has duas formulas resolvitur:

Quod si jam hic Ioco u scribamus alorem IIth I Tndi mettici os S , Atang tam CVjus Consenis cum integralibus supra exhibitris facile per spicit Iris et Simili modo pro δ statuamUs i ,

eΟqU inb'; sicque formula pro δ inventa in has Partes Iesolvitur :

sin B in tangΣ ' ', sicque habebimus

269쪽

a. Haec antem resolutio ideo successit quod odirmi principalis proposita in sui in suo genere quast simplicissima unde facile intelligitur, si ejus loco aIiae so

mulae dissiciliores proponantur, tum resolutionem sine dubio, molto magis futuram esSe arduam, neque adeo eXpediri posse, nisi ipsa brmula proposita per togarithmos et arctas Circul res integrata queat. Sin autem io contigerit, quemadmo---, Ve adeo in hac:

certum erit, formulas integrales inde deductas, quantumvis fuerint perplexae, tamen semper etiam per Iogarithmos et arcus Circulares resolvi osse, id quod unico exemplo osten

Problema.

Si in formuIa integrali ponatur: vicos θ --J I si ny I, Unde haec formula resolvatur in has sinΘυ - ,-LI δ v, ambas istas brinulas integrales, UiPPe quae semper reales esse possunt inVestigaro.

270쪽

a re venda erit sum quamobrem

P o urione quaesta erit m

quam ergo formularIam integralia investigari oportet. Evidens citer est in BDgUltam a neutiquam Comi node per D exprimi posse. Etsi inim tanga d hic trisectione anguli opus bret, Unde formuIae nostrae Plane inextricabiles Prodirent. g. 6. MaXime igittar memorabile est, has ambas odirnulas integrales in quibus est et D cos, et tang 3b SE Ua Vix a ne vi quidem Persolam Doeinrre liceret , nihilominus per togarithmos etBICUS Circo lares integrari posse. Facile autem intelligitur per idoneam substitutionem loco, aliam variabilem idoneam in CalCulum introduCi debere, Ojus ope hae formolae simpliciores reddi queant, id quod commodissime fieri posse Videtur , si loco D angcilias et introducatur, ita ut sit QTS - ,

ergo litteras D et 3 per la X primi oportet. . et Cum sita ne a I lJ si hunc angulum tu